专题08 一元一次方程（数学竞赛培优专项训练）

专题08 一元一次方程 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 判断是否是方程的解 考点二 已知方程的解求参数 考点三 等式的性质 考点四 解一元一次方程 考点五 一元一次方程解的关系 考点六 一元一次方程的同解问题 考点七 一元一次方程中的动点问题 考点八 一元一次方程应用（配套问题） 考点九 一元一次方程应用（工程问题） 考点十 一元一次方程应用（销售问题） 考点十一 一元一次方程应用（方案选择问题） 考点十二 一元一次方程应用（几何问题） 考点十三 一元一次方程应用（电费和水费问题） 考点十四 含绝对值的一元一次方程 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛试题20道） 考点一 判断是否是方程的解 1．若关于的方程的解是整数，则整数的取值个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是方程的解，熟练掌握解方程是解决此题的关键； 先计算方程的解，然后选取和题意符合的解，即可求解； 【详解】解： 关于的方程的解是整数； 则整数，，共个； 故选：C 2．已知方程：（1）；（2）；（3）．则所满足的方程是（　　） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3） 【答案】D 【分析】本题考查了方程的解，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键． 将代入各方程，验证左右两边是否相等，从而判断其是否满足该方程． 【详解】解：将代入， 左边： 右边： 两边相等，满足方程； 将代入， 左边： 右边： 两边相等，满足方程； 将代入， 左边： 右边： 两边相等，满足方程， 综上，满足所有三个方程， 故选：D． 3．下列关于的方程结论，其中错误的是（   ） A．若，则关于的方程的解为 B．若，且，则方程的解是 C．若有唯一解，则 D．若，且，则一定是方程的解 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解．A根据，时，即可判断关于的方程的解为；B根据，且，即可判断方程的解是；C根据有唯一的解，则即可；D根据，且，即可判断一定是方程的解． 【详解】解：A、，时，关于的方程的解为， 所以本选项符合题意； B、当，且，方程的解是， 所以本选项不符合题意； C、当有唯一的解，则， 所以本选项不符合题意； D、当，且，一定是方程的解， 所以本选项不符合题意； 故选：A． 考点二 已知方程的解求参数 4．某同学在解关于的一元一次方程时，误将看作，得到方程的解为，则原方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了方程的解和解一元一次方程，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键． 把代入，得，求出a的值，再代入原方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得，解得． 把代入一元一次方程， 得，解得． 故选：A． 5．如果a、b是定值，且关于的方程，无论为何值时，它的解总是，那么的值是（   ） A．1 B．2 C．16 D．31 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程得到，再由无论为何值时，都成立得到，据此求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于的方程，无论为何值时，它的解总是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6．已知关于的方程有无数多个解，那么的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了含有一个未知数的方程有无数个解的条件和已知字母的值求代数式的值，正确理解条件是解题的关键．首先把方程进行化简，方程有无数个解即方程的一次项系数等于0，据此即可求得，的值，代入代数式求解即可． 【详解】解：化简得：， 即：， 根据题意得：，且， 解得：，， 则 故选：D． 考点三 等式的性质 7．若商品的进价为，售价为，则毛利率，把这个公式变形成已知，求的公式，应为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 将已知的毛利率公式进行等式变形，得出b的表达式即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故选：C． 8．已知a，b，c均为非实数，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质及完全平方公式，正确记忆等式的性质并正确做出判断是解题关键．根据等式的性质进行判断即可． 【详解】解：A．若，则，代入， 得， ∴，故A错误，不符合题意； B．若，则， ∴，故B正确，符合题意； C．∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C错误，不符合题意； D．∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴由得不出，故D错误，不符合题意； 故选：B． 9．已知实数满足，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，不等式的性质，通过等式的性质得和，可判断和；由题目条件判断，，可判断；结合和得到，，且，利用作差法即可判断；掌握等式的性质、不等式的性质并正确变形做出判断是解题的关键． 【详解】解：∵，∴， 即，故选项正确，不符合题意； ∵， ∴， 即，故选项正确，不符合题意； 若， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得， ∴，故选项正确，不符合题意； 由知，， ∴， 若，则， ∴， 由知，， ∴， ∴， ∴， ∴，故不正确，符合题意； 故选：． 考点四 解一元一次方程 10．如果表示，若，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义下的一元一次方程． 根据定义展开方程，解一元一次方程即可． 【详解】解：∵表示 ∴表示， ∵， ∴ 解得： 故选：C． 11．方程的解是x=(　) A． B．- C． D．- 【答案】D 【详解】方程两边同乘以24可得-8[]-2=-1，去括号，可得-8（）-2=-1，即-4-4x+-2=-1，4x=-5+，解得x=- . 故选D. 12．小林在解方程去分母时，方程右边的漏乘了，因而求得方程的解为，原方程的正确解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次方程的解，解一元一次方程，把代入去分母时漏乘的方程，即可求出a的值，再解正确的方程即可． 【详解】解：方程右边的漏乘了6，方程化为， ， 把代入，得 ， 解得， 所以原方程为 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 解得：， 故选：B． 考点五 一元一次方程解的关系 13．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义和解法，观察两个方程，利用换元法是解题关键．设，利用“整体换元”的方法根据题中方程的解确定出y的值即可． 【详解】解：设， 则方程，可化为， 的解为， ， 解得， 关于的一元一次方程的解为． 故选：B． 14．已知关于的方程有整数解，那么满足条件的整数有（   ）个 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，把当做已知量表示出方程的解，再根据方程的解为整数的条件即可得出值，根据解得的条件确定的可能取值解题的关键． 【详解】解：由得， ， ∴， ∵关于的方程有整数解， ∴或， 解得：或或或， ∴整数有个， 故选：． 15．关于的两个一元一次方程与的解互为相反数，则的值为（   ） A． B．26 C．15 D． 【答案】A 【分析】本题考查根据方程的解的关系求参数的值，熟练掌握方程的解得定义是解题关键．求出的解，进而得到的解，再代入到中，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵方程与的解互为相反数， ∴的解为， ∴， 解得：． 故选：A． 考点六 一元一次方程的同解问题 16．已知关于的方程与的解相同，则的值为（   ） A． B．30 C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）是解题关键．先解方程可得，再将代入方程可得一个关于的方程，解方程即可得． 【详解】解：， ， ， ， 将代入方程得：， 解得， 故选：A． 17．解关于的方程时，不论为何值，的解都相同，则的值为（   ） A． B．0 C． D．84 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义及其解法：能使一元一次方程左右两边成立的未知数的值是方程的解．根据已知可得的系数为0，即，方程的解为：，代入原方程可得的值． 【详解】解：， 不论为何值，的解都相同， ， ， 把代入中，得：， ． 故选：． 18．嘉琪在进行解方程的思维训练，其中有一个方程“”中的没印清晰，嘉琪问老师，老师只是说：“是一个有理数，该方程的解与当时代数式的值相同．”嘉琪很快补上了这个有理数．你认为嘉琪补的这个有理数是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】把代入代数式，即可得到的y，再代入该方程求出■． 【详解】解：当时代数式 ， ， 即， 代入方程中得到：， 解得． 即这个常数是1． 故选：A． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的解和解法，代数式的值，解题的关键是掌握解一元一次方程和代数式求值的能力． 考点七 一元一次方程中的动点问题 19．如图，数轴上的点和点分别表示和5，点是线段上一动点．点从点出发沿的方向以每秒2个单位的速度向运动，是线段的中点，设点运动时间为秒（不超过6秒）．若点在运动过程中，当时，则运动时间的值为（    ） A．4 B．2 C．2或4 D．或 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴上点的位置关系，根据列方程，求解即可．找出等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：动点所表示的数是， 是线段的中点， 点所表示的数是， ， ， ，或， 解得或． 故选：C． 20．如图，四边形中，，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，同时动点Q从点D出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点A运动，当动点Q到达点A时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为（   ）    A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角梯形的性质，平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 由题意已知，，要使P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形，则只需要让即可，列出等式可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， 当P从B运动到C时，且P在上， ，， ， 解得， ∴当秒时，四边形是平行四边形； 当点P在延长线上时， 如图：   ， 解得， 秒或秒时，P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形． 故选：B． 21．已知线段上有两个点、，，、为动点（点在点的左侧），并且始终保持，若点从点出发向右运动（当点到达点时立即停止），运动的速度为每秒2个单位长度，当运动时间为多少秒时，、两条线段中，一条的长度恰好是另一条的两倍（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，分两种情况：进行讨论即可求解． 【详解】设运动时间为t秒 当时，依题意有， 解得； 当时，依题意有， 解得． 故当运动时间t为或秒时，使、两条线段中，一条的长度恰好是另一条的两倍． 故选：C． 考点八 一元一次方程应用（配套问题） 22．一台仪器由1个A部件和3个B部件构成．用的钢材可以做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，所做的A部件与B部件正好配套成若干台仪器．设用x立方米钢材制作A部件，则下面所列方程正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确得出等量关系是解题的关键． 设用钢材做A部件，则应用钢材做B部件，根据一个A部件和三个B部件刚好配成套，列方程求解． 【详解】解：设用钢材做A部件，则应用钢材做B部件，， 由题意得，， 故选：A． 23．用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3 个长方形侧面和 2个正三角形底面组成．硬纸板以如图两种方法裁剪(裁剪后边角料不再利用)．A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面．现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，则能做成三棱柱盒子的个数为（   ） A．24 B．30 C．32 D．36 【答案】B 【分析】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，列代数式的运用，读懂题意，列出方程是解题的关键． 由张用方法，就有张用方法，则可分别表示出侧面个数和底面个数；再由侧面个数和底面个数比为建立方程求出的值，于是可求出三棱柱盒子的个数． 【详解】解：裁剪时张用方法，裁剪时张用方法， 侧面的个数为：个，底面的个数为：个； 由题意得：，   解得：， 盒子的个数为：（个）， 故选B． 24．一套仪器由一个A部件和三个B部件构成. 用1 m3钢材可以做40个A部件或240个B部件. 现要用6 m3钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪器多少套？(    ) A．4套 B．40套 C．160套 D．120套 【答案】C 【分析】设应用作A部件、B部件钢材分别为x m3，y m3，再根据共有6m3钢材，一套仪器由一个A部件和三个B部件构成的等量关系，列方程组求解即可. 【详解】解：设应用作A部件、B部件钢材分别为x m3，y m3， 根据题意得： 解得：x=4，y=2 所以恰好配成这种仪器套数为：40×4=160套 故答案为C. 【点睛】本题考查了一元一次方程组的应用，解答的关键在于掌握配套问题的解法. 考点九 一元一次方程应用（工程问题） 25．某项工作由甲、乙两人单独做分别需要和．如果让甲、乙两人一起工作，再由乙单独完成剩余部分，一共需要多长时间？以下四种做法正确的是（   ） A．设一共需要完工，根据相等关系“前1小时工作量后一段时间工作量”得 B．设一共需要完工，根据相等关系“甲的工作量+乙的工作量”得 C．设乙单独工作h，根据相等关系“前1小时工作量后一段时间工作量”得 D．设乙单独工作，根据相等关系“甲的工作量乙的工作量”得 【答案】C 【分析】本题考查了列方程解应用题得实际问题，准确找出等量关系列出一元一次方程是解题的关键；先分别求出甲、乙的工作效率，再根据不同的设未知数方式，结合工作总量工作时间工作效率来分析各个选项． 【详解】解：A．设一共需要完工，表示甲1小时的工作量，表示乙1小时的工作量，因为甲只工作了1小时，根据相等关系“前1小时工作量后一段时间工作量”，得，此选项列方程错误，不符合题意； B．设一共需要完工，甲工作了1小时，甲的工作效率是，所以甲的工作量是；乙工作了x小时，乙的工作效率是，所以乙的工作量是． 根据相等关系“甲的工作量+乙的工作量”，得：，此选项列方程错误，不符合题意； C．设乙单独工作h， 表示甲、乙一起工作1小时的工作量，表示乙单独工作x小时的工作量，根据相等关系“前1小时工作量后一段时间工作量”， 得，此选项列方程正确，符合题意； D．设乙单独工作，甲工作了1小时，甲的工作量是；乙一共工作了 小时，乙的工作量是．根据相等关系“甲的工作量乙的工作量”得，可得，此选项列方程错误，不符合题意． 故选：C． 26．为改善农村居民生活环境，某村庄要修整一条长360米的街道，修整的任务由甲、乙两个工程队接力完成． 已知甲工程队每天修整16米，乙工程队每天修整24米，完成该任务两工程队共用时20天．求甲、乙两工 程队分别修整街道多少米．小明、小芳、小华三人的解题思路如下： 小明：设甲工程队修整街道x 米，则可列方程为， 小芳：设甲工程队修整街道x 米，乙工程队修整街道y 米，则可列方程组为 ，小华：设甲工程队工作m 天，乙工程队工作 n 天，则可列方程组为，其中，思路正确的是（    ） A．小明 B．小明、小芳 C．小明、小华 D．三人都对 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用，根据一元一次方程和二元一次方程组的的定义即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： 设甲工程队修整街道x米，则乙工程队修整街道米， 根据题意，得， ∴小明的思路正确， 设甲工程队修整街道x米，乙工程队修整街道y米， 根据题意，得， ∴小芳的思路不正确， 设甲工程队工作m天，乙工程队工作n天， 根据题意，得， ∴小华的思路正确， 综上所述，思路正确的是小明、小华， 故选：C． 27．某班组每天需生产50个零件才能在规定的时间内完成一批零件任务，实际上该班组每天比计划多生产了6个零件，结果比规定的时间提前3天并超额生产120个零件，若设该班组要完成的零件任务为x个，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列一元一次方程，根据实际上该班组每天比计划多生产了6个零件，结果比规定的时间提前3天并超额生产120个零件，列出方程即可． 【详解】解：设该班组要完成的零件任务为x个，由题意，得： ； 故选C． 考点四 一元一次方程应用（销售问题） 28．春节来临之际，某花店老板购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别取名为“眷恋”、“永恒”、“守候”．三种花束的每一束成本分别为元、元和元．已知销售每束“眷恋”的利润率为，每束“永恒”的利润率为，每束“守候”的利润率为，当售出的三种花束数量之比为时，老板得到的总利润率为；当售出的三种花束数量之比为时，老板得到的总利润率为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查利润、进价与利率关系，利用等式的基本性质求解未知数之间的等量关系，先根据三种花束的利润之和除以三种花束的进价之和等式，进行整理可得，，，即可求得，，进而可得答案．掌握利润、进价与利润率关系，列出等式是解决问题的关键． 【详解】解：三种花束的每一束成本分别为元、元和元， 则三种花束的每一束利润分别为，，， 当售出的三种花束数量之比为时，三种花束的数量分别为，，， 根据题意得：， 整理得：， 当售出的三种花束数量之比为时，三种花束的数量分别为，，， 根据题意：， 整理得：，则：， 将代入得：，则：， ∴， 故选：A． 29．某商场为招揽顾客，贴出优惠告示：一次性购物不超过200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算．苏老师二月份到该商场购物三次，第一次购物付款153元，第二次购物付款220元，三次共优惠了107元．则苏老师二月份三次到该商场购物实际付款共（    ） A．400元 B．713元 C．760元 D．820元 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先分别求得三次购物的优惠金额，进而得出第三次购物应付款超过200元，设为元，根据题意，列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：第一次购物付款153元，则优惠了（元）； 第二次购物付款220元，则优惠了（元）； 第三次购物优惠了（元）， 所以第三次购物应付款超过200元， 设为元，则， 解得， 则第三次购物实际付款（元）， 所以三次购物实际付款共（元）． 故选：B． 30．某书店推出如下优惠方案：（1）一次性购书不超过100元不享受优惠；（2）一次性购书超过100元但不超过300元一律九折；（3）一次性购书超过300元一律八折．某同学两次购书分别付款80元、252元，如果他将这两次所购书籍一次性购买，则应付款（    ）元． A．288 B．306 C．288或316 D．288或306 【答案】C 【分析】要求他一次性购买以上两次相同的商品，应付款多少元，就要先求出两次一共实际买了多少元，第一次购物显然没有超过100，即是80元．第二次就有两种情况，一种是超过100元但不超过300元一律9折；一种是购物超过300元一律8折，依这两种计算出它购买的实际款数，再按第三种方案计算即是他应付款数． 【详解】解：（1）第一次购物显然没有超过100， 即在第二次消费80元的情况下，他的实质购物价值只能是80元． （2）第二次购物消费252元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）： ①第一种情况：他消费超过100元但不足300元，这时候他是按照9折付款的． 设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.9=252，解得：x=280． ①第二种情况：他消费超过300元，这时候他是按照8折付款的． 设第二次实质购物价值为x，那么依题意有x×0.8=252，解得：x=315． 即在第二次消费252元的情况下，他的实际购物价值可能是280元或315元． 综上所述，他两次购物的实质价值为80+280=360或80+315=395，均超过了300元．因此 可以按照8折付款： 360×0.8=288元或395×0.8=316元， 故选：C． 【点睛】此题考查方程的应用问题，解题关键是第二次购物的252元可能有两种情况，需要讨论清楚．本题要注意不同情况的不同算法，要考虑到各种情况，不要丢掉任何一种． 考点十一 一元一次方程应用（方案选择问题） 31．某游泳馆在每年的夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证200元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费10元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费20元．有下列结论： ①若小明计划今年夏季游泳的总费用为300元，则他选择方式一游泳的次数比较多； ②若小明计划今年夏季游泳的次数为25次，则他选择方式二游泳的总费用比较少； ③若小明今年夏季在该游泳馆游泳，两种付费方式的总费用相同，则他计划游泳的次数为20． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 通过建立方程比较两种付费方式在不同条件下的总费用或次数，逐一验证各结论的正确性即可． 【详解】解：结论①：设方式一的游泳次数为，则总费用为，解得．方式二的次数为．因，结论①错误． 结论②：游泳25次时，方式一总费用为元，方式二为元．因，结论②错误． 结论③：设游泳次数为，由，解得．此时两种方式费用相等，结论③正确． 综上，正确结论仅1个， 故选：B． 32．某牛奶加工厂现有鲜奶，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获利500元；制成酸奶销售，每吨可获利1200元；制成奶片销售，每吨可获利2000元．该厂的生产能力是：若制成酸奶，每天可加工；若制成奶片，每天可加工．受条件限制，两种加工方式不可同时进行，受气温影响，鲜奶必须在4天内销售或加工完毕．为此，该厂设计了三种方案．方案一：在市场上直接销售鲜奶；方案二：尽可能多地制成奶片，其余直接销售鲜奶；方案三：部分制成奶片，其余全部制成酸奶，并保证在4天内完成．获利最多的方案是（   ） A．方案一 B．方案二 C．方案三 D．一样多 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．根据题意找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 方案一：直接列出算式求出利润即可； 方案二：根据制成奶片，每天可加工，求出天加工的吨数，剩下的直接销售鲜牛奶求出利润即可； 方案三：设生产天奶片，天酸奶，根据题意列出方程，求出方程的解得到的值，进而求出利润比较即可得到结果． 【详解】解：方案一：直接销售鲜奶可以获利： （元）， 方案二：易知最多生产奶片，其余的直接销售鲜奶． 利润为（元）． 方案三：设生产天奶片，则生产天酸奶， 根据题意，得， 解得：， 利润为（元）， ∵， ∴第三种方案获利较多． 故选：C． 33．某超市在“双十一”活动期间，推出如下购物优惠方案： ①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠； ②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠； ③一次性购物在350元（含350元）以上，一律享受八折优惠． 小敏在该超市两次购物分别付了85元和288元，若小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏至少需付款（　　） A．445元 B．405元 C．356元 D．324元 【答案】D 【分析】设第一次购物购买商品的价格为元，第二次购物购买商品的价格为元，分及两种情况可得出关于的一元一次方程，解之可求出的值，由第二次购物付款金额第二次购物购买商品的价格可得出关于的一元一次方程，解之可求出值，再利用两次购物合并为一次购物需付款金额两次购物购买商品的价格之和，即可求出结论． 【详解】解：设第一次购物购买商品的价格为元，第二次购物购买商品的价格为元， 当时，； 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）； ∴； 当时，则， ∴， 当时，， ∴； ∴或； 综上所述，小敏两次购物的实质价值为或，均超过了350元，因此均可以按照8折付款： ∴或， ∴至少付款324元． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是第一次购物的85元可能有两种情况，需要讨论清楚．本题要注意不同情况的不同算法，要考虑到各种情况，不要丢掉任何一种． 考点十二 一元一次方程应用（几何问题） 34．如图，长方形中，沿折痕翻折得，已知被分成的两个角相差，则图中的度数为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，对顶角相等，一元一次方程的应用，设，则或，然后通过折叠的性质，对顶角相等，一元一次方程分别列出方程即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 设，则或， 当时，， ∵， ∴， 解得， ∴； 当时，， ∵， ∴， 解得， ∴； 综上所述，图中的度数为或， 故选：． 35．如图1，矩形中，，，两动点M，N同时从点B出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点C时停止运动，点N沿的路径匀速运动，到达点C时停止运动．的面积与点N的运动时间的函数图象如图2所示．则下列说法正确的是（    ）              图1          　　　　          图2 ①N点的运动速度是； ②的面积的最大面积为； ③当时，t的值为3或17． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，矩形的性质，一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，先求出点M运动的时间为秒，由图象可得点运动秒到达点，从而即可得出N点的运动速度，即可判断①；由图象可得当点在上运动时，的面积最大，即可判断②；根据题意列出一元二次方程以及一元一次方程，解方程即可判断③；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， ∵点M在边上以的速度匀速运动，到达点C时停止运动， ∴点M运动的时间为秒， 由图象可得点运动秒到达点， 故点的运动速度为，故①说法正确； 当点在上运动时，的面积最大，最大为，故②正确； 当点在上时，， 解得或（不符合题意，舍去）； 当点在上时，的面积始终保持不变，为； 当点在上运动时，， 解得：， 综上所述，当时，t的值为或17，故③错误； 综上所述，正确的有①②， 故选：A． 36．将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质、折叠的性质、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握平行线的性质和折叠的性质是解题关键． 设，根据平行线的性质可得，，结合折叠的性质可得，进而可解得的值即可解答． 【详解】解：设， 根据题意，， ∴，， 由折叠的性质可得， ∴，解得∶， ∴． 故选：D． 考点十三 一元一次方程应用（电费和水费问题） 37．为节约能源，优化电力资源配置，提高电力供应的整体效益，国家实行了错峰用电．某地区的居民用电，按白天时段和晚间时段规定了不同的单价．某户5月份白天时段用电量比晚间时段用电量多，6月份白天时段用电量比5月份白天时段用电量少，结果6月份的总用电量比5月份的总用电量多，但6月份的电费却比5月份的电费少，则该地区晚间时段居民用电的单价比白天时段的单价低的百分数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设该地区白天时段居民用电的单价为a，晚间用电的单价为b，该户5月份晚间时段用电量为x，先根据题意分别求出5月份白天时段用电量、6月份白天时段和晚间时段用电量，再根据“6月份的电费却比5月份的电费少”列出方程，求出a、b的关系，从而可得出答案． 【详解】设该地区白天时段居民用电的单价为a，晚间用电的单价为b，该户5月份晚间时段用电量为x，则5月份白天时段用电量为，5月份的总用电量为 由题意得：该户6月份白天时段用电量为，6月份的总用电量为，则6月份晚间时段用电量为 因此，该户5月份的电费为；6月份的电费为 则有： 解得：，即 则，即晚间用电的单价比白天用电的单价低 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，依据题意，正确设立未知数，并建立方程是解题关键． 38．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过 4 吨时，每吨价格为 2 元，当用水超过 4吨而不超过 7 吨时，超过部分每吨水的价格为 3 元，当用水超过 7 吨时，超过部分每吨水的价格为5 元，李老师 10 月份付了水费 32 元，则李老师用水吨数为（    ） A．7 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】根据题意可以判断出32元水费在哪个用水范围内，从而可以解答本题． 【详解】当x＝7时，收费为：4×2+（7﹣4）×3＝17． ∵17＜32，∴用水超过 7 吨． 设某户某月用了x吨水（x＞7），应付水费为：4×2+（7﹣4）×3+（x﹣7）×5＝32，∴5x﹣18＝32，解得：x＝10． 故选B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 39．为了鼓励市民节约用水，某区居民生活用水按阶梯式水价计费．居民在一年内用水在不同的定额范围内，执行不同的水价，其中水价＝供水价格＋污水处理费．具体价格如表： 类别 户年用水量（立方米） 水价（立方米） 供水价格 （元/立方米） 污水处理费 （元/立方米） 居民生活用水 一户一表 阶梯一 0--216（含） 1.90 1.00 阶梯二 216—300（含） 2.85 阶梯三 300以上 5.70 该区一居民家发现2020年7月份比6月份多用10立方米水，7月份水费为86.4元，比6月份多了55.6元，则该居民家7月份属阶梯二的用水量为（    ） A．22立方米 B．18立方米 C．13立方米 D．12立方米 【答案】D 【分析】根据题意，阶梯一、二、三阶段的水价，分别计算6、7月份用水量同在第一、二、三阶段时10方水的价格，得到7月份用水量跨二、三阶段，而六月份用水量在第二阶段，从而得到6月份用水量为8立方米，7月份用水量为18立方米，设7月份第二阶段用水量为立方米，则第三阶段用水量为立方米．根据题意列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，阶梯一、二、三阶段的水价分别为：2.90/立方米、3.85/立方米、6.70元/立方米； 若6、7月份用水量同在第一阶段，则两月水费差应为元； 若6、7月份用水量同在第二阶段，则两月水费差应为元； 若6、7月份用水量同在第三阶段，则两月水费差应为元；     由于两实际水费差为55.6元，38.5＜55.6＜67，由题意可知，7月份用水量跨二、三阶段，而六月份用水量在第二阶段，易算出6月份用水量为立方米，则7月份用水量则为18立方米．     设7月份第二阶段用水量为立方米，则第三阶段用水量为立方米． 列出方程：； 解得：． 故选D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意确定6、7月份用水量所在阶梯，进而得到两个月的用水量是解题关键． 考点十四 含绝对值的一元一次方程 40．方程的解是 ． 【答案】1或7/7或1 【分析】本题考查了解一元一次方程．分情况讨论，去绝对值，解一元一次方程即可求解． 【详解】解：当时，，解得（舍）； 当时，，解得，符合题意； 当3时，，解得，符合题意， 或7． 故答案为：1或7． 41．一个立方体的每一个面上都写着一个自然数，并且相对的两个面上所写的两数之和相等，如果2013的对面写的是数，2014的对面写的是数，2015的对面写的是数，且、为质数，那么关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，根据题意得出，求出，，，再代入方程求解即可． 【详解】解： 根据题意得出：， ∵、均为质数， ∴，，， ∴关于的方程为， 解得：． 故答案为：． 42．已知为有理数，且关于的方程有无数个解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解，先把方程化为，然后根据题意得到，然后对于分类讨论即可解题． 【详解】解：方程化为， 则， 所以， 若，则，解得，与矛盾，舍去； 若，则，解得， 综上，． 一、单选题 1．（2025七年级下·全国·竞赛）若关于的方程有无穷多个解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，正确理解方程有无穷多个解的条件是关键．方程有无穷多个解，则方程变形成一般形式以后一次项系数与常数项应该都等于，即可求得，的值，进而即可求解． 【详解】解：该方程整理，得， 根据题意，得， 解得， 所以． 故选：C． 2．（2024七年级·全国·竞赛）若都是整数，是正整数，且满足，则的最大值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据等式的性质将等式变形，由题意得，，，根据是正整数求解是解题关键． 【详解】解：由得 ，，， ∴， ∵是正整数， ∴的最小值为1， ∴的最大值为． 故选：B． 3．（2024七年级·全国·竞赛）已知，且，那么的值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的求值与代数式的变形；由可得a、b、c的值，代入中，即可求得m的值． 【详解】解：由得：， 把它们代入中，得：， 整理得：， 即； 故选：D． 4．（2024七年级·全国·竞赛）关于的一元一次方程的解（    ）． A．是一个大于小于的数 B．是一个大于的数 C．是一个大于小于的数 D．不存在 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，利用分数的性质先对方程化简，再移项，转化为，得到，解之即可求解，把方程转化为是解题的关键． 【详解】解：原方程变形为， 即， ∵， ∴， ∴， ∴方程的解是一个大于小于的数， 故选：． 5．（2024七年级·全国·竞赛）关于的方程没有负根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了含参数的一元一次方程，根据题意可知当时，方程无解，即可求出最后结果． 【详解】当时，方程无解，即方程无解， ， ， 故选：C． 6．（2024七年级·全国·竞赛）张老师出门散步，出门时5点多一点，他发现手表上分针与时针的夹角恰好为，回来时接近6点，他又看了一下手表，发现此时分针与时针再次成角．则张老师此次散步的时间是（    ）． A．40分钟 B．30分钟 C．50分钟 D．非以上答案 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，掌握散步前分针在时针后面,散步后分针在时针前面,是解题的关键． 设这期间分针走了,则时针走了,由题意列方程求得x，再根据分针每分钟转度即可解答． 【详解】解:设这期间分针走了,则时针走了, 由题意得:,解得：,即分针走了, ∵分针每分钟转度, ∴张老师散步的时间 (分钟) ． 故选A． 7．（2024七年级·全国·竞赛）若方程是关于的一元一次方程，则代数式的值为（    ）． A．1或 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据定义，代数式的值，列式计算． 根据是关于x的一元一次方程，得到，求得m的值即可,转化为代数式的值，解答即可． 【详解】∵方程即是关于x的一元一次方程， ∴， 解得或且， 当时，； 当时，； 故选A． 8．（2024七年级·全国·竞赛）如图，若延长到点，使，点为的中点，，则线段的长度是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段的和差定义、线段的中点等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 设，则，利用中点的定义构建方程即可解决问题． 【详解】解：设，则． ∵D为的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴线段的长度是． 故选：B． 9．（2024八年级·全国·竞赛）希望服装厂生产“希望”牌服装．月份销售每件服装的利润是出厂价的（每件服装的利润出厂价成本），月份将每件服装的出厂价调低（每件服装的成本不变），销售件数比月份的增加，那么该厂月份销售这种服装的利润总额比月份的利润总额增长（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是一元一次方程的应用，解题关键是正确理解题意及可适当用未知数表示必须的量，解题过程中消去． 设月份的出厂价为元，销售件数为件，根据题意分别表示、月份的利润总额，再求增长量即可． 【详解】解：设月份的出厂价为元，销售件数为件， 则成本为，月份的利润总额为， 月份的出厂价为，销售件数为， 月份的利润总额为， 该厂月份销售这种服装的利润总额比月份的利润总额增长． 故选：． 10．（2024七年级·全国·竞赛）方程的解有（    ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查绝对值的性质，依据绝对值的性质分类讨论是解题的关键． 根据绝对值的性质分类讨论，再解方程即可． 【详解】解：， 或（舍）， ， 故答案为：C. 二、填空题 11．（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）解方程：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，正确将方程变形是解方程的关键．把方程变形为，得到，即可求出x的值． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 12．（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）方程和方程的解互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，熟知方程的解的定义是解题的关键．分别求出两个方程的解，根据两方程的解互为相反数即可求出m的值． 【详解】解：， ， ； ， ， ． ∵方程和方程的解互为相反数， ∴， 解得． 故答案为：． 13．（2024七年级下·浙江杭州·竞赛）商店进了一批钢笔，用零售价元卖出支与用零售价元卖出支的利润相同，这批钢笔的进货价是每支 元． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设这批钢笔的进货价是每支元，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设这批钢笔的进货价是每支元， 由题意得，， 解得， ∴这批钢笔的进货价是每支元， 故答案为：． 14．（2024七年级上·全国·竞赛）解方程：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据方程左边式子特点，先提取原方程变形为：，再把括号里变形为：，再提取，去小括号，整理得，根据解一元一次方程的方法求解即可． 【详解】解：， 提取，得， 即， ， ， ， ， 解得：． 故答案为：． 15．（2024七年级上·江苏·竞赛）使方程的解为整数的整数k有 个． 【答案】90 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的整数解是关键．依据题意，根据一元一次方程的整数解算出即可． 【详解】解：把方程变形为：， ∵x、k都是整数， ∴是3600的约数． 又∵， ∴3600的约数有90个． ∴k的值共有90个． 故答案为：90. 16．（2024九年级·全国·竞赛）一个扇形的圆心角为，半径为，则由这个扇形所围成的圆锥的底面圆的最大半径为 ． 【答案】4 【分析】本题考查弧长计算公式，一元一次方程的应用．扇形所围成的圆锥的底面圆的周长等于扇形的弧长是解题的关键． 设圆锥的底圆半径为，根据扇形所围成的圆锥的底面圆的周长等于扇形的弧长，列出方程，求解即可． 【详解】解：设圆锥的底圆半径为，则 ， 解得． 故答案为：4． 17．（2024七年级·全国·竞赛）如果方程与方程是同解方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，先求出，再代入方程求出的值即可． 【详解】解：解， 得， 代入方程，得 ∴， 解得． 故答案为：． 18．（2024七年级·全国·竞赛）定义“”为一种运算，规定：，如果，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，关键是根据新定义的运算列出一元一次方程．根据新的运算规律列出关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：， ，， 解得． 故答案为：． 19．（2024七年级·全国·竞赛）在如图所示的方格中填入21个不同的正整数，每个小空格填一个数，使得每行（每列）三个相邻的数中，中间的数为左、右（上、下）两个数的平均数，则阴影部分的空格填入的数为 ．    【答案】21 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，求平均数的计算方法，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键，根据题意设未知数列式即可求解． 【详解】解：设第一行从左到右依次为、、、，则先填入一部分可得39的左、右两个空格中分别为、， ∴， 解得， ∴其他空格中所有的数，如图所示：    故答案为：21． 20．（2024七年级·全国·竞赛）如图，已知线段上有七个点、、、、、、，其中，点、、、分别是、、、的中点，若，则 ． 【答案】 【分析】设，则，，，由M，N分别是，的中点可知有，，再由列出方程，求出x的值，进一步计算即可得出结论．本题考查的是两点间的距离，解答此题的关键是利用各线段比值及中点关系建立起关于x的方程，求出未知数的值． 【详解】解：设，则，，， ∵M，N分别是，的中点， ∴，， 由题意得，， 即， ∴， 线段的长度． 故答案为：． 三、解答题 21．（2024七年级下·江苏无锡·竞赛）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了解一元一次方程、绝对值的意义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将方程变形为，求解即可 （2）去绝对值得出或，再解一元一次方程即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）解：∵， ∴或， 解得：或． 22．（2024七年级·全国·竞赛）有10个同学围成一圈做游戏，游戏规则是：每个人心里都想好一个数，并把想好的这个数如实地告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若这10个同学报出来的数如图所示，求报数字5的同学心里所想的数． 【答案】 【分析】本题属于阅读理解和探索规律题，考查了平均数的相关计算及方程思想的运用．解题关键是设未知数，将题中的等量关系展示出来，即可求出最终结果．先设报5的人心里想的数为，利用平均数的定义表示报9的人心里想的数；报13的人心里想的数；报17的人心里想的数；报1的人心里想的数，最后建立方程，解方程即可． 【详解】解：设报5的人心里想的数是 ∵报5与报9的两个人报的数的平均数是7， ∴报9的人心里想的数应是， 报13的人心里想的数是， 报17的人心里想的数是， 报1的人心里想的数是， ∵报1的人与报5的人心里想的数的平均数是3， ∴，解得 23．（2024七年级·全国·竞赛）某公园门票价格对达到一定人数的团队按团队票优惠，现有三个旅游团共72人，如果各团单独购票，门票依次为360元、384元、480元；如果三个团合起来购票，一共可少花72元 (1)三个旅游团各有多少人？ (2)设计一种票价方案，使其与上述购票情况相符． 【答案】(1)A团18人；B团有人，C团30人， (2)见解析 【分析】本题考查的是有理数的混合运算的应用，一元一次方程的应用，理解题意，选择合适的方法解题是关键． （1）先判断A团为达到优惠人数，再分两种情况讨论，根据三个团的人数比，结合人数为整数即可得到答案； （2）设未到优惠人数的票价为元，建立方程求解m的值，再设计购票方案即可． 【详解】（1）解：∵（元），（元/人）， ∴团体票为每人16元， ∵， ∴A团未达到优惠人数， 若三个团都未达到优惠人数， ∴三团人数比为：， ∴三个团的人数分别为：，，， 由于此时人数都不是整数， ∴不符合题意； ∴B，C两团至少有1个团达到优惠人数， ①只有C团达到，②B，C都达到； 当只有C团达到时， ∴（人）， ∴A，B两团共有42人， ∴A团人数有，B团人数有，此时两团人数都不是整数， 不符合题意， ∴B，C两团都达到优惠人数， ∴B团有（人），C团30人，A团18人； （2）设未到优惠人数的票价为元，则 ， 解得：， ∴购票方式为：普通票为每人20元，团体票为每人16元（人数不低于18人）． 24．（2024七年级·全国·竞赛）根据活动的需要，甲、乙两个班的班干部分别到超市去买苹果，苹果的价格如下表所示： 苹果的数量 不超过30千克 30千克以上但不超过50千克 50千克以上 苹果的价格 12元/千克 10元/千克 8元/千克 甲班分两次共购买苹果70千克，共付756元钱；乙班一次性购买苹果70千克． (1)乙班比甲班少付多少元钱？ (2)甲班第一次、第二次分别购买苹果多少千克？ 【答案】(1)196元 (2)甲班第一次购买苹果千克，第二次购买苹果千克，或第一次购买苹果千克，第二次购买苹果千克． 【分析】本题考查有理数混合运算及一元一次方程的应用． （1）先根据计算乙班的钱数，用甲班钱数减去乙班钱数即可得答案； （2）设一次购买千克，则另一次购买苹果的数量为，分和两种情况，根据共付756元钱列方程求出的值，取符合题意的解即可得答案． 【详解】（1）解：乙班买苹果付款为（元）， 比甲班少付（元）． （2）解：∵，，， ∴甲班两次购买的苹果的价格不同，且有一次购买苹果的数量不超过千克，设为千克，则另一次购买苹果的数量为千克， 若，则， 解得：，，满足条件； 若，则， 解得：，不满足的条件， 综上，甲班第一次购买苹果千克，第二次购买苹果千克，或第一次购买苹果千克，第二次购买苹果千． 25．（2024七年级·全国·竞赛）如图，点是线段上一点，且两点分别从点同时出发以的速度沿直线向右运动，后，点恰好分别为的中点． (1)求的长度； (2)求证：； (3)若运动后，两点到点的距离相等，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或15 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，一元一次方程的应用： （1）先求出，，则由线段中点的定义可得； （2）先求出，则，再分当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，两种情况分别表示出，即可得到结论； （3）分当点是线段的中点时，两点到点的距离相等，当点重合时，点在线段的延长线上，两种情况建立方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，后，， 点恰好分别为的中点， ． （2）证明：∵ ∴， ∴， 当点在线段上时，， ； 当点在线段的延长线上时， ， ． 综上，． （3）解：当点是线段的中点时，两点到点的距离相等， ∴， 解得； 当点重合时，点在线段的延长线上， ， 解得． 综上，或15． 26 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 一元一次方程 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 判断是否是方程的解 考点二 已知方程的解求参数 考点三 等式的性质 考点四 解一元一次方程 考点五 一元一次方程解的关系 考点六 一元一次方程的同解问题 考点七 一元一次方程中的动点问题 考点八 一元一次方程应用（配套问题） 考点九 一元一次方程应用（工程问题） 考点十 一元一次方程应用（销售问题） 考点十一 一元一次方程应用（方案选择问题） 考点十二 一元一次方程应用（几何问题） 考点十三 一元一次方程应用（电费和水费问题） 考点十四 含绝对值的一元一次方程 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛试题25道） 考点一 判断是否是方程的解 1．若关于的方程的解是整数，则整数的取值个数是（    ） A． B． C． D． 2．已知方程：（1）；（2）；（3）．则所满足的方程是（　　） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3） 3．下列关于的方程结论，其中错误的是（   ） A．若，则关于的方程的解为 B．若，且，则方程的解是 C．若有唯一解，则 D．若，且，则一定是方程的解 考点二 已知方程的解求参数 4．某同学在解关于的一元一次方程时，误将看作，得到方程的解为，则原方程的解为（    ） A． B． C． D． 5．如果a、b是定值，且关于的方程，无论为何值时，它的解总是，那么的值是（   ） A．1 B．2 C．16 D．31 6．已知关于的方程有无数多个解，那么的值为（    ） A． B． C．2 D． 考点三 等式的性质 7．若商品的进价为，售价为，则毛利率，把这个公式变形成已知，求的公式，应为（　　） A． B． C． D． 8．已知a，b，c均为非实数，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 9．已知实数满足，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 考点四 解一元一次方程 10．如果表示，若，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 11．方程的解是x=(　) A． B．- C． D．- 12．小林在解方程去分母时，方程右边的漏乘了，因而求得方程的解为，原方程的正确解为（   ） A． B． C． D． 考点五 一元一次方程解的关系 13．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 14．已知关于的方程有整数解，那么满足条件的整数有（   ）个 A．个 B．个 C．个 D．个 15．关于的两个一元一次方程与的解互为相反数，则的值为（   ） A． B．26 C．15 D． 考点六 一元一次方程的同解问题 16．已知关于的方程与的解相同，则的值为（   ） A． B．30 C． D．7 17．解关于的方程时，不论为何值，的解都相同，则的值为（   ） A． B．0 C． D．84 18．嘉琪在进行解方程的思维训练，其中有一个方程“”中的没印清晰，嘉琪问老师，老师只是说：“是一个有理数，该方程的解与当时代数式的值相同．”嘉琪很快补上了这个有理数．你认为嘉琪补的这个有理数是（    ） A．1 B． C．2 D． 考点七 一元一次方程中的动点问题 19．如图，数轴上的点和点分别表示和5，点是线段上一动点．点从点出发沿的方向以每秒2个单位的速度向运动，是线段的中点，设点运动时间为秒（不超过6秒）．若点在运动过程中，当时，则运动时间的值为（    ） A．4 B．2 C．2或4 D．或 20．如图，四边形中，，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，同时动点Q从点D出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点A运动，当动点Q到达点A时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为（   ）    A． B．或 C． D．或 21．已知线段上有两个点、，，、为动点（点在点的左侧），并且始终保持，若点从点出发向右运动（当点到达点时立即停止），运动的速度为每秒2个单位长度，当运动时间为多少秒时，、两条线段中，一条的长度恰好是另一条的两倍（   ） A． B．或 C．或 D．或 考点八 一元一次方程应用（配套问题） 22．一台仪器由1个A部件和3个B部件构成．用的钢材可以做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，所做的A部件与B部件正好配套成若干台仪器．设用x立方米钢材制作A部件，则下面所列方程正确的是（   ）． A． B． C． D． 23．用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3 个长方形侧面和 2个正三角形底面组成．硬纸板以如图两种方法裁剪(裁剪后边角料不再利用)．A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面．现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，则能做成三棱柱盒子的个数为（   ） A．24 B．30 C．32 D．36 24．一套仪器由一个A部件和三个B部件构成. 用1 m3钢材可以做40个A部件或240个B部件. 现要用6 m3钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪器多少套？(    ) A．4套 B．40套 C．160套 D．120套 考点九 一元一次方程应用（工程问题） 25．某项工作由甲、乙两人单独做分别需要和．如果让甲、乙两人一起工作，再由乙单独完成剩余部分，一共需要多长时间？以下四种做法正确的是（   ） A．设一共需要完工，根据相等关系“前1小时工作量后一段时间工作量”得 B．设一共需要完工，根据相等关系“甲的工作量+乙的工作量”得 C．设乙单独工作h，根据相等关系“前1小时工作量后一段时间工作量”得 D．设乙单独工作，根据相等关系“甲的工作量乙的工作量”得 26．为改善农村居民生活环境，某村庄要修整一条长360米的街道，修整的任务由甲、乙两个工程队接力完成． 已知甲工程队每天修整16米，乙工程队每天修整24米，完成该任务两工程队共用时20天．求甲、乙两工 程队分别修整街道多少米．小明、小芳、小华三人的解题思路如下： 小明：设甲工程队修整街道x 米，则可列方程为， 小芳：设甲工程队修整街道x 米，乙工程队修整街道y 米，则可列方程组为 ，小华：设甲工程队工作m 天，乙工程队工作 n 天，则可列方程组为，其中，思路正确的是（    ） A．小明 B．小明、小芳 C．小明、小华 D．三人都对 27．某班组每天需生产50个零件才能在规定的时间内完成一批零件任务，实际上该班组每天比计划多生产了6个零件，结果比规定的时间提前3天并超额生产120个零件，若设该班组要完成的零件任务为x个，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 考点十 一元一次方程应用（销售问题） 28．春节来临之际，某花店老板购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别取名为“眷恋”、“永恒”、“守候”．三种花束的每一束成本分别为元、元和元．已知销售每束“眷恋”的利润率为，每束“永恒”的利润率为，每束“守候”的利润率为，当售出的三种花束数量之比为时，老板得到的总利润率为；当售出的三种花束数量之比为时，老板得到的总利润率为，则为（    ） A． B． C． D． 29．某商场为招揽顾客，贴出优惠告示：一次性购物不超过200元的一律九折优惠，超过200元的，其中200元按九折算，超过200元的部分按八折算．苏老师二月份到该商场购物三次，第一次购物付款153元，第二次购物付款220元，三次共优惠了107元．则苏老师二月份三次到该商场购物实际付款共（    ） A．400元 B．713元 C．760元 D．820元 30．某书店推出如下优惠方案：（1）一次性购书不超过100元不享受优惠；（2）一次性购书超过100元但不超过300元一律九折；（3）一次性购书超过300元一律八折．某同学两次购书分别付款80元、252元，如果他将这两次所购书籍一次性购买，则应付款（    ）元． A．288 B．306 C．288或316 D．288或306 考点十一 一元一次方程应用（方案选择问题） 31．某游泳馆在每年的夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证200元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费10元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费20元．有下列结论： ①若小明计划今年夏季游泳的总费用为300元，则他选择方式一游泳的次数比较多； ②若小明计划今年夏季游泳的次数为25次，则他选择方式二游泳的总费用比较少； ③若小明今年夏季在该游泳馆游泳，两种付费方式的总费用相同，则他计划游泳的次数为20． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 32．某牛奶加工厂现有鲜奶，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获利500元；制成酸奶销售，每吨可获利1200元；制成奶片销售，每吨可获利2000元．该厂的生产能力是：若制成酸奶，每天可加工；若制成奶片，每天可加工．受条件限制，两种加工方式不可同时进行，受气温影响，鲜奶必须在4天内销售或加工完毕．为此，该厂设计了三种方案．方案一：在市场上直接销售鲜奶；方案二：尽可能多地制成奶片，其余直接销售鲜奶；方案三：部分制成奶片，其余全部制成酸奶，并保证在4天内完成．获利最多的方案是（   ） A．方案一 B．方案二 C．方案三 D．一样多 33．某超市在“双十一”活动期间，推出如下购物优惠方案： ①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠； ②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠； ③一次性购物在350元（含350元）以上，一律享受八折优惠． 小敏在该超市两次购物分别付了85元和288元，若小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏至少需付款（　　） A．445元 B．405元 C．356元 D．324元 考点十二 一元一次方程应用（几何问题） 34．如图，长方形中，沿折痕翻折得，已知被分成的两个角相差，则图中的度数为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 35．如图1，矩形中，，，两动点M，N同时从点B出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点C时停止运动，点N沿的路径匀速运动，到达点C时停止运动．的面积与点N的运动时间的函数图象如图2所示．则下列说法正确的是（    ）              图1          　　　　          图2 ①N点的运动速度是； ②的面积的最大面积为； ③当时，t的值为3或17． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 36．将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 考点十三 一元一次方程应用（电费和水费问题） 37．为节约能源，优化电力资源配置，提高电力供应的整体效益，国家实行了错峰用电．某地区的居民用电，按白天时段和晚间时段规定了不同的单价．某户5月份白天时段用电量比晚间时段用电量多，6月份白天时段用电量比5月份白天时段用电量少，结果6月份的总用电量比5月份的总用电量多，但6月份的电费却比5月份的电费少，则该地区晚间时段居民用电的单价比白天时段的单价低的百分数为（    ） A． B． C． D． 38．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过 4 吨时，每吨价格为 2 元，当用水超过 4吨而不超过 7 吨时，超过部分每吨水的价格为 3 元，当用水超过 7 吨时，超过部分每吨水的价格为5 元，李老师 10 月份付了水费 32 元，则李老师用水吨数为（    ） A．7 B．10 C．11 D．12 39．为了鼓励市民节约用水，某区居民生活用水按阶梯式水价计费．居民在一年内用水在不同的定额范围内，执行不同的水价，其中水价＝供水价格＋污水处理费．具体价格如表： 类别 户年用水量（立方米） 水价（立方米） 供水价格 （元/立方米） 污水处理费 （元/立方米） 居民生活用水 一户一表 阶梯一 0--216（含） 1.90 1.00 阶梯二 216—300（含） 2.85 阶梯三 300以上 5.70 该区一居民家发现2020年7月份比6月份多用10立方米水，7月份水费为86.4元，比6月份多了55.6元，则该居民家7月份属阶梯二的用水量为（    ） A．22立方米 B．18立方米 C．13立方米 D．12立方米 考点十四 含绝对值的一元一次方程 40．方程的解是 ． 41．一个立方体的每一个面上都写着一个自然数，并且相对的两个面上所写的两数之和相等，如果2013的对面写的是数，2014的对面写的是数，2015的对面写的是数，且、为质数，那么关于的方程的解为 ． 42．已知为有理数，且关于的方程有无数个解，求的值． 一、单选题 1．（2025七年级下·全国·竞赛）若关于的方程有无穷多个解，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2024七年级·全国·竞赛）若都是整数，是正整数，且满足，则的最大值为（    ）． A． B． C． D． 3．（2024七年级·全国·竞赛）已知，且，那么的值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 4．（2024七年级·全国·竞赛）关于的一元一次方程的解（    ）． A．是一个大于小于的数 B．是一个大于的数 C．是一个大于小于的数 D．不存在 5．（2024七年级·全国·竞赛）关于的方程没有负根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024七年级·全国·竞赛）张老师出门散步，出门时5点多一点，他发现手表上分针与时针的夹角恰好为，回来时接近6点，他又看了一下手表，发现此时分针与时针再次成角．则张老师此次散步的时间是（    ）． A．40分钟 B．30分钟 C．50分钟 D．非以上答案 7．（2024七年级·全国·竞赛）若方程是关于的一元一次方程，则代数式的值为（    ）． A．1或 B．1 C． D．2 8．（2024七年级·全国·竞赛）如图，若延长到点，使，点为的中点，，则线段的长度是（    ）． A． B． C． D． 9．（2024八年级·全国·竞赛）希望服装厂生产“希望”牌服装．月份销售每件服装的利润是出厂价的（每件服装的利润出厂价成本），月份将每件服装的出厂价调低（每件服装的成本不变），销售件数比月份的增加，那么该厂月份销售这种服装的利润总额比月份的利润总额增长（    ）． A． B． C． D． 10．（2024七年级·全国·竞赛）方程的解有（    ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 11．（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）解方程：，则 ． 12．（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）方程和方程的解互为相反数，则 ． 13．（2024七年级下·浙江杭州·竞赛）商店进了一批钢笔，用零售价元卖出支与用零售价元卖出支的利润相同，这批钢笔的进货价是每支 元． 14．（2024七年级上·全国·竞赛）解方程：，则 ． 15．（2024七年级上·江苏·竞赛）使方程的解为整数的整数k有 个． 16．（2024九年级·全国·竞赛）一个扇形的圆心角为，半径为，则由这个扇形所围成的圆锥的底面圆的最大半径为 ． 17．（2024七年级·全国·竞赛）如果方程与方程是同解方程，则的值为 ． 18．（2024七年级·全国·竞赛）定义“”为一种运算，规定：，如果，则的值为 ． 19．（2024七年级·全国·竞赛）在如图所示的方格中填入21个不同的正整数，每个小空格填一个数，使得每行（每列）三个相邻的数中，中间的数为左、右（上、下）两个数的平均数，则阴影部分的空格填入的数为 ．    20．（2024七年级·全国·竞赛）如图，已知线段上有七个点、、、、、、，其中，点、、、分别是、、、的中点，若，则 ． 三、解答题 21．（2024七年级下·江苏无锡·竞赛）解方程： (1)； (2)． 22．（2024七年级·全国·竞赛）有10个同学围成一圈做游戏，游戏规则是：每个人心里都想好一个数，并把想好的这个数如实地告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若这10个同学报出来的数如图所示，求报数字5的同学心里所想的数． 23．（2024七年级·全国·竞赛）某公园门票价格对达到一定人数的团队按团队票优惠，现有三个旅游团共72人，如果各团单独购票，门票依次为360元、384元、480元；如果三个团合起来购票，一共可少花72元 (1)三个旅游团各有多少人？ (2)设计一种票价方案，使其与上述购票情况相符． 24．（2024七年级·全国·竞赛）根据活动的需要，甲、乙两个班的班干部分别到超市去买苹果，苹果的价格如下表所示： 苹果的数量 不超过30千克 30千克以上但不超过50千克 50千克以上 苹果的价格 12元/千克 10元/千克 8元/千克 甲班分两次共购买苹果70千克，共付756元钱；乙班一次性购买苹果70千克． (1)乙班比甲班少付多少元钱？ (2)甲班第一次、第二次分别购买苹果多少千克？ 25．（2024七年级·全国·竞赛）如图，点是线段上一点，且两点分别从点同时出发以的速度沿直线向右运动，后，点恰好分别为的中点． (1)求的长度； (2)求证：； (3)若运动后，两点到点的距离相等，求的值． 8 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$