第1章 反比例函数（知识清单）数学湘教版九年级上册

第一章 反比例函数 1. 形如（k 是常数，k≠0)的函数称为反比例函数,其中x是自变量, y是因变量,自变量x的取值范围是 不等于0的一切实数 2. 成反比例关系或反比例函数的两个变量的乘积均为定值 3. 反比例函数的三种表达形式： 、、 4. 求反比例函数表达式的常用方法是待定系数法 5. 反比例函数的图象由两条曲线组成，我们称之为双曲线 6. 用描点法画双曲线三步骤是： 列表,描点,连线 7. 反比例函数的图象和性质 表达式 (k为常数,k≠0) k 的符号 k>0 k<0 图象 取值范围 x≠0,y≠0 所在象限 第__一、三_______象限 第_____二、四_______-象限 增减性 在每个象限内，函数值y随自变量x的_________增大而减小_____ 在每个象限内，函数值 y 随自变量x 的____增大而增大_______ 中心对称 对称中心是原点O 轴对称 对称轴是__直线y=-x______ 对称轴是__直线y=x_______ 8. 讨论反比例函数增减性时，______在某个象限内________是大前提，这个条件不等省略。 9. 过双曲线上任意一点作坐标轴的垂线，所得到的面积为__________，三角形的面积为________ 10. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由____k______ 决定的 11. 已知点 是反比例函数. 的图象上的两点.当 时，若 则必有_______________,当 k<0 时,若. 则必有 ____ ______ 12. 用反比例函数解决实际问题的一般步骤：________审、找、列、解、验、答_______________________ 13. 路程s一定，时间t和速度v成___反比例_____,即___t=________ 14. 功一定，力F与物体在力F 的作用下的位移s成反比例，即______F=______ 15. 压力F一定，压强p和受力面积s成反比例，即____P=__________ 16.电压 U一定，电流I和电阻R 成__ 反比例______,即___I=____________ 一、反比例函数的定义 1.混淆自变量的次数和比例系数 错误：忘记考虑k 的取值范围 注意：在反比例函数中，k≠0是重要条件，要注意区分反比例函数表达式的三种形式 中自变量x的次数 例1.若 是反比例函数，则a 的取值为 ( A ) A.1 B.-1 C. ±1 D.任意实数 解析：因为已知函数是反比例函数， 所以 解得a=1.故选 A. 变式1：已知 若 y 是x 的反比例函数，试求a 的值. 解析：根据题意，得 解得a=-2, 所以a 的值为--2. 总结：(1)比例系数k不为0；(2)自变量x的次数m为-1 二、反比例函数的图象和性质 2.忽略反比例函数增减性时象限范围 错误：反比例函数的增减性比较，两点不在同一个象限内 注意：在反比例函数中，已知两点的横坐标，比较纵坐标的大小时，首先应判断两点是否在同一象限内.若在同一象限内，则按同一象限内函数的增减性来比较；若不在同一象限内，则按函数值的正负来比较 例2.反比例函数 的图象上有两点P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂),若x₁<0<x₂，则下列结论正确的是 ( D ) 解析：因为k=-2<0, 所以函数图象在第二、四象限. 因为 所以点 P₁在第二象限，点P₂在第四象限， 所以 故选D 变式2：若点 和点 都在反比例数 的图象上,则m _____ n.(填““<”或“=”) 解析：在反比例函数 中，因为 所以 或 时，y随x的增大而减小.又因为 所以 总结：已知点 是反比例函数 的图象上的两点.当k>0时，若. 则必有 当k<0时,若. 则必有 0>y₂. 3.忽视比例系数k的几何意义的符号 错误：k的值只有一个 注意：利用几何图形的面积求k的值时，一定要注意符号． 例3.点P 是反比例函数 的图象上一点，过点 P 分别向x轴、y轴引垂线,垂足分别为点 A,B,若 S矩形OAPB=3，则函数的表达式为___或 ________ 解析:设P(x₀,y₀),则 |k|=3, 解得k=±3. 所以函数的表达式为 或 变式3：如图1.2-3,M 为反比例函数y= 的图象上的一点，MA 垂直于y轴,垂足为点 A,△MAO 的面积为2,则k 的值为_________ 解析:设点M 的坐标为(x,y),因为MA⊥y轴 所以 k有正、负之分， 表示面积时须加绝对值符号 所以|k|=4. 又根据函数图象的位置可知，k>0，→图象在第一象限, 故k>0.所以k=4. 总结：利用几何图形的面积求k的值时，一般考虑应用比例系数k的几何意义求解，求解时要注意k的符号. 3、 反比例函数的应用 4忽视.函数图象时自变量的取值范围 错误：比考虑自变量的实际意义． 注意：要根据实际问题确定自变量的取值范围 例4.在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量的某种气体，当改变容积V(m³)时，气体的密度 也随之改变，ρ与V在一定范围内满足 当m=7kg时,ρ关于V的函数图象是( D ) 解析:在 中,m=7kg,所以ρ与V成反比例函数关系.根据问题的实际意义，知只有在第一象限内的那一支图象符合要求.答案D 变式4：已知矩形的面积为8，则它的长y与宽x之间的函数关系用图象大致可以表示为 ( ) 解析：由矩形的面积8=xy可知，它的长y与宽x之间的函数表达式为 该函数的图象是反比例函数图象，且其图象在第一象限内.故选 B. 总结：反比例函数的图象是双曲线，但在实际问题中，自变量的取值范围往往受到限制，用图象表示时可能只是双曲线的一支或一部分。 重难点01 反比例函数表达式的确定 反比例函数表达式有三种常见形式： ③xy=k(k≠0).在用定义法确定函数表达式时常选择②，而用待定系数法确定函数表达式时，常用①和③. 【典例1】已知函数 是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则反比例函数的表达式为 -2 . 解析:根据题意，得 解得 所以m=-2 重难点02 反比例函数的图象和性质 反比例函数的图象位置和性质都是由比例系数k的符号决定的，并且反比例函数图象的两个分支分别在两个不同的象限内，所以只能在每个分支上研究其变化趋势 【典例2】若反比例函数 的图象位于第二、四象限，则k的取值可能是( A ) A.0 B.2 C.3 D.4 解析；因为反比例函数 的图象位于第二、四象限,所以k-1<0,即k<1.故选 A. 重难点03比例系数k的几何意义的应用 反比例函数的比例系数k具有一定的几何意义，|k|等于反比例函数图象上任意一点向两坐标轴所作垂线段与坐标轴所围成的矩形的面积. 【典例3】反比例函数 0)的图象与矩形 ABCO 的两边相交于E,F两点,若E 是AB 的中点,S△BEF =2则k的值为 ____8________ 解析： 设 则点 B 的坐标 所以点 F 的横坐标为2a代入反比例函数表达式得到纵坐相为 所以 所以F 为BC 的中点.连接OF则 2S△BEF=2×2=4.所以k=8. 重难点04 反比例函数与一次函数的综合运用 (1)利用已知条件确定两类函数表达式； (2)关于两个函数图象的交点坐标问题； (3)比较两个函数值的大小； (4)求相关几何图形的面积； (5)在同一平面直角坐标系中考查两类函数图象的共存性. 【典例4】一次函数y= mx+1的图象与反比例函数 的图象在第一象限有公共点 A(1，2)，直线l⊥x轴于点 N(3,0),与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B,C. (1)分别求出这两个函数的表达式； (2)求△ABC的面积. 解析：(1)将A(1，2)的坐标代入反比例函数表达式 中，得 解得k=2.所以反比例函数的表达式为 将A(1，2)的坐标代入一次函数表达式y= mx+1中,得m+1=2,解得m=1.所以一次函数的表达式为y=x+1. (2)设一次函数的图象与x 轴的交点为点D,过点 A 作AE⊥x轴于点E,如图1-3. 在一次函数y=x+1中,当y=0时,x=--1,所以OD=|-1|=1. 因为A(1,2),所以AE=2. 因为 N(3,0),所以点 B,C 的横坐标均为3. 把x=3代入y=x+1中,得y=4,所以B(3,4),所以BN=4; 把x=3代入 中，得 所以C(3, ),所以 所以S△ABC=S△BDN-S△ADE-S梯形AENC 重难点05反比例函数的实际应用 反比例函数在日常生活中有着广泛的应用，求解时只要求能正确地探求两个变量之间的关系，弄清题意的代数式，从而列出两个变量之间的关系式. 【典例5】工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要先将材料煅烧到800 ℃，再停止煅烧，进行锻造操作.第8 min 时，材料温度降为600℃.煅烧时,温度 y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；锻造时，温度y(℃)与时间x(min)成反比例函数关系，如图1-4所示(示意图)，已知该材料初始温度是32℃. (1)分别求出材料煅烧和锻造时，y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)根据工艺要求，锻造时，当材料温度低于480℃时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长? 解(1)设锻造时，y与x之间的函数表达 式为 则 所以k=4800 即 当y=800时, 所以x=6所以点B 的坐标为(6,800). 所以锻造时，y与x之间的函数表达式为 设煅烧时，y与x之间的函数表达式为y= kx+b, 则 解得 所以煅烧时，y与x之间的函数表达式为y=128x+32(0≤x<6). (2)把 y=480代入 得x= 所以锻造的操作时间有4min. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 反比例函数 1. 形如（k 是常数，_______)的函数称为_________,其中x是_______, y是______,自变量x的取值范围是 _______________ 2. 成反比例关系或反比例函数的两个变量的乘积均为____________________ 3. 反比例函数的三种表达形式：_________ 、___________、____________ 4. 求反比例函数表达式的常用方法是____________________________ 5. 反比例函数的图象由两条曲线组成，我们称之为_____________ 6. 用描点法画双曲线三步骤是： _________,_________,_____________ 7. 反比例函数的图象和性质 表达式 (k为常数,k≠0) k 的符号 _________ _____________ 图象 取值范围 x≠0,y≠0 所在象限 第_________象限 第____________-象限 增减性 在每个象限内，函数值y随自变量x的______________ 在每个象限内，函数值 y 随自变量x 的__________________ 中心对称 对称中心是原点O 轴对称 对称轴是________ 对称轴是_________ 8. 讨论反比例函数增减性时，____________________________是大前提，这个条件不等省略。 9. 过双曲线上任意一点作坐标轴的垂线，所得到的面积为__________，三角形的面积为________ 10. 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由__________ 决定的 11. 已知点 是反比例函数. 的图象上的两点.当 时，若 则必有_______________,当 k<0 时,若. 则必有 __________ 12. 用反比例函数解决实际问题的一般步骤：_________________________________________ 13. 路程s一定，时间t和速度v成________,即___________ 14. 功一定，力F与物体在力F 的作用下的位移s成反比例，即____________ 15. 压力F一定，压强p和受力面积s成反比例，即______________ 16.电压 U一定，电流I和电阻R 成________,即_______________ 一、反比例函数的定义 1.混淆自变量的次数和比例系数 错误：忘记考虑k 的取值范围 注意：在反比例函数中，k≠0是重要条件，要注意区分反比例函数表达式的三种形式 中自变量x的次数 例1.若 是反比例函数，则a 的取值为 ( ) A.1 B.-1 C. ±1 D.任意实数 变式1：已知 若 y 是x 的反比例函数，试求a 的值. 二、反比例函数的图象和性质 2.忽略反比例函数增减性时象限范围 错误：反比例函数的增减性比较，两点不在同一个象限内 注意：在反比例函数中，已知两点的横坐标，比较纵坐标的大小时，首先应判断两点是否在同一象限内.若在同一象限内，则按同一象限内函数的增减性来比较；若不在同一象限内，则按函数值的正负来比较 例2.反比例函数 的图象上有两点P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂),若x₁<0<x₂，则下列结论正确的是 ( ) 变式2：若点 和点 都在反比例数 的图象上,则m _____ n. 3.忽视比例系数k的几何意义的符号 错误：k的值只有一个 注意：利用几何图形的面积求k的值时，一定要注意符号． 例3.点P 是反比例函数 的图象上一点，过点 P 分别向x轴、y轴引垂线,垂足分别为点 A,B,若 S矩形OAPB=3，则函数的表达式为_________ 变式3：变式3：如图1.2-3,M 为反比例函数y= 的图象上的一点，MA 垂直于y轴,垂足为点 A,△MAO 的面积为2,则k 的值为_________ 3、 反比例函数的应用 4忽视.函数图象时自变量的取值范围 错误：比考虑自变量的实际意义． 注意：要根据实际问题确定自变量的取值范围 例4.在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量的某种气体，当改变容积V(m³)时，气体的密度 也随之改变，ρ与V在一定范围内满足 当m=7kg时,ρ关于V的函数图象是( ) 变式4：变式4：已知矩形的面积为8，则它的长y与宽x之间的函数关系用图象大致可以表示为 ( ) 重难点01 反比例函数表达式的确定 反比例函数表达式有三种常见形式： ③xy=k(k≠0).在用定义法确定函数表达式时常选择②，而用待定系数法确定函数表达式时，常用①和③. 【典例1】已知函数 是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则反比例函数的表达式为________________ 重难点02 反比例函数的图象和性质 反比例函数的图象位置和性质都是由比例系数k的符号决定的，并且反比例函数图象的两个分支分别在两个不同的象限内，所以只能在每个分支上研究其变化趋势 【典例2】若反比例函数 的图象位于第二、四象限，则k的取值可能是( ) A.0 B.2 C.3 D.4 重难点03比例系数k的几何意义的应用 反比例函数的比例系数k具有一定的几何意义，|k|等于反比例函数图象上任意一点向两坐标轴所作垂线段与坐标轴所围成的矩形的面积. 【典例3】反比例函数 0)的图象与矩形 ABCO 的两边相交于E,F两点,若E 是AB 的中点,S△BEF =2则k的值为 ____________ 重难点04 反比例函数与一次函数的综合运用 (1)利用已知条件确定两类函数表达式； (2)关于两个函数图象的交点坐标问题； (3)比较两个函数值的大小； (4)求相关几何图形的面积； (5)在同一平面直角坐标系中考查两类函数图象的共存性. 【典例4】一次函数y= mx+1的图象与反比例函数 的图象在第一象限有公共点 A(1，2)，直线l⊥x轴于点 N(3,0),与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B,C. (1)分别求出这两个函数的表达式； (2)求△ABC的面积. 重难点05反比例函数的实际应用 反比例函数在日常生活中有着广泛的应用，求解时只要求能正确地探求两个变量之间的关系，弄清题意的代数式，从而列出两个变量之间的关系式. 【典例5】工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要先将材料煅烧到800 ℃，再停止煅烧，进行锻造操作.第8 min 时，材料温度降为600℃.煅烧时,温度 y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；锻造时，温度y(℃)与时间x(min)成反比例函数关系，如图1-4所示(示意图)，已知该材料初始温度是32℃. (1)分别求出材料煅烧和锻造时，y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)根据工艺要求，锻造时，当材料温度低于480℃时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长? 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$