精品解析：北京市第五十七中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（附加题）

2024-2025年度高一数学下学期期末考试附加题 1. (2015新课标全国I理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 A. 14斛 B. 22斛 C. 36斛 D. 66斛 2. 已知向量≠，，对任意实数t，恒有，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数．则“”是“为偶函数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 弹簧振子的振动是简谐振动.下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的事件t与位移s之间的测量数据，那么能与这些数据拟合的振动函数的解析式为（ ） t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 s 01 10.3 17 20.0 177 10.3 0.1 A. ， B. C. D. ， 5. 已知点，，，，为坐标原点，则=______，与夹角的取值范围是______． 6. 如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，E是PD上的点． （1）若E、F分别PD和BC中点，求证：平面PAB； （2）若平面AEC，求证：E是PD中点． 7. 如下图所示，多面体是由长方体沿相邻三个面的对角线截出的几何体，其中，，，为的中点，过，，的平面交于． （1）求该多面体体积； （2）求证：平面； （3）判断直线与直线的位置关系，并对你的结论加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025年度高一数学下学期期末考试附加题 1. (2015新课标全国I理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 A. 14斛 B. 22斛 C. 36斛 D. 66斛 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：设圆锥底面半径为r，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式 2. 已知向量≠，，对任意实数t，恒有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，进而得，计算可得，逐项计算判断即可. 【详解】由，可得，化简得， 可得，又时恒成立， 所以， 所以，所以， 所以，所以，故A错误； ，故B错误； 所以，所以，所以，故C正确； . ，故D错误. 故选：C. 3. 已知函数．则“”是“为偶函数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分，必要条件的定义，结合三角函数变换，即可判断选项. 【详解】当，即 则， 化简为，即，， 当时，，为偶函数， 当时，，为偶函数， 所以，能推出函数是偶函数 反过来，若函数是偶函数，则有， 所以“”是“为偶函数”的充分必要条件. 故选：C 4. 弹簧振子的振动是简谐振动.下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的事件t与位移s之间的测量数据，那么能与这些数据拟合的振动函数的解析式为（ ） t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 s 0.1 10.3 1.7 20.0 17.7 10.3 0.1 A. ， B. C. D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据简谐振动的解析式结合三角函数性质运算求解. 【详解】设简谐振动的解析式为，其中 由表格可知：振幅，周期，过点， 由周期，且，可得， 由过点，可得，即，则， 可得， 所以简谐振动的解析式为. 故选：D. 5. 已知点，，，，为坐标原点，则=______，与夹角的取值范围是______． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】由题意结合平面向量的相关知识可得，即可得点在以为圆心，1为半径的圆上，结合平面向量夹角的概念数形结合即可得解. 详解】由题意可得， 所以； 则点在以为圆心，1为半径的圆上，如图： 由图可知，当与夹角最小值为0， 当直线与圆相切时，与夹角取最大值，连接， 易得为锐角且， 所以， 所以此时与夹角的取值范围是. 故答案：；. 【点睛】本题考查了平面向量线性运算及其坐标表示、平面向量模的求解，考查了平面向量夹角的概念与数形结合思想，属于中档题. 6. 如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，E是PD上的点． （1）若E、F分别是PD和BC中点，求证：平面PAB； （2）若平面AEC，求证：E是PD中点． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，证明四边形为平行四边形，可知，利用线面平行的判定定理可证平面； （2）连接，交于，连接，因为平面，利用线面平行性质定理可得，且为中点，可证E是PD中点． 【小问1详解】 证明：取中点，连接，， 在中，因为，分别为所在边的中点，所以，且， 又因为底面ABCD为平行四边形，为中点， 所以，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，因为平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 连接，交于，连接， 因为平面，平面，平面平面， 所以，在中，为中点， 所以为中点. 7. 如下图所示，多面体是由长方体沿相邻三个面的对角线截出的几何体，其中，，，为的中点，过，，的平面交于． （1）求该多面体的体积； （2）求证：平面； （3）判断直线与直线的位置关系，并对你的结论加以证明． 【答案】（1）20 （2）证明见解析 （3）直线直线，证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过长方体体积和截去三棱锥体积即可求解； （2）由，即可求证； （3）由平面，结合平面平面，即可求证. 【小问1详解】 长方体的体积为， 被截去的三棱锥的体积为， 所以多面体的体积为． 【小问2详解】 证明：在长方体中矩形中，∥，， 所以四边形平行四边形． 所以， 又平面，平面， 所以平面． 【小问3详解】 直线直线 证明：由（2）有平面， 又平面，平面平面， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$