第23章 图形的相似 单元测试2024-2025学年华东师大版九年级数学上册

华东师大版九年级上册 第23章 图形的相似 单元测试 一、选择题 1.如图是杭州第19届亚运会的吉祥物“琮琮”，代表的是世界遗产良渚古城遗址，名字来源于文物玉琮．琮琮全身以黄色调为主，头部刻有“饕餮纹”，展示给人们一种不屈不挠、坚强刚毅的精神．文旅部门将选定的“琮琮”形象图通过放大或缩小放置于不同的宣传版面上，这体现了数学中的（　　） A.图形的平移 B.图形的轴对称 C.图形的相似 D.图形的旋转 2.如图，小康利用复印机将一张长为5cm，宽为3cm的矩形图片放大，其中放大后的长为10cm，则放大后的矩形的面积为（　　） A.60cm2 B.58cm2 C.56cm2 D.50cm2 3.如图，一艘船在A处遇险后向相距50海里位于B处的救生船报警．用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置（　　） A.南偏西75°，50海里 B.南偏西15°，50海里 C.北偏东15°，50海里 D.北偏东75°，50海里 4.在平面直角坐标系中，点P（m，﹣4﹣m）不可能在的象限是（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，且EM∥AD，EN∥CD，则下列式子中错误的是（　　） A.= B.= C.= D. 6.如图，在△ABC中，DE∥AC，BD＝2，AD＝DE＝4，则AC的长为（　　） A.6 B.8 C.10 D.12 7.△ABC和△DEF满足下列条件，其中能使△ABC∽△DEF的是（　　） A.AB＝，BC＝AC＝，DE＝，EF＝DF＝3 B.AB＝3，BC＝4，CA＝5，DE＝，EF＝2，FD＝ C.AB＝1，AC＝1，BC＝2，DE＝12，EF＝8，DF＝16 D.AB＝3，AC＝4，BC＝6，DE＝6，EF＝8，DF＝10 8.如图，一副三角板，AD＝BC，顶点A重合，将△ADE绕其顶点A旋转，在旋转过程中，以下4个位置，不存在相似三角形的是（　　） A. B. C. D. 9.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，∠ACD＝∠B，那么下列判断中，不正确的是（　　） A.△ADE∽△DBC B.△CDE∽△BCD C.△ADE∽△ACD D.△ADE∽△ABC 10.如图，△ABC中，点D．E分别在AB．AC边上，有下列条件：①∠ADE＝∠C，②=，③=，④=，能判断△ABC与以A．D．E为顶点的三角形相似的有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 11.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E是AB的中点，F是DC的中点，EF交AC于点O．∠DAC＝60°，∠ACB＝40°，则∠AOE的度数为（　　） A.40° B.45° C.50° D.55° 12.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，E，F分别是AD，CD的中点，连接BE，BF，EF，若四边形ABCD的面积为，则△BEF的面积为（　　） A. B. C. D.3 二、填空题 13.两个相似三角形的周长分别为5cm和16cm，则它们对应边上的高之比为　       　． 14.已知△ABC∽△DEF，如果它们对应高的比AM：DN=：3，那么△ABC和△DEF的面积比是　    　． 15.小明在测量教学楼的高度时，先测出教学楼落在地面上的影长为20米，然后竖直放置一根高为2米的标杆，测得标杆的影长为3米，则楼高为_______  米． 16.在△ABC中，中线BD与高线CE交于F，EF＝1，BE＝2，△ABC的面积为20，则线段AE的长度为　   　． 17.如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6，CD＝4，BD＝14．点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为　        　． 三、解答题 18.如图，在平面直角坐标系中，A（2，1），B（3，3），C（4，2）．以原点O为位似中心将△ABC向右侧放大两倍得到△A'B'C'． （1）在图中画出△A'B'C'； （2）若△ABC内有一点P（a，b），则点P放大后的对应点的坐标是 　    　． 19.如图，△ABC和△EFD的顶点都在正方形网格的格点上，则△ABC与△EFD相似吗？请说明理由． 20.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（2，0）、B（4，0）、C（0，4），将各顶点的横坐标、纵坐标都乘2，得相应的点A′、B′、C′的坐标． （1）画△A′B′C′； （2）△A′B′C′与△ABC相似吗？为什么？ 21.对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”． 例如：P（1，4）的“2属派生点”为P′（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）． （1）点P（﹣1，6）的“2属派生点”P′的坐标为　        　； （2）若点P的“3属派生点”P′的坐标为（6，2），则点P的坐标　        　； （3）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P′点，且线段PP′的长度为线段OP长度的2倍，求k的值． 22.一个矩形的广告牌如图所示，印刷厂的纸张的印刷面积是32dm2，上、下空白各1dm，左、右空白处各0.5dm，被印刷部分从上到下的长是xdm，四周空白处的面积为Sdm2． （1）求S与x之间的关系式． （2）若要求四周空白处的面积为18dm2，求用来印刷广告的纸张的长和宽的各是多少？ （3）在（2）的条件下，内外两个矩形是位似图形吗？说明理由． 华东师大版九年级上册 第23章 图形的相似 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.如图是杭州第19届亚运会的吉祥物“琮琮”，代表的是世界遗产良渚古城遗址，名字来源于文物玉琮．琮琮全身以黄色调为主，头部刻有“饕餮纹”，展示给人们一种不屈不挠、坚强刚毅的精神．文旅部门将选定的“琮琮”形象图通过放大或缩小放置于不同的宣传版面上，这体现了数学中的（　　） A.图形的平移 B.图形的轴对称 C.图形的相似 D.图形的旋转 【答案】C 【解析】将选定的“琮琮”形象图通过放大或缩小放置于不同的宣传版面上，这体现了数学中的图形的相似． 故选：C． 2.如图，小康利用复印机将一张长为5cm，宽为3cm的矩形图片放大，其中放大后的长为10cm，则放大后的矩形的面积为（　　） A.60cm2 B.58cm2 C.56cm2 D.50cm2 【答案】A 【解析】设放大后的宽是x cm， ∵放大前后的两个矩形相似， ∴5：10＝3：x， ∴x＝6， ∴放大后的宽是6cm， 放大后的矩形的面积＝10×6＝60（cm2）． 故选：A． 3.如图，一艘船在A处遇险后向相距50海里位于B处的救生船报警．用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置（　　） A.南偏西75°，50海里 B.南偏西15°，50海里 C.北偏东15°，50海里 D.北偏东75°，50海里 【答案】B 【解析】由题意可得：∠ABC＝15°，AB＝50海里， 故遇险船相对于救生船的位置是：南偏西15°，50海里， 故选：B． 4.在平面直角坐标系中，点P（m，﹣4﹣m）不可能在的象限是（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】A 【解析】当m＞0时，﹣m＜0，则﹣4﹣m＜0， ∴在平面直角坐标系中，点P（m，﹣4﹣m）不可能在的象限是第一象限． 故选：A． 5.如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，且EM∥AD，EN∥CD，则下列式子中错误的是（　　） A.= B.= C.= D. 【答案】D 【解析】A．∵EM∥AD， ∴=，故正确； B．∵EM∥AD，EN∥CD， ∴＝，＝， ∴=，故正确； C．∵EM∥AD，EN∥CD， ∴=，，= ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AB＝CD， ∴=，故正确； D．∵EN∥CD， ∴，故错误． 故选：D． 6.如图，在△ABC中，DE∥AC，BD＝2，AD＝DE＝4，则AC的长为（　　） A.6 B.8 C.10 D.12 【答案】D 【解析】∵DE∥AC， ∴△BDE∽△BAC， ∴＝，即＝， ∴AC＝12． 故选：D． 7.△ABC和△DEF满足下列条件，其中能使△ABC∽△DEF的是（　　） A.AB＝，BC＝AC＝，DE＝，EF＝DF＝3 B.AB＝3，BC＝4，CA＝5，DE＝，EF＝2，FD＝ C.AB＝1，AC＝1，BC＝2，DE＝12，EF＝8，DF＝16 D.AB＝3，AC＝4，BC＝6，DE＝6，EF＝8，DF＝10 【答案】A 【解析】A．∵AB＝，BC＝AC＝，DE＝，EF＝DF＝3， ∴===＝， ∴△ABC∽△DEF； 故A符合题意； B．∵AB＝3，BC＝4，CA＝5，DE＝，EF＝2，FD＝， ∴， ∴△ABC与△DEF不相似． C．∵AB＝1，AC＝1，BC＝2，DE＝12，EF＝8，DF＝16， ∴△ABC是等腰三角形，△DEF不是等腰三角形， 故不能得出△ABC∽△DEF； D．∵AB＝3，AC＝4，BC＝6，DE＝6，EF＝8，DF＝10，， ∴， ∴△ABC与△DEF不相似． 故选：A． 8.如图，一副三角板，AD＝BC，顶点A重合，将△ADE绕其顶点A旋转，在旋转过程中，以下4个位置，不存在相似三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】选项A，∵∠C＝∠C＝90°，∠CAF＝∠B＝30°， ∴△ACF∽△BCA，故选项A不符合题意． 选项B，∵∠BCA＝∠AED＝90°，∠CAF＝∠DAE， ∴△ACF∽△AED，故选项B不合题意； 选项C，如图，设CD与AE交于点O， ∵∠ACO＝∠DEO＝90°，∠AOC＝∠DOE， ∴△ACO∽△DEO，故选项C不合题意； 选项D中没有相似三角形，符合题意． 故选：D． 9.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，∠ACD＝∠B，那么下列判断中，不正确的是（　　） A.△ADE∽△DBC B.△CDE∽△BCD C.△ADE∽△ACD D.△ADE∽△ABC 【答案】A 【解析】∵点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC．故D正确，不符合题意； ∵DE∥BC ∴∠B＝∠ADE， ∵∠B＝∠ACD， ∴∠ADE＝∠ACD， ∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACD，故C正确，不符合题意； ∵DE∥BC ∴∠EDC＝∠BCD， ∵∠ACD＝∠B， ∴△CDE∽△BCD，故B正确，不符合题意； ∵△ADE与△DBC不一定相似，故A不正确，符合题意； 故选：A． 10.如图，△ABC中，点D．E分别在AB．AC边上，有下列条件：①∠ADE＝∠C，②=，③=，④=，能判断△ABC与以A．D．E为顶点的三角形相似的有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】∵∠DAE＝∠BAC， ∴当∠ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB； ∴若添加∠ADE＝∠C，能判断△ABC与以A．D．E为顶点的三角形相似； ∵∠DAE＝∠BAC，=， ∴△ADE∽△ABC， ∴若添加=，能判断△ABC与以A．D．E为顶点的三角形相似； ∵∠DAE＝∠BAC，=， ∴△ADE∽△ACB， ∴若添加=，能判断△ABC与以A．D．E为顶点的三角形相似； 当=时，没有∠ADE＝∠ABC这一条件，则条件②不能判断△ABC与以A．D．E为顶点的三角形相似； 故选：C． 11.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E是AB的中点，F是DC的中点，EF交AC于点O．∠DAC＝60°，∠ACB＝40°，则∠AOE的度数为（　　） A.40° B.45° C.50° D.55° 【答案】C 【解析】取AC的中点G，连接EG、FG，如图所示： ∵E是AB的中点，F是DC的中点， ∴EG是△ABC的中位线，FG是△ACD的中位线， ∴EG∥BC，EG＝BC，FG∥AD，FG＝AD， ∴∠AGE＝∠ACB＝40°，∠AGF+∠DAC＝180°， ∴∠AGF＝180°﹣∠DAC＝120°， ∴∠EGF＝∠AGE+∠AGF＝40°+120°＝160°， ∵AD＝BC， ∴EG＝FG， ∴∠GEF＝∠GFE＝（180°﹣160°）＝10°， ∴∠AOE＝∠GEF+∠AGE＝10°+∠40°＝50°； 故选：C． 12.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，E，F分别是AD，CD的中点，连接BE，BF，EF，若四边形ABCD的面积为，则△BEF的面积为（　　） A. B. C. D.3 【答案】B 【解析】如图所示：连接BD，AC， 在△ABC中， ∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2， ∴， ∴， ∵四边形ABCD的面积为， ∴， ∵E，F分别是AD，CD的中点， ∴S△ABE＝S△DBE，S△CFB＝S△DFB， ∴， ∵E，F分别是AD，CD的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题 13.两个相似三角形的周长分别为5cm和16cm，则它们对应边上的高之比为　       　． 【答案】5：16 【解析】已知两个相似三角形的周长分别为5cm和16cm， 则它们的相似比是5：16， 那么它们对应边上的高之比为5：16． 故答案为：5：16． 14.已知△ABC∽△DEF，如果它们对应高的比AM：DN=：3，那么△ABC和△DEF的面积比是　    　． 【答案】2：9 【解析】∵△ABC∽△DEF，它们对应高的比是AM：DN=：3， ∴△ABC和△DEF的相似比是：3， ∴△ABC和△DEF的面积比是：32＝2：9． 故答案为：2：9． 15.小明在测量教学楼的高度时，先测出教学楼落在地面上的影长为20米，然后竖直放置一根高为2米的标杆，测得标杆的影长为3米，则楼高为_______  米． 【答案】 【解析】设楼高为x米， 根据题意得，， 解得：， 故答案为：． 16.在△ABC中，中线BD与高线CE交于F，EF＝1，BE＝2，△ABC的面积为20，则线段AE的长度为　   　． 【答案】6 【解析】作DH⊥AB于H， 设EH＝x，DH＝y， ∵BD△ABC的中线， ∴S△ABD＝S△ABC＝AB．DH＝（2+2x）y＝10， ∴（1+x）y＝10，① ∵DH⊥AB，CE⊥AB， ∴DH∥CE， ∴△BEF∽△BDH， ∴ ∴2y＝2+x，② 由①②解得：x＝3（负值舍去）， ∴EH＝3， ∵DH∥CE，AD＝CD， ∴AE＝2EH＝6． 故答案为：6． 17.如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6，CD＝4，BD＝14．点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为　        　． 【答案】8.4或2或12 【解析】设DP＝x，则BP＝BD﹣x＝14﹣x， ∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D， ∴∠B＝∠D＝90°， 当=时，△ABP∽△CDP， 即=， 解得：x＝， ∴BP＝14﹣＝8.4， 当=时，△ABP∽△PDC，即=； 整理得x2﹣14x+24＝0， 解得x1＝2，x2＝12， BP＝14﹣2＝12，BP＝14﹣12＝2， ∴当BP为8.4或2或12时，以C．D．P为顶点的三角形与以P、B．A为顶点的三角形相似． 故答案为：8.4或2或12． 三、解答题 18.如图，在平面直角坐标系中，A（2，1），B（3，3），C（4，2）．以原点O为位似中心将△ABC向右侧放大两倍得到△A'B'C'． （1）在图中画出△A'B'C'； （2）若△ABC内有一点P（a，b），则点P放大后的对应点的坐标是 　    　． 【答案】解　（1）如图，△A'B'C'即为所求； （2）点P的对应点的坐标为（2a，2b）， 故答案为：（2a，2b）． 【解析】 19.如图，△ABC和△EFD的顶点都在正方形网格的格点上，则△ABC与△EFD相似吗？请说明理由． 【答案】解　△ABC与△EFD相似，理由如下： 如图，AB＝＝，AC＝＝2，BC＝＝5，EF＝＝，ED＝＝2，DF＝＝， ∴＝＝＝， ∴△ABC∽△EFD． 【解析】 20.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（2，0）、B（4，0）、C（0，4），将各顶点的横坐标、纵坐标都乘2，得相应的点A′、B′、C′的坐标． （1）画△A′B′C′； （2）△A′B′C′与△ABC相似吗？为什么？ 【答案】解　（1）如图所示：△A′B′C′即为所求； （2）△A′B′C′∽△ABC， 理由：∵AB＝2，AC＝＝2，BC＝4， A′B′＝4，A′C′＝4，B′C′＝8， ∴＝， ∴△A′B′C′∽△ABC． 【解析】 21.对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（a+kb，ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”． 例如：P（1，4）的“2属派生点”为P′（1+2×4，2×1+4），即P′（9，6）． （1）点P（﹣1，6）的“2属派生点”P′的坐标为　        　； （2）若点P的“3属派生点”P′的坐标为（6，2），则点P的坐标　        　； （3）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P′点，且线段PP′的长度为线段OP长度的2倍，求k的值． 【答案】解　（1）点P（﹣1，6）的“2属派生点”P′的坐标为（﹣1+6×2，﹣1×2+6），即（11，4）， 故答案为：（11，4）； （2）设点P的坐标为（x、y）， 由题意知， 解得：， 即点P的坐标为（0，2）， 故答案为：（0，2）； （3）∵点P在x轴的正半轴上， ∴b＝0，a＞0． ∴点P的坐标为（a，0），点P′的坐标为（a，ka） ∴线段PP′的长为P′到x轴距离为|ka|． ∵P在x轴正半轴，线段OP的长为a， ∴|ka|＝2a，即|k|＝2， ∴k＝±2． 【解析】 22.一个矩形的广告牌如图所示，印刷厂的纸张的印刷面积是32dm2，上、下空白各1dm，左、右空白处各0.5dm，被印刷部分从上到下的长是xdm，四周空白处的面积为Sdm2． （1）求S与x之间的关系式． （2）若要求四周空白处的面积为18dm2，求用来印刷广告的纸张的长和宽的各是多少？ （3）在（2）的条件下，内外两个矩形是位似图形吗？说明理由． 【答案】解　（1）根据题意得A′B′＝x，则AB＝x+2，A′D′＝， 所以AD＝+1， 所以S＝S矩形ABCD﹣S矩形A′B′C′D′＝（x+2）•（+1）﹣32＝+x+2， （2）当S＝18，即+x+2＝18， 整理得x2﹣16x+64＝0，解得x1＝x2＝8， 经检验x＝8是原方程的解， 则＝4， 所以用来印刷这张广告的纸张的长为（8dm+2dm）＝10dm，宽为（4dm+1dm）＝5dm； （3）内外两个矩形是位似图形．理由如下： 因为, 所以， 所以内外两个矩形是相似图形， ∵ ∴＝， 同理可得＝＝， ∴内外两个矩形是位似图形． 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$