精品解析：河南省许昌市2024-2025学年高一下学期期末教学质量检测数学试题

XCS2024—2025学年第二学期期末教学质量检测 高一数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知复数z满足，则复数z的虚部为（ ） A. i B. 1 C. D. 2. 已知平面向量，，其中，，，的夹角是，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 3 3. 某市某月10天的空气质量指数为35、54、80、86、72、85、58、125、111、53，这组数据的第80百分位数是（ ） A. 85 B. 86 C. 98.5 D. 111 4. 若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知两条不同的直线，和两个不同的平面，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，，则与平行或异面 6. 已知复数z满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 甲、乙、丙三人做投篮游戏，约定投篮顺序为甲、乙、丙，并制定规则如下：每次投篮，若投中，则该人继续投篮；若未投中，则换下一个人投篮.已知甲、乙每次投篮投中的概率均为，丙每次投篮投中的概率为，且甲、乙、丙每次投篮的结果都相互独立，则第4次是丙投篮的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 棱长为2的正方体中，点M，N分别是棱，的中点，过点B作与直线MN平行的平面（与底面不重合），设平面与正方体表面相交的多边形的周长为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 柜子里有2双不同的鞋，从中随机地取出2只，记事件“取出的鞋不成双”，事件“取出的鞋都是左脚的”，事件“取出的鞋都是一只脚的”，事件“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. B与D互斥 D. C与D对立 10. 为传承和弘扬数学文化，激发学生学习数学的兴趣，某校高一年级组织开展数学文化知识竞赛.从参赛的2000名考生成绩中随机抽取100个成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中90分以上视为优秀，则频率/组距（ ） A. a的值为0.030 B. 抽取的考生成绩的极差介于40分至60分之间 C. 2000名考生中约有10名成绩优秀 D. 估计有一半以上的考生的成绩介于70分至90分之间 11. 已知圆锥SO的底面半径为6cm，其母线SA长24cm，底面圆周上有一动点B，下列说法正确的有（ ） A. 截面SAB最大面积为cm2 B. 若，则直线SB与平面SOA所成角的正弦值为 C. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为612πcm2 D. 若点，且cm，一只小蚂蚁从A点出发绕侧面一周到达C点，先上坡后下坡，当它爬行的路程最短时，下坡路段长为cm 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，为平面内不相等的两个单位向量，，且，则______． 13. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，将该平面图形绕其直角腰OC边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的体积为______． 14. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记的面积为S，若，则的取值范围为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若的面积为，求a的最小值． 16. 如图，长方体中，，，点E为的中点． （1）求证：平面ACE； （2）求二面角的余弦值． 17. 某市为推广新能源汽车，对潜在用户进行年龄抽样调查，共收集100份有效数据．所有数据均已从小到大排列，前70个数据已经处理完成，剩下数据为：46，46，47，47，48，48，48，50，50，50，50，，51，51，52，53，53，54，54，54，55，55，56，57，58，59，60，62，63，63． 年龄区间（岁） 频数 12 28 30 （1）补充完整表格和频率分布直方图，并估计该市新能源汽车潜在用户的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）现用分层抽样从年龄在35~65岁新能源汽车的潜在用户中抽取6名幸运客户，再从这6名幸运客户中选取2人赠送购车补贴，求获得购车补贴的2名幸运客户中恰好有一人年龄在的概率． 18. 如图，四面体ABCD中，，，，，E为AC的中点，点F在BD上． （1）证明：； （2）求直线BD与平面ACD所成角的正弦值； （3）当的面积最小时，求三棱锥的体积． 19. 已知任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P．已知平面内点，，将点B绕点O（O为坐标原点）沿逆时针方向旋转θ角得到点C，其中，以AC为边作等边三角形ACP，设线段OP与AC相交于点Q． （1）若，求向量的坐标； （2）求面积的最大值； （3）若，求角θ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ XCS2024—2025学年第二学期期末教学质量检测 高一数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知复数z满足，则复数z的虚部为（ ） A. i B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数除法运算求得，进而确定正确答案. 【详解】依题意，，虚部为. 故选：B 2. 已知平面向量，，其中，，，的夹角是，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用平方法的方法来求得正确答案. 【详解】 . 故选：B 3. 某市某月10天的空气质量指数为35、54、80、86、72、85、58、125、111、53，这组数据的第80百分位数是（ ） A. 85 B. 86 C. 98.5 D. 111 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的计算方法求得正确答案. 【详解】数据从小到大排序为：35、53、54、58、72、80、85、86、111、125， ，所以第80百分位数是. 故选：C 4. 若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理求得，进而求得. 【详解】由正弦定理得， 由于，所以为锐角， 所以. 故选：B 5. 已知两条不同的直线，和两个不同的平面，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，，则与平行或异面 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系判断即可. 【详解】对于A：若，，则或与异面，故A错误； 对于B：若，，则或，故B错误； 对于C：若，，，，当与相交时有， 当与不相交时，或与相交，故C错误； 对于D：若，，，则与平行或异面，故D正确. 故选：D 6. 已知复数z满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的几何意义求得正确答案. 【详解】设，对应点， 依题意，，表示与的距离为， 所以的轨迹是以为圆心，半径为的圆，如下图所示， ，表示到原点的距离的平方， 由图可知，其最小值为. 故选：A 7. 甲、乙、丙三人做投篮游戏，约定投篮顺序为甲、乙、丙，并制定规则如下：每次投篮，若投中，则该人继续投篮；若未投中，则换下一个人投篮.已知甲、乙每次投篮投中的概率均为，丙每次投篮投中的概率为，且甲、乙、丙每次投篮的结果都相互独立，则第4次是丙投篮的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据甲投次或乙投次或丙投次进行分类讨论，结合相互独立事件概率计算公式求得正确答案. 【详解】第4次是丙投篮，可能有： ①甲投次，乙投次，则第次是丙投篮， 概率为. ②甲投次，乙投次，则第次是丙投篮， 概率为. ③甲投次，乙投次，丙连投次， 概率为. 综上所述，第4次是丙投篮的概率为. 故选：C 8. 棱长为2的正方体中，点M，N分别是棱，的中点，过点B作与直线MN平行的平面（与底面不重合），设平面与正方体表面相交的多边形的周长为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知截面分三种情况，菱形、五边形和三角形，分别计算边长，结合导数求范围即可. 【详解】情况一、当截面与相交于， 此时平面为平面，即平面， 又M，N分别是棱，的中点，所以， ，即， 又平面，所以平面， 又平面平面，所以， 所以四边形为矩形，则，即， 又易得四边形为平行四边形，所以四边形为菱形， 当接近时，此时周长接近，当与重合时，此时周长达到最大， 所以此时； 情况二、当往上，截面为五边形，过点作，设， 又平面，，所以平面， 又，所以， 易得，所以， 即，，则， 所以，， 即， 令，， 因为， 所以， 所以在单调递减，又 ，且, 即, 所以此时，情况一的范围包含情况二； 情况三、当截面为三角形时，如图， 易知此时周长， 综上，周长. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 柜子里有2双不同的鞋，从中随机地取出2只，记事件“取出的鞋不成双”，事件“取出的鞋都是左脚的”，事件“取出的鞋都是一只脚的”，事件“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. B与D互斥 D. C与D对立 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据事件的关系对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】选项A：事件是“取出的鞋不成双”，事件是“取出的鞋是一只左脚一只右脚的， 但不是一双鞋”，发生时一定发生，所以，A正确。 选项B：事件是“取出的鞋都是一只脚的”，包含“都是左脚”和“都是右脚”； 事件是“一只左脚一只右脚但不成双”， （不成双）就是“都是一只脚（）”或“一只左脚一只右脚但不成双（）”， 即，B正确。 选项C：事件（都是左脚）与事件（一只左脚一只右脚但不成双）不可能同时发生， 所以与互斥，C正确。 选项D：事件（都是一只脚）与事件（一只左脚一只右脚但不成双），除了和的情况， 还有“取出的鞋是一双”的情况，所以与不对立，D错误。 故选：ABC 10. 为传承和弘扬数学文化，激发学生学习数学的兴趣，某校高一年级组织开展数学文化知识竞赛.从参赛的2000名考生成绩中随机抽取100个成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中90分以上视为优秀，则频率/组距（ ） A. a的值为0.030 B. 抽取的考生成绩的极差介于40分至60分之间 C. 2000名考生中约有10名成绩优秀 D. 估计有一半以上的考生的成绩介于70分至90分之间 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据频率之和为、极差、优秀率、频率等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，， 解得，A选项正确. 根据频率分布直方图，， 所以极差介于40分至60分之间，B选项正确. 90分以上频率为，对应有人，C选项错误. 成绩介于70分至90分之间的频率为， 所以估计有一半以上的考生的成绩介于70分至90分之间，D选项正确. 故选：ABD 11. 已知圆锥SO的底面半径为6cm，其母线SA长24cm，底面圆周上有一动点B，下列说法正确的有（ ） A. 截面SAB最大面积为cm2 B. 若，则直线SB与平面SOA所成角的正弦值为 C. 当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为612πcm2 D. 若点，且cm，一只小蚂蚁从A点出发绕侧面一周到达C点，先上坡后下坡，当它爬行的路程最短时，下坡路段长为cm 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.当为底面直径时，截面SAB面积最大，根据已知条件求解即可 B. 过点B作，交于点D连接，证明为直线SB与平面SOA所成角，解三角形得到答案 C．时，三棱锥的体积最大，外接球半径，最后求出答案. D．侧面展开，直线AC最短，展开图中AC垂线处为上坡下坡分界点.计算得到答案. 【详解】选项A.圆锥底面半径cm，母线,高, 因为，易知为锐角， 所以当最大，即为底面直径时，截面SAB面积最大， ，A正确； 选项B.过点B作，交于点D连接， 底面，且底面 又, ,平面， 平面， 为直线SB与平面SOA所成角 由题意知为等腰直角三角形，， 又 ，B错误 选项C.三棱锥的体积, 当时，最大为18，体积也最大， 此时其外接球半径为：, ，C正确 选项D. 侧面展开图圆心角满足，解得：，为四分之一圆，如图所示，AC为直线时最短， 过S作,则即为下坡路段 , 又与相似， ，D正确 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，为平面内不相等的两个单位向量，，且，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知条件判断出，的夹角，进而计算出. 【详解】依题意，， 由于，所以，同理可得， 由于，不相等，所以，的夹角为， 所以. 故答案为： 13. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，将该平面图形绕其直角腰OC边旋转一周得到一个圆台，则该圆台的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求得圆台的高，然后利用圆台的体积公式求得正确答案. 【详解】，所以原图中， 也即圆台的高为， 所以圆台的体积为. 故答案为： 14. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记的面积为S，若，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】通过对已知条件化简得出角的关系，再结合锐角三角形的角的范围以及正弦定理求解比值的范围. 【详解】已知，则. 因为（是三角形内角， ），等式两边约去得 . 由余弦定理得， ， 两边除以得，即 . 由正弦定理得 . 因为，所以， . 则，展开， 即 ，即 . 因为是锐角三角形，所以（会导致，舍去 ）， 则 . 又因为是锐角三角形，所以 ， 解得 . 由正弦定理得 . 因为，所以，则， ， 即的取值范围是 . 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若的面积为，求a的最小值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换等知识化简已知条件，进而求得. （2）根据三角形的面积列方程，求得，结合余弦定理以及基本不等式求得的最小值. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得：， 即， 也即， 整理得， 因为，所以， 所以，所以． 又，所以． 【小问2详解】 因为，所以． 由余弦定理得 所以，即， 当且仅当时等号成立，即a的最小值为2． 16. 如图，长方体中，，，点E为的中点． （1）求证：平面ACE； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明：连接BD，交AC于点O，连接OE， 由题可知O为AC的中点， 又因为E为的中点，所以OE为的中位线．所以． 又因为平面ACE，平面ACE，所以平面ACE． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证得平面ACE. （2）作出二面角的平面角，解三角形求得二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在矩形ABCD中，过D作于点H，连接EH， 由题可知平面ABCD，所以， 又因为，且，平面， 所以平面EHD，由于平面， 所以． 所以即为二面角的平面角． 在矩形ABCD中，因为，，所以， ， 由得， 在中，又由，所以， 所以． 故二面角的余弦值为． 【点睛】 17. 某市为推广新能源汽车，对潜在用户进行年龄抽样调查，共收集100份有效数据．所有数据均已从小到大排列，前70个数据已经处理完成，剩下数据为：46，46，47，47，48，48，48，50，50，50，50，，51，51，52，53，53，54，54，54，55，55，56，57，58，59，60，62，63，63． 年龄区间（岁） 频数 12 28 30 （1）补充完整表格和频率分布直方图，并估计该市新能源汽车潜在用户的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）现用分层抽样从年龄在35~65岁新能源汽车的潜在用户中抽取6名幸运客户，再从这6名幸运客户中选取2人赠送购车补贴，求获得购车补贴的2名幸运客户中恰好有一人年龄在的概率． 【答案】（1）表格及作图见解析，38.8 （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件补充完整表格和频率分布直方图，根据平均数的求法求得该市新能源汽车潜在用户的平均年龄. （2）根据分层抽样，利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得所求概率. 【小问1详解】 由题可知，数据落在的共有20个数据，落在的共有10个数据． 年龄区间（岁） 频数 12 28 30 20 10 的频率为：，. 的频率为：，. 潜在用户的平均年龄约为（岁）. 【小问2详解】 利用分层抽样从中抽取：（人），分别记为a，b，c； 从中抽取：（人），分别记为d，e； 从中抽取：（人），记为f． 则从6名幸运客户中选取2人赠送购车补贴，样本空间为： ，共15个样本点． 记“恰有一个年龄在”为事件B， 则，包含了8个样本点． 从而． 故获得购车补贴的2名幸运客户中恰好有一人年龄在的概率为． 18. 如图，四面体ABCD中，，，，，E为AC的中点，点F在BD上． （1）证明：； （2）求直线BD与平面ACD所成角的正弦值； （3）当的面积最小时，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明、，证得平面BED，进而证得. （2）作出直线BD与平面ACD所成角，解三角形求得所成角的正弦值. （3）先判断出EF最短时，的面积最小，然后根据锥体体积公式求得三棱锥的体积． 【小问1详解】 因为，E是AC的中点，所以． 因为，所以， 所以，所以， 因为，DE，平面BED， 所以平面BED， 因为平面BED，所以． 【小问2详解】 因为，， 所以是等腰直角三角形，所以，． 依题意，所以， 则，所以， 又因为，，AC，平面ACD，所以平面ACD． 所以即为直线BD与平面ACD所成的角． 在中，， 所以直线BD与平面ACD所成角的正弦值为． 【小问3详解】 因为，，且，AC，平面ABC， 所以平面ABC． 由（1）已证，所以， 因为所以， 所以，E是AC的中点，所以， 因为，所以当EF最短时，的面积最小． 当时，EF最短，过E作，垂足为F， 在中，，解得， 所以，，所以． 过F作，垂足为H，则， 所以平面ABC，且，所以， 所以． 19. 已知任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P．已知平面内点，，将点B绕点O（O为坐标原点）沿逆时针方向旋转θ角得到点C，其中，以AC为边作等边三角形ACP，设线段OP与AC相交于点Q． （1）若，求向量的坐标； （2）求面积的最大值； （3）若，求角θ． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求得的坐标，然后利用向量的坐标运算求得. （2）先求得，也即求得的纵坐标，然后求得三角形面积的表达式，再根据三角函数的最值来求得面积的最大值. （3）先求得的坐标，然后根据O，Q，P三点共线列方程求得θ. 【小问1详解】 由题意知， 当时，， 则， 所以当时，的坐标为． 【小问2详解】 由向量旋转可知，， 又为等边三角形，则可看作由绕点A沿逆时针方向旋转得到的， 则 ， 所以， ， 因为，所以， 当且仅当，即时，取得最大值． 【小问3详解】 若，则 ． 由（2）知， 所以， 由O，Q，P三点共线可知 ， 化简整理得． 因为，，所以，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $