2025年暑假高三数学思维提升课第03讲 指数函数与对数函数讲义

暑假高三数学思维提升课第03讲 指数函数与对数函数（解析版） 思维进阶典型例题 例1、（逻辑推理，数学运算）已知，求证：． 例1、解：设，可知且，则， 可得， 所以，即. 反思：这个题考查对数的运算，解题的关键是灵活运用消元法，将变量x,y,z用a的代数式表示。 例2、（直观想象，逻辑推理，数学运算）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 例2、解：法1：设，所以 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能； 故选：B． 法2：设，所以 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，， 故选：B． 反思：为了消元设，对讨论赋值求出，从特殊到一般可得出大小关系，利用排除法求出，得法1。根据数形结合，作出函数的图象解出，得法2。 例3、（逻辑推理，数学运算）已知y＝loga（2－ax）在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是（ ） A.（0，1） B.（1，2） C.（0，2） D.［2，＋∞） 例3、 解1：因为f（x）在［0，1］上是x的减函数，所以f（0）＞f（1）， 即log2＞log（2－a）。所以故选B 解2：因a是对数函数的底数，故a＞0，且a≠1，排除C；当0≤x≤1时，真数2－ax＞0，取x=1，得a＜2，排除D.取a＝时，函数y＝log（2－），在区间［0，1］上，（2－）是x的减函数，故y是x的增函数，排除A，得B. 解3：当a∈（0，1）时，若0≤x1＜x2≤1，则2－ax1＞2－ax2＞0，故loga（2－ax1）＜loga（2－ax2），即y＝loga（2－ax）在［0，1］上是x的增函数，排除A、C.当a＞2时，函数y在x=1处无定义，排除D，得B. 解4：取a=，x1＝0，x2＝1，则有loga（2－ax1）＝log2，loga（2－ax2）＝log，可排除A、C；取a=3，x=1，则2－ax＝2－3＜0，又y在x=1处有意义，故a≠3，排除D，得B. 解5：由2－ax＞0，有ax＜2，因为a是对数的底，故有a＞0，于是x<，又函数的递减区间［0，1］必须在函数的定义域内，故有1＜，从而a＜2.所以0<a<2 设,∵0<a<2 ∴又∵y＝loga（2－ax）在［0，1］上是x的减函数, ∴又∵∴a>1所以1＜a＜2， 解6：因为a是对数的底．故有a＞0，∴u＝2－ax是减函数 又∵y＝loga（2－ax）是减函数，由复合函数的增减性可知y＝logau是增函数，∴a＞1 又∵0≤x≤1时2－ax＞0恒成立，∴2－a＞0，∴a＜2，∴1＜a＜2． 解7：因为a是对数的底数，故有a＞0，∴u=2－ax是减函数， 又y=loga（2－ax）是减函数，由复合函数的增减性，可知y=logau是增函数，∴a＞1，又2－ax＞0，ax＜2，x∈［0，1］当x≠0时，a＜，而对x∈（0，1］中每一个值不等式都成立，a只需要小于其最小值即可，故a＜2，∴1＜a＜2，∴u=2－ax是减函数，∴y=loga（2－ax）是减函数 反思：本题存在多种解法，但不管哪种方法，都必须保证：①使log（2－ax）有意义，即a＞0且a≠1，2－ax＞0。②使log（2－ax）在[0，1]上是x的减函数。由于所给函数可分解为y=logu，u=2－ax，其中u=2－ax在a＞0时为减函数，所以必须a＞1；③[0，1]必须是y=log（2－ax）定义域的子集。 例4、（直观想象，逻辑推理，数学运算）函数f(x)=和g(x)=logx的图像有几个交点？ 例4、 ∴，两点既在f(x)=的图像上，也在g(x)=logx的图像上h(x)=-x,h(0)=1>0,h(1)=<0, ∴使-m=0,两边取对数得logm=m, ∴(m，m)既在f(x)=的图像上，也在g(x)=logx的图像上 ∴函数f(x)=和的图像有3个交点 反思：m的范围可进一步缩小， ∴使-m=0,两边取对数得logm=m, 例5、（数学抽象，逻辑推理，数学运算）已知，为正整数． （1）求证； （2）若点在指数函数(a>0,a≠1）的图象上,则点也在对数函数的图象上． 例5、解 （1）由已知有 ∴ （2）由上证，有.又由点P(m,n)在指数函数的图象上,有 ∴．这表明，点在对数函数的图象上． 反思：本题主要考查指数的运算，要求灵活运用指数的运算法则，对字母运算要求较高。实质上给出了方程在有解情况下的一种构造性解法，。 例6、（数学抽象，逻辑推理，数学运算）已知函数f(x) = lg 在(－,1)上有意义， （1）求（x∈(-∞,1])的最大值。（2）求实数a的取值范围。 变式6-1：已知函数f(x) = lg 的定义域是(－,1)，求实数a的取值范围。 例6、解：（1）因为x∈(-∞,1]，所以，所以在(-∞,1]上单调递减，所以当且仅当x=1时等号成立，所以g(x）的最大值为 （2）解1：由题设可知，不等式1＋2＋4a>0在x∈(-∞,1]上恒成立， 即：()＋()＋a>0在x∈(-∞,1]上恒成立。 设t＝(), 则t≥， 又设g(t)＝t＋t＋a，其对称轴为t＝－ ∴ t＋t＋a＝0在[,+∞)上无实根， 即 g()＝()＋＋a>0，得a>－ 所以a的取值范围是。 解2：由题设可知，不等式1＋2＋4a>0在x∈(-∞,1]上恒成立， 即：a>-()-()在x∈(-∞,1]上恒成立。令g(x)=-()-()(x∈(-∞,1]),问题等价于在x∈(-∞,1]上恒成立。由（1）知，所以a>－，故a的取值范围是。 变式6-1：解：由题设可知，1＋2＋4a>0的解集是(-∞,1]，设t＝(), 则t≥， t＋t＋a>0的解集是,+∞)， ∴a= -t-t =－所以a的取值范围是{－} 反思：对比例6和变式6-1的解法，有助于深刻理解函数的定义域，搞清楚“函数f(x) 在(－,1)上有意义”和“函数f(x)的定义域是(－,1)”不等价。 思维进阶训练 1.（逻辑推理，数学运算）已知，求证：. 1.解：设()，则，，， 故. 2.（逻辑推理，数学运算）已知a，b，c均为正数，且，求证：； 2.解：设，则.∴， ∴， 而，∴，得证. 3.（数学抽象，逻辑推理，数学运算）已知函数满足：且.（ ） A.若f(a)≤▏b▏,则 B.若,则 C.若f(a)≥▏b▏,则a≥b D.若,则a≥b 3.B．若f(a)≤|b|，则由条件f(x)≥|x|得f（a）≥|a|， 即|a|≤|b|，则a≤b不一定成立，故A错误 B．若f(a)≤，则由条件知f(x)≥ ，即f(a)≥ ，则 ≤f(a)≤ ，则a≤b，故B正确， C．若f(a)≥|b|，则由条件f(x)≥|x|得f(a)≥|a|，则|a|≥|b|不一定成立，故C错误， D．若f(a)≥ ,则由条件f(x)≥得f(a)≥ ,则2a ≥2b ，不一定成立,即a≥b不一定成立， 4.（逻辑推理，数学运算）变式3-3：设函数记集合，, 则=0解的取值范围为______。 4. 5. （逻辑推理，数学运算，直观想象） 若， （1） 比较和的大小， （2）问直线y=x和函数f(x)= 的图像有几个交点？ 5.（1） （2）a=1.1时，，， ∵∴∴ ∴存在，使；存在，使 ∴直线y=x和函数f(x)=的图像有两个交点。 6.（数学抽象，逻辑推理，数学运算）设函数，则使得成立的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.解：是偶函数，且在[0, +∞)是增函数，所以. 7.（数学抽象，逻辑推理，数学运算）方程的正实数解为 . 7.解：先证（且，且，且）， 令，，两边取为底的对数， 可得，， 所以，所以，即， 则即为，可得， 由于在上单调递增，，在上单调递减， 所以，在上单调递减，可得在上单调递减， 又时,即时,有，则原方程的解有且只有一个为.故答案为： 8.（数学抽象，逻辑推理，数学运算）已知函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，就称函数满足性质． (1)已知，判断是否满足性质，并说明理由； (2)若满足性质，且定义域为． 已知时，，求函数的解析式并指出方程是否有正整数解？请说明理由； 若在上单调递增，判定并证明在上的单调性． 8.解：（1）因为不恒成立， 所以不满足性质； （2）当时，，此时， 又当时，，所以，所以， 假设方程有正整数解，则， 要使上式能成立，则必有，，，所以， 明显为单调递增函数，又当时，， 当时，，故方程没有正整数解； 证明：任取，则， 则， 因为在上单调递增，且，所以，所以，即 所以在上单调递增． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假高三数学思维提升课第03讲 指数函数与对数函数（原卷版） 思维进阶典型例题 例1、（逻辑推理，数学运算）已知，求证：． 例2、（直观想象，逻辑推理，数学运算）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 例3、（逻辑推理，数学运算）已知y＝loga（2－ax）在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是（ ） A.（0，1） B.（1，2） C.（0，2） D.［2，＋∞） 例4、（直观想象，逻辑推理，数学运算）函数f(x)=和g(x)=logx的图像有几个交点？ 例5、（数学抽象，逻辑推理，数学运算）已知，为正整数． （1）求证； （2）若点在指数函数(a>0,a≠1）的图象上,则点也在对数函数的图象上． 例6、（数学抽象，逻辑推理，数学运算）已知函数f(x) = lg 在(－,1)上有意义， （1）求（x∈(-∞,1])的最大值。（2）求实数a的取值范围。 变式6-1：已知函数f(x) = lg 的定义域是(－,1)，求实数a的取值范围。 思维进阶训练 1.（逻辑推理，数学运算）已知，求证：. 2.（逻辑推理，数学运算）已知a，b，c均为正数，且，求证：； 3.（数学抽象，逻辑推理，数学运算）已知函数满足：且.（ ） A.若f(a)≤▏b▏,则 B.若,则 C.若f(a)≥▏b▏,则a≥b D.若,则a≥b 4.（逻辑推理，数学运算）变式3-3：设函数记集合，, 则=0解的取值范围为______。 5. （逻辑推理，数学运算，直观想象） 若， （1） 比较和的大小， （2）问直线y=x和函数f(x)= 的图像有几个交点？ 6.（数学抽象，逻辑推理，数学运算）设函数，则使得成立的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7.（数学抽象，逻辑推理，数学运算）方程的正实数解为 . 8.（数学抽象，逻辑推理，数学运算）已知函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，就称函数满足性质． (1)已知，判断是否满足性质，并说明理由； (2)若满足性质，且定义域为． 已知时，，求函数的解析式并指出方程是否有正整数解？请说明理由； 若在上单调递增，判定并证明在上的单调性． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$