专题3.1 概率的进一步认识（高效培优讲义）数学北师大版九年级上册

专题3.1 概率的进一步认识 教学目标 1. 经历猜测、试验、收集与统计试验数据、分析试验结果等活动过程，进一步发展数据分析观念，体会概率与统计的关系，感受随机现象的特点。 2. 能运用列表和画树状图等方法，不重复、不遗漏地列出简单随机事件发生的所有可能结果 ，并据此准确计算其发生的概率；理解当试验次数足够大时，试验频率将稳定于理论概率，从而能用试验频率估计一些较复杂随机事件发生的概率。 3. 能运用概率知识解决如游戏公平性判断、抽奖结果预测等一些简单实际问题 ，进一步发展应用意识，在活动过程中积累活动经验，体验与他人合作交流的意义和作用。 教学重难点 1.重点 （1）熟练掌握借助树状图或列表法，清晰、准确地计算涉及两步试验的随机事件发生的概率，比如在掷硬币、摸球等常见试验场景中灵活运用这两种方法求解概率。 （2）深刻理解并掌握用频率估计概率的条件及方法，能够通过大量重复试验，利用试验频率对复杂随机事件的概率进行合理估计 ，如估计种子的发芽率、产品的合格率等。 2.难点 （1）面对不同的随机事件试验，学会根据试验特点，选择适当的方法（树状图法或列表法）准确计算涉及两步试验的随机事件发生的概率，避免方法选择不当导致结果错误； （2）理解随机事件发生的频率与概率之间的内在联系与区别，能够在实际问题中运用试验的方法对复杂随机事件的概率进行有效估计 ，并能解释估计结果的合理性 ，克服因对概念理解不深而产生的认知误区。 知识点01 用树状图或表格求概率 1.树状图：当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图. 树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点：(1)树形图法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； (2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同. 2.列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； （2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率. 3.用列举法求概率的一般步骤 （1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等； （2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n和其中出现所求事件A的结果个数m； （3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=. 【即学即练1】 1．小亮和小颖利用三张卡片做游戏，卡片上分别写有A，B，C．这些卡片除字母外完全相同，背面朝上，从中随机摸出一张，记下字母后放回，充分洗匀后，再从中摸出一张． (1)第一次就摸到A的概率是______； (2)如果两次摸到卡片字母相同小明胜，否则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【知识点】列表法或树状图法求概率、游戏的公平性、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了事件的概率，树状图法求概率，游戏公平性，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． （1）根据概率公式计算概率即可． （2）根据画树状图法，求概率，比较概率大小，判断游戏是否公平． 【详解】（1）解：∵一共有A，B，C三张卡片， ∴第一次摸到A是的概率为： （2）解：不公平，理由如下： 根据题意，画树状图如下： 一共有9种等可能性，其中两次相同的有3种等可能性，不同的有6种等可能性． 故（小明胜），（小亮胜），两种情形概率不相等， 故这样的游戏规则是不公平的． 2．三张卡片正面分别写有，除正面的数字不同外，其余均相同． (1)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，取出的卡片上的数字为负数的概率是______； (2)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张，利用画树状图或列表的方法求两次取出的卡片上的数字之积为正数的概率． 【答案】(1) (2) 【知识点】列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法是关键． （1）根据概率的公式计算即可； （2）运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：从3个结果中选择，其中负数的有1种结果， ∴取出的卡片上的数字为负数的概率是， 故答案为：； （2）解：列表如下： 共有种等可能的结果，其中两次取出的卡片上的数字之积为正数的结果有种， ∴两次取出的卡片上的数字之积为正数的概率为． 知识点02 用频率估计概率 1.频率与概率的定义 频率：在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值. 概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）. 2.频率与概率的关系 事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值. 要点：（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率； （2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等； （3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 3.利用频率估计概率 当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率. 要点：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确. 【即学即练2】 3.在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黄、白两种颜色的乒乓球共40个，某数学兴趣小组做摸球试验，将乒乓球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 300 500 800 1000 摸到黄色乒乓球的次数 69 102 143 213 353 560 701 摸到黄色乒乓球的频率 0.69 0.68 0.715 a 0.706 0.70 b (1)①上表中的_____，_____； ②根据上表估计，当n很大时，摸到黄色乒乓球的概率约是_____；（精确到0.1） (2)试估计盒子中黄色乒乓球的个数． 【答案】(1)①0.71，0.701； ②0.7 (2)盒子中黄色乒乓球的个数大约是28个 【知识点】用频率估计概率的综合应用、根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查的是利用频率估计概率， 对于（1）①，利用概率公式求出，的值即可； ②根据表格中的数据即可得出结论； 对于（2），根据②中的概率计算即可得出结论． 【详解】（1）解：①由题意得， 故答案为：0.71，0.701； ②由表格中的数据可知，摸到黄色乒乓球的频率在0.7附近， 当很大时，摸到黄色乒乓球的概率约是0.7， 故答案为：0.7； （2）解：由（1）可知，摸到黄色乒乓球的概率约是0.7， 盒子中黄色乒乓球的个数（个）． 答：盒子中黄色乒乓球的个数大约是28个． 题型01 列举法求概率 【典例1】有四条线段，长度分别是，从中任取三条线段能组成三角形的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了用列举法求概率，根据题意列举出所有的情况，找出能组成三角形的结果，进而根据概率公式计算即可求解． 【详解】解：所有情况有：；；；，共种， 其中能组成三角形的情况有种， ∴任取三条线段能组成三角形的概率是， 故答案为：． 【变式1】如图，电路图上有一个小灯泡以及4个断开状态的开关A，B，C，D，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握利用列举法求解概率是解题的关键．根据题意列举随机闭合两个开关的所有情况，以及能使小灯泡发光的情况，从而完成求解． 【详解】解：由题意得，随机闭合两个开关有 、 、 、 、 、 六种情况，其中能使小灯泡发光的有 、 ，即2种， ∴小灯泡发光的概率为； 故答案为：． 【变式2】某科技节新增了机器人编程、无人机操控、打印、虚拟现实设计四个竞赛项目．学校为普及相关知识，在四个实验室分别开展对应项目的体验活动，要求每名学生选择其中一项参与．九（1）班准备了四枚外观相同的电子芯片，分别编号为1，2，3，4（对应上述四个项目），放在不透明的芯片盒中．若一次性从芯片盒中随机抽取两枚芯片，则两枚芯片编号的差值超过2的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列举法求解概率，根据题意列举出所有的等可能性的结果数，再找到两枚芯片编号的差值超过2的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，一共有1、2，1、3，1、4，2、3，2、4，3、4这6种情况，其中两枚芯片编号的差值超过2的只有1、4这种情况， ∴两枚芯片编号的差值超过2的概率是， 故答案为：． 【变式3】小侯和爸爸、妈妈、姐姐暑假乘坐高铁来十堰旅游，如图，买了同车同排四张高铁票，上车后随机坐到这四个位置（深色B，C，D，F），乘务员验票时发现是一家四口的座位，但四个人都没有坐到车票上名字所对应的位置，请问四人都没坐到车票上名字所对应位置的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，先根据题意可计算出一共有种选择；当小侯选择C时，则有以下三种情况符合题意，姐姐选择B，爸爸选择D，妈妈选择C；姐姐选择D，爸爸选择F，妈妈选择B；姐姐选择D，爸爸选择B，妈妈选择D；同理当小侯选择D或者F时，都有三种情况符合题意；据此根据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设小侯，姐姐，妈妈，爸爸原本对应的位置分别为B、C、D、F， 假设小侯先选择座位，那么小侯有4种选择，接着姐姐选择座位，那么姐姐有3种选择，接着妈妈选择座位，那么妈妈有2种选择，最后爸爸选择座位，那么爸爸有1种选择， ∴一共有种选择； 当小侯选择C时，则有以下三种情况符合题意，姐姐选择B，爸爸选择D，妈妈选择C；姐姐选择D，爸爸选择F，妈妈选择B；姐姐选择D，爸爸选择B，妈妈选择D； 同理当小侯选择D或者F时，都有三种情况符合题意， ∴一共有种情况符合题意， ∴问四人都没坐到车票上名字所对应位置的概率是， 故答案为：． 题型02 列表法或树状图法求概率 【典例2】2024年12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”列入人类非物质文化遗产代表作名录．虽然春节已过，但新年的喜悦和希望仍然在我们心中回荡，为此张老师在班会上，提议同学从“A．贴春联”“B．吃饺子”“C．挂灯笼”“D．拜新年”这四个春节习俗中，随机选择一个进行讲解．如图，班长做了4张背面完全相同的卡片，将卡片洗匀后背面朝上放在桌子上． (1)佳佳从这四张卡片中随机摸出一张，摸到“B．吃饺子”的概率是______； (2)若欢欢先从这些卡片中随机摸出一张卡片，记下卡片上的习俗，然后将卡片放回，洗匀，乐乐再从这些卡片中随机摸出一张卡片，记下卡片上的习俗，请利用画树状图或列表的方法求他们两人摸到的习俗相同的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有种等可能的结果，其中抽到“B．吃饺子”的结果有种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两人摸到的习俗相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有种等可能的结果，其中抽到“B．吃饺子”的结果有种， ∴甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到“B．吃饺子”的概率是； （2）解：列表如下： 共有种等可能的结果，其中两人摸到的习俗相同的结果有：，，，，共种， ∴他们两人摸到的习俗相同的概率为． 【变式1】庆祝北京冬奥会三周年暨奥林匹克历史知识产权授权产品“冰墩墩”蛇年新春特别版“蛇墩墩”系列新品在北京发布，现场发布了五个形象的“蛇墩墩”手办，产品在设计上则采用了“五福临门”的㝢意．小明收集了如图所示的五张印有“蛇墩墩”图案的卡片：A．“福星蛇墩墩”，B．“禄星蛇墩墩”，C．“寿星蛇墩墩”，D．“喜星蛇墩墩”，E．“财星蛇墩墩”（除正面内容不同外，其余均相同），现将五张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小明从五张卡片中随机抽取一张卡片是“福星蛇墩墩”的概率是______； (2)小明从五张卡片中随机抽取一张卡片，不放回，记下卡片正面内容后，再将剩下四张卡片洗匀后从中随机抽取一张卡片，记下卡片正面内容，请用列表法或画树状图法，求小明两次抽取的卡片中都没有抽到“福星蛇墩墩”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先列表或画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两次抽取的卡片都没有抽到“福星蛇墩墩”的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有5张卡片，卡片上的文字是“福星蛇墩墩”的卡片有1张，且每张卡片被抽到的概率相同， ∴小明从中随机抽取一张卡片，抽取的卡片上的文字是“福星蛇墩墩”的概率为； （2）解：画树状图下： 由树状图可知，共有20种等可能的结果，两次抽取的卡片中都没有抽到“福星蛇墩墩”的有12种， 则小明两次抽取的卡片中都没有抽到“福星蛇墩墩”的概率为． 【变式2】年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为，，，，滨河体育队的小明同学把这四个项目写在了背面完全相同的卡片上．将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小明想从中随机抽取一张，去了解该项目在奥运会中的得分标准，恰好抽到是（滑板）的概率是______． (2)体育老师想从中选出来两个项目，让小明做成手抄报给大家普及一下，他先从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是（滑板）和（运动攀岩）的概率． 【答案】(1)； (2)抽到的两张卡片恰好是（滑板）和（运动攀岩）的概率为． 【分析】本题考查了画树状图法求概率，概率公式，正确画出树状图是解题的关键． （）直接运用概率公式求解即可； （）先画出树状图，可知共有种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是（滑板）和（运动攀岩）的结果有种，最后由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：恰好抽到是（滑板）的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图如下， 共有种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是（滑板）和（运动攀岩）的结果有种， ∴抽到的两张卡片恰好是（滑板）和（运动攀岩）的概率为． 【变式3】为了激发青少年的创新热情，第39届全国青少年科技创新大赛计划于2025年暑期举办，科创爱好者小勋设计了一款闯关小游戏，如图，在进入游戏之前有甲、乙两组关卡，每组关卡中各有4个按钮和4个装置（含2个发光装置和2个发音装置），每个按钮控制该组的一个装置（按钮与装置一对应，但顺序不对应），每按下一个按钮，该组就会有一个发音装置发出“闯关失败”的声音或一个发光装置亮起玩家每次从两组分别随机按下一个按钮，若两组中各有一个发光装置亮起，则可进入游戏：若两组中只有一组是发光装器亮起，另一组发出“闯关失败”的声音，则可再闯关一次；若两组均发出“闯关失败”的声音，则退出游戏． (1)从甲组任意按下一个按钮，发光装置亮起的概率为________； (2)小勋设计完成后让好朋友小华试玩了一下，请用列表法或画树状图法求小华一次就能进入游戏的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）根据概率公式计算即可得解； （2）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：从甲组任意按下一个按钮，发光装置亮起的概率为； （2）设甲组的四个按钮中，控制发光装置的两个按钮分别为A，B，控制发音装置的两个按钮分别为C、D，乙组的四个按钮中，控制发光装置的两个按钮分别为E、F，控制发音装置的两个按钮分别为G，H，根据题意画树状图如下：      由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中小华一次就能进入游戏的情况有4种， （小华一次就能进入游戏）． 题型03 利用概率判断游戏的公平性 【典例3】如图是一副扑克牌中的3张牌，将它们正面朝下洗匀后放在桌上．爸爸先从中抽出一张，榕榕从剩余的2张牌中也抽出一张，比较两人抽出的牌面上的数字，数字大者获胜．如果两个人的获胜概率相同，我们说游戏是公平的．请借助树状图或列表法来判断这个游戏是否公平． 【答案】公平 【知识点】列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】本题考查树状图法求概率，利用概率解决游戏公平性，根据题意，画出树状图，求出两人获胜的概率，进行判断即可． 【详解】解：由题意，画出树状图如下： 共6种等可能的结果，其中榕榕获胜的情况有3种，爸爸获胜的情况有3种； ∴（榕榕获胜）（爸爸获）． ∴这个游戏是公平的． 【变式1】甲、乙两同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为的4个小球（除标号外无其他差异），从口袋中随机摸出1个小球，记下标号后放回口袋中，充分摇匀后，再从口袋中随机摸出1个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用表示．若为奇数，则甲获胜，若为偶数，则乙获胜． (1)用画树状图法列出所有可能的结果． (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)这个游戏公平，理由见解析 【知识点】列表法或树状图法求概率、游戏的公平性 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A的概率． （1）画树状图即可展示所有16种等可能的结果数； （2）根据树状图得到结果为奇数或偶数的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：画树状图： ∴16种等可能的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，； （2）解：这个游戏公平，理由： 由图知共有16种等可能结果，其中为奇数的可能有8种，为偶数也有8种可能， 故结果为奇数或偶数的概率都是， 甲乙获胜的概率相同，故这个游戏公平． 【变式2】现有12张卡片，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12．小花和小佳合作完成一个游戏，规定：小花先随意抽取一张，然后让小佳猜这个数，如果猜对了，那么小佳获胜；如果猜错了，那么小花获胜． (1)这个游戏对双方公平吗？为什么？ (2)现还有下面两种游戏规则，你认为公平吗？为什么？ ①猜是奇数还是偶数； ②猜是不是3的倍数． (3)如果你是小佳，为了获胜，你选择上面哪一种猜法？ 【答案】(1)不公平，理由见解析 (2)①公平，理由见解析；②不公平，理由见解析 (3)为了获胜，选择猜不是3的倍数 【知识点】游戏的公平性 【分析】本题主要考查了游戏的公平性，正确根据概率计算公式求出对应游戏规则下获胜的概率是解题的关键． （1）分别计算出两人获胜的概率，比较即可得到答案； （2）①分别计算出猜奇数和猜偶数获胜的概率，比较即可得到答案；②分别计算出猜3的倍数和猜不是3的倍数获胜的概率，比较即可得到答案； （3）根据（2）所求可得答案． 【详解】（1）解：这个游戏对双方不公平，理由如下： ∵一共有12个数字，小佳猜对的数字只有一个，猜错的数字有11个， ∴小佳获胜的概率为，小花获胜的概率为， ∵， ∴这个游戏对双方不公平； （2）解：①公平，理由如下： ∵一共有12个数，其中奇数和偶数分别有6个， ∴猜奇数或者猜偶数获胜的概率都为， ∴公平； ②不公平，理由如下： ∵一共有12个数，其中3的倍数有4个，不是3的倍数有8个， ∴猜3的倍数获胜的概率为，猜不是3的倍数获胜的概率为， ∵， ∴不公平； （3）解：由（2）可得，猜不是3的倍数的获胜概率比较大，故为了获胜，选择猜不是3的倍数． 【变式3】课间十分钟是学生释放学习压力，自我调节的放松时间．课间同学们玩抽卡片游戏，他们在一个不透明的箱子中放了4张卡片，卡片上分别写有数字-2，3，5，6这些卡片除上面的数字外，其余均相同． (1)小晴从箱子中随机摸10次卡片，其中摸到写有数字“6”的卡片2次，则这10次摸卡片中，摸出写有数字“6”的卡片的频率是___________； (2)佳佳和乐乐同时从箱子中各取出1张卡片，如果两张卡片上的数字之和为奇数，则佳佳胜；如果两张卡片上的数字之和为偶数，则乐乐胜．这个游戏规则对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明． 【答案】(1) (2)游戏不公平 【知识点】根据数据描述求频率、游戏的公平性 【分析】本题考查频率和列表法或树状图求概率； （1）利用频率公式计算解题； （2）画树状图得到所有等可能的结果数，然后得到和为偶数、奇数的结果数，求出佳佳和乐乐获胜的概率解答即可． 【详解】（1）解：摸出写有数字“6”的卡片的频率是， 故答案为：； （2）解：游戏不公平，理由为： 画树状图如下： 由树状图可知共有种等可能结果，其中抽取的两张卡片上数字之和为奇数的结果有种，数字之和为偶数的结果有种， 所以佳佳胜的概率为，乐乐胜的概率为， ∵， ∴游戏不公平． 题型04 几何概率 【典例4】张老师把边长为4的正方形厚纸板分成七部分，如图1所示，然后将它割开，制成七巧板．用自制的七巧板在一个大长方形中拼出如图2所示的图案，如果小球在如图2所示的大长方形中自由地滚动，那么它最终停留在阴影区域的概率是 ． 【答案】 【知识点】几何概率 【分析】本题考查几何的概率，关键在利用七巧板的性质进行正方形面积的求解． 分别求出图1和图2的面积，即可得出A的面积B的面积，进而可求出图2的面积和阴影部分的面积，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意可得：七巧板的面积之和边长为4的正方形面积， ∵图1为正方形， ∴①的面积②的面积， ∴A的面积B的面积， 则阴影区域的面积为：A的面积B的面积，图2的面积， ∴最终停留在阴影区域的概率， 故答案为：． 【变式1】如图是由三个同心圆组成的游戏板，同心圆的半径从大到小分别为15cm，10cm和5cm．若将飞镖随机投掷到游戏板上，则飞镖落在黑色区域的概率是 ． 【答案】 【知识点】几何概率 【分析】本题考查了求几何概率；求出黑色区域面积占整个面积的比即可． 【详解】解：镖落在黑色区域的概率是； 故答案为：． 【变式2】如图，平行四边形中，对角线交于点O，直线l过点O，且与边，分别交于点E、F，．若在平行四边形内随机取点，则点落在内的概率是 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解、几何概率 【分析】本题考查几何概率和平行四边形的性质，先设平行四边形的面积是x，得出阴影部分的面积，再根据几何概率的求法即可得出答案． 【详解】解：设平行四边形的面积是x， 则的面积为， ∵， ∴， ∴的面积为, ∴在平行四边形内随机取点，则点落在内的概率是． 故答案为：． 【变式3】如图，在的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的，任意投掷飞镖一次（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），飞镖击中阴影部分的概率是 ． 【答案】 【知识点】几何概率 【分析】本题主要考查了几何概率的求法，飞镖击中阴影部分的概率等于阴影部分面积与正方形总面积之比，掌握几何概率的求法是解题的关键． 【详解】解：，， ∴飞镖击中阴影部分的概率是， 故答案为：． 题型05 概率的应用 【典例5】商场在国庆期间举行部分商品优惠促销活动，顾客只能从以下两种方案中选择一种： 方案一：购物每满元减元； 方案二：顾客购物达元可抽奖一次，具体规则是：在一个箱子内装有四张一样的卡片，四张卡片中有张写着数字，张写着数字，顾客随机从箱子内抽出两张卡片，两张卡片上的数字和记为，的值和享受优惠如表所示． 的值 实际付款 折 折 折 (1)若按方案二的抽奖方式，利用树形图（或列表法）求一次抽奖获得折优惠的概率； (2)若某顾客的购物金额为元，请你应用统计概率的知识帮助分析该顾客应选择哪种方案较为实惠． 【答案】(1)； (2)选择方案一较为实惠． 【知识点】运用加权平均数做决策、列表法或树状图法求概率、概率的其他应用 【分析】本题主要考查了画树状图求某个事件发生的概率、根据概率选择方案． 画出树状图，由树状图可知，共有种等可能的情况出现，其中值为的情况有种情况，一次抽奖获得折优惠的概率； 根据概率可知，如果选择方案二，顾客大概率可能只省元，如果选择方案一，顾客一定可以省元，选择方案一较为实惠． 【详解】（1）解：画树状图如下， 由树状图可知，共有种等可能的情况出现，其中值为的情况有种情况， 一次抽奖获得折优惠的概率； （2）解：如果先择方案二，则顾客打折的概率为， 打折的概率为， 打折的概率为， 如果打折，顾客可以省元， 如果打折，顾客可以省元， 如果打折，顾客可以省元， 打折的概率是， 如果选择方案二，顾客大约可以省元， 如果选择方案一，顾客一定可以省元， 选择方案一较为实惠． 【变式1】某超市为吸引顾客设置如下的翻奖牌，奖品有纸巾、牙刷、太阳伞，进店消费可翻一次牌．翻奖牌的正面、背面如图所示．已知翻奖牌正面除数字外其他完全相同．请解决下面的问题： (1)翻一次牌翻到“纸巾”的概率是__________； (2)翻一次牌获得奖品的概率是_________； (3)请你设计翻奖牌背面的内容，使得最后翻到“纸巾”的概率是，翻到“谢谢参与”的概率是，要求奖牌内容包含“纸巾、牙刷、太阳伞、谢谢参与”． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【知识点】根据概率公式计算概率、概率的其他应用 【分析】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键； （1）用“纸巾”对应牌的数量除以牌的总数量即可； （2）用“纸巾”、“牙刷”“太阳伞”对应牌的总数量除以牌的总数量即可； （3）根据题意，可知本题答案不唯一，只要九张牌中有4张写着纸巾，2个谢谢参与，其他为牙刷、太阳伞即可． 【详解】（1）解：由图可得，一共有9个方格，“纸巾”奖品占3个， 抽到“纸巾”奖品的可能性是：； 故答案为：； （2）解：由图可得，一共有9个方格，“纸巾”奖品占3个，“牙刷”奖品占2个，“太阳伞”奖品占1个，“谢谢参与”奖品占3个， 小深中奖的概率是 故答案为：； （3）解：设计九张牌中九张牌中有4张写着纸巾，2个谢谢参与，其他为牙刷、太阳伞，如图所示： 【变式2】某餐厅为了提高服务质量，开展了顾客满意度问卷调查，满意度共分为档，从低到高为分，分，分，分，分．工作人员随机抽取了名顾客进行调查，并制作了如下统计表． 分数/分 份数/份 根据以上信息，解答下列问题： (1)若抽取的顾客中超过一半的评分均不高于分，则需要对餐厅进行整改，请通过计算说明该餐厅是否需要整改； (2)若抽取的顾客所评分数的平均数或中位数低于分，则需要对餐厅进行整改，请通过计算说明该餐厅是否需要整改． 【答案】(1)该餐厅不需要整改，理由见解析 (2)该餐厅不需要整改，理由见解析 【知识点】求一组数据的平均数、求中位数、概率的其他应用 【分析】本题考查了、平均数以及中位数的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）求出评分不高于分的百分比，判断即可解答； （2）求出平均数和中位数，判断即可解答． 【详解】（1）解：该餐厅不需要整改，理由如下： ， 该餐厅不需要整改； （2）解：该餐厅不需要整改．理由如下： 该餐厅服务质量的平均数为 （分）， 中位数为（分）， ，， 该餐厅不需要整改． 【变式3】某体育馆有A，B两个入口，每个入口有3个通道可同时通行，C，D，E三个出口，其中C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，每个通道在规定时间内可通行100人，规定：观众进馆时须持票任意从两个入口进入，出馆时只可任意从三个出口离开．甲、乙、丙三名观众分别从两个入口中随机选择一个入口进入． (1)求甲从A口进入，C口离开的概率； (2)求甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率． (3)学校有七、八、九三个年级的学生进场观看比赛，七年级80人，八年级150人，九年级160人，比赛结束后，为了能够在规定时间内使所有同学都能有序离开，请你合理安排七、八、九三个年级的学生从C、D、E三个出口（每个年级的学生走同一个出口）离开（安排一种即可），并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)七年级走E出口，八九年级走C、D出口，理由见解析 【知识点】列表法或树状图法求概率、概率的其他应用 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．（1）画树状图，共有6种等可能的结果，其中甲从A口进入，C口离开的结果有1种，再由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的结果有2种，再由概率公式求解即可；（3）满足题意的方案即可． 【详解】（1）解：（1）画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中甲从A口进入，C口离开的结果有1种，    ∴甲从A口进入，C口离开的概率为； （2）画树状图如下：共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的结果有2种，    ∴甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率为． （3）七年级走E出口，八九年级走C、D出口． 理由：因为七年级80人，八年级150人，九年级160人，又因为C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，且每个通道在规定时间内可通行100人，所以按七年级走E出口，八九年级走C、D出口方案，能够在规定时间内使所有同学都能有序离开． 题型06 由频率估计概率 【典例6】某种绿豆在相同条件下发芽的试验结果如下表所示： 每批粒数 发芽的粒数 发芽的频率 根据表中数据，估计这种绿豆发芽的概率约是 ．（结果保留两位小数） 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．根据利用频率估计概率得到随实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在左右，由此该种绿豆发芽的概率的估计值为． 【详解】解：根据表中数据，估计这种绿豆发芽的概率约是， 故答案为：． 【变式1】二维码已深入人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图是一个边长为的正方形二维码，若在该二维码内随机抛掷100个点，有60个点落入黑色部分，则估计黑色部分的面积是 ． 【答案】15 【分析】本题考查了频率估计概率，由落入黑色部分的频率稳定在0.6，可根据几何概率求黑色部分的面积；理解频率与概率之间的关系，掌握解法是解题的关键． 【详解】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右， 据此可以估计黑色部分的面积为． 故答案为：15． 【变式2】如图，在一块长方形卡纸上，有不规则的阴影图案．某数学兴趣小组利用该卡纸设计了抛针试验：在同一条件下，往该卡纸上随机抛一枚大头针，重复试验并统计试验总次数及针尖落在阴影部分的次数（如下表）．由统计结果估计，往该卡纸上随机抛一枚大头针，针尖恰好落在阴影部分的概率约为 ．（保留一位小数） 试验总次数 50 100 150 200 250 300 针尖落在阴影部分的次数 31 66 91 119 152 181 针尖落在阴影部分的频率 0.620 0.660 0.607 0.595 0.608 0.603 【答案】 【分析】本题考查利用频率估算概率，根据概率是频率的稳定值，结合表格进行判断即可． 【详解】解：由表格可知，针尖恰好落在阴影部分的概率约为； 故答案为：． 【变式3】为测量一块不规则草地面积，某班学习小组在草地的外围画了一个长5米，宽4米的矩形，学生分四个小组在不远处蒙上双眼向草地方向掷石子，石子落点记录如下表： 项目名称组别 一组 二组 三组 四组 石子落在草地内的次数 59 63 61 57 石子落在阴影内的次数 19 20 19 22 请你用概率的相关知识算出草地的面积大约是 平方米． 【答案】15 【分析】本题主要考查了矩形的面积公式、用频率估计概率．先求出石子落在草地内的次数与总次数的比值，然后用总面积乘以该比值，即可估算出草地的面积． 【详解】解：矩形的面积为：（平方米）， 石子落在草地内的概率为：， ∴草地的面积大约是：（平方米）． 故答案为：15． 题型07 用频率估计概率的综合应用 【典例7】不透明的袋中有若干个红球和黑球，每个球除颜色外无其他差别．现从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回并搅匀，实验结果如下： 摸球次数 100 200 400 600 800 1000 摸黑球频数 39 72 156 228 312 __________ 摸黑球频率 0.39 0.36 0.39 0.38 __________ 0.39 (1)填写表格中的数据； (2)估计从这个袋中随机摸出1个球，这个球是黑球的概率为______；（结果精确到0.1） (3)在（2）的条件下，如果袋中红球和黑球共有10个，那么袋中有几个黑球？ 【答案】(1)0.39、390 (2)0.4 (3)4 【知识点】根据数据填写频数、频率统计表、由频率估计概率、用频率估计概率的综合应用 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）根据频率频数总数求解即可； （2）利用频率估计概率求解即可； （3）总个数乘以黑球的概率估计值即可． 【详解】（1）解：， 摸球次数 100 200 400 600 800 1000 摸黑球频数 39 72 156 228 312 390 摸黑球频率 0.39 0.36 0.39 0.38 0.39 0.39 故答案为：0.39、390； （2）解：估计从这个袋中随机摸出1个球，这个球是黑球的概率为0.4， 故答案为：0.4； （3）解：（个， 答：袋中有4个黑球． 【变式1】植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数n 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数m 37 77 316 640 800 成活的频率 b (1)完成上述表格：________，________； (2)这种树苗成活的概率估计值为________（精确到） (3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 【答案】(1)117 (2) (3)棵 【知识点】求某事件的频率、由频率估计概率、用频率估计概率的综合应用 【分析】本题考查占比的计算和用频率估计概率，注意数据的精确度，正确的计算是解题的关键． （1）利用数据占比目标数总数计算即可； （2）利用大量测试下，概率估计值为实验频率可得； （3）利用除以成活概率进行估算即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：117；； （2）解：因为在相同条件下，当试验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的近似值，而实验数据量最大为1000粒，对应频率为， 所以这种油菜籽发芽的概率估计值是， （精确到）； 故答案为：； （3）解：（棵）， 答：在相同条件下至少需要买棵树苗． 【变式2】大型服装厂对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 500 1000 1500 2000 5000 8000 10000 合格数 420 880 1410 1760 4450 7240 9010 合格率 0.84 0.88 0.94 0.88 0.89 0.91 0.90 (1)请估计抽检2万件衬衣中合格衬衣大约有多少万件？ (2)为了维护消费者的利益，质检部门规定不合格衬衣不能销售，服装厂本月生产10万件衬衣，每件衬衣成本50元，为确保销售利润至少有220万，则每件衬衣至少需要定价多少件元？ 【答案】(1)万件 (2)每件衬衣至少需要定价元 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、用频率估计概率的综合应用 【分析】本题考查了由频率估计概率，一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据频率估计概率，然后根据概率求出抽检2万件衬衣中合格衬衣件数即可； （2）设每件衬衣需要定价x元，根据销售利润至少有220万列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据可知：随着抽检数量的增多，合格衬衣的频数稳定在左右，所以抽取一件衬衫是合格衬衣的概率为，因此抽检2万件衬衣中合格衬衣大约有： （万件）； （2）解：设每件衬衣需要定价x元，根据题意得： ， 解得：， 答：每件衬衣至少需要定价元． 【变式3】盒子里装有红球和白球共20个，它们除颜色外其他都相同，每次从盒子里摸出1个球，记下颜色后放回盒中摇匀再摸球，在活动中得到如表中部分数据． 摸球次数 出现红球的频数 出现红球的频率 摸球次数 出现红球的频数 出现红球的频率 100 32 400 130 a 200 62 500 150 b 300 90 600 183 (1)请将表中数据补充完整，______；______； (2)画出“出现红球”的频率折线统计图； (3)估计摸到红球的概率为______（精确到）． (4)估计盒子里有红球______个和白球______个． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) (4)6；14 【知识点】折线统计图、根据数据描述求频率、由频率估计概率、用频率估计概率的综合应用 【分析】本题考查了频数与频率、折线统计图及用频率估计概率， （1）利用频率频数摸球次数计算数据即可； （2）根据表格提供的数据作出折线统计图即可； （3）通过观察统计图找到其频率逐渐稳定到哪个常数附近即可； （4）根据摸到红球的概率，估计红球的个数，再求出白球的个数即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：频率折线统计图，如图所示： （3）解：观察折线统计图可以发现：随着摸球次数的增多，出现红球的频率在上下浮动，因此摸到红球的概率为； （4）解：估计盒子里有红球（个）， 白球有：（个）． 一、单选题 1．有三张正面分别写有数字，，的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为b的值，则点在第二象限的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查列表法与树状图法，画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式可得答案． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图知，共有6种等可能结果，其中点在第二象限的有2种结果， 所以点在第二象限的概率为， 故选：B． 2．一个不透明的袋子里装有4个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复上面的过程，并将摸出白球的频率绘制了如图所示的统计图．则从袋子中随机摸出一个球，估计摸到白球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了频率估计概率，根据将摸出白球的频率绘制成的统计图．得出摸到白球的频率在附近波动，据此进行作答即可． 【详解】解：依题意，将摸出白球的频率绘制成的统计图．得出摸到白球的频率在附近波动， ∴估计摸到白球的概率为， 故选：C 3．一个不透明的箱子中放有1个红球、2个黄球和3个黑球，这些小球除颜色外都相同，小明、小芳、小雪三人先后去摸球，每人每次只能摸出一个球，每次摸出球后放回，摸出红球的人获得礼品（可以所有人都获得礼品）．你觉得这个游戏（    ） A．对所有人都公平 B．无法判断是否公平 C．先摸者获得礼品的可能性大 D．后摸者获得礼品的可能性大 【答案】A 【分析】此题考查游戏公平性，三个人摸到每种球的概率均相等，所以游戏公平． 本题考查游戏公平性的判断，关键在于每次摸球后放回，使得每次摸到红球的概率相同． 【详解】解：∵小明、小芳、小雪三人每次摸到红球的概率均为， ∴游戏对所有人都公平， 故选：A． 4．某旅游景区，假日期间实施购票有奖，凡购买一张门票，可以转动转盘一次，指针指向哪个获奖区域，就得到对应的奖品，如图1所示．售票员用电脑制作出获得优胜奖频率的折线统计图，如图2所示．根据以上信息，图1中的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用频率估计概率，利用频率估计概率，可知当n很大时，频率将会接近其概率，所以可估计指针落入优胜奖区域的概率，用乘概率即可得出答案． 【详解】解：由图②可估计指针落入优胜奖区域的概率为0.2， ∴转盘中优胜奖区域的圆心角的度数近似为：． 故选：D． 5．不透明的口袋里装有若干个除颜色外都相同的小球，将球摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程，得到一组统计数据（如下表），则下列说法错误的是（    ） 摸球的次数 100 150 300 500 800 1000 摸到红球的次数 61 93 301 480 601 摸到红球的频率 0.62 0.59 0.602 0.60 0.601 A． B． C．摸到红球的概率约为0.60 D．若袋中有9个红球，则总球数有14个 【答案】D 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是理解频率与概率的关系，以及掌握频率的计算方法． 根据频率的计算公式“频率=频数÷总数”，分别计算各选项中的值，再结合大量重复试验中频率稳定值可估计概率，对各选项进行判断． 【详解】A、计算100次摸球时的频率，，正确； B、300次摸球时，红球次数，正确； C、随着试验次数增加，频率稳定在0.60附近，可估计概率约为0.60，正确； D、设总球数为，由概率，解得．选项中总球数为14，错误． 故选：D． 二、填空题 6．事件A发生的概率是0.2，大量重复做这种试验，事件A平均100次发生的次数是 ． 【答案】20 【分析】本题考查了概率公式，概率的意义，根据频数总次数概率，进行计算即可解答． 【详解】解：事件A发生的概率为0.2，大量重复做这种试验， 则事件A平均每100次发生的次数为：． 故答案为：20． 7．小明用红、黄、黑三种颜色设计一个转盘（不留空白），自由转到转盘停止后，指针落在红色区域的概率是，落在黄色和黑色区域的概率相等，则落在黄色区域的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率，根据落在不同区域的概率和等于1，求解即可． 【详解】解：落在黄色或黑色区域的概率为， ∵落在黄色和黑色区域的概率相等， ∴落在黄色区域的概率为， 故答案为：． 8．现有四张分别标有数字、1、2的卡片，它们除数字不同外其余完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张，将上面的数字记为a．放回后从卡片中再任意抽取一张，将上面的数字记为b，则点在第一象限内的概率为 【答案】 【分析】本题主要考查的是用列表法或画树状图法求概率．正确列表或画出树状图是解题的关键． 先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及点在第一象限的结果数，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图得： 由树状图可知：共有9种等可能的结果，其中点在第一象限有4种结果． 所点在第一象限内的概率为． 故答案为：． 9．如图，小颖在10×10的方格纸中绘制图形“19”，为计算它的面积，小颖将米粒随机撒在方格纸上，经过大量重复试验，发现米粒落在“19”区域的频率稳定在常数附近，由此可估计图形“19”的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，设图形“19”的面积是，由题意可得，解之即可求解，解题的关键是理解大量重复试验中事件发生的频率即是事件发生的概率． 【详解】解：设图形“”的面积是， 由题意可得，， 解得， 由此可估计图形“”的面积为 故答案为：． 10．如图，为三角形纸板的角平分线，，E为上一点，于点F，连接若，将一个飞镖随机投掷到该纸板上（假设飞镖一定落在纸板上），则飞镖落在阴影部分的概率是 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，直角三角形的性质，几何概率，先证明，得到，根据，，易求，设，则，进而求出，令，则，求出，进而求出，即可解答． 【详解】解：∵为三角形纸板的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴ ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∴将一个飞镖随机投掷到该纸板上（假设飞镖一定落在纸板上），则飞镖落在阴影部分的概率是． 故答案为：． 三、解答题 11．消防教育进校园，消防安全记心间．为切实提升广大师生的自护自救能力，阳光中学组织全体师生开展了消防演练．在实际演练之前，学校提前制定好了活动方案，为了保证广大师生的安全，防止踩踏事件的发生，在各楼层的通道处安排了疏散引导员．该校决定在九年级的甲，乙，丙，丁4位老师中随机选取2位作为疏散引导员，其中甲、乙是男老师，丙，丁是女老师． (1)若从中先选取1名疏散引导员，这名疏散引导员是女老师的概率是______； (2)请用画树状图法或列表法，求被选到的2位老师是一男一女的概率． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中这名疏散引导员是女老师的结果有2种，利用概率公式可得答案； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及被选到的2位老师是一男一女的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中这名疏散引导员是女老师的结果有2种， ∴从中先选取1名疏散引导员，这名疏散引导员是女老师的概率是． 故答案为：； （2）解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有12种等可能的结果，其中被选到的2位老师是一男一女的结果有8种， ∴被选到的2位老师是一男一女的概率为． 12．现有两根长度分别为5，8的木棒，小亮想通过转盘游戏来获取第三根木棒．他准备了一个均匀的转盘，被平均分成6等份，分别标有木棒的长度：2，3，5，8，10，12．小亮转动转盘一次，停止后，指针指向的数字即为第三根木棒的长度（若指针指向分界线，则重新转动）． (1)若小亮转动转盘60次，发现转出的木棒长度小于5的结果出现了19次，求转出的木棒长度小于5的频率； (2)求小亮获取的第三根木棒和现有的两根木棒能组成三角形的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查可根据概率公式求解概率，求频率，三角形三边关系的应用等知识． （1）根据频率等于实验发生的次数除以总实验的次数求解即可． （2）根据三角形三边关系得出能组成三角形的结果有5，8，5；5，8，8；5，8，10；5，8，12共4种，然后根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：转出的小棒长度小于5的频率为． （2）解：因为转动转盘共有6种等可能的结果，其中能组成三角形的结果有5，8，5；5，8，8；5，8，10；5，8，12共4种， 所以小亮获取的第三根木棒和现有的两根木棒能组成三角形的概率为． 13．2025年“五一”期间，宝鸡市各旅游景区持续火热．小明和小颖准备从A．法门寺文化景区，B．关山草原风景名胜区，C．钓鱼台风景区，D．宝鸡青铜器博物馆这四个景区中各自随机选择一个景区参加公益讲解活动（两人所选景区相互不受影响）． (1)“小明选择的景区是B．关山草原风景名胜区”是_________事件；（选填“必然”“随机”或“不可能”） (2)用列表或画树状图的方法，求小明和小颖两人所选择的景区不同的概率 【答案】(1)随机 (2) 【分析】本题考查了画树状图或列表的方法求概率，事件的分类，简单的概率公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据事件的分类求解即可； （2）画树状图法或列表法，可得所有的结果，再利用概率公式进行计算即可； 【详解】（1）“小明选择的景区是B．关山草原风景名胜区”是随机事件； （2）画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中小明和小颖所选择的景区不同的结果有12种， （小明和小颖两人所选择的景区不同）． 14．一个不透明的盒子里装有黄色乒乓球和白色乒乓球共40个，每次从盒子里摸出1个球，记下颜色后放回盒中摇匀再摸球，在活动中得到如下表的部分数据： 摸球总次数 出现黄色乒乓球的次数 出现黄色乒乓球的频率 (1)填空： ， ； (2)估计出现黄色乒乓球的概率为 ；（精确到0.1） (3)估计盒子里黄色乒乓球和白色乒乓球各有多少个？ 【答案】(1)， (2)0.4 (3)估计盒子里黄色乒乓球有16个，白色乒乓球有24个 【分析】本题主要考查的是利用频率估计概率， （1）利用概率公式求出，的值即可； （2）根据表格中的数据即可得出结论； （3），根据②中的概率计算即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得， 故答案为：，； （2）由表格中的数据可知，摸到黄色乒乓球的频率在附近， 当很大时，摸到黄色乒乓球的概率约是， 故答案为：； （3）解：由（2）可知，摸到黄色乒乓球的概率约是， 盒子中黄色乒乓球的个数（个）； 白色乒乓球有个， 答：盒子里黄色乒乓球有16个，白色乒乓球有24个． 15．某班开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片、、、，卡片除图案外其它均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随机抽取一张，讲述卡片上数学家的故事，每次抽取后均放回． (1)小明从四张卡片中抽取一次，恰好是华罗庚的概率为_______； (2)用列表法或画树状图法求小明两次抽到的卡片恰好都是数学家华罗庚邮票图案的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是概率公式求概率，用画树状图法或列表法求概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】（1）解：∵一共有四张卡片，其中写有华罗庚的卡片有一张，且每张卡片被抽到的概率相同， ∴小明从四张卡片中抽取一次，恰好是华罗庚的概率为； （2）解：根据题意，画树状图如图， 由图可得，共有16种等可能结果，小明两次抽到的卡片恰好都是数学家华罗庚邮票图案的结果数有1种， ∴小明两次抽到的卡片恰好都是数学家华罗庚邮票图案的概率是． 16．在一个不透明布袋中装着除颜色外其他都相同的红球3个和蓝球1个，它们已经在布袋中被搅匀了． (1)从布袋中一次取出2个球，全是蓝球是______事件．（填“必然”、“随机”或“不可能”） (2)若随机取出一个球，求取出的球的颜色是蓝球的概率． (3)小明与小亮玩摸球游戏，在一个袋子中放有5个完全一样的球，分别标有1、2、3、4、5五个数字，小明与小亮轮流坐庄，从袋中摸出一球，记下号码，然后放回，规定：如果摸到的球号码大于3，则小明胜否则小亮胜，你认为这个游戏公平吗？请说明理由，若不公平，请修改游戏规则，使游戏公平． 【答案】(1)不可能 (2)取出的球的颜色是蓝球的概率为 (3)这个游戏不公平，理由见解析 【分析】本题考查概率的计算，事件的分类，掌握概率公式是解题的关键． （1）根据事件的分类解答即可； （2）根据概率公式计算解题； （3）根据概率公式求出两人获胜的概率，比较解答即可，然后设计游戏规则，使得游戏公平即可． 【详解】（1）解：由于不透明布袋中只有一个蓝球， ∴从布袋中一次取出2个球，全是蓝球是不可能事件， 故答案为：不可能； （2）解：从中随机取出一个球有种等可能结果，取出的球的颜色是蓝球的可能性有种， ∴取出的球的颜色是蓝球的概率为； （3）解：不公平， 由题意可知，号码大于的球的个数为，所以号码大于的概率：， 号码小于等于的球的个数为，所以号码小于等于的概率：， ∴小明的胜率低于小亮的胜率， ∴这个游戏不公平． 规定改为：如果摸到的球号码大于，则小明胜，如果摸到的球号码小于，则小亮胜，摸到3时重新摸一次． ∵号码大于的球的个数为，所以号码大于的概率：， 号码小于的球的个数为，所以号码小于等于的概率：， ∴小明的胜率等于小亮的胜率， 所以这个游戏不公平． 17．某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有红球、黑球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据： 摸球次数 100 150 200 500 800 1000 2000 摸到红球的次数 52 72 262 404 499 1000 摸到红球的频率 0.52 0.51 0.524 0.505 0.499 0.5 (1)表中的_____________，_____________； (2)通过摸球实验，请你估计摸到红球的概率是_____________； (3)上述实验中，若袋中10个球中有3个黑球，为决定谁将获得仅有的一张电影票，设计了如下的摸球游戏，规则如下：如果摸到黑球，则小明获胜；如果摸到白球，则小颖获胜；如果抽到红球，则视为无效抽球，需将球放回袋中，游戏继续，这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由，如果不公平，请重新设计一个公平游戏． 【答案】(1)0.48；102 (2)0.5 (3)这个游戏不公平，理由见解析，新设计一个公平游戏见解析 【分析】此题考查了频率统计表，利用频率估计概率，概率公式，游戏公平性．大量反复试验下频率稳定值即概率．掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键． （1）用摸到红球的次数除以摸球的总次数，求出a；用摸球的总次数乘以摸到红球的频率，求出b； （2）根据图表给出的数据即可得出摸到红球的频率，然后用频率估计算概率即可； （3）根据摸到红球的频率计算出红球的个数，从而求出白球个数，再分别求出摸到的白球与黑球的概率，再比较即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：0.48；102． （2）解：由统计表可知：摸到红球的频率约为0.5， ∴估计摸到红球的概率是0.5． （3）解：由（2）摸到红球的概率是0.5， ∴红球的个数为（个）， ∴白球的个数为（个）， ∴摸到的白球的概率为 摸到的黑球的概率， ∵， ∴这个游戏不公平， 设计公平游戏为：将袋中红球拿出 1个换成白球，即袋中10个球，有3个黑球，3个白球，4个红球，或将袋中黑球拿出 1个换成红球，即袋中10个球，有2个黑球，2个白球，6个红球．规则不变，即为公平的游戏． 18．春风送暖，万物复苏，2025年3月12日，在第47个中国植树节来临之际，河南省开展了2025年度春季义务植树活动．林业局对本次植树活动的移植成活率进行统计并绘制了统计图（如图）． 请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)这批树苗成活的频率稳定在_____附近，估计成活概率为_____；（精确到0.1） (2)此次植树活动的树苗主要有油松、侧柏、杨树和云杉，每种树苗的棵数均相同．如果小张随机拿取一棵树苗栽种，拿中侧柏的概率是多少? (3)此次植树活动已经种了2000棵树苗，请你估计，要使此次移植的树苗成活2160棵，还需要移植多少棵树苗？ 【答案】(1)0.9，0.9 (2) (3)还需要移植400棵树苗 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率、概率的简单计算以及概率在实际问题中的应用，熟练掌握频率与概率的关系、概率公式是解题的关键． （1）观察统计图中频率的变化趋势，找到稳定值，依据频率估计概率的思想确定成活概率． （2）根据概率的定义，利用树苗种类数量关系，计算拿到侧柏的概率． （3）先由成活概率算出达到目标成活数所需总树苗数，再减去已种树苗数，得到还需移植数量． 【详解】（1）解：∵ 观察统计图，成活频率在附近波动 ∴ 这批树苗成活的频率稳定在附近，估计成活概率为 故答案为：0.9，0.9 （2）解：∵ 树苗有油松、侧柏、杨树和云杉，共种，每种棵数相同 ∴ 拿中侧柏的概率 （3）解：∵ 成活概率为，要成活棵 ∴ 所需总树苗数为（棵） ∵ 已种棵 ∴ 还需移植（棵） 19．在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，七（）班的数学学习小组做了摸球试验．他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到红球的次数 摸到红球的频率 (1)请估计：当次数足够大时，摸到红球的频率将会接近________；（精确到） (2)假如你去摸一次，则摸到红球的概率的估计值为________； (3)试估算盒子里红球的数量为________个，黑球的数量为________个． (4)若先从袋子中取出（）个红球，再从袋子中随机摸出个球，若“摸出黑球”为必然事件，则________． (5)若先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球并摇匀，随机摸出个红球的概率为，则的值为________． 【答案】(1) (2) (3)，； (4)； (5)3 【分析】本题主要考查了用频率估计概率、概率公式，当摸球的次数足够大时，摸到红球的频率会接近摸到红球的概率． 由统计表中的数据可知，随着摸球次数的增加，摸到红球的频率越来越接近； 因为随着摸球次数的增加，摸到红球的频率越来越接近，所以找到红球的概率估计值是； 用摸到红球的频率代表摸到红球的概率计算出盒子里红球的数量大约为个，黑球的数量大约为个； 因为摸到黑球是必然事件，所以袋子里没有红球只有黑球，所以应取出个红球； 由可知，袋子中有个红球，个黑球，若先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球，则袋子中红球的个数是个红球，个黑球，根据概率公式可得关于的方程，解方程求出的值即可． 【详解】（1）解：由统计表中的数据可知，随着摸球次数的增加， 摸到红球的频率越来越接近， 当次数足够大时，摸到红球的频率将会接近； （2）解：由可知，当次数足够大时，摸到红球的频率将会接近， 摸到红球的概率估计值为； （3）解：红球的个数为(个)， 黑球的个数为(个)， 故答案为：，； （4）解：从袋子中随机摸出个球，若“摸出黑球”为必然事件， 则袋子中全部是黑球，红球的个数是， 由可知，估计袋子中有个红球， 应从袋子中取出个红球， 故答案为：； （5）由可知，袋子中有个红球，个黑球， 若先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球， 则袋子中红球的个数是个红球，个黑球， 随机摸出个红球的概率为， ， 解得：， 故答案为：． 20．我区某中学举行了“垃圾分类，绿色环保”知识竞赛活动，根据学生的成绩划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了不完整的两种统计图： 根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)参加知识竞赛的学生共有 ________人，并把条形统计图补充完整； (2)扇形统计图中，________，________，C等级对应的圆心角为 ________度； (3)小明是四名获A等级的学生中的一位，学校将从获A等级的学生中任意选取2人，参加区举办的知识竞赛，请用列表法求小明被选中参加区知识竞赛的概率． 【答案】(1)40，补全条形统计图见解析； (2)10，40，144； (3)列表见解析，小明被选中参加区知识竞赛的概率为． 【分析】题目主要考查条形统计图与扇形统计图综合，用列表法或树状图法求概率等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据D等级的频数及所占的百分比即可得出总的人数，然后乘以B等级所占的百分比即可得出B等级的人数，然后补全统计图即可； （2）用A等级的频数除以总人数即可得出m的值；用度乘以C等级所占的比例即可； （3）用列表法表示出所有等可能的结果，然后用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：人，人， 故答案为：40， 补全条形统计图如图所示： （2）解：，， ． 故答案为10，40，144； （3）解：设除小明以外的三个人记作、、，从中任意选取2人，所有可能出现的情况如下： 一二 小明 小明 ，小明 ，小明 ，小明 小明， ， ， 小明， ， ， 小明， ， ， 共有12种等可能出现的情况，其中小明被选中的有6种， 所以小明被选中参加区知识竞赛的概率为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 概率的进一步认识 教学目标 1. 经历猜测、试验、收集与统计试验数据、分析试验结果等活动过程，进一步发展数据分析观念，体会概率与统计的关系，感受随机现象的特点。 2. 能运用列表和画树状图等方法，不重复、不遗漏地列出简单随机事件发生的所有可能结果 ，并据此准确计算其发生的概率；理解当试验次数足够大时，试验频率将稳定于理论概率，从而能用试验频率估计一些较复杂随机事件发生的概率。 3. 能运用概率知识解决如游戏公平性判断、抽奖结果预测等一些简单实际问题 ，进一步发展应用意识，在活动过程中积累活动经验，体验与他人合作交流的意义和作用。 教学重难点 1.重点 （1）熟练掌握借助树状图或列表法，清晰、准确地计算涉及两步试验的随机事件发生的概率，比如在掷硬币、摸球等常见试验场景中灵活运用这两种方法求解概率。 （2）深刻理解并掌握用频率估计概率的条件及方法，能够通过大量重复试验，利用试验频率对复杂随机事件的概率进行合理估计 ，如估计种子的发芽率、产品的合格率等。 2.难点 （1）面对不同的随机事件试验，学会根据试验特点，选择适当的方法（树状图法或列表法）准确计算涉及两步试验的随机事件发生的概率，避免方法选择不当导致结果错误； （2）理解随机事件发生的频率与概率之间的内在联系与区别，能够在实际问题中运用试验的方法对复杂随机事件的概率进行有效估计 ，并能解释估计结果的合理性 ，克服因对概念理解不深而产生的认知误区。 知识点01 用树状图或表格求概率 1.树状图：当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图. 树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点：(1)树形图法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； (2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同. 2.列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； （2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率. 3.用列举法求概率的一般步骤 （1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等； （2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n和其中出现所求事件A的结果个数m； （3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=. 【即学即练1】 1．小亮和小颖利用三张卡片做游戏，卡片上分别写有A，B，C．这些卡片除字母外完全相同，背面朝上，从中随机摸出一张，记下字母后放回，充分洗匀后，再从中摸出一张． (1)第一次就摸到A的概率是______； (2)如果两次摸到卡片字母相同小明胜，否则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 2．三张卡片正面分别写有，除正面的数字不同外，其余均相同． (1)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，取出的卡片上的数字为负数的概率是______； (2)将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张，利用画树状图或列表的方法求两次取出的卡片上的数字之积为正数的概率． 知识点02 用频率估计概率 1.频率与概率的定义 频率：在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值. 概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）. 2.频率与概率的关系 事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值. 要点：（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率； （2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等； （3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 3.利用频率估计概率 当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率. 要点：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确. 【即学即练2】 3.在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黄、白两种颜色的乒乓球共40个，某数学兴趣小组做摸球试验，将乒乓球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 300 500 800 1000 摸到黄色乒乓球的次数 69 102 143 213 353 560 701 摸到黄色乒乓球的频率 0.69 0.68 0.715 a 0.706 0.70 b (1)①上表中的_____，_____； ②根据上表估计，当n很大时，摸到黄色乒乓球的概率约是_____；（精确到0.1） (2)试估计盒子中黄色乒乓球的个数． 题型01 列举法求概率 【典例1】有四条线段，长度分别是，从中任取三条线段能组成三角形的概率是 ． 【变式1】如图，电路图上有一个小灯泡以及4个断开状态的开关A，B，C，D，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为 ． 【变式2】某科技节新增了机器人编程、无人机操控、打印、虚拟现实设计四个竞赛项目．学校为普及相关知识，在四个实验室分别开展对应项目的体验活动，要求每名学生选择其中一项参与．九（1）班准备了四枚外观相同的电子芯片，分别编号为1，2，3，4（对应上述四个项目），放在不透明的芯片盒中．若一次性从芯片盒中随机抽取两枚芯片，则两枚芯片编号的差值超过2的概率是 ． 【变式3】小侯和爸爸、妈妈、姐姐暑假乘坐高铁来十堰旅游，如图，买了同车同排四张高铁票，上车后随机坐到这四个位置（深色B，C，D，F），乘务员验票时发现是一家四口的座位，但四个人都没有坐到车票上名字所对应的位置，请问四人都没坐到车票上名字所对应位置的概率是 ． 题型02 列表法或树状图法求概率 【典例2】2024年12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”列入人类非物质文化遗产代表作名录．虽然春节已过，但新年的喜悦和希望仍然在我们心中回荡，为此张老师在班会上，提议同学从“A．贴春联”“B．吃饺子”“C．挂灯笼”“D．拜新年”这四个春节习俗中，随机选择一个进行讲解．如图，班长做了4张背面完全相同的卡片，将卡片洗匀后背面朝上放在桌子上． (1)佳佳从这四张卡片中随机摸出一张，摸到“B．吃饺子”的概率是______； (2)若欢欢先从这些卡片中随机摸出一张卡片，记下卡片上的习俗，然后将卡片放回，洗匀，乐乐再从这些卡片中随机摸出一张卡片，记下卡片上的习俗，请利用画树状图或列表的方法求他们两人摸到的习俗相同的概率． 【变式1】庆祝北京冬奥会三周年暨奥林匹克历史知识产权授权产品“冰墩墩”蛇年新春特别版“蛇墩墩”系列新品在北京发布，现场发布了五个形象的“蛇墩墩”手办，产品在设计上则采用了“五福临门”的㝢意．小明收集了如图所示的五张印有“蛇墩墩”图案的卡片：A．“福星蛇墩墩”，B．“禄星蛇墩墩”，C．“寿星蛇墩墩”，D．“喜星蛇墩墩”，E．“财星蛇墩墩”（除正面内容不同外，其余均相同），现将五张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小明从五张卡片中随机抽取一张卡片是“福星蛇墩墩”的概率是______； (2)小明从五张卡片中随机抽取一张卡片，不放回，记下卡片正面内容后，再将剩下四张卡片洗匀后从中随机抽取一张卡片，记下卡片正面内容，请用列表法或画树状图法，求小明两次抽取的卡片中都没有抽到“福星蛇墩墩”的概率． 【变式2】年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为，，，，滨河体育队的小明同学把这四个项目写在了背面完全相同的卡片上．将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小明想从中随机抽取一张，去了解该项目在奥运会中的得分标准，恰好抽到是（滑板）的概率是______． (2)体育老师想从中选出来两个项目，让小明做成手抄报给大家普及一下，他先从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是（滑板）和（运动攀岩）的概率． 【变式3】为了激发青少年的创新热情，第39届全国青少年科技创新大赛计划于2025年暑期举办，科创爱好者小勋设计了一款闯关小游戏，如图，在进入游戏之前有甲、乙两组关卡，每组关卡中各有4个按钮和4个装置（含2个发光装置和2个发音装置），每个按钮控制该组的一个装置（按钮与装置一对应，但顺序不对应），每按下一个按钮，该组就会有一个发音装置发出“闯关失败”的声音或一个发光装置亮起玩家每次从两组分别随机按下一个按钮，若两组中各有一个发光装置亮起，则可进入游戏：若两组中只有一组是发光装器亮起，另一组发出“闯关失败”的声音，则可再闯关一次；若两组均发出“闯关失败”的声音，则退出游戏． (1)从甲组任意按下一个按钮，发光装置亮起的概率为________； (2)小勋设计完成后让好朋友小华试玩了一下，请用列表法或画树状图法求小华一次就能进入游戏的概率． 题型03 利用概率判断游戏的公平性 【典例3】如图是一副扑克牌中的3张牌，将它们正面朝下洗匀后放在桌上．爸爸先从中抽出一张，榕榕从剩余的2张牌中也抽出一张，比较两人抽出的牌面上的数字，数字大者获胜．如果两个人的获胜概率相同，我们说游戏是公平的．请借助树状图或列表法来判断这个游戏是否公平． 【变式1】甲、乙两同学玩一个游戏：在一个不透明的口袋中装有标号分别为的4个小球（除标号外无其他差异），从口袋中随机摸出1个小球，记下标号后放回口袋中，充分摇匀后，再从口袋中随机摸出1个小球，记下该小球的标号，两次记下的标号分别用表示．若为奇数，则甲获胜，若为偶数，则乙获胜． (1)用画树状图法列出所有可能的结果． (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【变式2】现有12张卡片，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12．小花和小佳合作完成一个游戏，规定：小花先随意抽取一张，然后让小佳猜这个数，如果猜对了，那么小佳获胜；如果猜错了，那么小花获胜． (1)这个游戏对双方公平吗？为什么？ (2)现还有下面两种游戏规则，你认为公平吗？为什么？ ①猜是奇数还是偶数； ②猜是不是3的倍数． (3)如果你是小佳，为了获胜，你选择上面哪一种猜法？ 【变式3】课间十分钟是学生释放学习压力，自我调节的放松时间．课间同学们玩抽卡片游戏，他们在一个不透明的箱子中放了4张卡片，卡片上分别写有数字-2，3，5，6这些卡片除上面的数字外，其余均相同． (1)小晴从箱子中随机摸10次卡片，其中摸到写有数字“6”的卡片2次，则这10次摸卡片中，摸出写有数字“6”的卡片的频率是___________； (2)佳佳和乐乐同时从箱子中各取出1张卡片，如果两张卡片上的数字之和为奇数，则佳佳胜；如果两张卡片上的数字之和为偶数，则乐乐胜．这个游戏规则对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明． 题型04 几何概率 【典例4】张老师把边长为4的正方形厚纸板分成七部分，如图1所示，然后将它割开，制成七巧板．用自制的七巧板在一个大长方形中拼出如图2所示的图案，如果小球在如图2所示的大长方形中自由地滚动，那么它最终停留在阴影区域的概率是 ． 【变式1】如图是由三个同心圆组成的游戏板，同心圆的半径从大到小分别为15cm，10cm和5cm．若将飞镖随机投掷到游戏板上，则飞镖落在黑色区域的概率是 ． 【变式2】如图，平行四边形中，对角线交于点O，直线l过点O，且与边，分别交于点E、F，．若在平行四边形内随机取点，则点落在内的概率是 ． 【变式3】如图，在的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的，任意投掷飞镖一次（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），飞镖击中阴影部分的概率是 ． 题型05 概率的应用 【典例5】商场在国庆期间举行部分商品优惠促销活动，顾客只能从以下两种方案中选择一种： 方案一：购物每满元减元； 方案二：顾客购物达元可抽奖一次，具体规则是：在一个箱子内装有四张一样的卡片，四张卡片中有张写着数字，张写着数字，顾客随机从箱子内抽出两张卡片，两张卡片上的数字和记为，的值和享受优惠如表所示． 的值 实际付款 折 折 折 (1)若按方案二的抽奖方式，利用树形图（或列表法）求一次抽奖获得折优惠的概率； (2)若某顾客的购物金额为元，请你应用统计概率的知识帮助分析该顾客应选择哪种方案较为实惠． 【变式1】某超市为吸引顾客设置如下的翻奖牌，奖品有纸巾、牙刷、太阳伞，进店消费可翻一次牌．翻奖牌的正面、背面如图所示．已知翻奖牌正面除数字外其他完全相同．请解决下面的问题： (1)翻一次牌翻到“纸巾”的概率是__________； (2)翻一次牌获得奖品的概率是_________； (3)请你设计翻奖牌背面的内容，使得最后翻到“纸巾”的概率是，翻到“谢谢参与”的概率是，要求奖牌内容包含“纸巾、牙刷、太阳伞、谢谢参与”． 【变式2】某餐厅为了提高服务质量，开展了顾客满意度问卷调查，满意度共分为档，从低到高为分，分，分，分，分．工作人员随机抽取了名顾客进行调查，并制作了如下统计表． 分数/分 份数/份 根据以上信息，解答下列问题： (1)若抽取的顾客中超过一半的评分均不高于分，则需要对餐厅进行整改，请通过计算说明该餐厅是否需要整改； (2)若抽取的顾客所评分数的平均数或中位数低于分，则需要对餐厅进行整改，请通过计算说明该餐厅是否需要整改． 【变式3】某体育馆有A，B两个入口，每个入口有3个通道可同时通行，C，D，E三个出口，其中C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，每个通道在规定时间内可通行100人，规定：观众进馆时须持票任意从两个入口进入，出馆时只可任意从三个出口离开．甲、乙、丙三名观众分别从两个入口中随机选择一个入口进入． (1)求甲从A口进入，C口离开的概率； (2)求甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率． (3)学校有七、八、九三个年级的学生进场观看比赛，七年级80人，八年级150人，九年级160人，比赛结束后，为了能够在规定时间内使所有同学都能有序离开，请你合理安排七、八、九三个年级的学生从C、D、E三个出口（每个年级的学生走同一个出口）离开（安排一种即可），并说明理由． 题型06 由频率估计概率 【典例6】某种绿豆在相同条件下发芽的试验结果如下表所示： 每批粒数 发芽的粒数 发芽的频率 根据表中数据，估计这种绿豆发芽的概率约是 ．（结果保留两位小数） 【变式1】二维码已深入人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图是一个边长为的正方形二维码，若在该二维码内随机抛掷100个点，有60个点落入黑色部分，则估计黑色部分的面积是 ． 【变式2】如图，在一块长方形卡纸上，有不规则的阴影图案．某数学兴趣小组利用该卡纸设计了抛针试验：在同一条件下，往该卡纸上随机抛一枚大头针，重复试验并统计试验总次数及针尖落在阴影部分的次数（如下表）．由统计结果估计，往该卡纸上随机抛一枚大头针，针尖恰好落在阴影部分的概率约为 ．（保留一位小数） 试验总次数 50 100 150 200 250 300 针尖落在阴影部分的次数 31 66 91 119 152 181 针尖落在阴影部分的频率 0.620 0.660 0.607 0.595 0.608 0.603 【变式3】为测量一块不规则草地面积，某班学习小组在草地的外围画了一个长5米，宽4米的矩形，学生分四个小组在不远处蒙上双眼向草地方向掷石子，石子落点记录如下表： 项目名称组别 一组 二组 三组 四组 石子落在草地内的次数 59 63 61 57 石子落在阴影内的次数 19 20 19 22 请你用概率的相关知识算出草地的面积大约是 平方米． 题型07 用频率估计概率的综合应用 【典例7】不透明的袋中有若干个红球和黑球，每个球除颜色外无其他差别．现从袋中随机摸出1个球，记下颜色后放回并搅匀，实验结果如下： 摸球次数 100 200 400 600 800 1000 摸黑球频数 39 72 156 228 312 __________ 摸黑球频率 0.39 0.36 0.39 0.38 __________ 0.39 (1)填写表格中的数据； (2)估计从这个袋中随机摸出1个球，这个球是黑球的概率为______；（结果精确到0.1） (3)在（2）的条件下，如果袋中红球和黑球共有10个，那么袋中有几个黑球？ 【变式1】植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数n 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数m 37 77 316 640 800 成活的频率 b (1)完成上述表格：________，________； (2)这种树苗成活的概率估计值为________（精确到） (3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 【变式2】大型服装厂对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 500 1000 1500 2000 5000 8000 10000 合格数 420 880 1410 1760 4450 7240 9010 合格率 0.84 0.88 0.94 0.88 0.89 0.91 0.90 (1)请估计抽检2万件衬衣中合格衬衣大约有多少万件？ (2)为了维护消费者的利益，质检部门规定不合格衬衣不能销售，服装厂本月生产10万件衬衣，每件衬衣成本50元，为确保销售利润至少有220万，则每件衬衣至少需要定价多少件元？ 【变式3】盒子里装有红球和白球共20个，它们除颜色外其他都相同，每次从盒子里摸出1个球，记下颜色后放回盒中摇匀再摸球，在活动中得到如表中部分数据． 摸球次数 出现红球的频数 出现红球的频率 摸球次数 出现红球的频数 出现红球的频率 100 32 400 130 a 200 62 500 150 b 300 90 600 183 (1)请将表中数据补充完整，______；______； (2)画出“出现红球”的频率折线统计图； (3)估计摸到红球的概率为______（精确到）． (4)估计盒子里有红球______个和白球______个． 一、单选题 1．有三张正面分别写有数字，，的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为b的值，则点在第二象限的概率为（    ） A． B． C． D． 2．一个不透明的袋子里装有4个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复上面的过程，并将摸出白球的频率绘制了如图所示的统计图．则从袋子中随机摸出一个球，估计摸到白球的概率为（   ） A． B． C． D． 3．一个不透明的箱子中放有1个红球、2个黄球和3个黑球，这些小球除颜色外都相同，小明、小芳、小雪三人先后去摸球，每人每次只能摸出一个球，每次摸出球后放回，摸出红球的人获得礼品（可以所有人都获得礼品）．你觉得这个游戏（    ） A．对所有人都公平 B．无法判断是否公平 C．先摸者获得礼品的可能性大 D．后摸者获得礼品的可能性大 4．某旅游景区，假日期间实施购票有奖，凡购买一张门票，可以转动转盘一次，指针指向哪个获奖区域，就得到对应的奖品，如图1所示．售票员用电脑制作出获得优胜奖频率的折线统计图，如图2所示．根据以上信息，图1中的度数为（    ） A． B． C． D． 5．不透明的口袋里装有若干个除颜色外都相同的小球，将球摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程，得到一组统计数据（如下表），则下列说法错误的是（    ） 摸球的次数 100 150 300 500 800 1000 摸到红球的次数 61 93 301 480 601 摸到红球的频率 0.62 0.59 0.602 0.60 0.601 A． B． C．摸到红球的概率约为0.60 D．若袋中有9个红球，则总球数有14个 二、填空题 6．事件A发生的概率是0.2，大量重复做这种试验，事件A平均100次发生的次数是 ． 7．小明用红、黄、黑三种颜色设计一个转盘（不留空白），自由转到转盘停止后，指针落在红色区域的概率是，落在黄色和黑色区域的概率相等，则落在黄色区域的概率是 ． 8．现有四张分别标有数字、1、2的卡片，它们除数字不同外其余完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张，将上面的数字记为a．放回后从卡片中再任意抽取一张，将上面的数字记为b，则点在第一象限内的概率为 9．如图，小颖在10×10的方格纸中绘制图形“19”，为计算它的面积，小颖将米粒随机撒在方格纸上，经过大量重复试验，发现米粒落在“19”区域的频率稳定在常数附近，由此可估计图形“19”的面积为 ． 10．如图，为三角形纸板的角平分线，，E为上一点，于点F，连接若，将一个飞镖随机投掷到该纸板上（假设飞镖一定落在纸板上），则飞镖落在阴影部分的概率是 三、解答题 11．消防教育进校园，消防安全记心间．为切实提升广大师生的自护自救能力，阳光中学组织全体师生开展了消防演练．在实际演练之前，学校提前制定好了活动方案，为了保证广大师生的安全，防止踩踏事件的发生，在各楼层的通道处安排了疏散引导员．该校决定在九年级的甲，乙，丙，丁4位老师中随机选取2位作为疏散引导员，其中甲、乙是男老师，丙，丁是女老师． (1)若从中先选取1名疏散引导员，这名疏散引导员是女老师的概率是______； (2)请用画树状图法或列表法，求被选到的2位老师是一男一女的概率． 12．现有两根长度分别为5，8的木棒，小亮想通过转盘游戏来获取第三根木棒．他准备了一个均匀的转盘，被平均分成6等份，分别标有木棒的长度：2，3，5，8，10，12．小亮转动转盘一次，停止后，指针指向的数字即为第三根木棒的长度（若指针指向分界线，则重新转动）． (1)若小亮转动转盘60次，发现转出的木棒长度小于5的结果出现了19次，求转出的木棒长度小于5的频率； (2)求小亮获取的第三根木棒和现有的两根木棒能组成三角形的概率． 13．2025年“五一”期间，宝鸡市各旅游景区持续火热．小明和小颖准备从A．法门寺文化景区，B．关山草原风景名胜区，C．钓鱼台风景区，D．宝鸡青铜器博物馆这四个景区中各自随机选择一个景区参加公益讲解活动（两人所选景区相互不受影响）． (1)“小明选择的景区是B．关山草原风景名胜区”是_________事件；（选填“必然”“随机”或“不可能”） (2)用列表或画树状图的方法，求小明和小颖两人所选择的景区不同的概率 14．一个不透明的盒子里装有黄色乒乓球和白色乒乓球共40个，每次从盒子里摸出1个球，记下颜色后放回盒中摇匀再摸球，在活动中得到如下表的部分数据： 摸球总次数 出现黄色乒乓球的次数 出现黄色乒乓球的频率 (1)填空： ， ； (2)估计出现黄色乒乓球的概率为 ；（精确到0.1） (3)估计盒子里黄色乒乓球和白色乒乓球各有多少个？ 15．某班开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片、、、，卡片除图案外其它均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随机抽取一张，讲述卡片上数学家的故事，每次抽取后均放回． (1)小明从四张卡片中抽取一次，恰好是华罗庚的概率为_______； (2)用列表法或画树状图法求小明两次抽到的卡片恰好都是数学家华罗庚邮票图案的概率． 16．在一个不透明布袋中装着除颜色外其他都相同的红球3个和蓝球1个，它们已经在布袋中被搅匀了． (1)从布袋中一次取出2个球，全是蓝球是______事件．（填“必然”、“随机”或“不可能”） (2)若随机取出一个球，求取出的球的颜色是蓝球的概率． (3)小明与小亮玩摸球游戏，在一个袋子中放有5个完全一样的球，分别标有1、2、3、4、5五个数字，小明与小亮轮流坐庄，从袋中摸出一球，记下号码，然后放回，规定：如果摸到的球号码大于3，则小明胜否则小亮胜，你认为这个游戏公平吗？请说明理由，若不公平，请修改游戏规则，使游戏公平． 17．某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有红球、黑球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据： 摸球次数 100 150 200 500 800 1000 2000 摸到红球的次数 52 72 262 404 499 1000 摸到红球的频率 0.52 0.51 0.524 0.505 0.499 0.5 (1)表中的_____________，_____________； (2)通过摸球实验，请你估计摸到红球的概率是_____________； (3)上述实验中，若袋中10个球中有3个黑球，为决定谁将获得仅有的一张电影票，设计了如下的摸球游戏，规则如下：如果摸到黑球，则小明获胜；如果摸到白球，则小颖获胜；如果抽到红球，则视为无效抽球，需将球放回袋中，游戏继续，这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由，如果不公平，请重新设计一个公平游戏． 18．春风送暖，万物复苏，2025年3月12日，在第47个中国植树节来临之际，河南省开展了2025年度春季义务植树活动．林业局对本次植树活动的移植成活率进行统计并绘制了统计图（如图）． 请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)这批树苗成活的频率稳定在_____附近，估计成活概率为_____；（精确到0.1） (2)此次植树活动的树苗主要有油松、侧柏、杨树和云杉，每种树苗的棵数均相同．如果小张随机拿取一棵树苗栽种，拿中侧柏的概率是多少? (3)此次植树活动已经种了2000棵树苗，请你估计，要使此次移植的树苗成活2160棵，还需要移植多少棵树苗？ 19．在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，七（）班的数学学习小组做了摸球试验．他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到红球的次数 摸到红球的频率 (1)请估计：当次数足够大时，摸到红球的频率将会接近________；（精确到） (2)假如你去摸一次，则摸到红球的概率的估计值为________； (3)试估算盒子里红球的数量为________个，黑球的数量为________个． (4)若先从袋子中取出（）个红球，再从袋子中随机摸出个球，若“摸出黑球”为必然事件，则________． (5)若先从袋子中取出个红球，再放入个一样的黑球并摇匀，随机摸出个红球的概率为，则的值为________． 20．我区某中学举行了“垃圾分类，绿色环保”知识竞赛活动，根据学生的成绩划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了不完整的两种统计图： 根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)参加知识竞赛的学生共有 ________人，并把条形统计图补充完整； (2)扇形统计图中，________，________，C等级对应的圆心角为 ________度； (3)小明是四名获A等级的学生中的一位，学校将从获A等级的学生中任意选取2人，参加区举办的知识竞赛，请用列表法求小明被选中参加区知识竞赛的概率． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$