19.2 菱形 暑假题型专练2024-2025学年华东师大版八年级数学下册

华师大版八年级下册 19.2 菱形 暑假题型专练 一、利用菱形的性质求角度 1.如图，在菱形中，点E是边上一点，，连接．若，则的度数为(　　)    A. B. C. D. 2.如图，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，若经过点与相交于，，则(　　)    A. B. C. D. 3.如图，在菱形中，，是菱形的一条对角线，则的度数是(　　)    A. B. C. D. 4.如图，在菱形ABCD中，，则的度数是      ． 5.如图，在菱形中，，将菱形绕点A逆时针旋转后得到对应的四边形（旋转角小于180°），连接AC，若，则菱形ABCD旋转的角度是    度． 6.如图，△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是BC、BA的中点，连接DE，F在DE延长线上，且AF=AE，若四边形ACEF是菱形，求∠B的度数． 7.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F． (1)求证：BE＝DF． (2)当∠BAD＝110°时，求∠EAF的度数． 二、利用菱形的性质求线段的长 1.如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形．若点A的坐标是，则点C的坐标是(　　) A. B. C. D. 2.如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点，，则菱形的周长为(　　) A.8 B.16 C. D. 3.一菱形的边长是4，则该菱形的周长是(　　) A.8 B.16 C.24 D.32 4.如图，木制活动衣帽架由3个全等的菱形挂钩构成，在A、E、F、C、G、H处安装上、下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在B、M处固定．已知菱形的边长为，要使两排挂钩的距离（即）为，则之间的距离是           ．    5.如图，已知菱形的面积是24，对角线长为6，于点E，则的长为       ．    6.如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，于点H，交于点E． (1)若，求的度数； (2)若，点E是中点，求的长． 7.如图，菱形的对角线、相交于点，，垂足为点，，，求、的长． 三、利用菱形的性质求面积 1.如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，若，则菱形的面积是(　　)    A. B.1 C. D.4 2.如图，菱形的边长是5，对角线相交于点，若，则菱形的面积是(　　) A.6 B.12 C.24 D.48 3.如图，在菱形中，相交于O，且，若．则菱形的面积是(　　) A. B. C. D. 4.如图，四边形为菱形，A，B两点的坐标分别是，，点C，D在坐标轴上，则菱形的面积是         ．    5.如图，菱形的对角线、相交于点，过点作直线分别与、相交于、两点，若，，则图中阴影部分的面积等于      ． 6.如图，在菱形中，E是的中点，且，求：      (1)的度数； (2)菱形的面积． 7.如图，菱形对角线交于点，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 四、菱形中的动点问题 1.如图，菱形中，对角线，分别是的中点，P是线段上的一个动点，则的最小值是（　　） A. B. C.5 D. 2.如图，是菱形的对角线，，点E，F是上的动点，且，若，则的最小值为(　　) A. B. C. D. 3.如图，菱形中，，，E，F，P分别是，，上的动点，的最小值等于（　　） A.1 B. C. D. 4.在菱形ABCD中，∠C=120°，点E是AD边的中点，点P是对角线BD上的动点，则当PA+PE的值最小时，∠APB=     ． 5.如图，菱形的周长为8，，E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值是          ． 6.如图，在菱形中，，点E是上的动点，点F是上的动点，    (1)若，求证∶ ； (2)若，猜想形状（不写证明过程）． 7.如图，已知菱形的边长为，，点、分别是边、上的两个动点，，连接．猜想的形状是______三角形，并证明． 五、用定义判定菱形 1.依据所标数据，下列一定为菱形的是(　　) A. B. C. D. 2.如图所示，是的角平分线，交于，交于，则四边形为（　　）    A.矩形 B.正方形 C.菱形 D.不是平行四边形 3.汶川地震后，吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”，号召市民为四川受灾的人们祈福．人们将绿丝带剪成小段，并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前，如图所示，绿丝带重叠部分形成的图形是（　　） A.正方形 B.等腰梯形 C.菱形 D.矩形 4.如图，在矩形中，，点M、N分别在边上，连．若，则四边形的形状是       ． 5.菱形判定方法1：有一组邻边 　　　的平行四边形是菱形． 6.如图，在中，E、F分别是、延长线上的点，连接、，且，．求证：四边形是菱形． 7.如图，在矩形中，是对角线． (1)在边上确定一点，将沿翻折后，点的对应点恰好落在边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接、，判断四边形的形状． 六、添加一个条件是菱形 1.已知平行四边形的对角线相交于点O．下列补充条件中，能判定这个平行四边形是菱形的是(　　) A. B. C. D. 2.如图，平行四边形中，点在对角线上，且，要使四边形为菱形，现有三种方案：    ①只需要满足； ②只需要满足； ③只需要满足 则上述方案正确的是(　　) A.①②③ B.①③ C.③ D.②③ 3.在四边形中，，，添加下列条件后仍然不能推得四边形为菱形的是(　　) A. B. C. D. 4.如图，在中，再添加一个条件          （写出一个即可），使是菱形．（图形中不再添加辅助线） 5.如图，四边形是平行四边形，分别延长至点F、E，使得，连接．请再添加一个条件：                 ，使得四边形是菱形，并说明理由．（不再添加任何线条、字母） 6.如图，在中，点D是的中点，点E，F分别在线段及其延长线上，且．给出下列条件：①；②平分；③；请你从中选择一个恰当的条件使四边形是菱形，并证明．    7.如图，平行四边形中，，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧交于，两点，作直线交于点，连接并延长，交的延长线于点，连接，． (1)求证：： (2)在平行四边形中能否添加一个条件，使四边形为菱形？若能，请添加后予以证明；若不能，请什么理由． 七、综合利用菱形的判定与性质进行求解 1.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若，，则重叠部分四边形ABCD的面积为(　　) A. B. C. D. 2.在中，用直尺和圆规作图的痕迹如图所示．若，则(　　) A.10 B.8 C.6 D.4 3.如图，四边形中，，，，连接，的平分线交分别于点，，若，，则的长为(　　) A.8 B. C. D. 4.如图，在中，，分别延长至，至，连接．若，则           度． 5.如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F．若，，则的面积为         ． 6.如图，在矩形中，是对角线，分别以点B，D为圆心，以大于长为半径作弧，分别交于点M，交于点N，连接交BD于点O，连接，． 已知，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 7.已知：如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，点，分别在，的延长线上，且，连接，，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若平分，，，求四边形的周长． 八、综合利用菱形的判定与性质进行证明 1.如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，以点B为圆心，一定长度为半径画弧，分别交于点E和点F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点G，射线恰好经过顶点D．则下列结论中不一定成立的是(　　) A. B. C. D. 2.如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④．其中正确的个数为(　　)    A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图，现有一张矩形纸片，，，点M，N分别在矩形的边，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在边上点P处，连接，交于点Q， ①； ②四边形是菱形； ③P，A重合时，； ④点C、M、G三点共线． 其中正确的结论有（　　）    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图，是的边的垂直平分线，垂足点为点O，与的延长线交于点E，连接，，，则下列结论：①；②四边形是菱形；③；④，其中正确的结论有     （填写所有正确结论的序号）． 5.如图，在四边形中，，交于点，过四边形的顶点作，且，线段交于点，交于点，若三点共线，则以下说法：四边形为菱形； ； ； ，正确的有      ． 6.如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E是矩形外的一点，其中，． (1)求证：四边形AEBO是菱形； (2)求证：； (3)若∠ADB=30°，连接CE交于BD于点F，连接AF，求证：AF平分∠BAO． 7.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且DE∥AC，AE∥BD，连接OE． (1)求证：； (2)求证：OE⊥AD． 华师大版八年级下册 19.2 菱形 暑假题型专练（参考答案） 一、利用菱形的性质求角度 1.如图，在菱形中，点E是边上一点，，连接．若，则的度数为(　　)    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】四边形是菱形， ，， ，， ，， ， ， ， ， 故选：B． 2.如图，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，若经过点与相交于，，则(　　)    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】四边形为菱形，，， ， 菱形绕点逆时针旋转得到菱形， ， ． 故选：B． 3.如图，在菱形中，，是菱形的一条对角线，则的度数是(　　)    A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 4.如图，在菱形ABCD中，，则的度数是      ． 【答案】 【解析】∵四边形ABCD是菱形， ∴，， ∴， 故答案为：． 5.如图，在菱形中，，将菱形绕点A逆时针旋转后得到对应的四边形（旋转角小于180°），连接AC，若，则菱形ABCD旋转的角度是    度． 【答案】 【解析】由题意得：， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ， ∴， 即菱形ABCD旋转的角度是度， 故答案为：. 6.如图，△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是BC、BA的中点，连接DE，F在DE延长线上，且AF=AE，若四边形ACEF是菱形，求∠B的度数． 【答案】解：四边形是菱形， ， ， ， 是等边三角形， ， 又， ． 7.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F． (1)求证：BE＝DF． (2)当∠BAD＝110°时，求∠EAF的度数． 【答案】（1）证明：∵ AE⊥BC， AF⊥CD， ∴∠AEB=∠AFD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB= AD，∠B=∠D， 在△ABE和△ADF中， ∠AEB=∠AFD，∠B=∠D，AB= AD， ∴△ABE≌△ADF (AAS)， ∴BE= DF； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴ AD// BC， ∴∠BAD+∠B= 180° ， ∵∠BAD= 110°， ∴∠B= 70°， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB= 90°， ∴∠BAE= 20°， ∴∠DAF= 20° ， ∴∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF= 110°- 20°- 20°= 70°. 二、利用菱形的性质求线段的长 1.如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形．若点A的坐标是，则点C的坐标是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】过点A作，如图： ∵点A的坐标是， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 则， ∴点C的坐标是， 故选：C. 2.如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点，，则菱形的周长为(　　) A.8 B.16 C. D. 【答案】D 【解析】点，的坐标分别为，， ，， ， 菱形的周长等于， 故选：D． 3.一菱形的边长是4，则该菱形的周长是(　　) A.8 B.16 C.24 D.32 【答案】B 【解析】∵菱形的边长为4， ∴菱形的周长， 故选：B． 4.如图，木制活动衣帽架由3个全等的菱形挂钩构成，在A、E、F、C、G、H处安装上、下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，并在B、M处固定．已知菱形的边长为，要使两排挂钩的距离（即）为，则之间的距离是           ．    【答案】36 【解析】如图，设与交于点O，    则，， ， ， ， 故答案为：36． 5.如图，已知菱形的面积是24，对角线长为6，于点E，则的长为       ．    【答案】 【解析】如图，连接交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴．    6.如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，于点H，交于点E． (1)若，求的度数； (2)若，点E是中点，求的长． 【答案】解：（1）四边形为菱形， ， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）四边形为菱形， ， ，点是中点， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 设，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ， ， 又， ， ． 7.如图，菱形的对角线、相交于点，，垂足为点，，，求、的长． 【答案】解：∵菱形的对角线、相交于点，，， ∴， ∴中，， ∵， ∴， ∴． 三、利用菱形的性质求面积 1.如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，若，则菱形的面积是(　　)    A. B.1 C. D.4 【答案】C 【解析】∵，， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2.如图，菱形的边长是5，对角线相交于点，若，则菱形的面积是(　　) A.6 B.12 C.24 D.48 【答案】C 【解析】∵四边形是菱形 ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3.如图，在菱形中，相交于O，且，若．则菱形的面积是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵在菱形中，相交于O， ∴， ∵， ∴， 设， 在中，由勾股定理得；， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， 故选：A． 4.如图，四边形为菱形，A，B两点的坐标分别是，，点C，D在坐标轴上，则菱形的面积是         ．    【答案】 【解析】∵A，B两点的坐标分别是，， ∴， ∵四边形是菱形，且点C，D在坐标轴上， ∴， ∴， 故答案为：． 5.如图，菱形的对角线、相交于点，过点作直线分别与、相交于、两点，若，，则图中阴影部分的面积等于      ． 【答案】 【解析】四边形是菱形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6.如图，在菱形中，E是的中点，且，求：      (1)的度数； (2)菱形的面积． 【答案】解：（1）如图，连接，    ∵菱形， ∴， ∵E是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴； （2）∵，E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴菱形的面积． 7.如图，菱形对角线交于点，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴菱形的面积=． 四、菱形中的动点问题 1.如图，菱形中，对角线，分别是的中点，P是线段上的一个动点，则的最小值是（　　） A. B. C.5 D. 【答案】C 【解析】∵四边形是菱形，与交于点， ∴，， ，，，， ∵，， ，， ， 取的中点，连接，，则， ∵为的中点，为的中点， ∴，，则，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，当、、三点在同一直线上时取等号， 故选：C． 2.如图，是菱形的对角线，，点E，F是上的动点，且，若，则的最小值为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】如图所示， 连接交于O，以，为邻边作平行四边形， ，， ， ，， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 即的最小值是 故答案为：D． 3.如图，菱形中，，，E，F，P分别是，，上的动点，的最小值等于（　　） A.1 B. C. D. 【答案】B 【解析】作点F关于的对称点G，连接，作于，作交于， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴点G在上，，， ∵， ∴最小值为：， 故选B． 4.在菱形ABCD中，∠C=120°，点E是AD边的中点，点P是对角线BD上的动点，则当PA+PE的值最小时，∠APB=     ． 【答案】60° 【解析】如图，连接AC，CE，AC交BD于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴，AO=CO，，AB=BC=CD=AD，， ∴AP=CP， ， ∵∠BCD=120°， ∴∠ADC=∠ABC=60°， ∴△ABC和△ACD都是等边三角形， 又∵点E为AD的中点， ∴CE⊥AD， ∵CP+PE≥CE，AP=CP， ∴当C，P，E三点共线时，PA+PE的值最小，等于CE的长， 此时，∠ADP=∠DAP=30°， ∴∠APB=30°+30°=60°． 故答案为：60°． 5.如图，菱形的周长为8，，E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值是          ． 【答案】 【解析】如图，连接，， ∵四边形是菱形，周长为8，， ∴，，， ∴是等边三角形， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为的长， ∵E是的中点， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为：． 6.如图，在菱形中，，点E是上的动点，点F是上的动点，    (1)若，求证∶ ； (2)若，猜想形状（不写证明过程）． 【答案】解：（1）连接，如下图：    在菱形中，，， ∴为等边三角形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）等边三角形，理由如下： 作，如下图，    则，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 7.如图，已知菱形的边长为，，点、分别是边、上的两个动点，，连接．猜想的形状是______三角形，并证明． 【答案】解：的形状是等边三角形； 证明如下：连接． 四边形是菱形， ，， ，都是等边三角形， ，， ， ， ， ， 是等边三角形． 五、用定义判定菱形 1.依据所标数据，下列一定为菱形的是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A.对角不相等，故选项A中的图形不是菱形，不符合题意； B.同旁内角互补，则左右的两边平行，故该四边形是平行四边形，又由图可知四边相等，故该四边形是菱形，符合题意； C.只能得到四边形的三条边的长度相等，不知道第四条边的长度，故不能判断是菱形，不符合题意； D.的图形，只能判断为平行四边形，但不能判断是菱形，不符合题意； 故选：B． 2.如图所示，是的角平分线，交于，交于，则四边形为（　　）    A.矩形 B.正方形 C.菱形 D.不是平行四边形 【答案】C 【解析】，， 四边形是平行四边形，， 是的角平分线， ， ， ， 平行四边形是菱形． 故选：C． 3.汶川地震后，吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”，号召市民为四川受灾的人们祈福．人们将绿丝带剪成小段，并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前，如图所示，绿丝带重叠部分形成的图形是（　　） A.正方形 B.等腰梯形 C.菱形 D.矩形 【答案】C 【解析】过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因为两条彩带宽度相同， 所以AB∥CD，AD∥BC，AE＝AF． ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF．又AE＝AF． ∴BC＝CD， ∴四边形ABCD是菱形． 故选：C． 4.如图，在矩形中，，点M、N分别在边上，连．若，则四边形的形状是       ． 【答案】菱形 【解析】∵四边形是矩形， ∴四边形是平行四边形， 设 ∴平行四边形是菱形， 故答案为：菱形． 5.菱形判定方法1：有一组邻边 　　　的平行四边形是菱形． 【答案】相等 【解析】有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 故答案为：相等． 6.如图，在中，E、F分别是、延长线上的点，连接、，且，．求证：四边形是菱形． 【答案】证明：在与中， ， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 7.如图，在矩形中，是对角线． (1)在边上确定一点，将沿翻折后，点的对应点恰好落在边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接、，判断四边形的形状． 【答案】解：（1）所作的图形如下： ； （2）四边形是菱形．理由如下， ∵四边形为矩形， ∴， 由翻折知，， 由作图知，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 六、添加一个条件是菱形 1.已知平行四边形的对角线相交于点O．下列补充条件中，能判定这个平行四边形是菱形的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】如图所示， A．，不能判断平行四边形是菱形，故A不符合题意； B．，不能判断平行四边形是菱形，故B不符合题意； C．， 四边形是平行四边形， ∴， ， ， ， ， 四边形是菱形，故C符合题意； D．，不能判断平行四边形是菱形，故D不符合题意； 故选：C． 2.如图，平行四边形中，点在对角线上，且，要使四边形为菱形，现有三种方案：    ①只需要满足； ②只需要满足； ③只需要满足 则上述方案正确的是(　　) A.①②③ B.①③ C.③ D.②③ 【答案】B 【解析】在中，，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴， ∴平行四边形是菱形，①符合要求； ②：平行四边形中存在， 根据②，无法确定平行四边形是菱形，②不符合要求； ③∵平行四边形中，， ∴平行四边形是菱形，③符合要求； 故选：B． 3.在四边形中，，，添加下列条件后仍然不能推得四边形为菱形的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A．添加，∵，∴四边形是平行四边形， ∵，∴是菱形，故该选项不符合题意； B．添加，∵，∴四边形是平行四边形， ∵，∴是菱形，故该选项不符合题意； C．添加，∵，∴，不能得出四边形是菱形，故该选项符合题意； D．添加，连接，如图，    ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 则是菱形， 故该选项不符合题意； 故选∶C． 4.如图，在中，再添加一个条件          （写出一个即可），使是菱形．（图形中不再添加辅助线） 【答案】（答案不唯一） 【解析】添加的条件是， 理由是：∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， 故答案为：． 5.如图，四边形是平行四边形，分别延长至点F、E，使得，连接．请再添加一个条件：                 ，使得四边形是菱形，并说明理由．（不再添加任何线条、字母） 【答案】（答案不唯一） 【解析】添加条件． 理由：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 故答案为：（答案不唯一）． 6.如图，在中，点D是的中点，点E，F分别在线段及其延长线上，且．给出下列条件：①；②平分；③；请你从中选择一个恰当的条件使四边形是菱形，并证明．    【答案】解：法一：选③，证明如下： ∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形； 法二：选②平分，证明如下： ∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． 7.如图，平行四边形中，，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧交于，两点，作直线交于点，连接并延长，交的延长线于点，连接，． (1)求证：： (2)在平行四边形中能否添加一个条件，使四边形为菱形？若能，请添加后予以证明；若不能，请什么理由． 【答案】解：（1）由作图可知垂直平分线段， ， 是平行四边形， ，， ， 在和中，， ， ， ， （2）添加， 由（1）可知，， 四边形是平行四边形， ，， 是等边三角形， ， 平行四边形是菱形． 七、综合利用菱形的判定与性质进行求解 1.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若，，则重叠部分四边形ABCD的面积为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】作于R，于S，连接、交于点O．    由题意知：，， ∴四边形是平行四边形， ∵两个矩形等宽， ∴， ∵在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∵，， ∴， 故选：C． 2.在中，用直尺和圆规作图的痕迹如图所示．若，则(　　) A.10 B.8 C.6 D.4 【答案】B 【解析】如图，连接，设交点为O， 由尺规作图得：是的角平分线，， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， 四边形是菱形， ， 在中， ， ． 故选：B． 3.如图，四边形中，，，，连接，的平分线交分别于点，，若，，则的长为(　　) A.8 B. C. D. 【答案】C 【解析】如图，连接， ，，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 故选：C． 4.如图，在中，，分别延长至，至，连接．若，则           度． 【答案】80 【解析】作且，连接， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴． ∵，， ∴，． 设， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：80． 5.如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F．若，，则的面积为         ． 【答案】48 【解析】连接、过点A作于点H，如图所示： ∵四边形是平行四边形， ，， ， 的平分线交于点E， ， ， ， 同理：， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ∴，，，， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：48． 6.如图，在矩形中，是对角线，分别以点B，D为圆心，以大于长为半径作弧，分别交于点M，交于点N，连接交BD于点O，连接，． 已知，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】（1）证明：由题意可知， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴，则， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：由（1）可知四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴设，则， 由勾股定理可得：，即：， 解得：， ∴． 7.已知：如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，点，分别在，的延长线上，且，连接，，，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若平分，，，求四边形的周长． 【答案】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵平分， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形周长是． 八、综合利用菱形的判定与性质进行证明 1.如图，在平行四边形中，对角线和交于点O，以点B为圆心，一定长度为半径画弧，分别交于点E和点F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点G，射线恰好经过顶点D．则下列结论中不一定成立的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由作法知，是的平分线， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，即四边形为菱形， ∴， 但不一定成立， 即选项A、B、C正确， 故选：D． 2.如图，在四边形中，是边的中点，连接并延长，交的延长线于点，则下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④．其中正确的个数为(　　)    A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形，故②正确； ∵四边形为平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴，故③正确； ∵四边形BDFC是菱形， ∴， ∴， ∴，故④错误． ∴正确的结论为①②③， 故选：C． 3.如图，现有一张矩形纸片，，，点M，N分别在矩形的边，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在边上点P处，连接，交于点Q， ①； ②四边形是菱形； ③P，A重合时，； ④点C、M、G三点共线． 其中正确的结论有（　　）    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】， ， 由翻折可知：， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形，故②正确； ，， ， ， 若，则， ，这个不一定成立，故①错误； 点与点重合时，如图2，    设，则， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ， ，故③正确； 由折叠可知：， ， 四边形是菱形， ， ， ，，三点一定在同一直线上，故④正确， 综上所述：正确的结论有②③④，共3个， 故选：C． 4.如图，是的边的垂直平分线，垂足点为点O，与的延长线交于点E，连接，，，则下列结论：①；②四边形是菱形；③；④，其中正确的结论有     （填写所有正确结论的序号）． 【答案】①②③ 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故②正确， ∴，， ∵， ∴，故③正确， ∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵，故④错误； 综上分析可知：①②③正确； 故答案为：①②③． 5.如图，在四边形中，，交于点，过四边形的顶点作，且，线段交于点，交于点，若三点共线，则以下说法：四边形为菱形； ； ； ，正确的有      ． 【答案】 【解析】∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴四边形为菱形，故正确； ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故正确； 连接，在上取一点，使得，连接， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∵， ∴，故错误； ∴正确的有， 故答案为：． 6.如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E是矩形外的一点，其中，． (1)求证：四边形AEBO是菱形； (2)求证：； (3)若∠ADB=30°，连接CE交于BD于点F，连接AF，求证：AF平分∠BAO． 【答案】证明：（1）∵， ∴四边形AEBO是平行四边形． ∵矩形ABCD的对角线相交于点O， ∴AC=BD，AO=CO=AC，BO=BD． ∴AO=BO， ∴四边形AEBO是菱形； （2）∵四边形AEBO是菱形， ∴BE=AO，， ∴∠BEF=∠OCF，∠EBF=∠COF． ∵AO=CO， ∴BE=CO． ∴△BEF≌△OCF(ASA)； （3）∵△BEF≌△OCF， ∴BF=OF． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90°． ∵∠ADB=30°， ∴∠ABD=90°-∠ADB=90°-30°=60°． ∵AO=BO， ∴△ABO为等边三角形． ∵BF=OF， ∴AF平分∠BAO． 7.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且DE∥AC，AE∥BD，连接OE． (1)求证：； (2)求证：OE⊥AD． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD为矩形， ∴AC=BD，BO=OD，AO=OC， ∴OA=OD； （2）∵DE∥AC，AE∥BD， ∴四边形AODE为平行四边形． ∵四边形ABCD为矩形， ∴OA=OD． ∴平行四边形AODE为菱形． ∴OE⊥AD． 学科网（北京）股份有限公司 $$