专题06 分式（数学竞赛培优专项训练）

专题06 分式 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 分式有无意义的条件 考点二 分式值为0的条件 考点三 分式的求值 考点四 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 考点五 求使分式值为整数时未知数的整数值 考点六 分式的基本性质 考点七 约分、通分、最简分式 考点八 分式的混合运算 考点九 分式的化简求值 考点十 负整数指数幂 考点十一 分式的规律性问题 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛试题23道） 考点一 分式有无意义的条件 1．若分式 有意义则x的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或且 【答案】C 【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，零次幂底数不为零．当分母不等于零时，分式有意义；当分母等于零时，分式无意义．分式是否有意义与分子的取值无关． 根据分母不等于0，被开方数是非负数，零次幂底数不为零列式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴且， ∴或． 故选：C． 2．已知分式（为常数）满足下表的信息，则下列结论错误的是（    ） 2 0 无意义 0 1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解分式方程，分式值为0的条件，分式无意义的条件，分式值为0的条件是分子为0，分母不为0，分式无意义的条件是分母为0，据此可求出m、n的值，再根据表格中的数据，求出对应的a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵当时，分式无意义， ∴当时，， ∴； ∵当时，， ∴当时，， ∴； ∵当时，， ∴； ∴当时，， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， 故选：A． 3．下列说法中，错误的是（   ） A．不论为何值，分式总有意义 B．当时，分式的值为1 C．若分式的值为零，则 D．把分式中的值都扩大为原来的2倍，则所得分式的值扩大为原来的4倍 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的值，分式的值为零的条件，分式的基本性质等知识，根据分式有意义的条件，分式的值，分式的值为零的条件，分式的基本性质对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：A、∵， ∴不论为何值，分式总有意义，说法正确，故选项不符合题意； B、当时，分式，说法正确，故选项不符合题意； C、分式的值为零， ∴且， ∴，说法正确，故选项不符合题意； D、分式中的x，y都扩大为原来的2倍，得到， ∴把分式中的值都扩大为原来的2倍，则所得分式的值扩大为原来的2倍，故选项符合题意； 故选：D． 考点二 分式值为0的条件 4．若分式的值为0，则x的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的值为零的条件，根据平方根解方程，解题的关键是掌握分式的值为零的条件：分子为零，分母不为零．据此列式解答即可． 【详解】解：∵分式的值为， ∴且， 解得：， 即的值为． 故选：C． 5．若分式的值为，则的值为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．根据分式值为零的条件可得，且，再解即可． 【详解】由题意得：，且， 解得：， 故选：B． 6．已知时，分式无意义；时，分式的值为0，则的值为（ ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件及分式的值为零的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．当分母不为零时，分式有意义；当当分母为零时，分式无意义；当分母不为零且分子为零时，分式的值为零．当时，根据分母为零可求得，当时，根据分母不为零，分子为零，可求得，由此即可求的答案． 【详解】当时，分式无意义， ， 解得， 当时，分式的值为0， ， 解得， ． 故选：D． 考点三 分式的求值 7．已知实数a，b满足，，若关于x的一元二次方程．的两个实数根分别为，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了非负数的性质和一元二次方程的根与系数的关系，分式的化简求值，解题的关键是熟悉非负数和的性质和一元二次方程根与系数的关系． 由非负数的性质求出a、b的值，再利用根与系数的关系将所求代数式转化为关于根的和与积的表达式，代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴， 解得， ∴方程为 ∴， ∴ ． 故选：A． 8．已知，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简求值，代数式求值，掌握知识点的应用是解题的关键． 先由化简得出，然后代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴ ， 故选：． 9．实数满足，则（    ） A．186 B．188 C．190 D．192 【答案】D 【分析】本题考查的是求解分式的值，平方差公式的应用，先由条件可得，可得，同法可得，，再进一步计算即可. 【详解】解：∵ ∴， ∴， 同理可得，，， ∴ ， 故选：D． 考点四 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 10．若分式的值为正数，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】根据题意列出不等式组，解不等式组则可．此题考查分式的值，解不等式组，解题关键在于根据题意列出不等式组． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴或， 解得：或. 故选：C． 11．已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 12．由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】将c=−3和0分别代入A中计算求值即可判断出选项A，B的对错；当c<−3和c<0时计算的正负，即可判断出选项C，D的对错． 【详解】解：A选项，当c=−3时，分式无意义，故该选项不符合题意； B选项，当c=0时，，故该选项不符合题意； C选项， ∵c<−3， ∴3+c<0，c<0， ∴3(3+c)<0， ∴， ∴，故该选项符合题意； D选项，当c<0时， ∵3(3+c)的正负无法确定， ∴A与的大小就无法确定，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的求值，分式的加减法，通过作差法比较大小是解题的关键． 考点五 求使分式值为整数时未知数的整数值 13．已知为整数，且为正整数，则所有符合条件的的值的和为（    ） A．12 B．10 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了分式的混合运算和化简，乘法公式等知识点，解题的关键是熟练掌握公式法因式分解和分式的约分． 利用分式混合运算法则对原式进行化简，根据要求知道分子是分母的正整数倍，得出符合题意的的值． 【详解】解： ∵为正整数，且为整数， ∴或， ∴的取值为6，4， 则所有符合条件的的值的和为， 故选：B． 14．若的值为整数，则符合要求的整数x的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的化简，解题的关键需要分离常数，转化思考． 先将分式分离常数得到，再将问题转化为为整数的问题求解． 【详解】解：， ∵的值为整数，为整数， ∴为整数， ∴或， ∴或2或5或1， 故选：D． 15．要使式子的值为负整数，则整数的取值为（    ） A．1或2 B．2或3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的混合运算，分式的值；先计算分式的减法运算，再计算分式的除法运算，再由分式的值为负整数，可得或，从而可得答案． 【详解】解： ； ∵分式的值为负整数， 或， 则或3． 故选：B 考点六 分式的基本性质 16．已知非零实数满足，且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了分式的化简求值，由，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ， ∴， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 17．不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 18．已知（a，b，c互不相等）求（    ） A． B．1 C． D．x无解 【答案】C 【分析】将已知条件变形后可得：，可得并求解即可． 【详解】解：由可得：① 由可得：② 将②代入①可得 整理得： 同理可得： ∴ ∵a、b、c互不相等 ∴，解得：． 故选C． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值、分式的基本性质等知识点，根据分式的基本性质对分式进行变形是解答本题的关键． 考点七 约分、通分、最简分式 19．分式中，最简分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的化简，平方差公式，熟悉掌握等式的性质是解题的关键． 直接利用分式的性质性质分别化简，再结合最简分式的定义得出答案． 【详解】解：∵，∴不是最简分式； ∵，∴是最简分式； ∵，∴不是最简分式； ∵，∴不是最简分式． ∴最简分式有1个． 故选：Ａ． 20．设n是大于1909的正整数，且是某个整数的平方数，求得所有满足条件的n之和为(   ) A．1959 B．7954 C．82 D．3948 【答案】B 【分析】设，则，得到，再设是数的平方数，得到，再根据题意推出，据此求解即可． 【详解】解：设，则， ∴， 再设是数的平方数， ∴， ∴， ∵是某个整数的平方数，， ∴， ∴且a为正整数， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴的值可以为、、、， ∴所有满足条件的n之和为， 故选B． 【点睛】本题主要考查了完全平方数，分式的加减，正确理解题意是解题的关键． 21．将通分后，各分式的分子之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了通分，整式混合运算，关键是根据分式的基本性质对分式进行通分． 先找出三个分式的最简公分母，再根据分式的基本性质进行通分计算，最后把通分后的分式的分子相加，根据整混合法则计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：A． 考点八 分式的混合运算 22．已知为整式，若计算的结果为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的混合运算，利用分式的运算法则计算即可求解，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 23．已知两个分式 （且a≠1），将这两个分式进行如下运算：第一次运算： 第二次运算： 第三次运算： 继续依次运算下去，通过运算，有如下结论：①；②；③ ④（n为正整数）．以上结论正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查分式的运算，通过计算前几次运算结果，发现规律，逐一验证各结论的正确性． 【详解】解：， ， ， 故①错误； 同理可求出，， ∴ ∴，故②正确； 通过递推得 ，故③错误； 由递推关系 ，，得 ，与题目中的不符，故④错误。 综上，仅结论②正确，正确个数为1个， 故选：A． 24．已知，定义，（，，n为正整数），给出下列说法： ①； ②若，则· ③对于任意正整数k，都有成立． 其中说法正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据新定义运算法则求出，，，，即可判断①；根据题意得到每3个一组循环，然后求出，，然后根据列方程求解即可判断②；根据每3个一组循环，得到，，然后分别当为偶数和为奇数时，求出和，然后分别代入即可判断③． 【详解】①∵ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，故①正确； ②根据题意得，每3个一组循环， ∴， ∴ ∵若， ∴ 去分母后整理得， 解得，故②错误； ③∵每3个一组循环， ∴， 当为偶数时，， ∴； 当为奇数时，， ∴； ∴对于任意正整数k，都有成立，故③正确． 综上所述，其中说法正确的有2个． 故选：C． 【点睛】此题考查了新定义实数运算，解一元二次方程，分式的混合运算等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 考点九 分式的化简求值 25．已知，且．则A 的值为（   ） A．5 B．6 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的化简求值，先把变形为，再把化简为，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：B． 26．已知（，，是正数），若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的化简求值，将化为，，，然后代入，推出，可得结论．掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 故选：D． 27．已知，则代数式的值为（    ） A．2021 B．2024 C．2027 D．2030 【答案】D 【分析】先对原代数式的分子进行因式分解，然后再约分，最后再整体代入求值． 【详解】 ∵ ∴ ∴ 即原式的值为2030． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是对分式中的分子进行复杂的因式分解，以达到约分的目的． 考点十 负整数指数幂 28．已知，那么的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，解题关键是熟悉上述知识，并能运用求解． 先化简各式，再比较大小． 【详解】解：， ∵， ∴， 故选： C． 29．已知实数x，y满足，则的值为（     ） A．－9 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】将原等式变形为，又根据非负性有，，即，故要使成立，则必须，解之即可解答． 【详解】∵ 即 ∴ ∵， ∴ 要使，则必须 解得 ∴ 故选：C 【点睛】本题考查完全平方公式，平方的非负性，负整数指数幂，熟练运用完全平方公式进行配方，和平方的非负性是解题的关键． 30．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．下列判断正确的是（    ） 结论I：若n的值为5，则y的值为1； 结论Ⅱ：的值为定值； 结论Ⅲ：若，则y的值为4或1． A．I，Ⅲ均对 B．Ⅱ对，Ⅲ错 C．Ⅱ错，Ⅲ对 D．I，Ⅱ均错 【答案】B 【分析】先由题意得到，，然后解方程组得到，当时，，则此时，即可判断I；得，即可判断②；根据1的任何次方为1，的偶次方为1，非零底数的0次方为1，三种情况讨论求解即可判断Ⅲ． 【详解】解：由题意得，，， 得，解得， 把代入①得，解得， ∴方程组的解为， ∵， ∴当时，，则此时，故结论I正确； 得， ∴，故结论Ⅱ正确； 当时，，此时满足； 当时，则，此时， ∴，，此时满足； 当时，则， 此时， ∴，此时满足， 综上所述，若，则y的值为4或3或1，故结论Ⅲ错误， 故选B． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程的解，零指数幂和负整数指数幂，熟练掌握相关知识是解题的关键． 考点十一 分式的规律性问题 31．已知为实数，规定运算，，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字规律的探索，分别求前几个数，得到以三个数为一组，不断循环，然后运用规律求解即可，通过计算找到规律是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ，， 发现规律：以三个数为一组，不断循环， ， ． 故选：D． 32．对于正数，规定，例如．则（   ） A．2022 B．2021 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查以实数运算为背景的新定义题型．确定是解题关键． 根据可得，故，据此即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴原式 ． 故选：C． 33．一组有序排列的数：，，，…，，…（为正整数）．对于其中任意相邻的三个数，中间的数等于其前后两个数的积．已知，，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的变化规律，完全平方公式，先根据题意求出第1个数，第3个数，第5个数，找出规律，再根据完全平方公式求解． 【详解】解：设第1个数为x，第3个数为y，第5个数为z， 由题意，得：， ∴， ∴这组数据为，……， 即这组数以，6个为一组，进行循环， ∵， ∴第2024个数是；第2027个数是， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 一、单选题 1．（2024九年级·全国·竞赛）要使式子有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．熟练掌握概念是解题的关键． 分子上的二次根式要有意义，根号里面的式子为非负数，且分母不为零，分别求解满足条件的x值． 【详解】∵式子有意义， ∴，， ∴且． 故选：D． 2．（2023九年级上·四川眉山·竞赛）如果，那么的值为（  ） A．2或 B．0或1 C．2 D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，零指数次幂，最后检验是解题的关键．首先利用零指数幂的性质整理一元二次方程，进而利用因式分解法解方程得出即可． 【详解】解：∵， ， 即， 解得：， 当时，， 故， 故选：C． 3．（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）某工程，甲队独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的a倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合做所需天数的b倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的c倍，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程在工程问题中的应用及分式的加法运算，分别设出甲、乙、丙单独做完成工程所需天数，利用工作时间工作总量工作效率解答即可． 【详解】解：设甲、乙、丙单独完成这项工程各需x天、y天、z天， ∵甲队独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的a倍， ∴， 由此得出， ∴； 同理可得，； 所以． 故选：A． 4．（2024九年级·全国·竞赛）已知抛物线．当时，抛物线与轴的正半轴相交于点；当时，抛物线与轴的正半轴相交于点．若点在点的左边，则与的大小关系是（    ）． A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【分析】根据题意可得，，则，再根据点在点的左边，且位于正半轴，则，，得到，即可得到答案． 本题考查了二次函数的性质、分式的混合运算等知识，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 【详解】解：将和代入抛物线解析式中可得：， ， 将和代入抛物线解析式中可得：， ， ， 点在点的左边，且位于正半轴， ，， ， ． 故选：A 5．（2024八年级·全国·竞赛）已知，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】本题考查分式的加法运算，掌握通分的技巧和完全平方公式是解题关键． 先已知等式通分去分母化简为，代入变形后的第二个分式中即可． 【详解】解：∵， ∴，得， ∴． 故选：B． 6．（2024八年级·全国·竞赛）已知，则的值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的化简求值，根据得，再将的分子分母变形为含的式子，即可解题． 【详解】解：由得， 则 ． 故选：A． 7．（2024八年级·全国·竞赛）已知实数，满足，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的化简求值，配方法，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．先将通分，然后将分子配方，并将分式化简成只含，的代数式，最后将，的值代入并计算即得答案． 【详解】 ， 当，时， 原式． 故选B． 8．（2024七年级·全国·竞赛）如果与的和是一个单项式，那么的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类项的含义，零次幂的含义，二元一次方程组的解法，根据题意得到与是同类项是解题的关键．根据题意可得与是同类项，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵与的和是单项式， ∴与是同类项， ∴， 解得：， ∴， 故选：C． 9．（2024八年级·全国·竞赛）函数中自变量x的取值范围是（    ）． A． B．且 C．且或 D．且且 【答案】D 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，负整数指数幂．根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，负整数指数幂，即可求解． 【详解】解：由题意得：且且， 解得：且且． 故选：D 10．（2024八年级·全国·竞赛）如果对于任何实数x，分式总有意义，则m的取值范围是（    ）． A． B． C． D．非以上答案 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，一元二次方程根的判别式，根据分式有意义的条件是分母不为0可知方程无解，则，据此求解即可． 【详解】解：∵分式总有意义， ∴， ∴方程无解， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 11．（2024九年级上·浙江宁波·竞赛）使得为整数的自然数的个数为 个． 【答案】6 【分析】本题考查了分式的值，将分式变形为，即可得出，再根据的值为整数且x为自然数计算即可． 【详解】解： ， ∵分式的值为整数且x为自然数， ∴或2或3或4或6或12， ∴或1或2或3或5或11， 共6个， 故答案为：6． 12．（2024七年级·江苏无锡·竞赛）已知a、b是有理数，x是无理数，如果是有理数，则等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简、及无理数、有理数的相关知识等知识点，掌握有理数除以无理数若等于有理数，则该有理数一定为0是解题的关键． 先对分式进行化简，由于分式的结果是有理数，设分式的结果为m，得到关于m的方程，由m、a、b是有理数，x是无理数，确定m的系数和结果均为0，求出m和的值即可． 【详解】解： ∵x是无理数， ∴， ∴原式， ∵是有理数， ∴设，则， ∵m、a、b是有理数，x是无理数， ∴，解得，． 故答案为：． 13．（2024八年级·全国·竞赛）在这2016个整数中，使得是最简分数的n共有 个． 【答案】1008 【分析】本题考查了完全平方公式、分式的除法，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先将转化为，从而可得要使是最简分数，则只需是最简分数，再判断出是偶数，由此即可得． 【详解】解：， 要使得是最简分数，则只需是最简分数， 所以是奇数，即是偶数， 因为在这2016个整数中，共有个偶数， 所以使得是最简分数的共有1008个， 故答案为：1008． 14．（2024八年级·全国·竞赛）已知实数，满足条件，则代数式 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查代数式求值，先将变形为，再把变形为，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：1． 15．（2024八年级·全国·竞赛）若为正数，且，则 ． 【答案】 【分析】先求出，再求出，最后整体代入进求解即可，此题考查了分式的运算和二次根式的运算，熟练掌握运算法则和灵活变形是解题的关键． 【详解】解：∵为正数，且， ∴，， 即， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 16．（2024七年级·全国·竞赛）已知实数满足等式，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，代数式求值；解题的关键是令求出、、的值． 令，求得，，，结合题意求出、、的值，代入即可求解． 【详解】解：设， 故，，， 则， 即， 解得：； ∴，，， ∴． 故答案为：． 17．（2024八年级·全国·竞赛）已知实数、、满足下列等式：，，，那么代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分数的混合运算法则是解题的关键． 根据分式的性质将分式适当变形后进行计算即可． 【详解】由题意知、、都不为零， ∴， 即， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 18．（2024八年级·全国·竞赛）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键． 先算小括号里面的，再算括号外面的，然后将已知等式变形，最后代入求值． 【详解】解： = = =， ∵ ∴ ∴， 故答案为：． 三、解答题 19．（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】，6 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、分式有意义的条件以及解一元二次方程等知识点，化简分式是解答本题的关键，确定x的值是解答本题的易错点． 先解一元二次方程，再根据分式的混合运算法则把原式化简，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴解得：或， ， ∵当时，分式无意义，故， 当时，． 20．（2024九年级·全国·竞赛）已知实数满足，求证：为定值． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查分式的运算，将变形为，再利用分式的基本性质即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ． 即为定值． 21．（2024八年级·全国·竞赛）已知，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式化简求值，根据题意得出是解题关键． 【详解】解：依题意得：， 原式 ． 22．（2024八年级·全国·竞赛）设a，b，c都是实数，若，求分式的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的性质．设，得出①，②，由得，求出，则，代入进行变形求值即可． 【详解】解：设，由已知得： ， 故，① 又， 故，② 得， 故，则， ∴原式． 23．（2024八年级·全国·竞赛）设n为正整数，且， ， … ． (1)求证：； (2)若，求正整数a，b的值． 【答案】(1)见解析 (2)或或或 【分析】本题考查分式的化简，整数解． （1）运用分式的运算法则计算即可； （2）由（1）可得：，，从而．设，，上式可变形为，即，根据a，b，s，t为正整数可知为正整数可得t的值，即可解答． 【详解】（1） （2）由（1）可得：，， ∵ ∴， 设，， 则，即， 故， 由a，b为正整数可知s，t为正整数， 则为整数， ∴或或或， ∴或或或， 则或或或． 33 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 分式 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 分式有无意义的条件 考点二 分式值为0的条件 考点三 分式的求值 考点四 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 考点五 求使分式值为整数时未知数的整数值 考点六 分式的基本性质 考点七 约分、通分、最简分式 考点八 分式的混合运算 考点九 分式的化简求值 考点十 负整数指数幂 考点十一 分式的规律性问题 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛试题23道） 考点一 分式有无意义的条件 1．若分式 有意义则x的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或且 2．已知分式（为常数）满足下表的信息，则下列结论错误的是（    ） 2 0 无意义 0 1 A． B． C． D． 3．下列说法中，错误的是（   ） A．不论为何值，分式总有意义 B．当时，分式的值为1 C．若分式的值为零，则 D．把分式中的值都扩大为原来的2倍，则所得分式的值扩大为原来的4倍 考点二 分式值为0的条件 4．若分式的值为0，则x的值为（   ） A．0 B．1 C． D． 5．若分式的值为，则的值为（   ） A． B． C． D．无法确定 6．已知时，分式无意义；时，分式的值为0，则的值为（ ） A．2 B． C．1 D． 考点三 分式的求值 7．已知实数a，b满足，，若关于x的一元二次方程．的两个实数根分别为，，则的值为（  ） A． B． C． D． 8．已知，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 9．实数满足，则（    ） A．186 B．188 C．190 D．192 考点四 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 10．若分式的值为正数，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D． 11．已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（   ） A． B．或 C．或 D． 12．由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 考点五 求使分式值为整数时未知数的整数值 13．已知为整数，且为正整数，则所有符合条件的的值的和为（    ） A．12 B．10 C．6 D．4 14．若的值为整数，则符合要求的整数x的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．要使式子的值为负整数，则整数的取值为（    ） A．1或2 B．2或3 C． D． 考点六 分式的基本性质 16．已知非零实数满足，且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 17．不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（   ） A． B． C． D． 18．已知（a，b，c互不相等）求（    ） A． B．1 C． D．x无解 考点七 约分、通分、最简分式 19．分式中，最简分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．设n是大于1909的正整数，且是某个整数的平方数，求得所有满足条件的n之和为(   ) A．1959 B．7954 C．82 D．3948 21．将通分后，各分式的分子之和为（   ） A． B． C． D． 考点八 分式的混合运算 22．已知为整式，若计算的结果为，则（    ） A． B． C． D． 23．已知两个分式 （且a≠1），将这两个分式进行如下运算：第一次运算： 第二次运算： 第三次运算： 继续依次运算下去，通过运算，有如下结论：①；②；③ ④（n为正整数）．以上结论正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．已知，定义，（，，n为正整数），给出下列说法： ①； ②若，则· ③对于任意正整数k，都有成立． 其中说法正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 考点九 分式的化简求值 25．已知，且．则A 的值为（   ） A．5 B．6 C．18 D．20 26．已知（，，是正数），若，则的值为（   ） A． B． C． D． 27．已知，则代数式的值为（    ） A．2021 B．2024 C．2027 D．2030 考点十 负整数指数幂 28．已知，那么的大小关系为（   ） A． B． C． D． 29．已知实数x，y满足，则的值为（     ） A．－9 B． C．9 D． 30．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．下列判断正确的是（    ） 结论I：若n的值为5，则y的值为1； 结论Ⅱ：的值为定值； 结论Ⅲ：若，则y的值为4或1． A．I，Ⅲ均对 B．Ⅱ对，Ⅲ错 C．Ⅱ错，Ⅲ对 D．I，Ⅱ均错 考点十一 分式的规律性问题 31．已知为实数，规定运算，，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（   ） A． B．3 C． D． 32．对于正数，规定，例如．则（   ） A．2022 B．2021 C． D． 33．一组有序排列的数：，，，…，，…（为正整数）．对于其中任意相邻的三个数，中间的数等于其前后两个数的积．已知，，，那么（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2024九年级·全国·竞赛）要使式子有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 2．（2023九年级上·四川眉山·竞赛）如果，那么的值为（  ） A．2或 B．0或1 C．2 D． 3．（2024七年级上·浙江宁波·竞赛）某工程，甲队独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的a倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合做所需天数的b倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的c倍，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024九年级·全国·竞赛）已知抛物线．当时，抛物线与轴的正半轴相交于点；当时，抛物线与轴的正半轴相交于点．若点在点的左边，则与的大小关系是（    ）． A． B． C． D．无法比较 5．（2024八年级·全国·竞赛）已知，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．2 6．（2024八年级·全国·竞赛）已知，则的值为（    ） A． B． C．5 D． 7．（2024八年级·全国·竞赛）已知实数，满足，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 8．（2024七年级·全国·竞赛）如果与的和是一个单项式，那么的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 9．（2024八年级·全国·竞赛）函数中自变量x的取值范围是（    ）． A． B．且 C．且或 D．且且 10．（2024八年级·全国·竞赛）如果对于任何实数x，分式总有意义，则m的取值范围是（    ）． A． B． C． D．非以上答案 二、填空题 11．（2024九年级上·浙江宁波·竞赛）使得为整数的自然数的个数为 个． 12．（2024七年级·江苏无锡·竞赛）已知a、b是有理数，x是无理数，如果是有理数，则等于 ． 13．（2024八年级·全国·竞赛）在这2016个整数中，使得是最简分数的n共有 个． 14．（2024八年级·全国·竞赛）已知实数，满足条件，则代数式 ． 15．（2024八年级·全国·竞赛）若为正数，且，则 ． 16．（2024七年级·全国·竞赛）已知实数满足等式，且，则 ． 17．（2024八年级·全国·竞赛）已知实数、、满足下列等式：，，，那么代数式的值为 ． 18．（2024八年级·全国·竞赛）已知，则的值为 ． 三、解答题 19．（2024九年级下·江苏无锡·竞赛）先化简，再求值：，其中满足． 20．（2024九年级·全国·竞赛）已知实数满足，求证：为定值． 21．（2024八年级·全国·竞赛）已知，且，求的值． 22．（2024八年级·全国·竞赛）设a，b，c都是实数，若，求分式的值． 23．（2024八年级·全国·竞赛）设n为正整数，且， ， … ． (1)求证：； (2)若，求正整数a，b的值． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$