专题07 二次根式（数学竞赛培优专项训练）

专题07二次根式 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 二次根式有意义的条件 考点二 求二次根式中的参数 考点三 利用二次根式的性质化简 考点四 复合二次根式的化简 考点五 二次根式的乘除 考点六 二次根式的加减 考点七 比较二次根式的大小 考点八 二次根式的化简求值 考点九 二次根式的应用 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛试题23道） 考点一 二次根式有意义的条件 1．若有意义，则字母x的取值范围是(    ) A．x≥1 B．x≠2 C．x≥1且x＝2 D．.x≥-1且x≠2 【答案】D 【分析】直接利用二次根式的有意义的条件分析得出答案． 【详解】有意义，则x+1≥0且x-2≠0， 解得：x≥-1且x≠2． 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关性质是解题关键． 2．已知实数a满足，那么值是（    ） A．2009 B．2008 C．2007 D．2006 【答案】A 【分析】根据二次根式有意义的条件，即可确定a的取值范围．再根据绝对值的意义就可去掉绝对值符号．得到一个绝对值不等式，从而求得． 【详解】解：已知实数a满足，可得a≥2009； 故原式化简为：a-2008+=a，即=2008， 平方可得：a-2009=20082； 整理得，a-20082=2009． 故选A． 【点睛】本题考查绝对值的化简：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 3．设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则的值是(　　) A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据根号下的数要是非负数，得到a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a=0，代入即可求出y=-x，把y=-x代入原式即可求出答案． 【详解】由于根号下的数要是非负数， ∴a（x-a）≥0，a（y-a）≥0，x-a≥0，a-y≥0， a（x-a）≥0和x-a≥0可以得到a≥0， a（y-a）≥0和a-y≥0可以得到a≤0， 所以a只能等于0，代入等式得 =0， 所以有x=-y， 即：y=-x， 由于x，y，a是两两不同的实数， ∴x＞0，y＜0． 将x=-y代入原式得： 原式=． 故选B． 【点睛】本题主要考查对二次根式的化简，算术平方根的非负性，分式的加减、乘除等知识点的理解和掌握，根据算术平方根的非负性求出a、x、y的值和代入求分式的值是解此题的关键． 考点二 求二次根式中的参数 4．已知是整数，则满足条件的最小正整数（    ）． A．5 B．0 C．3 D．75 【答案】C 【分析】此题考查了无理数与有理数的联系，根据二次根式的定义进行解答，解题的关键是正确理解什么情况下为正整数． 【详解】解：∵， ∴是一个平方数， ∴正整数最小是， 故选：． 5．若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】C 【分析】本题考查解二次根式方程，涉及二次根式乘法运算、二次根式定义及解一元一次方程等知识，熟练掌握二次根式定义是解决问题的关键． 先由二次根式乘法运算化简，再由二次根式定义得到方程，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：， ， ，即，解得， 故选：C． 6．若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 【答案】D 【分析】由二次根式的定义可知，由最简二次根式和能合并，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式和能合并， ∴， ∴， 解得， 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键． 考点三 利用二次根式的性质化简 7．化简的结果是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】先将根号内整理为和，再化简，并计算即可． 【详解】原式． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，理解是解题的关键． 8．设a、b是整数，方程x2+ax+b=0的一根是，则的值为（ ） A．2 B．0 C．-2 D．-1 【答案】C 【分析】先化简，再代入方程x2+ax+b=0并整理，根据题意列出二元一次方程组并求解求得a和b的值，再代入计算即可． 【详解】解：==1． ∵方程x2+ax+b=0的一根是， ∴++b=0． ∴． ∴． ∵、是整数， ∴ 解得 ∴==． 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的化简，一元二次方程的解，二元一次方程组的应用，正确构造二元一次方程组是解题关键． 9．已知，，，…，，其中n为正整数．设，则值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的化简以及实数数字类的规律探索；探索规律，准确计算是解题关键．根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案． 【详解】解：由题意，可得 ， ， ， …… ， ∴ ． 故选：A． 考点四 复合二次根式的化简 10．已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是把化简为． 先把化简为，然后根据已知条件求出a、b的值，即可计算的值． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 11．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 12．当时，的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案． 【详解】解：原式= 将代入得， 原式 . 故选：A. 【点睛】本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型． 考点五 二次根式的乘除 13．正方形，如图放置，，，相交于点P，Q为边上一点，且，则的最大值为（  ）    A． B． C．7 D． 【答案】B 【分析】如图，连接，取的中点O，连接，延长至E，使，连接，，利用等腰直角三角形性质可得 ，由，可得，，利用勾股定理可得，再由三角形中位线定理可得，再证得，进而得出是的中线，即，由，即可求得答案． 【详解】解：如图，连接，取的中点O，连接，延长至E，使，连接，，    ∵四边形、是正方形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即Q是的中点， 又∵点O是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点O是的中点， ∴， 在中，， ∴的最大值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形性质，直角三角形性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等，熟练运用三角形中位线定理和全等三角形的判定和性质是解题关键． 14．在矩形中，E是的中点，将沿折叠后得到，延长交直线于点F，若，则的长为（　　） A． B．3 C． 或 D．或3 【答案】C 【分析】连接，由矩形的性质得由E是的中点，得，由折叠得，则 ，可证明，得，再分两种情况讨论，一是点F线段上，因为，所以，则，由勾股定理得；二是点F在线段的延长线上，则，所以，由勾股定理得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴ ∵E是的中点， ∴， 由折叠得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ 当点F线段上，如图1 ∵， ∴， ∴， ∴； 当点F在线段的延长线上，如图2，    ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或， 故选：C． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 15．如图， 以 的两条直角边向内分别作两个等边三角形与 ，连接， 若， 则下列叙述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与交于F点，根据等边三角形的性质可得为的平分线，进而可证明是等腰直角三角形，即可得，设，根据勾股定理可得，进而可求解与的关系，即可判定求解． 【详解】解：设与交于F点， ∵，和是等边三角形， ∴， ∴ ∴为的平分线， ∴，且F为的中点， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， 在中，， 在中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：D． 【点睛】本题主要考查勾股定理，二次根式的除法运算，含角的直角三角形，等腰直角三角形，等边三角形的性质等知识的综合运用，根据勾股定理，利用x表示的长是解题的关键． 考点六 二次根式的加减 16．由12个有公共顶点O的直角三角形拼成的图形如图所示，，且点M在线段上．若，则的长为（    ）    A．9 B． C． D． 【答案】D 【分析】由，，根据勾股定理可得，同理即可求得的长． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴，， ∴， 同理，， ， ， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了图形的变化规律，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，直角三角形的性质，找出图形的变化规律是解决本题的关键． 17．已知多项式，下列说法正确的有（ ）个： ①若，则； ②若为整数，则整数的值为2或6； ③的最小值为； ④令，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据代数式求值对①进行判断即可；②将化为，根据式子为整数分析求解即可；③求出，即可得出最小值；④根据分母有理化算出，进而求解即可． 【详解】解：①当时，，故①正确； ②当整数时，则为整数， 为整数， 为整数，取整数， 当或时，也为整数，故②错误； ③， 当时，的最小值为，故③错误； ④ ， ， ， ， ， ， 故④正确， 故选:B． 【点睛】本题考查了代数式求值，分母有理化，数字规律探索，分式的混合运算，二次根式的性质化简等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 18．例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫作分母有理化．有下列结论： ①若a是的小数部分，则的值为； ②； ③已知，，则； ④设实数m，n满足，则．其中说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了分母有理化．熟练掌握平方差公式，有理化因式，完全平方公式变形求值，二次根式的混合运算，是解题的关键．判断四个结论的正确性，逐一分析每个结论的解题过程． ①的小数部分．得，结论①正确． ②，结论②错误． ③可得，，得，结论③错误． ④由已知得，得，由，得，得，得．结论④正确． 【详解】解：①∵， ∴， ∴的整数部分为1， ∴小数部分． ∴． ∴①正确． ②∵ ， ∴②错误． ③∵，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴③错误． ④：∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴④正确． 综上，正确结论为①和④，共2个． 选：B． 考点七 比较二次根式的大小 19．已知为整数，且满足，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的大小比较，先计算，结合，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵为整数， ∴的最大值为； 故选：C 20．若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别将a、b、c平方，利用完全平方公式和二次根式的性质化简后对平方进行比较得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ， ∵，即， ∵a、b、c都是大于0的实数， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键． 21．已知，，，那么a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把化为再结合从而可得答案． 【详解】解：∵， ， ， 而 ∴ 故选A． 【点睛】本题考查的是二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，掌握“二次根式的大小比较的方法”是解本题的关键． 考点八 二次根式的化简求值 22．若，则的值为（   ） A．90 B．91 C．93 D．95 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先根据分母有理化化简x，y的值，求出，，再根据完全平方公式的变形计算解题． 【详解】解：，， ∴，， ∴， 故选：D． 23．的整数部分为，小数部分为，的值为（    ） A． B．2 C．7 D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算、二次根式的运算、利用平方差公式进行计算，先估算出，得出，从而得出，，代入式子，利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：， ，即， ， 的整数部分为，小数部分为， ，， ， 故选：C． 24．已知x＝，则x6﹣2x5﹣x4＋x3﹣2x2＋2x﹣的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】对已知进行变形，再代入所求式子，反复代入即可． 【详解】， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，对所求式子进行变形，反复代入x的值即可解决． 考点九 二次根式的应用 25．设，的最小值为，使得取最小值的x值为n，则（    ） A．8 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的求值，二次根式的运算，将转化为的形式，利用完全平方的非负性，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴当，即：时，有最小值， ∴， ∴； 故选D． 26．对于已知三角形的三条边长分别为,,，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式：，其中,若一个三角形的三边长分别为,,，则其面积（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据公式解答即可． 【详解】根据题意，若一个三角形的三边长分别为，，4，则 其面积为 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式的应用、数学常识等知识，难度较难，掌握相关知识是解题关键． 27．如图，一块正方形地砖的图案是由4个全等的五边形和1个小正方形组成的，已知小正方形的面积和五边形的面积相等，并且图中线段a的长度为，则这块地砖的面积为（    ） A．50 B．40 C．30 D．20 【答案】B 【分析】如图，根据题意易知，点O为正方形的中心，利用图中的面积关系最终可推出，设正方形ABCD的边长为,则,以此可得方程，解此方程，再将a的值代入即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意易知，点O为正方形的中心， ∴，即，， ∵， ∴， ∵， ∴， 设正方形ABCD的边长为,则, ∴，解得：， ∵， ∴或， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查全等图形、正方形的性质、二次根式的应用、一元二次方程的应用等知识点，利用已知条件，得到各部分图形之间的面积关系并列出方程是解题关键． 一、单选题 1．（2023九年级上·四川眉山·竞赛）已知，是一元二次方程的两根，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及二次根式的化简．根据根与系数的关系得到，可知，然后化简代入求值是解题的关键． 【详解】解：，是一元二次方程的两根， ，， ，， ， 故选：B 2．（2024八年级下·浙江温州·竞赛）的末位数字是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键中熟练掌握幂的乘方法则和二次根式的性质与化简． 先根据乘方的意义，把、化成、，再求出它们的末位数字，从而可求解． 【详解】解：∵， 又∵，，，，，… ∴的末位数字依次为：2，4，8，6，2，4，…，每4个一循环， ∵， ∴的末位数字为6． ∵，，，，，… ∴的末位数字依次为：3，9，7，1，3，9，… ∵， ∴的末位数字为1． ∴的末位数字为：． 故选：D． 3．（2024七年级·全国·竞赛）已知，则的值为（    ）． A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值，根式的化简，熟练掌握根式的化简是解答本题的关键．先求的值，再求和的值，最后代入，根据根式运算法则求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 故选：A． 4．（2024八年级·全国·竞赛）若，其中都是整数，则的值为（    ）． A． B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，代数式求值，化最简二次根式．先根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，进而求出a、b、c的值，最后代入即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得： ， ∴． 故选：A． 5．（2024八年级·全国·竞赛）已知，则的值为（    ） A．36 B．24 C．18 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，平方差公式，设，进而得出，求出的值，即可得到答案． 【详解】解：设，则， ， ， ， 即的值为12， 故选：D． 6．（2024八年级·全国·竞赛）已知x，y为实数，且，则y的最小值是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质以及绝对值的意义，根据二次根式的性质得，结合绝对值的意义可得表示数轴上某个点x与0，，2三个点的距离之和，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴表示数轴上某个点x与0，，2三个点的距离之和， 由绝对值的意义可知：当时，y取得最小值3． 故选：C． 7．（2024八年级·全国·竞赛）计算：（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的加减，熟练掌握二次根式的加减运算法则以及完全平方公式是解答的关键， 【详解】解： 故选D 8．（2024九年级·全国·竞赛）已知关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（    ）． A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件，根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，以及二次根式有意义的条件得出且，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意得：且， 解得且， 故选：D． 9．（2024九年级·全国·竞赛）若是关于的一元二次方程的两根，则的值为（     ） A． B．8 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了根与系数的关系．先整理成一般式，利用根与系数的关系分另求得和的值，再代入求解即可． 【详解】解：方程整理得， ∵是关于的一元二次方程的两根， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 10．（2024八年级·全国·竞赛）若，则A的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，算术平方根的定义，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．先根据二次根式的性质化简A的值，再根据算术平方根的定义即可得到答案． 【详解】解： A的算术平方根是． 故选：C． 二、填空题 11．（2024八年级·全国·竞赛） ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练利用完全平方公式化简二次根式是解本题的关键．把原式化为，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12．（2024八年级·全国·竞赛）已知，且，，则的值为 ． 【答案】32 【分析】根据二次根式的性质化简，得：；根据立方根的定义化简，得：．联立解二元一次方程组，得：，再根据平方根和立方根的定义求出x和y的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 联立， 解得：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：32． 【点睛】本题考查平方根和立方根的定义，利用二次根式的性质化简，解二元一次方程组，代数式求值等知识．根据二次根式的性质和立方根的定义，结合解二元一次方程组的步骤求出a和b的值是解题关键． 13．（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）已知关于的方程恰有两个实数解，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式的性质，两直线交点问题；设问题转化为与的图象恰好有两个不同的交点，画出函数图象，结合图形，即可求解． 【详解】解：设 ∴ 画函数图象如图，要使原方程恰好有两个实数解， 所以与的图象恰好有两个不同的交点， ∴或 解得：且， 故答案为：且． 14．（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）已知，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查平方差公式的运用，代数式求值，积的乘方的逆用，二次根式的混合运算，根据题意得到当时，，当时，，再结合平方差公式进行因式分解并运算，即可解题． 【详解】解：， 当时，， 当时，， ． 故答案为：1． 15．（2024九年级·全国·竞赛）已知正整数满足不等式，则的最大值与最小值之差为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了分数有理化，找出规律得出，进而得出答案． 【详解】解：， 原不等式可化为， 解得， ， ，． 故答案为：15． 16．（2024八年级·全国·竞赛）已知，则化简为 ． 【答案】 【分析】先判断出，再根据二次根式的性质化简原式即可．此题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为： 17．（2024八年级·全国·竞赛）已知，则 ． 【答案】3 【分析】根据a，b，c两两的差是个常数，构造完全平方公式求值．本题考查求代数式的值，找到a，b，c的关系，利用完全平方差公式计算是求解本题的关键． 【详解】解：由题意得：． ∴ ． 故答案为：3． 18．（2024八年级·全国·竞赛）定义一种新的运算“”：，其中、为常数，且使得等式恒成立，那么 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的意义，幂的运算，求代数式的值，正确理解二次根式的意义是解答本题的关键．先根据二次根式的意义列出不等式组并求解，得到，再代入方程求出b的值，从而得到，依此即可求得答案． 【详解】根据题意得， ， ， 将代入得， 解得， ， ． 故答案为：1． 三、解答题 19．（2024九年级·全国·竞赛）若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，涉及整体代入法；先化简分式，再由，得到，变形为，即可求得的值．关键是由已知变形求得． 【详解】解： ； ∵， ∴， ∴， ∴， 即原式． 20．（2024七年级·全国·竞赛）已知等式成立，求的立方根和的平方根． 【答案】； 【分析】本题考查了二次根式的非负性，绝对值的非负性，平方根和立方根，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据题意得到，，，得到，，再代入求的立方根和的平方根，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，，， ∴，． ∴的立方根，的平方根． 21．（23-24八年级下·甘肃武威·竞赛）挖掘问题中的隐含条件，解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知a，b是实数，且，化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件及利用二次根式的性质化简，解题关键是掌握二次根式有意义的条件，挖掘出隐含条件． （1）由根号内的数据大于等于0，得，解得，再根据，去根号，化简求解即可； （2）由根号内的数据大于等于0，得，且，解得，将的值代入式子，得的取值范围，再对进行去根号，化简即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ， ， ， 解得． （2）解：由题意，得 ，且， 且， ， ，， ，， ． 22．（2024八年级下·山东济宁·竞赛）求的值． 解：设x=，两边平方得：，即，x2=10 ∴x=． ∵＞0，∴=． 请利用上述方法，求的值． 【答案】 【分析】根据题意给出的解法即可求出答案即可． 【详解】设x=+， 两边平方得：x2=（）2+（）2+2， 即x2=4++4﹣+6， x2=14 ∴x=±． ∵+＞0，∴x=． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是正确理解题意给出的解法，本题属于中等题型． 23．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在正方形中，点为对角线上一点，为等边三角形． (1)当点在何处时，的值最小，说明理由； (2)当正方形的边长为8时，求的最小值是多少？ 【答案】(1)为与的交点．证明见解析 (2)的最小值为：． 【分析】（1）如图，将线段顺时针旋转得线段，连接，，证明，可得当，，，四点共线时，如图，此时最小，可得为与的交点． （2）如图，过作交的延长线于，证明，可得，，再利用勾股定理可得最小值． 【详解】（1）解：如图，将线段顺时针旋转得线段，连接，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形． ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当，，，四点共线时，如图， 此时最小， ∴为与的交点． （2）如图，过作交的延长线于， ∵正方形，等边三角形，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为：． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，等边三角形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 32 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07二次根式 目录概览 A考点精研・竞赛考点专项攻坚 考点一 二次根式有意义的条件 考点二 求二次根式中的参数 考点三 利用二次根式的性质化简 考点四 复合二次根式的化简 考点五 二次根式的乘除 考点六 二次根式的加减 考点七 比较二次根式的大小 考点八 二次根式的化简求值 考点九 二次根式的应用 B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛试题23道） 考点一 二次根式有意义的条件 1．若有意义，则字母x的取值范围是(    ) A．x≥1 B．x≠2 C．x≥1且x＝2 D．.x≥-1且x≠2 2．已知实数a满足，那么值是（    ） A．2009 B．2008 C．2007 D．2006 3．设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则的值是(　　) A．3 B． C．2 D． 考点二 求二次根式中的参数 4．已知是整数，则满足条件的最小正整数（    ）． A．5 B．0 C．3 D．75 5．若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 6．若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 考点三 利用二次根式的性质化简 7．化简的结果是（    ） A． B． C．2 D． 8．设a、b是整数，方程x2+ax+b=0的一根是，则的值为（ ） A．2 B．0 C．-2 D．-1 9．已知，，，…，，其中n为正整数．设，则值是（    ） A． B． C． D． 考点四 复合二次根式的化简 10．已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 11．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 12．当时，的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 考点五 二次根式的乘除 13．正方形，如图放置，，，相交于点P，Q为边上一点，且，则的最大值为（  ）    A． B． C．7 D． 14．在矩形中，E是的中点，将沿折叠后得到，延长交直线于点F，若，则的长为（　　） A． B．3 C． 或 D．或3 15．如图， 以 的两条直角边向内分别作两个等边三角形与 ，连接， 若， 则下列叙述正确的是（    ） A． B． C． D． 考点六 二次根式的加减 16．由12个有公共顶点O的直角三角形拼成的图形如图所示，，且点M在线段上．若，则的长为（    ）    A．9 B． C． D． 17．已知多项式，下列说法正确的有（ ）个： ①若，则； ②若为整数，则整数的值为2或6； ③的最小值为； ④令，则． A．1 B．2 C．3 D．4 18．例如：．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫作分母有理化．有下列结论： ①若a是的小数部分，则的值为； ②； ③已知，，则； ④设实数m，n满足，则．其中说法正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点七 比较二次根式的大小 19．已知为整数，且满足，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 20．若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 21．已知，，，那么a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 考点八 二次根式的化简求值 22．若，则的值为（   ） A．90 B．91 C．93 D．95 23．的整数部分为，小数部分为，的值为（    ） A． B．2 C．7 D． 24．已知x＝，则x6﹣2x5﹣x4＋x3﹣2x2＋2x﹣的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 考点九 二次根式的应用 25．设，的最小值为，使得取最小值的x值为n，则（    ） A．8 B．6 C． D． 26．对于已知三角形的三条边长分别为,,，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式：，其中,若一个三角形的三边长分别为,,，则其面积（    ） A． B． C． D． 27．如图，一块正方形地砖的图案是由4个全等的五边形和1个小正方形组成的，已知小正方形的面积和五边形的面积相等，并且图中线段a的长度为，则这块地砖的面积为（    ） A．50 B．40 C．30 D．20 一、单选题 1．（2023九年级上·四川眉山·竞赛）已知，是一元二次方程的两根，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（2024八年级下·浙江温州·竞赛）的末位数字是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 3．（2024七年级·全国·竞赛）已知，则的值为（    ）． A．1 B．2 C． D． 4．（2024八年级·全国·竞赛）若，其中都是整数，则的值为（    ）． A． B．4 C．6 D．8 5．（2024八年级·全国·竞赛）已知，则的值为（    ） A．36 B．24 C．18 D．12 6．（2024八年级·全国·竞赛）已知x，y为实数，且，则y的最小值是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2024八年级·全国·竞赛）计算：（    ） A． B．2 C． D． 8．（2024九年级·全国·竞赛）已知关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（    ）． A． B． C．且 D．且 9．（2024九年级·全国·竞赛）若是关于的一元二次方程的两根，则的值为（     ） A． B．8 C．2 D． 10．（2024八年级·全国·竞赛）若，则A的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2024八年级·全国·竞赛） ． 12．（2024八年级·全国·竞赛）已知，且，，则的值为 ． 13．（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）已知关于的方程恰有两个实数解，则的取值范围为 ． 14．（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）已知，则 ． 15．（2024九年级·全国·竞赛）已知正整数满足不等式，则的最大值与最小值之差为 ． 16．（2024八年级·全国·竞赛）已知，则化简为 ． 17．（2024八年级·全国·竞赛）已知，则 ． 18．（2024八年级·全国·竞赛）定义一种新的运算“”：，其中、为常数，且使得等式恒成立，那么 ． 三、解答题 19．（2024九年级·全国·竞赛）若，求的值． 20．（2024七年级·全国·竞赛）已知等式成立，求的立方根和的平方根． 21．（23-24八年级下·甘肃武威·竞赛）挖掘问题中的隐含条件，解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知a，b是实数，且，化简． 22．（2024八年级下·山东济宁·竞赛）求的值． 解：设x=，两边平方得：，即，x2=10 ∴x=． ∵＞0，∴=． 请利用上述方法，求的值． 23．（2024九年级·全国·竞赛）如图，在正方形中，点为对角线上一点，为等边三角形． (1)当点在何处时，的值最小，说明理由； (2)当正方形的边长为8时，求的最小值是多少？ 6 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$