精品解析：河南省许昌市2024-2025学年高一下学期期末教学质量检测数学试题

XCS2024—2025学年第二学期期末教学质量检测 高一数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知复数z满足，则复数z的虚部为（ ） A. i B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数除法运算求得，进而确定正确答案. 【详解】依题意，，虚部为. 故选：B 2. 已知平面向量，，其中，，，的夹角是，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用平方法的方法来求得正确答案. 【详解】 . 故选：B 3. 某市某月10天的空气质量指数为35、54、80、86、72、85、58、125、111、53，这组数据的第80百分位数是（ ） A. 85 B. 86 C. 98.5 D. 111 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的计算方法求得正确答案. 【详解】数据从小到大排序为：35、53、54、58、72、80、85、86、111、125， ，所以第80百分位数是. 故选：C 4. 若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理求得，进而求得. 【详解】由正弦定理得， 由于，所以为锐角， 所以. 故选：B 5. 已知两条不同的直线，和两个不同的平面，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，，则与平行或异面 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系判断即可. 【详解】对于A：若，，则或与异面，故A错误； 对于B：若，，则或，故B错误； 对于C：若，，，，当与相交时有， 当与不相交时，或与相交，故C错误； 对于D：若，，，则与平行或异面，故D正确. 故选：D 6. 已知复数z满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的几何意义求得正确答案. 【详解】设，对应点， 依题意，，表示与的距离为， 所以的轨迹是以为圆心，半径为的圆，如下图所示， ，表示到原点的距离的平方， 由图可知，其最小值为. 故选：A 7. 甲、乙、丙三人做投篮游戏，约定投篮顺序为甲、乙、丙，并制定规则如下：每次投篮，若投中，则该人继续投篮；若未投中，则换下一个人投篮.已知甲、乙每次投篮投中的概率均为，丙每次投篮投中的概率为，且甲、乙、丙每次投篮的结果都相互独立，则第4次是丙投篮的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据甲投次或乙投次或丙投次进行分类讨论，结合相互独立事件概率计算公式求得正确答案. 【详解】第4次是丙投篮，可能有： ①甲投次，乙投次，则第次是丙投篮， 概率为. ②甲投次，乙投次，则第次是丙投篮， 概率为. ③甲投次，乙投次，丙连投次， 概率为. 综上所述，第4次是丙投篮的概率为. 故选：C 8. 棱长为2的正方体中，点M，N分别是棱，的中点，过点B作与直线MN平行的平面（与底面不重合），设平面与正方体表面相交的多边形的周长为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知截面分三种情况，菱形、五边形和三角形，分别计算边长，结合导数求范围即可. 【详解】情况一、当截面与相交于， 此时平面为平面，即平面， 又M，N分别是棱，的中点，所以， ，即， 又平面，所以平面， 又平面平面，所以， 所以四边形为矩形，则，即， 又易得四边形为平行四边形，所以四边形为菱形， 当接近时，此时周长接近，当与重合时，此时周长达到最大， 所以此时； 情况二、当往上，截面为五边形，过点作，设， 又平面，，所以平面， 又，所以， 易得，所以， 即，，则， 所以，， 即， 令，， 因为， 所以， 所以在单调递减，又 ，且, 即, 所以此时，情况一的范围包含情况二； 情况三、当截面为三角形时，如图， 易知此时周长， 综上，周长. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 柜子里有2双不同的鞋，从中随机地取出2只，记事件“取出的鞋不成双”，事件“取出的鞋都是左脚的”，事件“取出的鞋都是一只脚的”，事件“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. B与D互斥 D. C与D对立 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据事件的关系对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】选项A：事件是“取出的鞋不成双”，事件是“取出的鞋是一只左脚一只右脚的， 但不是一双鞋”，发生时一定发生，所以，A正确。 选项B：事件是“取出的鞋都是一只脚的”，包含“都是左脚”和“都是右脚”； 事件是“一只左脚一只右脚但不成双”， （不成双）就是“都是一只脚（）”或“一只左脚一只右脚但不成双（）”， 即，B正确。 选项C：事件（都是左脚）与事件（一只左脚一只右脚但不成双）不可能同时发生， 所以与互斥，C正确。 选项D：事件（都是一只脚）与事件（一只左脚一只右脚但不成双），除了和的情况， 还有“取出的鞋是一双”的情况，所以与不对立，D错误。 故选：ABC 10. 为传承和弘扬数学文化，激发学生学习数学的兴趣，某校高一年级组织开展数学文化知识竞赛.从参赛的2000名考生成绩中随机抽取100个成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中90分以上视为优秀，则频率/组距（ ） A. a的值为0.030 B. 抽取的考生成绩的极差介于40分至60分之间 C. 2000名考生中约有10名成绩优秀 D. 估计有一半以上的考生的成绩介于70分至90分之间 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据频率之和为、极差、优秀率、频率等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，， 解得，A选项正确. 根据频率分布直方图，， 所以极差介于40分至60分之间，B选项正确. 90分以上频率为，对应有人，C选项错误. 成绩介于70分至90分之间的频率为， 所以估计有一半以上的考生的成绩介于70分至90分之间，D选项正确. 故选：ABD 11. 已知圆锥SO的底面半径为6cm，其母线SA长24cm，底面圆周上有一动点B，下列说法正确的有（ ） A. 截面SAB最大面积为cm2 B. 若，则直线SB与平面SOA所成角的正弦值为 C. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为612πcm2 D. 若点，且cm，一只小蚂蚁从A点出发绕侧面一周到达C点，先上坡后下坡，当它爬行的路程最短时，下坡路段长为cm 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.当为底面直径时，截面SAB面积最大，根据已知条件求解即可 B. 过点B作，交于点D连接，证明为直线SB与平面SOA所成角，解三角形得到答案 C．时，三棱锥的体积最大，外接球半径，最后求出答案. D．侧面展开，直线AC最短，展开图中AC垂线处为上坡下坡分界点.计算得到答案. 【详解】选项A.圆锥底面半径cm，母线,高, 因为，易知为锐角， 所以当最大，即为底面直径时，截面SAB面积最大， ，A正确； 选项B.过点B作，交于点D连接， 底面，且底面 又, ,平面， 平面， 为直线SB与平面SOA所成角 由题意知为等腰直角三角形，， 又 ，B错误 选项C.三棱锥的体积, 当时，最大为18，体积也最大， 此时其外接球半径为：, ，C正确 选项D. 侧面展开图圆心角满足，解得：，为四分之一圆，如图所示，AC为直线时最短， 过S作,则即为下坡路段 , 又与相似， ，D正确 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，为平面内不相等的两个单位向量，，且，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知条件判断出，的夹角，进而计算出. 【详解】依题意，， 由于，所以，同理可得， 由于，不相等，所以，的夹角为， 所以. 故答案为： 13. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，将该平面图形绕其直角腰OC边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求得圆台的高，然后利用圆台的体积公式求得正确答案. 【详解】，所以原图中， 也即圆台的高为， 所以圆台的体积为. 故答案为： 14. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记的面积为S，若，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】通过对已知条件化简得出角的关系，再结合锐角三角形的角的范围以及正弦定理求解比值的范围. 【详解】已知，则. 因为（是三角形内角， ），等式两边约去得 . 由余弦定理得， ， 两边除以得，即 . 由正弦定理得 . 因为，所以， . 则，展开， 即 ，即 . 因为是锐角三角形，所以（会导致，舍去 ）， 则 . 又因为是锐角三角形，所以 ， 解得 . 由正弦定理得 . 因为，所以，则， ， 即的取值范围是 . 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若的面积为，求a的最小值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换等知识化简已知条件，进而求得. （2）根据三角形的面积列方程，求得，结合余弦定理以及基本不等式求得的最小值. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得：， 即， 也即， 整理得， 因为，所以， 所以，所以． 又，所以． 【小问2详解】 因为，所以． 由余弦定理得 所以，即， 当且仅当时等号成立，即a的最小值为2． 16. 如图，长方体中，，，点E为的中点． （1）求证：平面ACE； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明：连接BD，交AC于点O，连接OE， 由题可知O为AC的中点， 又因为E为的中点，所以OE为的中位线．所以． 又因为平面ACE，平面ACE，所以平面ACE． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证得平面ACE. （2）作出二面角的平面角，解三角形求得二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在矩形ABCD中，过D作于点H，连接EH， 由题可知平面ABCD，所以， 又因为，且，平面， 所以平面EHD，由于平面， 所以． 所以即为二面角的平面角． 在矩形ABCD中，因为，，所以， ， 由得， 在中，又由，所以， 所以． 故二面角的余弦值为． 【点睛】 17. 某市为推广新能源汽车，对潜在用户进行年龄抽样调查，共收集100份有效数据．所有数据均已从小到大排列，前70个数据已经处理完成，剩下数据为：46，46，47，47，48，48，48，50，50，50，50，，51，51，52，53，53，54，54，54，55，55，56，57，58，59，60，62，63，63． 年龄区间（岁） 频数 12 28 30 （1）补充完整表格和频率分布直方图，并估计该市新能源汽车潜在用户的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）现用分层抽样从年龄在35~65岁新能源汽车的潜在用户中抽取6名幸运客户，再从这6名幸运客户中选取2人赠送购车补贴，求获得购车补贴的2名幸运客户中恰好有一人年龄在的概率． 【答案】（1） 年龄区间（岁） 频数 12 28 30 20 10 ，38.8 （2）【解析】 【分析】（1）根据已知条件补充完整表格和频率分布直方图，根据平均数的求法求得该市新能源汽车潜在用户的平均年龄. （2）根据分层抽样，利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得所求概率. 【小问1详解】 由题可知，数据落在的共有20个数据，落在的共有10个数据． 年龄区间（岁） 频数 12 28 30 20 10 的频率为：，. 的频率为：，. 潜在用户的平均年龄约为（岁）. 【小问2详解】 利用分层抽样从中抽取：（人），分别记为a，b，c； 从中抽取：（人），分别记为d，e； 从中抽取：（人），记为f． 则从6名幸运客户中选取2人赠送购车补贴，样本空间为： ，共15个样本点． 记“恰有一个年龄在”为事件B， 则，包含了8个样本点． 从而． 故获得购车补贴的2名幸运客户中恰好有一人年龄在的概率为． 18. 如图，四面体ABCD中，，，，，E为AC的中点，点F在BD上． （1）证明：； （2）求直线BD与平面ACD所成角的正弦值； （3）当的面积最小时，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明：因为，E是AC的中点，所以． 因为，所以， 所以，所以， 因为，DE，平面BED， 所以平面BED， 因为平面BED，所以． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明、，证得平面BED，进而证得. （2）作出直线BD与平面ACD所成角，解三角形求得所成角的正弦值. （3）先判断出EF最短时，的面积最小，然后根据锥体体积公式求得三棱锥的体积． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为，， 所以是等腰直角三角形，所以，． 依题意，所以， 则，所以， 又因为，，AC，平面ACD，所以平面ACD． 所以即为直线BD与平面ACD所成的角． 在中，， 所以直线BD与平面ACD所成角的正弦值为． 【小问3详解】 因为，，且，AC，平面ABC， 所以平面ABC． 由（1）已证，所以， 因为所以， 所以，E是AC的中点，所以， 因为，所以当EF最短时，的面积最小． 当时，EF最短，过E作，垂足为F， 在中，，解得， 所以，，所以． 过F作，垂足为H，则， 所以平面ABC，且，所以， 所以． 19. 已知任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P．已知平面内点，，将点B绕点O（O为坐标原点）沿逆时针方向旋转θ角得到点C，其中，以AC为边作等边三角形ACP，设线段OP与AC相交于点Q． （1）若，求向量的坐标； （2）求面积的最大值； （3）若，求角θ． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求得的坐标，然后利用向量的坐标运算求得. （2）先求得，也即求得的纵坐标，然后求得三角形面积的表达式，再根据三角函数的最值来求得面积的最大值. （3）先求得的坐标，然后根据O，Q，P三点共线列方程求得θ. 【小问1详解】 由题意知， 当时，， 则， 所以当时，的坐标为． 【小问2详解】 由向量旋转可知，， 又为等边三角形，则可看作由绕点A沿逆时针方向旋转得到的， 则 ， 所以， ， 因为，所以， 当且仅当，即时，取得最大值． 【小问3详解】 若，则 ． 由（2）知， 所以， 由O，Q，P三点共线可知 ， 化简整理得． 因为，，所以，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ XCS2024—2025学年第二学期期末教学质量检测 高一数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知复数z满足，则复数z的虚部为（ ） A. i B. 1 C. D. 2. 已知平面向量，，其中，，，的夹角是，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 3 3. 某市某月10天的空气质量指数为35、54、80、86、72、85、58、125、111、53，这组数据的第80百分位数是（ ） A. 85 B. 86 C. 98.5 D. 111 4. 若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知两条不同的直线，和两个不同的平面，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，，则与平行或异面 6. 已知复数z满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 甲、乙、丙三人做投篮游戏，约定投篮顺序为甲、乙、丙，并制定规则如下：每次投篮，若投中，则该人继续投篮；若未投中，则换下一个人投篮.已知甲、乙每次投篮投中的概率均为，丙每次投篮投中的概率为，且甲、乙、丙每次投篮的结果都相互独立，则第4次是丙投篮的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 棱长为2的正方体中，点M，N分别是棱，的中点，过点B作与直线MN平行的平面（与底面不重合），设平面与正方体表面相交的多边形的周长为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 柜子里有2双不同的鞋，从中随机地取出2只，记事件“取出的鞋不成双”，事件“取出的鞋都是左脚的”，事件“取出的鞋都是一只脚的”，事件“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. B与D互斥 D. C与D对立 10. 为传承和弘扬数学文化，激发学生学习数学的兴趣，某校高一年级组织开展数学文化知识竞赛.从参赛的2000名考生成绩中随机抽取100个成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中90分以上视为优秀，则频率/组距（ ） A. a的值为0.030 B. 抽取的考生成绩的极差介于40分至60分之间 C. 2000名考生中约有10名成绩优秀 D. 估计有一半以上的考生的成绩介于70分至90分之间 11. 已知圆锥SO的底面半径为6cm，其母线SA长24cm，底面圆周上有一动点B，下列说法正确的有（ ） A. 截面SAB最大面积为cm2 B. 若，则直线SB与平面SOA所成角的正弦值为 C. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为612πcm2 D. 若点，且cm，一只小蚂蚁从A点出发绕侧面一周到达C点，先上坡后下坡，当它爬行的路程最短时，下坡路段长为cm 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，为平面内不相等的两个单位向量，，且，则______． 13. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，将该平面图形绕其直角腰OC边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的体积为______． 14. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记的面积为S，若，则的取值范围为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若的面积为，求a的最小值． 16. 如图，长方体中，，，点E为的中点． （1）求证：平面ACE； （2）求二面角的余弦值． 17. 某市为推广新能源汽车，对潜在用户进行年龄抽样调查，共收集100份有效数据．所有数据均已从小到大排列，前70个数据已经处理完成，剩下数据为：46，46，47，47，48，48，48，50，50，50，50，，51，51，52，53，53，54，54，54，55，55，56，57，58，59，60，62，63，63． 年龄区间（岁） 频数 12 28 30 （1）补充完整表格和频率分布直方图，并估计该市新能源汽车潜在用户的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）现用分层抽样从年龄在35~65岁新能源汽车的潜在用户中抽取6名幸运客户，再从这6名幸运客户中选取2人赠送购车补贴，求获得购车补贴的2名幸运客户中恰好有一人年龄在的概率． 18. 如图，四面体ABCD中，，，，，E为AC的中点，点F在BD上． （1）证明：； （2）求直线BD与平面ACD所成角的正弦值； （3）当的面积最小时，求三棱锥的体积． 19. 已知任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P．已知平面内点，，将点B绕点O（O为坐标原点）沿逆时针方向旋转θ角得到点C，其中，以AC为边作等边三角形ACP，设线段OP与AC相交于点Q． （1）若，求向量的坐标； （2）求面积的最大值； （3）若，求角θ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $