专题2.5 一元二次方程的根与系数的关系（高效培优讲义）数学北师大版九年级上册

专题2.5 一元二次方程的根与系数的关系 教学目标 1.在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系，及其此关系的运用。 2.通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现关系的过程。 教学重难点 1.重点：观察数字系数的一元二次方程的两个根之和，及两个根之积与原方程系数之间的关系 2.难点：对一元二次方程的根与系数这一性质进行应用。 知识点01 一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 【即学即练1】 1．方程的两个根为，，若，则 ． 2．一元二次方程的两个根分别为、，则 ． 知识点02 一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①；②；③； ④；⑤； ⑥；⑦； ⑧；⑨； ⑩． (4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是. (5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为、，则 ①当△≥0且时，两根同号． 当△≥0且，时，两根同为正数； 当△≥0且，时，两根同为负数． ②当△＞0且时，两根异号． 当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大； 当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大． 要点： （1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱； （2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）． 【即学即练2】 3．已知关于的方程（为常数）． (1)求证：不论取何值时，该方程总有实数根； (2)若该方程的两个实数根、满足，求的值． 4．已知：平行四边形的两边、的长是关于x的方程的两个实数根， (1)试说明：无论m取何值方程总有两个实数根． (2)若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？ 5．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)根据上述定义，是“________倍根方程”； (2)若关于的方程是“三倍根方程”，求的值； (3)直线：与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围． 题型01 利用一元二次方程根与系数的关系求值 【典例1】已知是一元二次方程的两根，且 ． 【变式1】若一元二次方程的两根分别是，则的值为 ； 【变式2】若是方程的两个根，则 ． 【变式3】若关于的方程的两根分别是，，则的值为 ． 题型02 通过化简、变形利用一元二次方程根与系数的关系求值 【典例1】设、是方程的两个实数根，则 ． 【变式1】已知，是关于的一元二次方程的两个根，则 ． 【变式2】若是关于的方程的两实数根，则的值为 ． 【变式3】已知一元二次方程的两个根为，则的值为 ． 题型03 利用一元二次方程根与系数的关系求参数 【典例1】设、是方程的两个根，且，则 ． 【变式1】已知是关于的一元二次方程的两个实数根．若，则的值为 ． 【变式2】已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 【变式3】已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若两实数根分别为和，且，求m的值． 题型04 利用一元二次方程根与系数的关系分析、判断命题真假 【典例1】对于一元二次方程下列说法： ①若方程的两个根是和，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】对于两个代数式，记，，以下说法正确的个数是（   ） ①若，则； ②若关于x的方程没有实数根，则； ③代数式有最小值； ④若关于x的方程的解为p和q，则的值为． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】对于一元二次方程，有下列说法：①若，则方程必有一个根为1；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是（   ） A．只有② B．只有②④ C．只有②③ D．只有②③④ 【变式3】在桥梁结构的力学分析中，工程师们用到一元二次方程来计算结构的受力情况．对于这个方程，有下列说法： ①若，则； ②若方程的两根之积为，则； ③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ④若是方程的一个根，则一定有成立． 这些说法对于准确评估桥梁结构的稳定性至关重要，其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型05 与一元二次方程根与系数有关的解答证明题 【典例1】已知：关于x的方程． (1)求证：方程必有两个不相等的实数根； (2)若是该方程的根，且，求p的值． 【变式1】已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 【变式2】已知关于的一元二次方程为． (1)求证：无论为何值，此方程一定有实数根； (2)若，是该方程的两个不同的根，且满足，求的值． 【变式3】已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)当时，该方程根的判别式_____； (2)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (3)若该方程有两个实数根，且，求的值． 一、单选题 1．方程的两根为、，则的值为（　　） A． B． C． D．3 2．若、是一元二次方程的两个根，则的值是（   ） A．3 B． C．4 D． 3．若方程的两根之积为，则的值是（    ） A．-1 B．1 C． D． 4．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则（） A．或1 B．1 C．3或 D． 5．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法正确的是（   ） ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的方程是倍根方程，则 A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题 6．若方程的两个根是和4，则 ， ． 7．已知关于的一元二次方程的两根为，，则的值为 ． 8．定义新运算：．若方程的两个根为和，则 ． 9．若一元二次方程的两个实数根是某直角三角形两条直角边的长，则这个直角三角形的周长为 ． 10．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的有 (填序号)． ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程：则； ③若满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的一元二次方程是倍根方程，则必有． 三、解答题 11．设，是一元二次方程的两个根，不解方程，求的值． 12．已知一元二次方程的两根分别为和， (1)求和的值； (2)求的值． 13．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)设该方程的两个根为，，且满足，求的值． 14．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个实数根； (2)当的斜边长，且两条直角边和恰好是这个方程的两个根时，求的周长． 15．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是________； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若，是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 16．阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达早在1615年在著作《论方程的识别与订正》中就建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）： ①， ②． 材料2：如果实数m，n满足，，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m，n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 材料3：若，是一元二次方程的两个实数根，且满足，则此类方程称为“差根方程”． 请根据上述材料解答下面问题． (1)填空：① ； ② ． (2)若实数m，n满足：，，则 ． (3)判断方程（“是”或“否”）是“差根方程”． (4)若关于x的方程：（b，c是常数）是“差根方程”，求的最大值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 一元二次方程的根与系数的关系 教学目标 1.在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系，及其此关系的运用。 2.通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现关系的过程。 教学重难点 1.重点：观察数字系数的一元二次方程的两个根之和，及两个根之积与原方程系数之间的关系 2.难点：对一元二次方程的根与系数这一性质进行应用。 知识点01 一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 【即学即练1】 1．方程的两个根为，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据，可求出m的值；再由，即可求出答案． 【详解】解：∵方程的两个根为，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 2．一元二次方程的两个根分别为、，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握这个关系是关键．当然本题也可直接解方程来求解． 由一元二次方程根与系数的关系带入即可求得． 【详解】解：由根与系数的关系得：；； ∴ 故答案为： ． 知识点02 一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①；②；③； ④；⑤； ⑥；⑦； ⑧；⑨； ⑩． (4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是. (5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为、，则 ①当△≥0且时，两根同号． 当△≥0且，时，两根同为正数； 当△≥0且，时，两根同为负数． ②当△＞0且时，两根异号． 当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大； 当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大． 要点： （1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱； （2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）． 【即学即练2】 3．已知关于的方程（为常数）． (1)求证：不论取何值时，该方程总有实数根； (2)若该方程的两个实数根、满足，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系． （1）根据根的判别式，方程有实数根可证得结论； （2）根据根与系数关系得到，进而列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴不论取何值时，该方程总有实数根； （2）解：∵该方程的两个实数根、， ∴，又， ∴，即， 解得． 4．已知：平行四边形的两边、的长是关于x的方程的两个实数根， (1)试说明：无论m取何值方程总有两个实数根． (2)若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的相关知识，平行四边形的性质． （1）根据根的判别式证明即可； （2）先由的长为2求出，进而可知原方程为，根据根与系数的关系求出、的和，即可求出平行四边形的周长. 【详解】（1）证明：∵， ∴无论m取何值方程总有两个实数根； （2）解：∵、的长是关于x的方程的两个实数根，的长为2， ∴， 解得：， 即， ∴、的和， ∵平行四边形， ∴，， ∴平行四边形的周长． 5．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)根据上述定义，是“________倍根方程”； (2)若关于的方程是“三倍根方程”，求的值； (3)直线：与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围． 【答案】(1)四 (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与几何综合，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键． （1）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义求解即可； （2）由题意可设这个方程的两个根分别为，则由根与系数的关系可得，据此求解即可； （3）利用待定系数法求出直线解析式为；再根据题意可得，则可得点P在直线上，求出直线与直线的交点坐标，直线与直线的交点坐标，根据点在的内部（不包含边界），结合函数 图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵， ∴是“四倍根方程”； （2）解：∵关于的方程是“三倍根方程”， ∴可设这个方程的两个根分别为， ∴， ∴， ∴； （3）解：设直线解析式为， 把代入到中得， ∴， ∴直线解析式为； ∵一个五倍根方程的两个根为和， ∴， ∴点P的坐标为， ∴点P在直线上， 联立，解得， 联立，解得， ∵点在的内部（不包含边界）， ∴． 题型01 利用一元二次方程根与系数的关系求值 【典例1】已知是一元二次方程的两根，且 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．掌握一元二次方程根与系数的关键是解题的关键．直接利用根与系数的关系即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的两根， ∴， 故答案为： 【变式1】若一元二次方程的两根分别是，则的值为 ； 【答案】11 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．根据一元二次方程根与系数关系即可求解． 【详解】解；∵ ∴， ∴ 故答案为：11 【变式2】若是方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴是方程的两个根， ∴， ∴， 故答案为： 【变式3】若关于的方程的两根分别是，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，由此可得，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵关于的方程的两根分别是，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型02 通过化简、变形利用一元二次方程根与系数的关系求值 【典例1】设、是方程的两个实数根，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此得到，再由进行求解即可． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1】已知，是关于的一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值，先求出根与系数的关系，将代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个根， ， ， 故答案为：． 【变式2】若是关于的方程的两实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，分式的求值，完全平方公式的变形应用，熟练掌握的两根满足是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数关系得到，，然后将变形后整体代入求解即可． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3】已知一元二次方程的两个根为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的两根之和与两根之积与系数的关系是解题的关键．将转化为，根据一元二次方程根与系数的关系即可进行求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为、， ∴， ∴， 故答案为：． 题型03 利用一元二次方程根与系数的关系求参数 【典例1】设、是方程的两个根，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．根据一元二次方程根与系数的关系可知，，再求解即可． 【详解】解：∵、是方程的两个根， ∴，． ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式1】已知是关于的一元二次方程的两个实数根．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记两个关系式是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，代入求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根分别为， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式2】已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系是解题关键． （1）根据一元二次方程的根的判别式大于或等于0求解即可得； （2）先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，再代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴这个方程的根的判别式， 解得， 所以实数的取值范围为． （2）解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得． 【变式3】已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若两实数根分别为和，且，求m的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系． （1）由一元二次方程有实数根可得，解不等式即可； （2）由和是方程的两个实数根，根据根与系数的关系可得，，又由，可得方程，求解方程即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：； （2）解：∵和是方程的两个实数根， ∵，， ∴， ∴， 解得：． 题型04 利用一元二次方程根与系数的关系分析、判断命题真假 【典例1】对于一元二次方程下列说法： ①若方程的两个根是和，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】此题考查了一元二次方程的根、根与系数关系等知识． 根据一元二次方程根的定义和根与系数关系分别进行计算即可得到答案． 【详解】解：若方程的两个根是和2，则， ∴， ∴； 故①正确； 若c是方程的一个根，则， ∴或， 故②错误； 若，则， 即有一个根是； 故③正确； 若方程有一个根是，则， 当时，， 即若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根， 故④正确； 综上可知，正确的是①③④， 故选：C． 【变式1】对于两个代数式，记，，以下说法正确的个数是（   ） ①若，则； ②若关于x的方程没有实数根，则； ③代数式有最小值； ④若关于x的方程的解为p和q，则的值为． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】配方法的应用、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，根据可得，据此解方程即可判断①；根据题意可得关于x的方程没有实数根，据此利用根的判别式求解即可判断②；，据此可判断③；关于x的方程的解为p和q，则，进而根据完全平方公式的变形得到，再根据即可判断④． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或，故①说法错误； ∵关于x的方程没有实数根， ∴关于x的方程没有实数根， ∴关于x的方程没有实数根， ∴， ∴，故②说法正确； ， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为，故③正确； ∵关于x的方程的解为p和q， ∴关于x的方程的解为p和q， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴或，故④错误， 故选B． 【变式2】对于一元二次方程，有下列说法：①若，则方程必有一个根为1；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是（   ） A．只有② B．只有②④ C．只有②③ D．只有②③④ 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，根据一元二次方程的根的含义、一元二次方程的根的判别式、等式的性质、一元二次方程的求根公式，对各选项分别讨论，即可得出答案． 【详解】解：①当时，，∴方程必有一个根为，故①错误，不符合题意； ②方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，故②正确，符合题意； ③由c是方程的一个根，得．当，则；当，则不一定等于0，故③不一定正确，不符合题意；④若是一元二次方程的根，可得，把的值代入，可得，故④正确，符合题意． 正确的结论为②④， 故选：B． 【变式3】在桥梁结构的力学分析中，工程师们用到一元二次方程来计算结构的受力情况．对于这个方程，有下列说法： ①若，则； ②若方程的两根之积为，则； ③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ④若是方程的一个根，则一定有成立． 这些说法对于准确评估桥梁结构的稳定性至关重要，其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质是解决本题的关键． 按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质等知识对各选项分别讨论，可得答案． 【详解】解：①当时，， 一元二次方程有两个相等的实数根或两个不相等的实数根， ，故①错误； ②若方程的两根之积为，则，得到，故②正确； ③方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，故③正确； ④由是方程的一个根，得，即． 当，则；当，则不一定等于，故④不一定正确． 综上所述：正确的有个； 故选：B． 题型05 与一元二次方程根与系数有关的解答证明题 【典例1】已知：关于x的方程． (1)求证：方程必有两个不相等的实数根； (2)若是该方程的根，且，求p的值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程． （1）直接根据根的判别式证明即可； （2）根据由题意得，，求出，解方程即可． 【详解】（1）解：． ∵， ∴方程必有两个不相等的实数根； （2）解：由题意得，， ∵， ∴． ∴． 解得． 【变式1】已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式和一元二次方程的根与系数的关系：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根; （1）先把方程，变形为，得出，即可得出答案； （2）先把方程，变形为，然后计算两根之和以及两根之积，代入求值的代数式计算即可． 【详解】（1）证明：整理原方程得，， ， 无论为何实数，总有，从而， 即． 无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由（1）得方程整理得， 方程的两个实数根、， ，，， ， 解得． 【变式2】已知关于的一元二次方程为． (1)求证：无论为何值，此方程一定有实数根； (2)若，是该方程的两个不同的根，且满足，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）直接根据根的判别式计算即可； （2）先根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式变形得到关于的二元一次方程，最后求解即可 【详解】（1）证明：， 不论为何值，方程一定有实数根； （2），是该方程的两个不同的根， ，， ， 化简得：， 解得：，． 【变式3】已知关于的一元二次方程（为常数）． (1)当时，该方程根的判别式_____； (2)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； (3)若该方程有两个实数根，且，求的值． 【答案】(1)13 (2)见解析 (3)， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系，解一元二次方程； （1）首先得到方程，然后根据判别式求解即可； （2）证明出即可； （3）首先由根与系数的关系得到，，然后将展开整体代入求解即可． 【详解】（1）解：当时， ∴ ∴； （2）证明： ， 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． （3）解：由根与系数的关系，得，． ， ． ，即． 解得，． 一、单选题 1．方程的两根为、，则的值为（　　） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，． 根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：∵、是方程的两根， ． 故选：A． 2．若、是一元二次方程的两个根，则的值是（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据韦达定理解答即可． 本题考查了韦达定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：由、是一元二次方程的两个根， 则， 故选：D． 3．若方程的两根之积为，则的值是（    ） A．-1 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，判别式，掌握知识点是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系，方程的两根之积等于常数项除以二次项系数．结合题目条件建立方程求解，并验证判别式是否非负． 【详解】解：对于方程 ，设其两根为 和 ，根据根与系数的关系，根的积为 ． 题目给出根的积为 ，因此有： 解得： 验证判别式： 当 时，，方程有实根，符合条件． 故选B． 4．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则（） A．或1 B．1 C．3或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，解得，，结合根的判别式作答即可． 【详解】解：由根与系数关系可得，， 代入得， 即 解得：， ∵原方程有实数根， ∴， 解得 因此不满足，舍去， 综上，， 故选：B． 5．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法正确的是（   ） ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的方程是倍根方程，则 A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式，根与的关系，新定义的倍根方程的意义．①求出方程的解，再判断是否为倍根方程；②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，即可判断；③当p，q满足，设两根为和，利用根与系数的关系判断；④设根为和，利用根与系数的关系，消去得出关系式，进行判断即可． 【详解】解：①解方程， ， ∴或， 解得，，，得，， ∴方程是倍根方程，故①正确； ②若是倍根方程，， 因此或， 当时，，∴； 当时，，∴；故②错误； ③∵，假设关于的方程是倍根方程， ∴设两根为和，则两根和为 ，两根根积为 ， 代入 ，得 ，解得 ，满足两根根和为 ，故③正确； ④对于倍根方程 ，设根为和，则两根和为 ， 两根积为 ，消去得 ，故④正确； 综上，①③④均正确， 故选：B． 二、填空题 6．若方程的两个根是和4，则 ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得，，进而求解即可． 【详解】解：∵方程的两个根是和4， ∴，． ∴． 故答案为：，． 7．已知关于的一元二次方程的两根为，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握相关公式是解题关键． 先对进行变形得，利用一元二次方程的根与系数的关系得、，后整体代入计算即可求解． 【详解】解：根据题意，得：，， ． 故答案为：． 8．定义新运算：．若方程的两个根为和，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了定义新运算，一元二次方程根与系数的关系，理解定义新运算的方法，掌握根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，由定义新运算得到，代入计算即可求解． 【详解】解：∵方程的两个根为和， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9．若一元二次方程的两个实数根是某直角三角形两条直角边的长，则这个直角三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】此题考查一元二次方程的根与系数的关系、勾股定理，解题关键是一元二次方程的根与系数的关系为，．根据直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，可直接设出，，根据一元二次方程根与系数的关系、勾股定理求解即可． 【详解】解：设两条直角边的长分别是，， 则，， ， 直角三角形斜边的长是， 这个直角三角形的周长为：． 故答案为：． 10．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的有 (填序号)． ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程：则； ③若满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的一元二次方程是倍根方程，则必有． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了“倍根方程”的概念，根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． ①根据倍根方程定义即可得到方程是倍根方程；②解方程求得方程的根，然后根据倍根方程的定义得到或即或，则；③根据已知条件得到，解方程得到方程的根即可判断；④利用“倍根方程”的根与系数的关系判断即可． 【详解】解：①， ， 解得：， 方程是倍根方程； 故①正确； ②解方程， 解得： 是倍根方程， 或即或 ， 故②不正确； ③， 解方程得： ， 故③正确； ④设方程的根为， 关于的方程是倍根方程， 令， ；故④正确． 故答案为：①③④． 三、解答题 11．设，是一元二次方程的两个根，不解方程，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：由题得：，， ∴ ． 12．已知一元二次方程的两根分别为和， (1)求和的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题． （1）利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）将变形后再代入即可求得结果． 【详解】（1）解：一元二次方程的两根分别为和， ，； （2）解：， ， ， 13．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)设该方程的两个根为，，且满足，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)的值为0或 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根，熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式计算，即可证明； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，，结合题意可列出关于k的等式，解出k即可． 【详解】（1）解：（1）根据题意得， ∴该方程有两个不相等的实数根； （2）由根与系数的关系得，， ∵， ∴， ∴， 整理得， 解得，， ∴的值为0或． 14．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个实数根； (2)当的斜边长，且两条直角边和恰好是这个方程的两个根时，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为． 【分析】本题考查了根与系数的关系和根的判别式及勾股定理． （1）根据即可证明无论k取什么实数值，该方程总有两个实数根； （2）根据勾股定理及根与系数的关系列出关于b，c的方程，解出b，c即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ∵，，， ∴ ， ∴无论k取什么实数值，该方程总有两个实数根； （2）解：∵和是关于的一元二次方程的两个根， ∴，， ∵是直角三角形，且斜边长， ∴，即， ∴， 整理得， 解得或， ∵和是直角边， ∴和是正数， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，， ∴的周长为． 15．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是________； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若，是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)53 【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念以及根与系数的关系．理解新定义，一元二次方程根的概念以及根与系数关系，是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的性质以及根与系数关系求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； 故答案为：； （2）解： 由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，，解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵，是此方程的两个不相等实数根， ∴，，， ∴， ∴ ． 16．阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达早在1615年在著作《论方程的识别与订正》中就建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）： ①， ②． 材料2：如果实数m，n满足，，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m，n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 材料3：若，是一元二次方程的两个实数根，且满足，则此类方程称为“差根方程”． 请根据上述材料解答下面问题． (1)填空：① ； ② ． (2)若实数m，n满足：，，则 ． (3)判断方程（“是”或“否”）是“差根方程”． (4)若关于x的方程：（b，c是常数）是“差根方程”，求的最大值． 【答案】(1)， (2) (3)方程是“差根方程” (4)48 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，新定义“差根方程”，二次函数的性质． （1）根据韦达定理即可求得答案； （2）将m，n看作方程的两个根，结合韦达定理求得，，再将所求式子变形得，最后代入求值即可； （3）设，是方程的两个根，根据韦达定理求得，，再由，代入可求出的值，再根据“差根方程”的定义判断即可； （4）设，是方程的两个实数根，则，，再根据差根方程的定义得，进而得，代入得，根据二次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意知，，， 故答案为：，； （2）解：可以将m，n看作方程的两个根， 则，， ∴ 故答案为：； （3）解：设，是方程的两个根， 则，， ∴， ∴， ∴方程是“差根方程”； （4）解：设，是方程的两个实数根， 则，， ∵关于x的方程：（b，c是常数）是“差根方程”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴的最大值为48． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$