第三章 概率的进一步认识（高效培优单元测试·强化卷）数学北师大版九年级上册

第三章 概率的进一步认识单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图所示的纸片是由2个灰色和4个白色小正方形组成，剪去两个白色小正方形，剩下的纸片是轴对称图形的概率为（   ） A． B． C． D． 2．在一个不透明的袋子中有40个除颜色以外均相同的小球，每次摸球前都先将袋子里的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验以后，发现摸到黄球的频率稳定于，则可以估计袋中黄球的个数约为（   ） A．2 B．4 C．8 D．10 3．如图所示电路中，随机闭合，，中的两个，能让其中一个灯泡发光的概率是（    ） A． B． C． D．1 1．某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如下表：（  ） 抛掷次数 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750 “正面朝上”的频率 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（  ） A． B． C． D． 5．袋中有红、黄、白球各一个，每次随机取出一个，有放回地取3次，记“三次颜色全相同”的概率为，“三次颜色不全相同”的概率为，“三次颜色全不相同”的概率为，那么下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 6．某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成12个扇形），并规定顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域（若指针转到分界线上，则重新转动转盘），那么顾客就可以分别获得45元、30元、15元的购物券．小明在该商场购买了120元的商品，则他转动一次转盘所获得购物券金额的平均数是（   ） A．7.5元 B．11.25元 C．12.5元 D．30元 7．如图所示，是地理学科实践课上第一小组同学在一张面积为的长方形卡纸上绘制的广东省政区图，他们想了解该图案的面积是多少，经研究采取了以下办法：将长方形卡纸水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果）．他们将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 8．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（   ） A．掷一枚一元硬币，落地后正面朝上 B．掷一个正六面体的骰子，朝上的面的点数是3的倍数 C．在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，人或车随意经过路口时，遇到的恰好是红灯 D．一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取1球，取出的球是黄球 9．同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与，与．在一次制取的实验中，与的原子个数比为，与的原子个数比为，若实验恰好完全反应生成，则反应生成概率（   ） A． B． C． D． 10．如图，为了鼓励消费，某商场设置一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 360 500 800 1000 落在“饮料”区域次数m 32 39 64 102 155 243 299 则转盘中“饮料”区域的圆心角的度数近似是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在整数20250416中，数字“0”出现的频率是 ． 12．在创建国家生态园林城市活动中，某市园林部门为了扩大城市的绿化面积进行了大量的树木移栽．下表记录的是在相同的条件下移栽某种幼树的棵数与成活棵数： 移栽棵数 100 1000 10000 100000 成活棵数 89 910 9008 90005 若该园林部门准备移植220000棵树木，则依此估计有 棵树木可以成活． 13．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中有两个格点，在网格的其他格点上任取一点，恰能使为等腰直角三角形的概率是 ． 14．在一个不透明的口袋中，装有红球和黄球共20个，它们除颜色外没有任何区别．摇匀后从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，发现摸到黄球的频率是0.4，则口袋中大约有黄球 个． 15．三张写有不同整式运算式子的卡片，除正面内容不同外其余完全相同，卡片置于暗箱中摇匀，任意抽取两张卡片，卡片上整式运算都正确的概率是 ． 16．如图，是一组悬挂在天花板上的吊灯，清洗时每次取下一个吊灯，每个吊灯被取下的概率相等，直到3个吊灯都被取下为止，则清洗时第二个取下的吊灯是A的概率是 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．一个不透明的口袋中有4个大小，质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数，2，，4．摇匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的3个球中任意摸出1个球，用列表或画树状图的方法求两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率． 18．通常，选择题有4个选择支，其中有且只有1个选择支是正确的． (1)小明从某选择题的4个选择支中任选1个选择支，答对和答错的可能性谁更大，为什么？ (2)现有20道选择题，小明认为只要在每道题中任选1个选择支，就必有5道题的选择结果是正确的．你认为小明的说法正确吗？说说你的理由． 19．桌面上倒扣着3个不透明的纸杯，其中2个纸杯中放有小球． (1)随机翻开1个纸杯，其中放有小球的概率是__________； (2)随机翻开2个纸杯，求2个纸杯中均放有小球的概率． 20．为满足学生个性化需求，促进学生德智体美劳全面发展，我市某中学开展“特色选修课育人计划”，其中包含：A．文学欣赏，B．数学思维，C．体育与健康，D．科学实验四门课程，每位学生需从这些课程中选择两门进行学习． (1)从选修课程里面选到“英语口语”属于________事件（选填“随机”“必然”或“不可能”）； (2)用列表法或画树状图法求出选到的两门课程中恰好包含“数学思维”课程的概率． 21．如图，一个可自由转动的转盘被平均分成12等份，分别标有1~12这12个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．（若指针恰好指在分割线上，则重转） (1)转动一次转盘，分别求出转出的数字是偶数和奇数的概率； (2)小浩和小宇一起玩游戏，若转出的数字是2的倍数，小浩获胜；若转出的数字是3的倍数，小宇获胜．这个游戏对双方公平吗？说明理由． 22．商场在国庆期间举行部分商品优惠促销活动，顾客只能从以下两种方案中选择一种： 方案一：购物每满元减元； 方案二：顾客购物达元可抽奖一次，具体规则是：在一个箱子内装有四张一样的卡片，四张卡片中有张写着数字，张写着数字，顾客随机从箱子内抽出两张卡片，两张卡片上的数字和记为，的值和享受优惠如表所示． 的值 实际付款 折 折 折 (1)若按方案二的抽奖方式，利用树形图（或列表法）求一次抽奖获得折优惠的概率； (2)若某顾客的购物金额为元，请你应用统计概率的知识帮助分析该顾客应选择哪种方案较为实惠． 23．在正方形网格中已有个位置放入了涂色的方块，已知方块与正方形网格中的小正方形的边长相等，将方块、随机放入网格，已知只能放在位置、、、中的一个位置，只能放在位置、、、中的一个位置，根据方块、的位置不同，所有涂色的个方块组成不同的图案． (1)固定方块在位置上，随机移动方块，求个方块组成的图案是轴对称图形的概率； (2)同时移动方块、方块， 用画树状图或列表的方法求6个方块组成轴对称图形的概率； 直接写出移动方块、方块后的个方块组成的图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率． 24．在一个不透明的盒子里装有若干个白球和黑球（除颜色外都相同），小颖与同学们做摸球试验，摸球方法是：将盒子里面的球摇匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，统计同学们的摸球结果，记录的数据如表所示： 试验次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 摸到白球的次数 70 105 198 235 288 375 408 490 ②____ 599 摸到白球的频率 ①____ 0.525 0.66 0.588 0.576 0.625 0.583 0.613 0.6 0.599 (1)请将表中数据补充完整； (2)根据表格补全折线统计图； (3)根据试验数据估计从这个口袋中摸出白球的概率是______（保留一位小数）； (4)如果按此方法再摸1000次，并将这1000次试验获得的数据也绘制成折线统计图，那么这两幅折线统计图一般会一样吗？为什么？ 25．期中考试结束后，九（1）班数学老师将本班所有同学的数学成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和不完整的频数分布直方图． 请根据扇形统计图和不完整的频数分布直方图提供的信息，解答下列问题： (1)九（1）班有学生___________人，并补全频数分布直方图； (2)九（1）班欢欢同学的数学期中成绩为88分，请判断她的数学期中成绩能否进入本班数学期中成绩的前，并说明理由； (3)九（1）班数学期中成绩并列最高分有4人，并且是两名男生和两名女生，若从他们4人中随机选两人参加学校组织的数学竞赛活动，利用画树状图或列表的方法求恰好选中一名男生和一名女生参赛的概率． 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 概率的进一步认识单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图所示的纸片是由2个灰色和4个白色小正方形组成，剪去两个白色小正方形，剩下的纸片是轴对称图形的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了轴对称图形和概率求解，根据题意画出图形即可求解． 【详解】解：如图所示，总共有6种情况，有1，2，5，6，共4种情况能使得剩下的纸片是轴对称图形， 则所求概率为． 故选：C． 2．在一个不透明的袋子中有40个除颜色以外均相同的小球，每次摸球前都先将袋子里的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验以后，发现摸到黄球的频率稳定于，则可以估计袋中黄球的个数约为（   ） A．2 B．4 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查的是根据频率估计概率，当大量重复试验时，事件发生的频率会趋近于其概率，黄球的频率稳定在，说明黄球的概率约为，由此建立方程求解． 【详解】解：设袋中黄球的个数为，总球数为40， 根据频率估计概率可得：， 解得：， 因此，袋中黄球的个数约为8个， 故选：C． 3．如图所示电路中，随机闭合，，中的两个，能让其中一个灯泡发光的概率是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及能让其中一个小灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：由电路图可知，同时闭合开关和时，小灯泡发光，同时闭合开关和时，小灯泡发光． 列表如下： 共有6种等可能的结果，其中能让其中一个小灯泡发光的结果有：，，，，共4种， ∴能让其中一个小灯泡发光的概率是． 故选：C． 1．某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如下表：（  ） 抛掷次数 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750 “正面朝上”的频率 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，根据频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，该常数即可作为概率的估计值．观察表格数据，随着抛掷次数增加，频率逐渐稳定在附近，即可得出答案． 【详解】解：当抛掷次数较小时（如20次、60次等），频率波动较大（、等），当次数增加到500次及以上时，频率稳定在，所以抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为． 故选：B． 5．袋中有红、黄、白球各一个，每次随机取出一个，有放回地取3次，记“三次颜色全相同”的概率为，“三次颜色不全相同”的概率为，“三次颜色全不相同”的概率为，那么下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题是一个关于古典概型概率计算的问题．通过有放回地从装有红、黄、白球各一个的袋中取球 3 次这一试验情境，计算不同事件的概率．本题主要考查古典概型的概率计算、对立事件的概率性质以及分步乘法计数原理．解题的关键在于准确确定基本事件总数，以及各事件所包含的基本事件个数，合理运用概率公式和相关原理进行计算，同时要注意对立事件关系的运用． 【详解】解：画出如图所示的树状图． 共有27种等可能的结果，则 ∴，，， 故选 A． 6．某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成12个扇形），并规定顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域（若指针转到分界线上，则重新转动转盘），那么顾客就可以分别获得45元、30元、15元的购物券．小明在该商场购买了120元的商品，则他转动一次转盘所获得购物券金额的平均数是（   ） A．7.5元 B．11.25元 C．12.5元 D．30元 【答案】C 【分析】本题考查了几何概率，加权平均数，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由题意得45元、30元、15元的购物券分别为，再求加权平均数即可． 【详解】解：由题意得：由题意得45元、30元、15元、0元的购物券分别为， ， 故选：C． 7．如图所示，是地理学科实践课上第一小组同学在一张面积为的长方形卡纸上绘制的广东省政区图，他们想了解该图案的面积是多少，经研究采取了以下办法：将长方形卡纸水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果）．他们将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用频率估算概率，几何概率，先根据折线图，利用频率估算出概率，再利用几何概率的计算公式，进行求解即可． 【详解】解：由图可知，随着试验次数的增加，频率稳定在左右， ∴， ∴不规则图案的面积为； 故选D． 8．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（   ） A．掷一枚一元硬币，落地后正面朝上 B．掷一个正六面体的骰子，朝上的面的点数是3的倍数 C．在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，人或车随意经过路口时，遇到的恰好是红灯 D．一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取1球，取出的球是黄球 【答案】B 【分析】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率等于所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】解：折线图显示概率约． A. 掷一枚一元硬币，落地后正面朝上的概率为，故本选项不符合题意； B. 掷一个正六面体的骰子，朝上的面的点数是3的倍数，其概率为，故本选项符合题意； C. 在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，人或车随意经过路口时，遇到的恰好是红灯的概率为，故本选项不符合题意； D. 一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取1球，取出的球是黄球的概率为，故本选项不符合题意； 故选：B． 9．同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与，与．在一次制取的实验中，与的原子个数比为，与的原子个数比为，若实验恰好完全反应生成，则反应生成概率（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．根据反应的化学方程式，画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出反应生成的结果数，然后根据概率公式求解．． 【详解】解：反应的化学方程式为， 与的原子个数比为，与的原子个数比为， 反应后生成的中来自于反应物C，而来自于反应物O， 共有6种等可能的结果数，其中反应生成的结果数为2， ∴反应生成的概率为， 故选：B． 10．如图，为了鼓励消费，某商场设置一个可以自由转动的转盘．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针指向哪个区域顾客就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 150 200 360 500 800 1000 落在“饮料”区域次数m 32 39 64 102 155 243 299 则转盘中“饮料”区域的圆心角的度数近似是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由频率估计概率以及求扇形统计图的圆心角，先由表格数据得到，再根据圆周角为，列式计算，即可作答． 【详解】解：∵先由表格数据得到， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在整数20250416中，数字“0”出现的频率是 ． 【答案】 【分析】本题考查频率，用0的个数除以所有数字的个数，进行计算即可． 【详解】解：由题意，数字“0”出现的频率是； 故答案为：． 12．在创建国家生态园林城市活动中，某市园林部门为了扩大城市的绿化面积进行了大量的树木移栽．下表记录的是在相同的条件下移栽某种幼树的棵数与成活棵数： 移栽棵数 100 1000 10000 100000 成活棵数 89 910 9008 90005 若该园林部门准备移植220000棵树木，则依此估计有 棵树木可以成活． 【答案】 【分析】本题考查的是用大量试验得出的频率去估计事件的概率，用到的知识点是概率所求情况数与总情况数之比； 先计算出移栽100棵、1000棵、10000棵、100000棵树成活的概率； 再计算三次概率之和与4的商即为所估计的概率，再计算220000棵树木可以成活的数量． 【详解】解：根据抽样的意义可得幼树成活的概率为：， ， 故答案为：． 13．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中有两个格点，在网格的其他格点上任取一点，恰能使为等腰直角三角形的概率是 ． 【答案】 【分析】根据题意，一共有种等可能性，其中能使为等腰直角三角形的有4种，解答即可． 本题考查了简单地概率公式应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，一共有种等可能性，其中能使为等腰直角三角形的有4种，如图所示： 故使为等腰直角三角形的概率是． 故答案为：． 14．在一个不透明的口袋中，装有红球和黄球共20个，它们除颜色外没有任何区别．摇匀后从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，发现摸到黄球的频率是0.4，则口袋中大约有黄球 个． 【答案】8 【分析】本题主要考查用频率估计概率，正确进行计算是解题关键．根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到摸到黄球的概率是0.4，据此求出黄球的数量，进而求解即可． 【详解】解：∵摸到黄球的概率是0.4， ∴黄球的个数为（个）， 故答案为：8． 15．三张写有不同整式运算式子的卡片，除正面内容不同外其余完全相同，卡片置于暗箱中摇匀，任意抽取两张卡片，卡片上整式运算都正确的概率是 ． 【答案】 【分析】先根据相关运算法则计算判断，记，这3张卡片分别为，列表得出所有等可能的结果数，以及抽取两张卡片上整式运算都正确的结果数，再利用概率公式求解，即可解题． 【详解】解：，3个整式运算中正确的有，两个， 记，这3张卡片分别为， 根据题意列表如下： A B C A (A,B) (A,C) B (B,A) (B,C) C (C,A) (C,B) 由表中数据可知，总共有中情况，其中抽取两张卡片上整式运算都正确的有两种情况， 任意抽取两张卡片，卡片上整式运算都正确的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，列表法与树状图求概率，熟练掌握相关运算法则，列表法与树状图法求概率，以及概率公式是解答本题的关键． 16．如图，是一组悬挂在天花板上的吊灯，清洗时每次取下一个吊灯，每个吊灯被取下的概率相等，直到3个吊灯都被取下为止，则清洗时第二个取下的吊灯是A的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列举法求概率，先列举出所有的可能情况：，，，，，，然后根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题可知，共有，，，，，，6种等可能的结果，其中第二个取下的吊灯是A的结果有两种， ∴P（清洗时第二个取下的吊灯是A）． 故答案为：． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．一个不透明的口袋中有4个大小，质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数，2，，4．摇匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的3个球中任意摸出1个球，用列表或画树状图的方法求两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率． 【答案】 【分析】本题主要考查利用列表法或树状图法求概率．利用树状图求和得出所有等可能结果，然后找出满足条件的结果求解即可． 【详解】解：如图所示， 共有12种等可能结果，其中乒乓球球面上的数之和是正数的结果有8种， ∴两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率为． 18．通常，选择题有4个选择支，其中有且只有1个选择支是正确的． (1)小明从某选择题的4个选择支中任选1个选择支，答对和答错的可能性谁更大，为什么？ (2)现有20道选择题，小明认为只要在每道题中任选1个选择支，就必有5道题的选择结果是正确的．你认为小明的说法正确吗？说说你的理由． 【答案】(1)答错的可能性更大，见解析 (2)小明的推断是不正确的，见解析 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是理解题意，难度不大． （1）根据概率的定义解答即可； （2）根据大量重复试验中事件发生的频率约等于事件发生的概率即可求解． 【详解】（1）解：答错的可能性更大，理由如下： ∵小明答对的概率为，答错的概率为， ∴答错的可能性更大； （2）解：小明的推断是不正确的，理由如下： 因为20题的题量较小，只有当题量很大时，在每道选择题中任选1个选择支，其选择结果正确的频率才能在常数附近摆动，由此才可以估计其选择的结果正确的概率为． 19．桌面上倒扣着3个不透明的纸杯，其中2个纸杯中放有小球． (1)随机翻开1个纸杯，其中放有小球的概率是__________； (2)随机翻开2个纸杯，求2个纸杯中均放有小球的概率． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了概率公式，列举法求概率，掌握概率公式是解题关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）利用列举法求解即可． 【详解】（1）解：桌面上倒扣着3个不透明的纸杯，其中2个纸杯中放有小球， 则随机翻开1个纸杯，其中放有小球的概率是， 故答案为：； （2）解：所有可能出现的结果有：（球1，球2）、（球1，无）、（球2，无）共3种，它们出现的可能性相同． 所有的结果中，满足“2个纸杯中均放有小球”（记为事件M）的结果有1种， 所以． 20．为满足学生个性化需求，促进学生德智体美劳全面发展，我市某中学开展“特色选修课育人计划”，其中包含：A．文学欣赏，B．数学思维，C．体育与健康，D．科学实验四门课程，每位学生需从这些课程中选择两门进行学习． (1)从选修课程里面选到“英语口语”属于________事件（选填“随机”“必然”或“不可能”）； (2)用列表法或画树状图法求出选到的两门课程中恰好包含“数学思维”课程的概率． 【答案】(1)不可能 (2) 【分析】本题主要考查了不可能事件、运用列表法求概率等知识点，审清题意、正确列表成为解题的关键． （1）根据不可能事件的定义即可解答； （2）先根据题意列表确定所有等可能结果数以及满足题意的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：因为课程中不包含“英语口语”，则选到“英语口语”属于不可能事件． 故答案为：不可能． （2）解：根据题意可列表格如下， A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 根据表格可知共有12种等可能的结果，其中选到的两门课程中恰好包含“数学思维”课程的结果有6种，即：， ∴选到的两门课程中恰好包含“数学思维”课程的概率为． 21．如图，一个可自由转动的转盘被平均分成12等份，分别标有1~12这12个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．（若指针恰好指在分割线上，则重转） (1)转动一次转盘，分别求出转出的数字是偶数和奇数的概率； (2)小浩和小宇一起玩游戏，若转出的数字是2的倍数，小浩获胜；若转出的数字是3的倍数，小宇获胜．这个游戏对双方公平吗？说明理由． 【答案】(1)转出的数字是偶数的概率为，转出的数字是奇数的概率为 (2)这个游戏对双方不公平，见解析 【分析】此题考查了概率的有关求解，熟练掌握概率的求解公式是解题的关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）根据概率公式计算出两个人获胜的概率，然后比较即可． 【详解】（1）解：这12个数字中，偶数有2，4，6，8，10，12共6个， 奇数有1，3，5，7，9，11共6个， 所以转出的数字是偶数的概率为， 转出的数字是奇数的概率为； （2）不公平. 理由：这12个数字中，是2的倍数的有2，4，6，8，10，12共6个， 是3的倍数的有3，6，9，12共4个， 所以小浩获胜的概率是，小宇获胜的概率是， 因为，所以这个游戏对双方不公平． 22．商场在国庆期间举行部分商品优惠促销活动，顾客只能从以下两种方案中选择一种： 方案一：购物每满元减元； 方案二：顾客购物达元可抽奖一次，具体规则是：在一个箱子内装有四张一样的卡片，四张卡片中有张写着数字，张写着数字，顾客随机从箱子内抽出两张卡片，两张卡片上的数字和记为，的值和享受优惠如表所示． 的值 实际付款 折 折 折 (1)若按方案二的抽奖方式，利用树形图（或列表法）求一次抽奖获得折优惠的概率； (2)若某顾客的购物金额为元，请你应用统计概率的知识帮助分析该顾客应选择哪种方案较为实惠． 【答案】(1)； (2)选择方案一较为实惠． 【分析】本题主要考查了画树状图求某个事件发生的概率、根据概率选择方案． 画出树状图，由树状图可知，共有种等可能的情况出现，其中值为的情况有种情况，一次抽奖获得折优惠的概率； 根据概率可知，如果选择方案二，顾客大概率可能只省元，如果选择方案一，顾客一定可以省元，选择方案一较为实惠． 【详解】（1）解：画树状图如下， 由树状图可知，共有种等可能的情况出现，其中值为的情况有种情况， 一次抽奖获得折优惠的概率； （2）解：如果先择方案二，则顾客打折的概率为， 打折的概率为， 打折的概率为， 如果打折，顾客可以省元， 如果打折，顾客可以省元， 如果打折，顾客可以省元， 打折的概率是， 如果选择方案二，顾客大约可以省元， 如果选择方案一，顾客一定可以省元， 选择方案一较为实惠． 23．在正方形网格中已有个位置放入了涂色的方块，已知方块与正方形网格中的小正方形的边长相等，将方块、随机放入网格，已知只能放在位置、、、中的一个位置，只能放在位置、、、中的一个位置，根据方块、的位置不同，所有涂色的个方块组成不同的图案． (1)固定方块在位置上，随机移动方块，求个方块组成的图案是轴对称图形的概率； (2)同时移动方块、方块， 用画树状图或列表的方法求6个方块组成轴对称图形的概率； 直接写出移动方块、方块后的个方块组成的图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率． 【答案】(1)； (2)；． 【分析】本题主要考查了概率公式、画树状图或列表法求概率．解决本题的关键是用列表法把方块、的所有可能性表示出来，再找出符合要求的位置出现的次数． 固定方块在位置上，随机移动方块，共有四个位置可放，其中使个涂色方块组成轴对称图形的位置有位置和，所以组成轴对称图形的概率是； 列表把所有的情况都表示出来，共有个等可能结果，其中结果为轴对称图形的结果共种结果，所以概率为；其中结果既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有种，所以概率是. 【详解】（1）解：固定方块在位置上，随机移动方块，共有四个位置可放， 其中使个涂色方块组成轴对称图形的位置有位置和， 成轴对称图； （2）解：同时移动方块、方块， 列表表示移动结果如下： 1 2 3 4 由表可知，共有个等可能结果， 其中结果为轴对称图形的结果是：，，，，，共种结果， 成轴对称图形， 其中结果既是轴对称图形又是中心对称图形的结果是和 既是轴对称图形又是中心对称图形． 24．在一个不透明的盒子里装有若干个白球和黑球（除颜色外都相同），小颖与同学们做摸球试验，摸球方法是：将盒子里面的球摇匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，统计同学们的摸球结果，记录的数据如表所示： 试验次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 摸到白球的次数 70 105 198 235 288 375 408 490 ②____ 599 摸到白球的频率 ①____ 0.525 0.66 0.588 0.576 0.625 0.583 0.613 0.6 0.599 (1)请将表中数据补充完整； (2)根据表格补全折线统计图； (3)根据试验数据估计从这个口袋中摸出白球的概率是______（保留一位小数）； (4)如果按此方法再摸1000次，并将这1000次试验获得的数据也绘制成折线统计图，那么这两幅折线统计图一般会一样吗？为什么？ 【答案】(1)0.7；540 (2)图见解析 (3)0.6 (4)一般不会一样，摸球试验是随机的 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，画折线统计图，解题的关键是理解频率定义． （1）根据频率，频数和总数之间的关系求解即可； （2）根据表格中的数据描点画出折线统计图即可； （3）根据折线统计图进行解答即可； （4）根据随机试验的特点求解即可． 【详解】（1）解：①摸到白球的频率为； ②摸到白球的次数为； 填表如下： 试验次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 摸到白球的次数 70 105 198 235 288 375 408 490 540 599 摸到白球的频率 0.7 0.525 0.66 0.588 0.576 0.625 0.583 0.613 0.6 0.599 （2）如图所示， （3）根据试验数据估计从这个口袋中摸出白球的概率是0.6； （4）∵摸球试验是随机的 ∴这两幅折线统计图一般不会一样，但随着摸球数量的增加，摸出白球的频率都会稳定在0.6左右． 25．期中考试结束后，九（1）班数学老师将本班所有同学的数学成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和不完整的频数分布直方图． 请根据扇形统计图和不完整的频数分布直方图提供的信息，解答下列问题： (1)九（1）班有学生___________人，并补全频数分布直方图； (2)九（1）班欢欢同学的数学期中成绩为88分，请判断她的数学期中成绩能否进入本班数学期中成绩的前，并说明理由； (3)九（1）班数学期中成绩并列最高分有4人，并且是两名男生和两名女生，若从他们4人中随机选两人参加学校组织的数学竞赛活动，利用画树状图或列表的方法求恰好选中一名男生和一名女生参赛的概率． 【答案】(1)50 (2)能，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了扇形统计图、频数分布直方图、树状图法和列表法求概率，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）结合扇形统计图和直方图对应数据计算即可； （2）找到分所在的范围，进而进行判断； （3）画出树状图找到所有情况以及符合条件的情况，即可求解． 【详解】（1）解：由图知，分的人数占，有人， ∴九（1）班一共有学生人； ∴分的人数为：人， 由直方图知分有人， ∴分有人； 分有人； 补全频数分布直方图如图所示： （2）解：能，理由如下： ∵（人），由频数分布直方图可知：数学期中成绩分的学生刚好为20人， ∴欢欢同学的数学期中成绩分能进入本班数学期中成绩的前； （3）解：画树状图如下： 由树状图可知：一共有12种等可能结果，其中恰好选中一名男生和一名女生有8种结果， 则（恰好选中一名男生和一名女生参赛）． 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$