专题05图形的变化（9大考点）（浙江专用）-【好题汇编】三年（2023-2025）中考数学真题分类汇编

专题05 图形的变化 考点01 三视图 1．（2025·浙江·中考真题）底面是正六边形的直棱柱如图所示，其俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三视图，根据俯视图是从上面看到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，俯视图为： 故选A． 2．（2024·浙江·中考真题）5个相同正方体搭成的几何体主视图为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从正面看，第一层是三个正方形，第二层靠左是两个正方形． 故选：B． 3．（2023·浙江衢州·中考真题）如图是国家级非物质文化遗产衢州莹白瓷的直口杯，它的主视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据视图的意义，从正面看所得到的图形即可． 【详解】 解：该直口杯的主视图为 故选：D． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提． 4．（2023·浙江湖州·中考真题）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，从而得出答案． 【详解】解：∵主视图和左视图是长方形， ∴几何体是柱体， ∵俯视图是圆， ∴该几何体是圆柱，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力． 5．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图的几何体由3个同样大小的正方体搭成，它的俯视图是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】找到从上面所看到的图形即可． 【详解】解：从上面看从下往上数，左边有1个正方形，右边有1个正方形， ∴俯视图是：   ． 故选：C． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，解题的关键是掌握三视图． 6．（2023·浙江绍兴·中考真题）由8个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，中间没有，右边1个小正方形， 故选：D． 【点睛】本题考查了三视图的知识，要求同学们掌握主视图是从物体的正面看得到的视图． 7．（2023·浙江台州·中考真题）如图是由5个相同的正方体搭成的立体图形，其主视图是（    ）．    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据主视图是从该组合体的正面观察得到的图形进行判断即可． 【详解】解：由图可知，其主视图如图所示：   ， 故选：C． 【点睛】本题考查简单组合体的主视图，理解主视图是从物体正面观察所得到的图形是解题的关键． 8．（2023·浙江温州·中考真题）截面为扇环的几何体与长方体组成的摆件如图所示，它的主视图是（    ）    A． B． C． D．   【答案】A 【分析】根据几何体的三视图可进行求解． 【详解】 解：由图可知该几何体的主视图是  ； 故选：A． 【点睛】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题的关键． 9．（2023·浙江宁波·中考真题）如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的主视图是(   )    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据几何体的主视图的含义可直接进行判断． 【详解】解：由题意可得：该几何体的主视图为   ； 故选A． 【点睛】本题主要考查几何体的三视图，熟练掌握几何体的三视图的画法是解题的关键． 10．（2023·浙江金华·中考真题）某物体如图所示，其俯视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据俯视图的意义判断即可． 【详解】   的俯视图是  ． 故选B． 【点睛】本题考查了几何体的三视图，正确理解俯视图是解题的关键． 11．（2023·浙江·中考真题）如图，箭头所指的是某陶艺工作室用于垫放陶器的5块相同的耐火砖搭成的几何体，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】主视图为从正面看到的图形，即可判断． 【详解】解：从正面观察图形可知，其主视图分为两层，上层中间1个小长方形，下层有3个小长方形，D选 项符合； 故选：D 【点睛】本题主要考查几何体的三视图，解题的关键是掌握主视图是从正面看到的图形． 考点02 位似图形 1．（2023·浙江嘉兴·中考真题）美术老师写的下列四个字中，为轴对称图形的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】A、B、C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 【点睛】本题考查轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 考点03 位似图形 1．（2025·浙江·中考真题）如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据位似图形的性质得到，证明，即可求解． 【详解】解：∵五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点的坐标分别为 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：． 3．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据位似图形的性质即可得． 【详解】解：∵的位似比为2的位似图形是，且， ，即， 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键． 考点04 三角函数与解三角形 1．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，矩形的对角线相交于点．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形性质得出，推出则有等边三角形，即，然后运用余切函数即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形性质和判定、矩形的性质、余切的定义等知识点，求出是解答本题的关键． 2．（2023·浙江杭州·中考真题）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，若正方形与正方形的面积之比为，则（    ）    A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】设，，首先根据得到，然后表示出正方形的面积为，正方形的面积为，最后利用正方形与正方形的面积之比为求解即可． 【详解】设，， ∵，， ∴，即， ∴，整理得， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的面积为， ∵正方形的面积为， ∵正方形与正方形的面积之比为， ∴， ∴解得． 故选：C． 【点睛】此题考查了勾股定理，解直角三角形，赵爽“弦图”等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 3．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰和等腰，③和④分别是和，⑤是正方形，直角顶点E，F，G，H分别在边上． （1）若，，则的长是 cm． （2）若，则的值是 ． 【答案】 4 3 【分析】（1）将和用表示出来，再代入，即可求出的长； （2）由已知条件可以证明，从而得到，设，，，用x和k的式子表示出，再利用列方程，解出x，从而求出的值． 【详解】解：（1）∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 即， 即， ∵， ∴， 故答案为：4； （2）设， ∵， ∴可设，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ， ∵四边形对角互补， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 整理得：， 解得，（舍去）， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角函数定义，一元二次方程的解法等，弄清图中线段间的关系是解题的关键． 4．（2023·浙江嘉兴·中考真题）一副三角板和中，．将它们叠合在一起，边与重合，与相交于点G（如图1），此时线段的长是 ，现将绕点按顺时针方向旋转（如图2），边与相交于点H，连结，在旋转到的过程中，线段扫过的面积是 ．    【答案】 【分析】如图1，过点G作于H，根据含直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质得出，，然后由可求出的长，进而可得线段的长；如图2，将绕点C顺时针旋转得到，与交于，连接，，是旋转到的过程中任意位置，作于N，过点B作交的延长线于M，首先证明是等边三角形，点在直线上，然后可得线段扫过的面积是弓形的面积加上的面积，求出和，然后根据线段扫过的面积列式计算即可． 【详解】解：如图1，过点G作于H，    ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 如图2，将绕点C顺时针旋转得到，与交于，连接， 由旋转的性质得：，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即垂直平分， ∵是等腰直角三角形， ∴点在直线上， 连接，是旋转到的过程中任意位置， 则线段扫过的面积是弓形的面积加上的面积， ∵， ∴， ∴， 作于N，则， ∴， 过点B作交的延长线于M，则， ∵，， ∴， ∴， ∴线段扫过的面积， ， ， ， 故答案为：，．    【点睛】本题主要考查了旋转的性质，含直角三角形的性质，二次根式的运算，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积计算等知识，作出图形，证明点在直线上是本题的突破点，灵活运用各知识点是解题的关键． 5．（2023·浙江台州·中考真题）如图，点在线段上（点C在点之间），分别以为边向同侧作等边三角形与等边三角形，边长分别为．与交于点H，延长交于点G，长为c．    （1）若四边形的周长与的周长相等，则之间的等量关系为 ． （2）若四边形的面积与的面积相等，则a，b，c之间的等量关系为 ． 【答案】 【分析】由题意可得：为等边三角形，四边形为平行四边形，，（1）分别求得四边形的周长与的周长，根据题意，求解即可；（2）分别求得四边形的面积与的面积，根据题意，求解即可． 【详解】解：等边三角形与等边三角形中，， ∴和为等边三角形，， ∴，四边形为平行四边形， 又∵等边三角形与等边三角形 ∴，，， ∴， （1）平行四边形的周长为：， 的周长为： 由题意可得： 即：； （2）过点作，过点作，如下图：    在中，，，， ∴ 则平行四边形的面积为 在中，，，， ∴ 则的面积为： 由题意可得： 化简可得： 故答案为：； 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握并灵活利用等边三角形的性质求得对应线段的长度． 6．（2023·浙江金华·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】根据零指数幂、算术平方根的定义、特殊角的三角函数值、绝对值的意义，计算即可． 【详解】解：原式， ， ． 【点睛】本题考查了零指数幂、算术平方根的定义、特殊角的三角函数值、绝对值的意义．本题的关键是注意各部分的运算法则，细心计算． 7．（2024·浙江·中考真题）如图，在中，，是边上的中线，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1)14 (2) 【分析】本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形，分别解与，得出，是解题的关键． （1）先由三角形的高的定义得出，再利用得出；在，根据勾股定理求出，然后根据即可求解． （2）先由三角形的中线的定义求出的值，则，然后在中根据正弦函数的定义即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（2023·浙江金华·中考真题）问题：如何设计“倍力桥”的结构？ 图1是搭成的“倍力桥”，纵梁夹住横梁，使得横梁不能移动，结构稳固． 图是长为，宽为的横梁侧面示意图，三个凹槽都是半径为的半圆．圆心分别为，纵梁是底面半径为的圆柱体．用相同规格的横梁、纵梁搭“桥”，间隙忽略不计．            探究：图是“桥”侧面示意图，为横梁与地面的交点，为圆心，是横梁侧面两边的交点．测得，点到的距离为．试判断四边形的形状，并求的值． 探究2：若搭成的“桥”刚好能绕成环，其侧面示意图的内部形成一个多边形． ①若有12根横梁绕成环，图4是其侧面示意图，内部形成十二边形，求的值； ②若有根横梁绕成的环（为偶数，且），试用关于的代数式表示内部形成的多边形的周长．        【答案】探究1：四边形是菱形，；探究2：①；② 【分析】探究1：根据图形即可判断出形状；根据等腰三角形性质可求出长度，利用勾股定理即可求出长度，从而求出值． 探究2：①根据十二边形的特性可知，利用特殊角正切值求出长度，最后利用菱形的性质求出的长度，从而求得值．②根据正多边形的特性可知的度数，利用特殊角正切值求出和长度，最后利用菱形的性质求出的长度，从而求得值． 【详解】解：探究1：四边形是菱形，理由如下： 由图1可知，，， 为平行四边形． 桥梁的规格是相同的， ∴桥梁的宽度相同，即四边形每条边上的高相等， ∵的面积等于边长乘这条边上的高， 每条边相等， 为菱形． ②如图1，过点作于点．        由题意，得，． ∴． 在中，， ∴． ∴． 故答案为：． 探究2：①如图2，过点作于点．        由题意，得， ． ． 又四边形是菱形， ∴． ∴． 故答案为：． ②如图3，过点作于点．      由题意，形成的多边形为正边形， 外角． 在中，． 又， ∴． 形成的多边形的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题是一道生活实际应用题，考查的是菱形的性质和判定、锐角三角函数、勾股定理，解题的关键在于将生活实际和有关数学知识有效结合以及熟练掌握相关性质． 考点05 三角形相似与相似性质 1．（2023·浙江·中考真题）如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F，若四边形的面积为6，则的面积为（　　）    A．15 B．18 C．24 D．36 【答案】B 【分析】连接,根据三角形重心的性质可知：P在上，由三角形中线平分三角形的面积可知：，证明和,根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可解答． 【详解】解：如图，连接，   点P是的重心，点D是边的中点，P在上， ， ， ， ， ， ， ， 设的面积为m，则的面积为，的面积为， 四边形的面积为6， ， ， 的面积为9， 的面积是18． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中，准确作出辅助线是解题的关键． 2．（2023·浙江金华·中考真题）如图，在中，，以其三边为边在的同侧作三个正方形，点在上，与交于点与交于点．若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，正方形的边长为，证明，先后求得，，，利用三角形面积公式求得，证明，求得，，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，且， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 同理，即， ∴， 同理， ∴， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 3．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在中，是边上的点（不与点，重合）．过点作交于点；过点作交于点．是线段上的点，；是线段上的点，．若已知的面积，则一定能求出（    ）    A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．的面积 【答案】D 【分析】如图所示，连接，证明，得出，由已知得出，则，又，则，进而得出，可得，结合题意得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，    ∵，， ∴，，，． ∴，． ∴． ∵，， ∴， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵ ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的性质与判定，平行线的判定和性质，等面积转换． 4（2023·浙江衢州·中考真题）下面是勾股定理的一种证明方法：图1所示纸片中，，四边形，是正方形．过点，将纸片分别沿与平行、垂直两个方向剪裁成四部分，并与正方形，拼成图2．    （1）若，的面积为16，则纸片Ⅲ的面积为 ． （2）若，则 ． 【答案】 9 / 【分析】（1）在图1中，过作于，由，可得，，故，而的面积为16，即可得纸片Ⅲ的面积为； （2）标识字母如图，设，证明，可得，由，有，即，可得或，而，，即可得到答案． 【详解】（1）在图1中，过作于，如图：    ， ， ， ，即， ， ， ，即， ， ， 的面积为16， ， ， ， 纸片Ⅲ的面积为； 故答案为：9； （2）如图：    ， ， 设，则，， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， 解得或， 当时，，这情况不符合题意，舍去； 当时，， 而，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，涉及正方形性质及应用，全等三角形性质与判定，锐角三角函数等知识，解题的关键是掌握三角形相似的判定定理． 5．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，在中，，点分别在边，上，连接，已知点和点关于直线对称．设，若，则 （结果用含的代数式表示）．    【答案】 【分析】先根据轴对称的性质和已知条件证明，再证，推出，通过证明 ，推出，即可求出的值． 【详解】解： 点和点关于直线对称， ， ， ． ， ， 点和点关于直线对称， ， 又 ， ， ， ，， 点和点关于直线对称， ， ， ， ， 在和中， ， ． 在中，， ，， ， ， ， ， ，， ． ， ， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质等，有一定难度，解题的关键是证明 ． 考点06 解三角形的应用 1．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆，，的最大仰角为.当时，则点到桌面的最大高度是（    ）        A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于，过点作于，利用解直角三角形可得，，根据点到桌面的最大高度，即可求得答案． 【详解】如图，过点作于，过点作于，   在中，， 在中，， 点到桌面的最大高度， 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是添加辅助线，构造直角三角形，利用解直角三角形解决问题． 2．（2023·浙江湖州·中考真题）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架放在离树适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架上的点E处，然后沿着直线后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，，观测者目高的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，则这棵树的高度（的长）是 米．    【答案】4.1 【分析】 过点作水平线交于点，交于点，根据镜面反射的性质求出，再根据对应边成比例解答即可． 【详解】 过点作水平线交于点，交于点，如图，    ∵是水平线，都是铅垂线． ∴米，米，米， ∴（米）， 又根据题意，得， ∴， ，即 ， 解得：米， ∴(米)． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，通过作辅助线构造相似三角形，并利用相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 3．（2025·浙江·中考真题）无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为，从点A观测点P的仰角为，则A处到B处的距离为 ．    【答案】 【分析】利用仰角的余弦解答即可． 本题考查了仰角的计算，熟练掌握角的余弦是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 考点07 解三角形的应用综合题 1．（2023·浙江嘉兴·中考真题）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离．    (1)身高的小杜，头部高度为，他站在离摄像头水平距离的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别． (2)身高的小若，头部高度为，踮起脚尖可以增高，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到，参考数据） 【答案】(1) (2)能，见解析 【分析】（1）根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，从而求出蹲下的高度． （2）根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，即可求出长度，与踮起脚尖后的高度进行比较，即可求出答案． 【详解】（1）解：过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，如图所示，    在中，． ． ， ． ． ，， 小杜下蹲的最小距离． （2）解：能，理由如下： 过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，如图所示，    在中，． ， ， ． ， ． 小若垫起脚尖后头顶的高度为． 小若头顶超出点N的高度． 小若垫起脚尖后能被识别． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，涉及到的知识点有锐角三角函数中的正切值、矩形的性质、三角形的全等，解题的关键在于是否能根据生活实际题结合数学相关知识．解题的重点在于熟练掌握相关概念、性质和全等方法． 2．（2023·浙江绍兴·中考真题）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，米，米，．    (1)求的度数． (2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)该运动员能挂上篮网，理由见解析 【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余即可求解； （2）延长交于点，根据题意得出，解，求得，根据与比较即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）该运动员能挂上篮网，理由如下． 如图，延长交于点，    ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， ∴该运动员能挂上篮网． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 3．（2023·浙江·中考真题）如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道，已知，，求管道的总长．    【答案】18m 【分析】如图：过点作于点，由题意易得，进而求得，再通过解直角三角形可得，然后求出即可解答． 【详解】解：如图：过点作于点， 由题意，得， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴．即管道的总长为．      【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，理解题意求得是解答本题的关键． 4．（2023·浙江台州·中考真题）教室里的投影仪投影时，可以把投影光线，及在黑板上的投影图像高度抽象成如图所示的，．黑板上投影图像的高度，与的夹角，求的长．（结果精确到1cm．参考数据：，，）    【答案】的长约为 【分析】在中，由，再代入数据进行计算即可． 【详解】解：在中，，，， ∴ ． ∴的长约为． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟练的利用锐角的正切求解直角三角形的边长是解本题的关键． 5．（2023·浙江宁波·中考真题）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．    (1)如图2，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式示． (2)如图3，为了测量广场上空气球离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点分别测得气球的仰角为，为，地面上点在同一水平直线上，，求气球离地面的高度．（参考数据：，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图所示，铅垂线与水平线相互垂直，从而利用直角三角形中两锐角互余即可得到答案； （2）根据题意，，在中，，由等腰直角三角形性质得到；在中，，由，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示：    由题意知， 在中，，则，即， ； （2）解：如图所示：    ， 在中，，由等腰直角三角形性质得到， 在中，， 由， 即， 解得， 气球离地面的高度． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，涉及直角三角形性质、等腰直角三角形性质和正切函数测高等，熟练掌握解直角三角形的方法及相关知识点是解决问题的关键． 考点08 三角形相似综合题 1．（2023·浙江杭州·中考真题）在边长为的正方形中，点在边上（不与点，重合），射线与射线交于点． (1)若，求的长． (2)求证：． (3)以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．若，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，利用相似三角形的对应边成比例求解； （2）证明，利用相似三角形的对应边成比例证明； （3）设，则，，在中，利用勾股定理求解． 【详解】（1）解：由题知，， 若，则． 四边形是正方形， ， 又 ， ， ， 即， ． （2）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ． （3）解：设， 则，． 在中，， 即， 解得． ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理的应用，正方形的性质等，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 2．（2023·浙江湖州·中考真题）【特例感知】 （1）如图1，在正方形中，点P在边的延长线上，连接，过点D作，交的延长线于点M．求证：． 【变式求异】 （2）如图2，在中，，点D在边上，过点D作，交于点Q，点P在边的延长线上，连接，过点Q作，交射线于点M．已知，，，求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，点P在边的延长线上，点Q在边上（不与点A，C重合），连接，以Q为顶点作，的边交射线于点M．若，（m，n是常数），求的值（用含m，n的代数式表示）．    【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据证明即可； （2）证明，得出，根据勾股定理，根据，得出，求出，得出，求出； （3），作于点N，证明，得出．证明，得出，求出． 【详解】（1）证明：在正方形中， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）如图1，作于点N，如图所示：    ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ， ∴， ∴． ∵， ∴， 如图2，作于点N，    ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等和三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 3．（2023·浙江绍兴·中考真题）一副直角三角尺如图1所示，中间各有一个直径为的圆洞，现将三角尺的角的那一头插入三角尺圆洞内，如图所示．则三角尺通过三角尺圆洞的那一部分的最大面积为 ．（不计三角尺的厚度） 如图，矩形中，点是边中点，点是边上一动点，沿直线将翻折，点落在点处．已知，连结． 当时， ； 当为直角三角形时， ． 【答案】 或 【分析】四边形是三角尺通过三角尺圆洞的最大图形，过点作于点，于点，延长交CA于点，把穿过圆洞的四边形分成一个直角三角形和一个直角梯形，利用锐角三角函数分别求出、、的长度，根据求出穿过圆洞的最大面积； 点与点重合，过点作，可得，利用相似三角形的性质把各边用含的代数式表示出来，再利用勾股定理列出关于的方程，解方程求出的值，再利用勾股定理求出的长度； 当为直角三角形时，分两种情况：一种情况是当时，另一种情况是当时，分别利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：如下图所示，四边形是三角尺通过三角尺圆洞的最大图形， 圆洞的最大直径为， ，，，， 过点作于点，于点，延长交CA于点， 则有， ， 则， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 如下图所示，当时，点与点重合，过点作， ，点为的中点， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：或(舍去)，            当时，，， ， ， 故答案为：；                            如下图所示，当时，  过点作，                                则有， ， ，， ， 过点作，则四边形为矩形，， ，，， 在中，， ， 解得：； 如下图所示，当时，，，， 点、、在一条线上，                                则，， 在中，， 在中，， ， 在中，， ， 整理得：， 解得：， 综上所述当或时为直角三角形．                                                                                                                                                                                                                                                                                                   【点睛】本题主要考查了解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理．解决本题的关键是作辅助线构造相似三角形和全等三角形． 考点09 尺规作图 1．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于内一点F.连结并延长，交于点G．连结，.添加下列条件，不能使成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知是三角形的角平分线，再结合选项所给的条件逐次判断能否得出即可． 【详解】根据题中所给的作图步骤可知， 是的角平分线，即． 当时，又，且， 所以， 所以， 故A选项不符合题意． 当时， ， 又，且， 所以， 所以， 故B选项不符合题意． 当时， 因为，，， 所以， 所以， 又， 所以， 即． 又， 所以， 则方法同（2）可得出， 故C选项不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 2．（2024·浙江·中考真题）尺规作图问题： 如图1，点E是边上一点（不包含A，D），连接．用尺规作，F是边上一点． 小明：如图2．以C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小丽：以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小明：小丽，你的作法有问题，小丽：哦……我明白了！ (1)证明； (2)指出小丽作法中存在的问题． 【答案】(1)见详解 (2)以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点，故存在问题 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质， （1）根据小明的作图方法证明即可； （2）以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点，据此作答即可． 【详解】（1）∵， ∴， 又根据作图可知：， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）原因：以点A为圆心，长为半径作弧，与可能有两个交点， 故无法确定F的位置， 故小丽的作法存在问题． 3．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图是的网格，每个小正方形的边长均为1，半圆上的点均落在格点上．请按下列要求完成作图：要求一：仅用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；要求二：保留作图痕迹． (1)在图中作出弧的中点D． (2)连结，作出的角平分线． (3)在上作出点P，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）连与网格线交于一格点，以O为端点，作射线与圆弧交于点D， （2）作射线，则即是的角平分线， （3）连结并延长，交的延长线于点与交于点F，连结并延长交于点P，则． 本题考查了无刻度直尺作图，垂径定理，圆周角定理，角平分线的性质定理，解题的关键是：熟练掌握无刻度直尺作图，与相关定理的结合． 【详解】（1）解：由格点可知为中点，根据垂径定理可得，点D为弧的中点，点D即为所求， （2）解：∵点D为弧的中点， 根据圆周角定理，可得，即为所求， （3）解：∵为直径， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，作图如下： ． 4．（2023·浙江·中考真题）如图，在中，．    (1)尺规作图： ①作线段的垂直平分线，交于点D，交于点O； ②在直线上截取，使，连接．（保留作图痕迹） (2)猜想证明：作图所得的四边形是否为菱形？并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)四边形是菱形，见解析 【分析】（1）①根据垂直平分线的画法作图；②以点O为圆心，为半径作圆，交于点E，连线即可； （2）根据菱形的判定定理证明即可． 【详解】（1）①如图：直线即为所求； ②如图，即为所求；   ； （2）四边形是菱形，理由如下： ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 【点睛】此题考查了基本作图－线段垂直平分线，截取线段，菱形的判定定理，熟练掌握基本作图方法及菱形的判定定理是解题的关键． 5．（2023·浙江温州·中考真题）如图，在的方格纸中，每个小方格的边长为1．已知格点P，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）．      (1)在图中画一个等腰三角形，使底边长为，点E在上，点F在上，再画出该三角形绕矩形的中心旋转180°后的图形． (2)在图中画一个，使，点Q在上，点R在上，再画出该三角形向右平移1个单位后的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）底边长为即底边为小方格的对角线，根据要求画出底边，再在其底边的垂直平分线找到在格点上的顶点即可得到等腰，然后根据中心旋转性质作出绕矩形的中心旋转180°后的图形． （2）根据网格特点，按要求构造等腰直角三角形，然后按平移的规律作出平移后图形即可． 【详解】（1）（1）画法不唯一，如图1（ ，），或图2（ ）．    （2）画法不唯一，如图3或图4．    【点睛】本题主要考查了格点作图，解题关键是掌握网格的特点，灵活画出相等的线段和互相垂直或平行的线段． 6．（2023·浙江·中考真题）某数学兴趣小组活动，准备将一张三角形纸片（如图）进行如下操作，并进行猜想和证明．    (1)用三角板分别取的中点，连接，画于点； (2)用（1）中所画的三块图形经过旋转或平移拼出一个四边形（无缝隙无重叠），并用三角板画出示意图； (3)请判断（2）中所拼的四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)答案不唯一，见解析 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）方法一：将绕点D逆时针旋转到，将绕E点顺时针旋转到即可得出四边形； 方法二：将绕E点顺时针旋转到，将绕点D逆时针旋转后再沿向右平移到，即可得出四边形； 方法三：将绕点D逆时针旋转到，将绕E点顺时针旋转后沿向左平移到，即可得出四边形； （3）方法一：先证明点在同一直线上，根据为的中位线，得出且．证明且，得出四边形为平行四边形，根据，得出平行四边形为矩形． 方法二：证明点在同一直线上，根据为的中位线，得出且，证明，得出且，证明四边形为平行四边形． 方法三：证明点在同一直线上，根据为的中位线，得出且，证明且，得出四边形为平行四边形． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解：方法一：四边形为所求作的四边形    方法二：四边形是所求的四边形．    方法三：四边形是所求的四边形．    （3）解：方法一（图1），    ∵， ∴点在同一直线上， ∵点分别是的中点， ∴为的中位线， ∴且． ∵， ∴且， ∴四边形为平行四边形． ∵，， ∴平行四边形为矩形． 方法二（图2），    ∵， ∴点在同一直线上． ∵点分别是的中点， ∴为的中位线， ∴且． ∵， ∴且， ∴四边形为平行四边形． 方法三（图3），    ∵， ∴点在同一直线上． ∵点分别是的中点， ∴为的中位线， ∴且． ∵， ∴且， ∴四边形为平行四边形． 【点睛】本题主要考查了旋转作图或平移作图，平行四边形的判定，矩形的判定，解题的关键熟练掌握旋转的性质和平移的性质． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 图形的变化 考点01 三视图 1．（2025·浙江·中考真题）底面是正六边形的直棱柱如图所示，其俯视图是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江·中考真题）5个相同正方体搭成的几何体主视图为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·浙江衢州·中考真题）如图是国家级非物质文化遗产衢州莹白瓷的直口杯，它的主视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   4．（2023·浙江湖州·中考真题）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图的几何体由3个同样大小的正方体搭成，它的俯视图是（　　）    A．   B．   C．   D．   6．（2023·浙江绍兴·中考真题）由8个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   7．（2023·浙江台州·中考真题）如图是由5个相同的正方体搭成的立体图形，其主视图是（    ）．    A．   B．   C．   D．   8．（2023·浙江温州·中考真题）截面为扇环的几何体与长方体组成的摆件如图所示，它的主视图是（    ）    A． B． C． D．   9．（2023·浙江宁波·中考真题）如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的主视图是(   )    A．   B．   C．   D．   10．（2023·浙江金华·中考真题）某物体如图所示，其俯视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   11．（2023·浙江·中考真题）如图，箭头所指的是某陶艺工作室用于垫放陶器的5块相同的耐火砖搭成的几何体，它的主视图是（    ） A． B． C． D． 考点02 位似图形 1．（2023·浙江嘉兴·中考真题）美术老师写的下列四个字中，为轴对称图形的是（　　） A．   B．   C．   D．   考点03 位似图形 1．（2025·浙江·中考真题）如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 2．（2024·浙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 考点04 三角函数与解三角形 1．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，矩形的对角线相交于点．若，则（    ）    A． B． C． D． 2．（2023·浙江杭州·中考真题）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．设，若正方形与正方形的面积之比为，则（    ）    A．5 B．4 C．3 D．2 3．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰和等腰，③和④分别是和，⑤是正方形，直角顶点E，F，G，H分别在边上． （1）若，，则的长是 cm． （2）若，则的值是 ． 4．（2023·浙江嘉兴·中考真题）一副三角板和中，．将它们叠合在一起，边与重合，与相交于点G（如图1），此时线段的长是 ，现将绕点按顺时针方向旋转（如图2），边与相交于点H，连结，在旋转到的过程中，线段扫过的面积是 ．    5．（2023·浙江台州·中考真题）如图，点在线段上（点C在点之间），分别以为边向同侧作等边三角形与等边三角形，边长分别为．与交于点H，延长交于点G，长为c．    （1）若四边形的周长与的周长相等，则之间的等量关系为 ． （2）若四边形的面积与的面积相等，则a，b，c之间的等量关系为 ． 6．（2023·浙江金华·中考真题）计算：． 7．（2024·浙江·中考真题）如图，在中，，是边上的中线，． (1)求的长； (2)求的值． 8．（2023·浙江金华·中考真题）问题：如何设计“倍力桥”的结构？ 图1是搭成的“倍力桥”，纵梁夹住横梁，使得横梁不能移动，结构稳固． 图是长为，宽为的横梁侧面示意图，三个凹槽都是半径为的半圆．圆心分别为，纵梁是底面半径为的圆柱体．用相同规格的横梁、纵梁搭“桥”，间隙忽略不计．            探究：图是“桥”侧面示意图，为横梁与地面的交点，为圆心，是横梁侧面两边的交点．测得，点到的距离为．试判断四边形的形状，并求的值． 探究2：若搭成的“桥”刚好能绕成环，其侧面示意图的内部形成一个多边形． ①若有12根横梁绕成环，图4是其侧面示意图，内部形成十二边形，求的值； ②若有根横梁绕成的环（为偶数，且），试用关于的代数式表示内部形成的多边形的周长．        考点05 三角形相似与相似性质 1．（2023·浙江·中考真题）如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F，若四边形的面积为6，则的面积为（　　）    A．15 B．18 C．24 D．36 2．（2023·浙江金华·中考真题）如图，在中，，以其三边为边在的同侧作三个正方形，点在上，与交于点与交于点．若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 3．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在中，是边上的点（不与点，重合）．过点作交于点；过点作交于点．是线段上的点，；是线段上的点，．若已知的面积，则一定能求出（    ）    A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．的面积 4（2023·浙江衢州·中考真题）下面是勾股定理的一种证明方法：图1所示纸片中，，四边形，是正方形．过点，将纸片分别沿与平行、垂直两个方向剪裁成四部分，并与正方形，拼成图2．    （1）若，的面积为16，则纸片Ⅲ的面积为 ． （2）若，则 ． 5．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，在中，，点分别在边，上，连接，已知点和点关于直线对称．设，若，则 （结果用含的代数式表示）．    考点06 解三角形的应用 1．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆，，的最大仰角为.当时，则点到桌面的最大高度是（    ）        A． B． C． D． 2．（2023·浙江湖州·中考真题）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架放在离树适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架上的点E处，然后沿着直线后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量，，观测者目高的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知于点D，于点F，于点B，米，米，米，米，则这棵树的高度（的长）是 米．    3．（2025·浙江·中考真题）无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为，从点A观测点P的仰角为，则A处到B处的距离为 ．    考点07 解三角形的应用综合题 1．（2023·浙江嘉兴·中考真题）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离．    (1)身高的小杜，头部高度为，他站在离摄像头水平距离的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别． (2)身高的小若，头部高度为，踮起脚尖可以增高，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到，参考数据） 2．（2023·浙江绍兴·中考真题）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，米，米，．    (1)求的度数． (2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：） 3．（2023·浙江·中考真题）如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道，已知，，求管道的总长．    4．（2023·浙江台州·中考真题）教室里的投影仪投影时，可以把投影光线，及在黑板上的投影图像高度抽象成如图所示的，．黑板上投影图像的高度，与的夹角，求的长．（结果精确到1cm．参考数据：，，）    5．（2023·浙江宁波·中考真题）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．    (1)如图2，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式示． (2)如图3，为了测量广场上空气球离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点分别测得气球的仰角为，为，地面上点在同一水平直线上，，求气球离地面的高度．（参考数据：，） 考点08 三角形相似综合题 1．（2023·浙江杭州·中考真题）在边长为的正方形中，点在边上（不与点，重合），射线与射线交于点． (1)若，求的长． (2)求证：． (3)以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．若，求的长． 2．（2023·浙江湖州·中考真题）【特例感知】 （1）如图1，在正方形中，点P在边的延长线上，连接，过点D作，交的延长线于点M．求证：． 【变式求异】 （2）如图2，在中，，点D在边上，过点D作，交于点Q，点P在边的延长线上，连接，过点Q作，交射线于点M．已知，，，求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，点P在边的延长线上，点Q在边上（不与点A，C重合），连接，以Q为顶点作，的边交射线于点M．若，（m，n是常数），求的值（用含m，n的代数式表示）．    3．（2023·浙江绍兴·中考真题）一副直角三角尺如图1所示，中间各有一个直径为的圆洞，现将三角尺的角的那一头插入三角尺圆洞内，如图所示．则三角尺通过三角尺圆洞的那一部分的最大面积为 ．（不计三角尺的厚度） 如图，矩形中，点是边中点，点是边上一动点，沿直线将翻折，点落在点处．已知，连结． 当时， ； 当为直角三角形时， ． 考点09 尺规作图 1．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于内一点F.连结并延长，交于点G．连结，.添加下列条件，不能使成立的是（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·浙江·中考真题）尺规作图问题： 如图1，点E是边上一点（不包含A，D），连接．用尺规作，F是边上一点． 小明：如图2．以C为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小丽：以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F，连接，则． 小明：小丽，你的作法有问题，小丽：哦……我明白了！ (1)证明； (2)指出小丽作法中存在的问题． 3．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图是的网格，每个小正方形的边长均为1，半圆上的点均落在格点上．请按下列要求完成作图：要求一：仅用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；要求二：保留作图痕迹． (1)在图中作出弧的中点D． (2)连结，作出的角平分线． (3)在上作出点P，使得． 4．（2023·浙江·中考真题）如图，在中，．    (1)尺规作图： ①作线段的垂直平分线，交于点D，交于点O； ②在直线上截取，使，连接．（保留作图痕迹） (2)猜想证明：作图所得的四边形是否为菱形？并说明理由． 5．（2023·浙江温州·中考真题）如图，在的方格纸中，每个小方格的边长为1．已知格点P，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）．      (1)在图中画一个等腰三角形，使底边长为，点E在上，点F在上，再画出该三角形绕矩形的中心旋转180°后的图形． (2)在图中画一个，使，点Q在上，点R在上，再画出该三角形向右平移1个单位后的图形． 6．（2023·浙江·中考真题）某数学兴趣小组活动，准备将一张三角形纸片（如图）进行如下操作，并进行猜想和证明．    (1)用三角板分别取的中点，连接，画于点； (2)用（1）中所画的三块图形经过旋转或平移拼出一个四边形（无缝隙无重叠），并用三角板画出示意图； (3)请判断（2）中所拼的四边形的形状，并说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $$