4.4 探索三角形相似的条件 同步练习 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

4.4 探索三角形相似的条件 同步练习 2025-2026学年北师大版数学九年级上册 学校:___________姓名:___________班级:___________学号:___________ 一、单选题 1．如图，在 纸片中，，将纸片沿某直线剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与相似的是（    ）    A．①② B．②④ C．③④ D．①③ 2．如图，相交于点O，由下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在 中，点D，E分别在边，上，下列条件中不能满足的是（ ） A． B． C． D． 4．如图，下列图中小正方形的边长为1，阴影三角形的顶点均在格点上，与 相似的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，分别为的中点，连接为的中点，过点H作，交于点D，连接，则与相似（不含）的三角形个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，已知，添加下列各选项中的条件后，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点P是AD上的一个动点，若以A，P，B为顶点的三角形与△PDC相似，则满足条件的点P的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，在 中，，点为线段上一动点（不与点重合），连接，作，交线段于点． 下面是某学习小组根据题意得到的结论： 甲同学：； 乙同学：若，则； 丙同学：当时，为的中点． 则下列说法正确的是（    ） A．只有甲同学正确 B．乙和丙同学都正确 C．甲和乙同学正确 D．三个同学都正确 二、填空题 9．如图，在 中， ，点 是线段 的黄金分割点 ，若 ，则 的长为______ 结果保留根号 ． 10．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上，，，，，是边上的五个格点.则以这五个格点中的三个点为顶点的三角形中，与相似的是  . 11．如图，的三个顶点均在网格的格点上，请选三个格点组成一个格点三角形，它与有一条公共边且相似（不全等），则这个格点三角形是 ． 12．如图,P是Rt△ABC的斜边BC上异于B,C的一点,过点P作直线截Rt△ABC使截得的三角形与Rt△ABC相似,则过点P满足这样条件的直线最多有______条. 13．如图,在△ABC中,AB=6 cm,AC=9 cm,动点D从点B开始沿BA边匀速运动,速度为1 cm/s;动点E从点A开始沿AC边匀速运动,速度为2 cm/s.如果D,E两动点同时运动,那么当它们运动　　　　s时,以D,A,E三点为顶点的三角形与△ABC相似. 14．如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF=．在以上4个结论中，其中一定成立的 （把所有正确结论的序号都填在横线上）    三、解答题 15．如图,在 中,D,E分别是AB,AC上的点,且DE∥BC,AD=2,DB=3,AE=3,CE=4.5,DE=4,BC=10,求证: ． 16．如图,在等边三角形ABC中,点E,D分别在BC,AB上,且∠AED=60°,求证:△AEC∽△EDB. 17．如图，在等边中，点，分别在边，上，且，，图中有相似三角形吗？如果有，请找出一对，并证明它们相似；如果没有，请说明理由. 18．【问题呈现】 如图（1），和都是等边三角形，连接，.求证：. 图（1） 【类比探究】 如图（2），和都是等腰直角三角形， .连接，.请直接写出的值. 图（2） 【拓展提升】 如图（3），和都是直角三角形， ，且.连接，.求的值. 图（3） 参考答案 1．【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：图①中，∵， ∴相似； 图②中，只有，不符合相似三角形的判定，不能推出和相似； 图③中，， ∴； 图④中，只有，不符合相似三角形的判定， 不能推出和相似； 综上所述，阴影三角形与原三角形相似的有①③，故D正确． 2．【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定，逐项分析即可得出答案． 【详解】解：由图可知：， 若，则，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故A不符合题意； 若，根据“若两三角形有两组对应边的比例相等，且它们所夹的内角相等，则这两个三角形相似” 可判定与相似，故C不符合题意； 若，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故D不符合题意； 若，不能判定与相似，故B符合题意； 故此题答案为B． 3．【答案】C 【详解】解：A，B：有两组角对应相等的两个三角形相似，由此可判定； C. 和，和不是对应边，不能判定； D. 由，得到，由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可判定. 故选C． 【知识归纳】相似三角形的判定方法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似． 4．【答案】A 【详解】解：由题意，，， ， 选项A中的三角形是有一个角为，且该角度的邻边之比为，符合题意． 故选A． 5．【答案】B 【分析】由三角形中位线定理可得，可得，由有两组角对应相等的两个三角形相似可证，可得结论． 【详解】解：∵、分别为、的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故此题答案为B． 6．【答案】D 【分析】判定两个三角形相似的方法有：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 【详解】解：∵， ∴，即， 选项A，添加，运用两角分别相等的两个三角形相似，可证． 选项B，添加，用两角分别相等的两个三角形相似，可证． 选项C，添加，运用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证． 选项D，添加，两边对应成比例，但不是夹角相等，不能判定． 故选D． 7．【答案】C 【分析】设AP＝x，则PD＝AD﹣AP＝10﹣x，然后分类讨论：若∠APB＝∠DPC，则Rt△APB∽Rt△DPC，得到比例式，代入求出即可；若∠APB＝∠PCD，则Rt△APB∽Rt△DCP，得到比例式，代入求出即可． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝DC＝3，AD＝BC＝10，∠A＝∠D＝90°， 设AP＝x，则PD＝AD﹣AP＝10﹣x， 若∠APB＝∠DPC，则Rt△APB∽Rt△DPC， ∴＝，即， 解得：x＝5； 若∠APB＝∠PCD，则Rt△APB∽Rt△DCP， ∴＝，即， 解得：x＝1或9； 所以当AP＝1或5或9时，以P，A，B为顶点的三角形与以P，D，C为顶点的三角形相似，即这样的P点有三个． 故此题答案为C． 8．【答案】D 【分析】在中，依据三角形外角及已知可得，结合等腰三角形易证；结合，易证，得到；当时，结合已知求得，易证，依据等腰三角形“三线合一”得． 【详解】解：在中， ， ， ，， ， ， 甲同学正确； ，，， ， ， 乙同学正确； 当时， ， ， ， ， ， ， 即为的中点， 丙同学正确； 综上所述：三个同学都正确． 故此题答案为D． 9．【答案】 【详解】解：由题知， 因为 ， ， 所以 是黄金三角形， 则 ． 因为 ， 所以 ． 10．【答案】 【解析】连接，，，，，，，，，.故答案为. 11．【答案】（答案不唯一） 【分析】由，，判定． 【详解】解：这个格点三角形可以是（答案不唯一），理由如下： 由勾股定理得：， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 12．【答案】3 【详解】 由于△ABC是直角三角形,过P点作直线截△ABC,则截得的三角形与△ABC有一公共角,所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt△ABC相似.如图,过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线,共3条直线. 13．【答案】或 【解析】设点D，E运动的时间为t s．根据题意得AE＝2t，BD＝t，∴AD＝6－t.∵∠A＝∠A，∴分两种情况：①当＝时，△AED∽△ABC，即＝，解得t＝；②当＝时，△ADE∽△ABC，即＝，解得t＝.故答案为或. 【关键点拨】分两种情况进行讨论：①当＝时，△AED∽△ABC；②当＝时，△ADE∽△ABC，分别构建方程求解即可. 14．【答案】①②④． 【详解】解：由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°， ∴∠DFG=∠A=90°， ∴△ADG≌△FDG，①正确； ∵正方形边长是12， ∴BE=EC=EF=6， 设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12-x， 由勾股定理得：EG2=BE2+BG2， 即：（x+6）2=62+（12-x）2， 解得：x=4 ∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，②正确； BE=EF=6，△BEF是等腰三角形， 则△GED不是等腰三角形， △GDE与△BEF不相似， ③错误； S△GBE=×6×8=24，S△BEF=S△GBE=×24=，④正确. 15．【答案】 见解析 【详解】 证明：∵ , , ,∴ ∵DE∥BC,∴ ． 又∵ ,∴ ． 【归纳总结】定义法判定两个三角形相似 16．【答案】【证明】∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠CAE＋∠AEC＝120°.∵∠AED＝60°，∴∠BED＋∠AEC＝180°－60°＝120°，∴∠BED＝∠CAE，∴△AEC∽△EDB. 17．【答案】有相似三角形，.证明：设等边的边长为，，，.，，，即. ，. 【注意】 等边三角形是一个非常重要的条件，由此可以得出相等的角、相等的边，在全等或者相似的证明中应用较多. 18．【答案】【问题呈现】 【证明】和都是等边三角形，，， ，，，，. 【类比探究】 【解】.和都是等腰直角三角形，， ，，，，. 【拓展提升】 ， ，，，，，，. 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$