第二章 一元二次方程（高效培优单元测试·强化卷）数学北师大版九年级上册

第二章 一元二次方程单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据一元二次方程“只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程”的定义，对每个选项逐一分析判断，看是否符合该定义 ．本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程“只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程”的定义是解题的关键． 【详解】选项A：展开右边，，原方程化简为，移项后得，为一次方程，不符合定义． 选项B：方程含项，属于分式方程，非整式方程，排除． 选项C：形式类似二次方程，但未明确，若则方程退化为一次方程，无法确定，排除． 选项D：方程满足整式、仅含且最高次数为2，符合定义． 故选：D． 2．把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是(    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，将方程整理成一元二次方程的一般形式，即可确定、、的值，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴，，， 故选：B． 3．用配方法解一元二次方程时，此方程可化为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，通过配方将方程转化为完全平方形式，需根据一次项系数确定配方的常数项，并保持等式成立，熟练掌握配方法解一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 故选：C． 4．下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解解一元二次方程．判断各选项是否适合因式分解法，需观察方程是否能整理为两个一次因式乘积等于0的形式． 【详解】解：A：，展开后为，无法直接分解为两个一次因式相乘，需用公式法，不适合因式分解． B：，移项得，提取公因子，得，可直接分解为两个一次方程，适合因式分解法． C：，常数项无法分解为两数之积为且和为5的整数，需用公式法，不适合因式分解． D：，化简后为，适合直接开平方法，无需因式分解． 综上，选项B的方程结构最便于因式分解法求解． 故选：B． 5．对于一元二次方程的根的情况，描述准确的是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判定根的情况 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．通过计算一元二次方程的判别式，即可判断方程根的情况． 【详解】解：对于方程，其中，，， 则， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 6．如果是一元二次方程的一个根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先把的值代入方程即可得到一个关于的方程，解一元一次方程即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得． 故选：A． 7．已知是的两个根，则的值是（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知：若是一元二次方程的两个根，则，．根据一元二次方程根与系数的关系可得出，，再代入中计算即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故选：C． 8．已知关于x的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，，则方程的解是（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程. 根据题意把看做一个整体，根据方程的解，可得或，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵关于的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，， ∴方程的解满足或， 解得，， 故选：B． 9．如图所示，为丰富市民的业余生活，某市体育场馆内的一块长为，宽为的矩形场地进行升级改造，设置了两条长为，一条长为的草坪隔离带．将矩形场地划分为六块不同的娱乐活动区域，已知无隔离带区域（空白部分）的面积为，若设隔离带的宽度均为，那么满足的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列一元二次方程解应用题，由题意，数形结合，将隔离带进行平移，如图所示，结合无隔离带区域（空白部分）的面积为，表示出空白部分长方形的长、宽计算面积即可得到答案，数形结合，表示出空白长方形长、宽是解决问题的关键． 【详解】解：将隔离带进行平移，如图所示： 由无隔离带区域（空白部分）的面积为，得到， 故选：D． 10．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法正确的是（   ） ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的方程是倍根方程，则 A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式，根与的关系，新定义的倍根方程的意义．①求出方程的解，再判断是否为倍根方程；②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，即可判断；③当p，q满足，设两根为和，利用根与系数的关系判断；④设根为和，利用根与系数的关系，消去得出关系式，进行判断即可． 【详解】解：①解方程， ， ∴或， 解得，，，得，， ∴方程是倍根方程，故①正确； ②若是倍根方程，， 因此或， 当时，，∴； 当时，，∴；故②错误； ③∵，假设关于的方程是倍根方程， ∴设两根为和，则两根和为 ，两根根积为 ， 代入 ，得 ，解得 ，满足两根根和为 ，故③正确； ④对于倍根方程 ，设根为和，则两根和为 ， 两根积为 ，消去得 ，故④正确； 综上，①③④均正确， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．设，是关于x的方程的两根，且，则m的值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系可得，结合，推出，代入得到关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：，是关于x的方程的两根， ， ， ， 将代入，得：， 解得， 故答案为：8． 12．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据表格数据解答即可求解，看懂表格数据是解题的关键． 【详解】解：由表可知，时，；当时，， ∴当时，必有一个解， ∴的取值范围是， 故答案为：． 13．若是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解的含义． 将代入方程得到关于m的等式，变形后即可求出所求式子的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴ ， ∴ ． 14．某校生物学科老师在组织学生进行野外实践活动时，学生发现自然界的植物生长具有神奇的规律．比如某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是45，设这种植物每个支干长出的小分支个数为，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程，根据“主干、支干和小分支的总数是45”，列出方程即可． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：． 故答案为：． 15．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式． 先由一元二次方程根的判别式求出，再根据一元二次方程的定义得到，即可作答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∵是一元二次方程， ∴， 即， 故答案为：且． 16．定义：如果直线与直线满足如下条件：且，那么我们就说这两条直线具有“和谐关系”，例如：直线与直线，它们具有“和谐关系”．如果直线与直线具有“和谐关系”，且这两条直线与轴围成的三角形面积为，则 【答案】2或 【分析】首先画出图象，然后根据题意求出，然后表示出，点A的横坐标为，然后根据题意得到，表示出，然后代入求解即可． 【详解】如图所示， ∵直线与直线具有“和谐关系” ∴， ∵ ∴当时， ∴ ∵ ∴当时， ∴ ∴ 联立直线与直线得 解得 ∴点A的横坐标为 ∵这两条直线与轴围成的三角形面积为 ∴ ∴，即 代入得， 解得或 故答案为：2或． 【点睛】此题考查了一次函数交点问题，三角形面积，解一元二次方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ∴或， ∴； （2）解：， ， ， ， ∴， ∴． 18．嘉嘉解一元二次方程的过程如下． 解：整理得，① ，② ，③ 方程有两个不相等的实数根， ，④ ．⑤ (1)嘉嘉解方程的方法是_________，他的求解过程从第________步开始出现错误； (2)请你写出这个方程正确的解题步骤． 【答案】(1)公式法，② (2)， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握解法是关键； （1）根据题意可得解方程的方法是公式法，根据一次项的系数与常数项错误可得答案； （2）先求解，再利用公式法求解即可． 【详解】（1）解：嘉嘉解方程的方法是公式法，他的求解过程从第②步开始出现错误 （2）解：整理得， ， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ． 19．关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为非负数，求的取值范围． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，求根式公式的运用，理解题意，掌握判别式，求根公式，分类讨论思想是关键． （1）根据一元二次方程根的判别式计算即可； （2）根据求根公式得到，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程， ∴， ∴方程总有两个实数根； （2）解：关于的一元二次方程，， ∴， 当时，， 解得，， ∵方程有一个根为非负数， ∴， 解得，，与不符合； 当时，， 解得，， ∴， 解得，； 综上所述，． 20．解方程：． 解：设，则原方程可化为，得． 当时，即，解得：； 当时，即，解得：． 故原方程的解为． 上述解法称为“整体换元法”．请用“整体换元法”解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的基本方法以及整体换元思想是解题的关键．根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． 【详解】解：设，则原方程可化为， ，解得． 当时，即，解得：； 当时，即，解得：． 故原方程的解为． 21．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围； (2)设，是方程的两个根且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数关系、解一元二次方程、解一元一次不等式等知识，熟练掌握一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到关于m的不等式，即可求出答案； （2）根据根与系数关系得到，代入，解关于m的一元二次方程，并根据（1）确定m的值，求解即可． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； （2）解：∵，是方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴． 22．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔1月份到3月份的销量，该品牌头盔1月份销售150个，3月份销售216个，且从1月份到3月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到8625元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少？ 【答案】(1) (2)45元 【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握知识点是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据题意列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价为元，根据题意列出方程计算求解即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为．依题意， 得：， 解得：（不合题意，舍去） 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）设该品牌头盔的实际售价为元． 依题意，得：， 整理，得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔的实际售价应定为45元． 23．已知：下图是用两个全等的和拼成的四边形（说明：点E在边上，点A与点E对应），其中，设，，， (1)请利用此图形证明勾股定理：； (2)定义：利用满足（1）中的a、b、c，得到关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．若关于x的方程为“勾系一元二次方程”，求m的值； (3)在（2）的定义中，若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是24，连接交于点F，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由全等三角形的性质可得，，从而得出，再根据，即可证明； （2）根据“勾系一元二次方程”的定义得到，，，再结合求解即可； （3）根据“勾系一元二次方程”的定义，得出，过点作作，，证明四边形为矩形，求出，根据角平分线的性质，，根据求出，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵为“勾系一元二次方程” ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，（舍）； （3）解：∵是“勾系一元二次方程”的一个根， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 如图，连接交于点F，过点作作，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即平分 ∴， 设， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，一元二次方程的解，勾股定理，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，掌握相关知识点是解题关键． 24．某校在一次数学活动中，组织学生设计矩形花圃．花圃的一边可利用长为8米的围墙，另三边用篱笆围成，已知篱笆长20米．下面是小高和小周两位同学设计的方案（篱笆全部用完，篱笆裁剪与拼接处的损耗忽略不计）： (1)如图1是小高同学设计的方案，花圃的一边靠墙（米），另三边用篱笆围成．设的长为x米， ①求的长（用含x的代数式表示）； ②当花圃面积为42平方米时，求x的值； (2)如图2是小周同学设计的方案，花圃的一边由围墙（）和部分篱笆（）组成，另三边由剩余的篱笆围成．问花圃面积能达到50平方米吗？请通过计算说明． 【答案】(1)①米；②7 (2)矩形花圃面积不能达到 50 平方米，理由见解析 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）①根据列式求解即可；②根据矩形面积计算公式建立方程求解即可； （2）设米，则米，根据矩形面积计算公式建立方程，看方程是否有正数解即可得到结论． 【详解】（1）解；①由题意得，米 ②根据题意，得：， 整理得， 解得：，， ∵， ∴， ∴， ∴x的值为7； （2）解：矩形花圃面积不能达到 50 平方米，理由如下： 设米，则米 根据题意，得：， 整理得， ∵， ∴此方程无实数解， ∴矩形花圃面积不能达到50平方米． 25．阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 定义：两根都为整数的一元二次方程称为“友好方程”，代数式的值为该“友好方程”的“超强代码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“友好方程”，其“超强代码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“最佳搭子方程”． (1)“友好方程”的“超强代码”是________； (2)关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“友好方程”，请求出该方程的“超强代码”； (3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数，且）的“最佳搭子方程”，且的一个根是的一个根的2倍，求m和n的值 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了一元二次方程的新定义运算． （1）直接根据“超强代码”的定义作答即可； （2）先根据“友好方程”的定义求出m的范围，进而求出，再根据“超强代码”的定义计算即可； （3）先分别求出两方程的“超强代码”，再根据“最佳搭子方程”得到，可知，再根据“的一个根是的一个根的2倍”列出所有情况，判断是否符合题意即可． 【详解】（1）解：“友好方程”的“超强代码”是：， 故答案为：； （2）解：∵是“友好方程”， ∴且为完全平方数， ∵， ∴， ∴=36或49或64， ∴或或， ∵为整数， ∴， 将代入原方程，则， ∴， ∴方程的“超强代码”为； （3）解：方程的“超强代码”为： ， 由得： 方程的“超强代码”为： ， 由得： ∵是的“最佳搭子方程”， ∴， 即， 整理得，， ∵，均为正整数且， ∴， ∴， 即， 又∵的一个根是的一个根的2倍， ∴①当时，得：，， ②当时，，，（舍）， ③当时，得：（舍）， 综上所述：，． 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元二次方程单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是(    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 3．用配方法解一元二次方程时，此方程可化为（　　） A． B． C． D． 4．下列一元二次方程最适合用因式分解法来解的是（    ） A． B． C． D． 5．对于一元二次方程的根的情况，描述准确的是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判定根的情况 6．如果是一元二次方程的一个根，则的值是（   ） A． B． C． D． 7．已知是的两个根，则的值是（   ） A． B． C．3 D．5 8．已知关于x的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，，则方程的解是（    ）． A．， B．， C．， D．， 9．如图所示，为丰富市民的业余生活，某市体育场馆内的一块长为，宽为的矩形场地进行升级改造，设置了两条长为，一条长为的草坪隔离带．将矩形场地划分为六块不同的娱乐活动区域，已知无隔离带区域（空白部分）的面积为，若设隔离带的宽度均为，那么满足的一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 10．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法正确的是（   ） ①方程是倍根方程； ②若是倍根方程，则； ③若满足，则关于的方程是倍根方程； ④若关于的方程是倍根方程，则 A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．设，是关于x的方程的两根，且，则m的值是 ． 12．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解的取值范围是 ． 13．若是方程的一个根，则代数式的值为 ． 14．某校生物学科老师在组织学生进行野外实践活动时，学生发现自然界的植物生长具有神奇的规律．比如某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是45，设这种植物每个支干长出的小分支个数为，则可列方程为 ． 15．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 16．定义：如果直线与直线满足如下条件：且，那么我们就说这两条直线具有“和谐关系”，例如：直线与直线，它们具有“和谐关系”．如果直线与直线具有“和谐关系”，且这两条直线与轴围成的三角形面积为，则 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．解方程： (1)； (2)． 18．嘉嘉解一元二次方程的过程如下． 解：整理得，① ，② ，③ 方程有两个不相等的实数根， ，④ ．⑤ (1)嘉嘉解方程的方法是_________，他的求解过程从第________步开始出现错误； (2)请你写出这个方程正确的解题步骤． 19．关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为非负数，求的取值范围． 20．解方程：． 解：设，则原方程可化为，得． 当时，即，解得：； 当时，即，解得：． 故原方程的解为． 上述解法称为“整体换元法”．请用“整体换元法”解方程：． 21．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围； (2)设，是方程的两个根且，求的值． 22．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔1月份到3月份的销量，该品牌头盔1月份销售150个，3月份销售216个，且从1月份到3月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到8625元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少？ 23．已知：下图是用两个全等的和拼成的四边形（说明：点E在边上，点A与点E对应），其中，设，，， (1)请利用此图形证明勾股定理：； (2)定义：利用满足（1）中的a、b、c，得到关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．若关于x的方程为“勾系一元二次方程”，求m的值； (3)在（2）的定义中，若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是24，连接交于点F，求的长． 24．某校在一次数学活动中，组织学生设计矩形花圃．花圃的一边可利用长为8米的围墙，另三边用篱笆围成，已知篱笆长20米．下面是小高和小周两位同学设计的方案（篱笆全部用完，篱笆裁剪与拼接处的损耗忽略不计）： (1)如图1是小高同学设计的方案，花圃的一边靠墙（米），另三边用篱笆围成．设的长为x米， ①求的长（用含x的代数式表示）； ②当花圃面积为42平方米时，求x的值； (2)如图2是小周同学设计的方案，花圃的一边由围墙（）和部分篱笆（）组成，另三边由剩余的篱笆围成．问花圃面积能达到50平方米吗？请通过计算说明． 25．阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 定义：两根都为整数的一元二次方程称为“友好方程”，代数式的值为该“友好方程”的“超强代码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“友好方程”，其“超强代码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“最佳搭子方程”． (1)“友好方程”的“超强代码”是________； (2)关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“友好方程”，请求出该方程的“超强代码”； (3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数，且）的“最佳搭子方程”，且的一个根是的一个根的2倍，求m和n的值 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$