专题05 因式分解（数学竞赛培优专项训练）

专题05因式分解 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 已知因式分解的结果求参数 考点二 提公因式法分解因式 考点三 平方差公式分解因式 考点四 完全平方公式分解因式 考点五 综合运用公式法分解因式 考点六 综合提公因式和公式法分解因式 考点七 因式分解在有理数简算中的应用 考点八 十字相乘法 考点九 分组分解法 考点十 因数分解的应用 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛试题23道） 考点一 已知因式分解的结果求参数 1．关于的代数式分解因式得，则的值为（    ） A．3 B．9 C． D． 2．已知有一个因式为，则的值为（    ） A．1 B． C．5 D． 3．已知多项式可以分解为，则x的值是（    ） A． B． C． D． 考点二 提公因式法分解因式 4．分解因式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 5．已知，，那么代数式的值为（   ） A．7 B．10 C．17 D．70 6．多项式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一个因式是x﹣2y，另一个因式是（　　） A．x+2y+1 B．x+2y﹣1 C．x﹣2y+1 D．x﹣2y﹣1 考点三 平方差公式分解因式 7．一个正整数若能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为c．例，3和8都是一个．所有的“流星数”从小到大排列后，第13个“流星数”是（  ） A．18 B．19 C．20 D．21 8．已知三个实数满足则下列结论一定成立的是（   ）． A． B． C． D． 9．已知在中，a、b、c是三边的长，且，那么的值是（    ）． A． B． C． D．1 考点四 完全平方公式分解因式 10．若，则代数式的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 11．已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 12．已知实数m、n、p满足，，，则的值等于（    ）． A．2 B．4 C．3 D．5 考点五 综合运用公式法分解因式 13．设三角形的三边a、b、c满足，则这个三角形的形状是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．无法确定 14．将多项式分解因式，结果是（    ） A． B． C． D． 15．对二次三项式4x2﹣6xy﹣3y2分解因式正确的是（　　） A． B． C． D． 考点六 综合提公因式和公式法分解因式 16．若，则的值为（    ） A． B． C． D．12 17．已知，mn=12，则的值为（   ） A．-84 B．84 C． D．300 18．已知，，则的结果为（   ） A． B． C． D． 考点七 因式分解在有理数简算中的应用 19．若的结果为整数，则整数n的值不可能是（    ） A．44 B．55 C．66 D．77 20． 的值最接近（    ） A． B． C． D． 21．计算的值为（    ）． A． B． C． D． 考点八 十字相乘法 22．分解因式时，李想同学看错了a的值，分解的结果是，王敏同学看错了b的值，分解的结果是，那么正确的分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 23．下列四个多项式，可能是2x2＋mx－3 (m是整数)的因式的是 A．x－2 B．2x＋3 C．x＋4 D．2x2－1 24．因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（　　） A．1 B．4 C．11 D．12 考点九 分组分解法 25．已知，，则整式的值为（   ） A． B． C． D．3 26．设为实数，且，则（　　） A． B． C． D． 27．把多项式因式分解之后，正确的是（    ） A． B． C． D． 考点十 因数分解的应用 28．有4张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个正方形，图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为．若，则满足（   ） A． B． C． D． 29．已知，则的值为：（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 30．已知五个非零实数a，b，c，m，n满足，且．则以下判断正确的是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2024八年级·全国·竞赛）若多项式因式分解得，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．（2024八年级·全国·竞赛）将正整数n代入代数式计算，正确的结果可能是（    ） A．32736 B．32737 C．32738 D．32739 3．（2024八年级·全国·竞赛）已知，则的值（    ）． A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定不是正数 D．不能确定 4．（2024八年级·全国·竞赛）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（    ） A． B． C． D． 5．（2024八年级·全国·竞赛）如果能被整除，则（    ）． A． B．8 C．7 D． 6．（2024八年级·全国·竞赛）如果是整数，且是的一个因式，那么等于（    ）． A． B． C．0 D．1 7．（2024八年级·全国·竞赛）若，则关于的说法正确的是（    ）． A．是正整数，而且是偶数 B．是正整数，而且是奇数 C．不是正整数，而是无理数 D．无法确定 8．（2024八年级·全国·竞赛）已知实数a与非零实数x满足，则的值是（    ）． A．1或27 B．或27 C．1或 D．或 9．（2022九年级·广东·竞赛）已知，且，则的值为（    ） A．2022 B．-2022 C．4044 D．-4044 10．（2024八年级·全国·竞赛）已知a、b、c分别是的三边，则为（    ） A．正数 B．负数 C．零 D．无法确定 二、填空题 11．（2024九年级上·浙江宁波·竞赛）设，试将分解因式： ． 12．（2024八年级下·浙江温州·竞赛）已知，均为完全平方数，则 13．（2024八年级上·江苏·竞赛）已知a为无理数，且，则 ． 14．（2024八年级·全国·竞赛）正整数满足，则 ． 15．（2024八年级·全国·竞赛）若，则 ． 16．（2024八年级·全国·竞赛）设，，且，则 ． 17．（2024八年级·全国·竞赛）已知多项式分解因式后能够变成两个含有的一次因式的乘积，则实数的值为 ． 18．（2024八年级·全国·竞赛）已知a、b为正整数，且满足，则满足条件的有序实数对的组数是 ． 三、解答题 19．（2024八年级·全国·竞赛）在实数范围内因式分解： (1)； (2)； (3)． 20．（2024八年级下·江苏无锡·竞赛）已知，且，a，b为自然数，求a，b的值． 21．（2024八年级·全国·竞赛）设a，b，c，d都是正整数，且，求的值． 22．（2024八年级·全国·竞赛）已知：是11的倍数，其中a，b是整数，求证：能被121整除． 23．（2024八年级·湖南衡阳·竞赛）已知a，b，c为正数，满足如下两个条件： ① ， 是否存在以，，为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角． 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05因式分解 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 已知因式分解的结果求参数 考点二 提公因式法分解因式 考点三 平方差公式分解因式 考点四 完全平方公式分解因式 考点五 综合运用公式法分解因式 考点六 综合提公因式和公式法分解因式 考点七 因式分解在有理数简算中的应用 考点八 十字相乘法 考点九 分组分解法 考点十 因数分解的应用 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛试题23道） 考点一 已知因式分解的结果求参数 1．关于的代数式分解因式得，则的值为（    ） A．3 B．9 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，负整数指数幂，利用多项式乘以多项式的法则将展开，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴； 故选C． 2．已知有一个因式为，则的值为（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解．熟练掌握十字相乘因式分解是解题的关键． 根据，求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故选：D． 3．已知多项式可以分解为，则x的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题可根据题中条件，多项式分解为单项式，用分解出来的单项式进行相乘后，即可求出x的值． 【详解】解：根据题意可得：， ∵ ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查因式分解的基本知识，学生需掌握因式分解的基本知识，做此题就不难． 考点二 提公因式法分解因式 4．分解因式的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】提取公因式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式是解题的关键． 【详解】解： ． 故选：B． 5．已知，，那么代数式的值为（   ） A．7 B．10 C．17 D．70 【答案】D 【分析】本题主要考查代数式求值，因式分解，先把代数式因式分解，再代入求值，即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 6．多项式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一个因式是x﹣2y，另一个因式是（　　） A．x+2y+1 B．x+2y﹣1 C．x﹣2y+1 D．x﹣2y﹣1 【答案】C 【分析】首先将原式重新分组，进而利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出答案． 【详解】解：x2﹣4xy﹣2y+x+4y2 ＝（x2﹣4xy+4y2）+（x﹣2y） ＝（x﹣2y）2+（x﹣2y） ＝（x﹣2y）（x﹣2y+1）． 故选：C． 【点睛】此题考查多项式的因式分解，项数多需用分组分解法，在分组后得到两项中含有公因式（x-2y），将其当成整体提出，进而得到答案. 考点三 平方差公式分解因式 7．一个正整数若能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为c．例，3和8都是一个．所有的“流星数”从小到大排列后，第13个“流星数”是（  ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】C 【分析】此题主要考查了平方差公式，有一定的难度，主要是对题中新定义的理解与把握．如果一个数是“流星数”，就能表示为两个正整数的平方差，设这两个数分别m、n，设，即杨梅数，因为m，n是正整数，因而和就是两个自然数．要判断一个数是否是“流星数”，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差． 【详解】解 ∶1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“流星数”，对于大于1的奇正整数，有 所以大于1的奇正整数都是“流星数”， 对于被4整除的偶数，有， 即大于4的被4整除的数都是”流星数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“流星数”， 对于被4除余2的数， 设，其中，为正整数， 当，奇偶性相同时，被4整除，而不被4整除； 当，奇偶性相异时，为奇数，而为偶数，矛盾， 所以不存在自然数，使得．即形如的数均不为“流星数”， 因此，在正整数数列中前四个正整数只有3为“流星数”， 此后，每连续四个数中有三个“流星数”． ∴第4个“流星数”为， 第7个“流星数”为， 第10个“流星数”为， ∴第个流星数为， 故选：C． 8．已知三个实数满足则下列结论一定成立的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，因式分解等，将代入化简可得，将此代入可得，通过因式分解可得，从而可得，据此进行逐一判断，即可求解；掌握整式之间转化运算是解题的关键． 【详解】解：将代入， 得， ， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， A. ，结论错误，不符合题意； B. ，结论错误，不符合题意； C. ，结论错误，不符合题意； D. ，结论正确，符合题意． 故选：D． 9．已知在中，a、b、c是三边的长，且，那么的值是（    ）． A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式，平方差公式因式分解，根据完全平方公式变形得出，得出，求出，再代入求值即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 考点四 完全平方公式分解因式 10．若，则代数式的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解的应用，由，，的代数式，求出，，的值，原式利用完全平方公式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解：，，， ，，， 则 ， 当，，时，原式． 故选：D． 11．已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知，得到，整体思想带入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选C． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握二次根式的运算法则，利用整体思想进行求解，是解题的关键． 12．已知实数m、n、p满足，，，则的值等于（    ）． A．2 B．4 C．3 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的完全平方公式，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键，先将三式相加，并移项配方成三个完全平方式，即可得到答案． 【详解】将，，三式相加， 得 整理得 即 ，，， ． 考点五 综合运用公式法分解因式 13．设三角形的三边a、b、c满足，则这个三角形的形状是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了公式法分解因式，勾股定理的逆定理，正确分组并灵活运用公式是解题的关键． 把、、组合在一起，用完全平分公式分解因式，再与一起用平方差分解因式，根据因式的积为0，可得，用勾股定理的逆定理判定即可． 【详解】解： ∵， ∴ ∵a、b、c是三角形的三边， ∴ ∴， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：A． 14．将多项式分解因式，结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据完全平方公式分解为，再将分解为由此得到答案. 【详解】==， 故选：D. 【点睛】此题考查公式法分解因式，综合运用完全平方公式、平方差公式是解题关键. 15．对二次三项式4x2﹣6xy﹣3y2分解因式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：4x2﹣6xy﹣3y2 =4[x2﹣xy+（y）2]﹣3y2﹣y2 =4（x﹣y）2﹣y2 =（2x﹣y﹣y）（2x﹣y+y） =（2x﹣y）（2x﹣） 故选D． 【点睛】本题主要是用配方法来分解因式，但本题的计算，分数，根式多，所以学生还是很容易出错的，注意计算时要细心． 考点六 综合提公因式和公式法分解因式 16．若，则的值为（    ） A． B． C． D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把所求式子先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式，最后利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：A． 17．已知，mn=12，则的值为（   ） A．-84 B．84 C． D．300 【答案】C 【分析】根据，mn=12，利用完全平方公式变形求出，，再分情况求出答案. 【详解】∵，mn=12， ∴==， ∴，， 当m-n=1，m+n=7时，==mn（m+n）（m-n）=； 当m-n=1，m+n=-7时，==mn（m+n）（m-n）=12 （-7）1=-84； 当m-n=-1，m+n=7时，==mn（m+n）（m-n）=127 （-1）=-84； 当m-n=-1，m+n=-7时，==mn（m+n）（m-n）=12 （-7） （-1）=84； 故选：C. 【点睛】此题考查完全平方公式的变形计算，整式的因式分解，有理数的乘法计算法则，解题中运用分类讨论是思想解决问题. 18．已知，，则的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代数式因式分解，再代数求值即可. 【详解】 故选B 【点睛】本题考查知识点涉及因式分解以及代数式求值，熟练掌握因式分解，简化计算是解答本题的关键. 考点七 因式分解在有理数简算中的应用 19．若的结果为整数，则整数n的值不可能是（    ） A．44 B．55 C．66 D．77 【答案】D 【分析】将和各选项进行因式分解，依次判断，即可求解， 本题考查了，因式分解的应用，解题的关键是：熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解． 【详解】解：， A、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， B、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， C、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意， D、，不是的因子，不可使结果为整数，符合题意， 故选：D． 20． 的值最接近（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查因式分解的应用，利用立方和与立方差公式化简计算，即可得出答案． 【详解】解：由立方和、立方差公式可得， ， ， ∴， ∴ 故选：B． 21．计算的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果． 【详解】原式， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查的是平方差公式，掌握运算法则和平方差公式是解题关键． 考点八 十字相乘法 22．分解因式时，李想同学看错了a的值，分解的结果是，王敏同学看错了b的值，分解的结果是，那么正确的分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了因式分解，先运用多项式乘多项式求得，的值，再对原式进行因式分解． 【详解】解：李想同学看错了a的值，分解的结果是，但是正确，则； 王敏同学看错了b的值，分解的结果是，但是正确，则， ∴， 故选：B． 23．下列四个多项式，可能是2x2＋mx－3 (m是整数)的因式的是 A．x－2 B．2x＋3 C．x＋4 D．2x2－1 【答案】B 【分析】将原式利用十字相乘分解因式即可得到答案. 【详解】解：根据2x2+mx-3的常数项是-3，利用十字相乘法将2x2+mx-3分解． 2x2+mx-3（m是整数）的因式的是2x+3； 故选：B. 【点睛】此题考查因式分解，根据二次项和常数项将多项式分解因式是解题的关键. 24．因式分解x2+mx﹣12＝（x+p）（x+q），其中m、p、q都为整数，则这样的m的最大值是（　　） A．1 B．4 C．11 D．12 【答案】C 【分析】根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系，按多项式乘以多项式法则把式子变形，然后根据p、q的关系判断即可． 【详解】∵(x＋p)(x＋q)= x2＋（p+q）x+pq= x2＋mx－12 ∴p+q=m，pq=-12． ∴pq=1×（-12）=（-1）×12=（-2）×6=2×（-6）=（-3）×4=3×（-4）=-12 ∴m=-11或11或4或-4或1或-1． ∴m的最大值为11． 故选C． 【点睛】此题主要考查了整式乘法和因式分解的逆运算的关系，关键是根据整式的乘法还原因式分解的关系式，注意分类讨论的作用． 考点九 分组分解法 25．已知，，则整式的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解和代数式求值，解题的关键是对进行因式分解． 由已知条件得到，将分解因式，再将，代入计算即可． 【详解】解：因为，， ∴ ， 将，代入得： ， 故选：C． 26．设为实数，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，一元二次方程的根的存在性，乘方运算等知识，解题的关键是掌握因式分解的方法．由已知等式用分组分解法、提公因式法、方程等知识恒等变形，求出符合条件的的值，再代入所求式子中计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 或， 若时，， 为实数， 此一元二次方程在实数范围内无解； 若时，则， ， 故选：D． 27．把多项式因式分解之后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分组分解法及平方差公式，即可判定． 【详解】解： 故选：D． 【点睛】本题考查了分解因式的方法，熟练掌握和运用分解因式的方法是解决本题的关键． 考点十 因数分解的应用 28．有4张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个正方形，图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为．若，则满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式在图形中的应用，因式分解的应用． 先根据多项式的乘法求出，，再根据列出等式，因式分解即可． 【详解】解：由题意可知：， 正方形面积， ∴ ∵ ∴， 即， ∴ ∴或（舍去） 故选：B． 29．已知，则的值为：（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查的因式分解，利用因式分解将已知条件化简，再通过展开目标表达式并合并同类项，发现其与已知条件中的代数式相等，从而得出结果． 【详解】已知 化简 由已知条件可知该式值为3 故选：C． 30．已知五个非零实数a，b，c，m，n满足，且．则以下判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查整式的运算、因式分解、分式的性质等知识点，综合运用所学知识成为解题的关键． 根据题意得出，根据非负数的性质求解即可． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵，． ， ∵， ， ∴． 故选A． 一、单选题 1．（2024八年级·全国·竞赛）若多项式因式分解得，则（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义和多项式的乘法运算．根据因式分解的定义，列出等式，利用等式性质分别求出m和n的值，再求解即可． 【详解】解：由已知， 故可得，， ∴，， ∴， 故选：D 2．（2024八年级·全国·竞赛）将正整数n代入代数式计算，正确的结果可能是（    ） A．32736 B．32737 C．32738 D．32739 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的应用，利用提取公因式法和公式法将进行因式分解，可以将写成3个连续的自然数的乘积的形式，进而推出是6的倍数，由此可解． 【详解】解：， 是3个连续的自然数的乘积， 是6的倍数， 四个选项中，只有32736是6的倍数， 故选：A． 3．（2024八年级·全国·竞赛）已知，则的值（    ）． A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定不是正数 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，完全平方公式．此题可直接用多项式M减去多项式N，然后化简，最后把得出的结果与零比较确定的正负． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：B 4．（2024八年级·全国·竞赛）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的概念，把一个多项式化成几个整式的积的形式为因式分解，进行逐一分析判断． 【详解】A. ，该变形是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； B. ，该变形没有分解成几个整式的积的形式，故本选项不符合题意； C. ，符合因式分解的概念，故本选项符合题意； D. ，该变形没有分解成几个整式的积的形式，故本选项不符合题意； 故选C． 5．（2024八年级·全国·竞赛）如果能被整除，则（    ）． A． B．8 C．7 D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，整式的除法，根据题意设商为，则，整理得，，则，进行计算可得a，b的值，即可得答案，正确求出m的值，掌握因式分解，整式的除法是解题的关键． 【详解】解：设商为， 则， 整理得，， ∴ 解得， 则，， ∴， 故选：D． 6．（2024八年级·全国·竞赛）如果是整数，且是的一个因式，那么等于（    ）． A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，由题意得出的另一个因式为，从而得到，进而得出，求解即可得出答案，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解此题的关键． 【详解】解：是的一个因式， 的另一个因式为， ， ， 解得：， 故选：D． 7．（2024八年级·全国·竞赛）若，则关于的说法正确的是（    ）． A．是正整数，而且是偶数 B．是正整数，而且是奇数 C．不是正整数，而是无理数 D．无法确定 【答案】B 【分析】设，将根号下的整式通过加添项凑成完全平方式，去掉根号，再根据整式的性质进行判断正负性和奇偶性，本题考查了运用完全平方公式分解因式，解题的关键是：熟练掌握完全平方公式，及加添项的分解因式技巧． 【详解】设， 是偶数， 是奇数，选项符合题意， 故选：． 8．（2024八年级·全国·竞赛）已知实数a与非零实数x满足，则的值是（    ）． A．1或27 B．或27 C．1或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了非负数的性质．根据非负数的性质可得，，可求出，再求出a的值，然后代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 解得：， 当时，，解得： 此时或； 当时，，不符合题意， 综上所述，的值是1或． 故选：C． 9．（2022九年级·广东·竞赛）已知，且，则的值为（    ） A．2022 B．-2022 C．4044 D．-4044 【答案】B 【分析】将a2（b+c）=b2（a+c），a≠b，变形后可得ab+ca+bc=0，进而可得结果． 【详解】解：a2（b+c）=b2（a+c）， a2b+a2c=b2a+b2c， a2b+a2c-（b2a+b2c）=0， a2b+a2c-b2a-b2c=0， ab（a-b）+c（a2-b2）=0， ab（a-b）+c（a+b）（a-b）=0， （a-b）（ab+ca+bc）=0， ∵a≠b， ∴ab+ca+bc=0， ∵b2（a+c）=b（ab+bc）=b（-ac）=-abc=2022， ∴abc=-2022． 故选：B 【点睛】本题考查了单项式乘多项式以及因式分解，解决本题的关键是掌握平方差公式以及提公因式法因式分解． 10．（2024八年级·全国·竞赛）已知a、b、c分别是的三边，则为（    ） A．正数 B．负数 C．零 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解，三角形三边的关系，先利用平方差公式和完全平方公式把原式分解因式得到，再根据三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边推出即可得到答案． 【详解】解： ， ∵a、b、c分别是的三边， ∴， ∴， ∴ 故选：B． 二、填空题 11．（2024九年级上·浙江宁波·竞赛）设，试将分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握公式，并灵活地对式子进行构造和化简是解题的关键； 先将代入得，再将代入整理即可． 【详解】∵， ∴ ∵， ∴， ∴原式 ． 故答案为：． 12．（2024八年级下·浙江温州·竞赛）已知，均为完全平方数，则 【答案】或或 【分析】本题考查完全平方数，设①，②（、为整数），得，将所有可能情况列出来即可解答．解题的关键是根据题意列出等式进行试解，同时要知道完全平方数是整数． 【详解】解：设①，②（、为整数）， ②－①得：，即， 可能情况如下： ，，，，，， 解得：（舍去），，，（舍去），（舍去），， 当时，， 当时，， 当时，， ∴或或． 故答案为：或或． 13．（2024八年级上·江苏·竞赛）已知a为无理数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数的含义，解题关键是因式分解．根据a为无理数，结合因式分解可得：，再进一步即可解题． 【详解】解：∵a为无理数，且， ∴， ∴， ∵是无理数，不为0， ∴0， ∴． 故答案为：． 14．（2024八年级·全国·竞赛）正整数满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用，根据条件可得，然后由为正整数，可得且，进而求出a，b的值，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 又∵为正整数， ∴且 ∴，， 解得：或， ∴， 故答案为：． 15．（2024八年级·全国·竞赛）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了提取公因式法，整式化简求值，熟练掌握提取公因式法是解答本题的关键．将所求代数式反复提取公因式，得到，再将代入即得答案． 【详解】解：当时， 原式= =． 故答案为：． 16．（2024八年级·全国·竞赛）设，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，将与的差进行因式分解，得到，推出与的关系，并判断其是否满足，最后将其代入中化简求解，即可解题． 【详解】解：，， 若，则， 则，矛盾． 所以， 即， 所以． 故答案为：． 17．（2024八年级·全国·竞赛）已知多项式分解因式后能够变成两个含有的一次因式的乘积，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，多项式乘以多项式，二元一次方程组的求解，根据因式分解结合多项式乘以多项式可得①，②，③，利用加减消元法求解二元一次方程组得到m，n的值，即可求出最后结果． 【详解】解：可分解为， ， ， ①，②，③， 得：，解得：， 将代入①得：， ， 故答案为：． 18．（2024八年级·全国·竞赛）已知a、b为正整数，且满足，则满足条件的有序实数对的组数是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查因式分解的应用，将变形为， 根据a、b为正整数得，再分类讨论即可求解 【详解】解：∵， ∴， 又a、b为正整数， ∴， ，共4组， 即有序实数对共有4组． 三、解答题 19．（2024八年级·全国·竞赛）在实数范围内因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了实数范围内的因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． （1）先提取公式因，再利用完全平方公式的方法进行因式分解即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式的方法进行因式分解即可； （3）利用完全平方公式的方法进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 20．（2024八年级下·江苏无锡·竞赛）已知，且，a，b为自然数，求a，b的值． 【答案】，或， 【分析】本题考查的是因式分解的应用，先设，则，再把原式化为含未知数b、k的形式，再根据可知：或或，再由且a，b为自然数即可求出a、b的值． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴或或， 解得或或或或或， ∵且a，b为自然数，， ∴或， ∴，或，． 21．（2024八年级·全国·竞赛）设a，b，c，d都是正整数，且，求的值． 【答案】5937或375 【分析】本题主要考查了幂的乘方、因式分解的应用、解方程组等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 设，则，进而得到；再根据题意因式分解可得，再分为或两种情况求得m、n，进而求得b、d，最后求和即可． 【详解】解：设，则． ， ． a，b，c，d均为正整数， m，n也为正整数， 或， 或， 或， 或375． 故答案为：5937或375． 22．（2024八年级·全国·竞赛）已知：是11的倍数，其中a，b是整数，求证：能被121整除． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了因式分解，整数的整除性，熟练掌握因式分解是解答本题的关键．设，则，先将代数式因式分解，再将b的值代入并化简得，即能证明结论． 【详解】设，则， ． 故能被121整除． 23．（2024八年级·湖南衡阳·竞赛）已知a，b，c为正数，满足如下两个条件： ① ， 是否存在以，，为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角． 【答案】以 ,, 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90° 【分析】两个方程，有三个未知量，不能解出具体数值，但是能求出a，b，c关系，本题利用代入，因式分解，求出a，b，c关系． 【详解】解法1：将①②两式相乘，得． 即：， 即 ， 即 ， 即 , 所以或或， 即或或． 因此，以， ，为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°． 解法2：结合①式，由②式可得得 ③， 又由①式得，即， 代入③式，得 ， 即． ， 所以或或． 结合①式可得或或． 因此，以 ， ， 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式及平方差公式，关键是运用因式分解、等式变形求出a、b、c三边的关系． 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$