4.4.2 对数函数的图象和性质（1）课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

在4.2节中，我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变换规律的问题 当生物死亡后，生物体内碳14含量y与死亡年数x之间的关系。 由指数与对数的关系，可将上式改写成对数式： 碳14含量y 0.5 0.3 0.1 0.01 生物死亡年数x 利用计算器可得： 9953 19035 38069 5730 问题：结合上表思考x是否为y的函数？为什么？ 追问：（2）能否将上式改写成更一般的函数式？ 通常，我们习惯将x作为自变量，y作为函数值，所以写为对数函数： （一）对数函数的定义 ★ 函数 y = log a x (a>0,a≠1)叫做对数函数. 其中x是自变量，定义域是(0,＋∞) 想一想？ 为什么函数的 定义域是(0,＋∞)？ 函数定义域是（0，+∞）． 对数函数的概念 函数 叫做对数函数，其中x是自变量。 注意：对数函数的定义与指数函数类似， 都是形式定义，对数函数的特征： ①底数：大于0且不等于1的常数； ②真数：自变量x； ③系数： 的系数是1. 新课讲解 真数>0 判断下列函数哪些是对数函数？ 问题2：你能类比前面探讨指数函数性质的思路,提出研究对数函数的性质的方法和步骤吗? 研究方法： 研究内容：定义域,值域,定点,单调性,奇偶性. 画出具体的对数函数的图象，通过图象观察、 分析、归纳出一般的对数函数的图象与性质 （具体到一般；数形结合 ）． 在同一坐标系中用描点法画出对数函数 的图象。 作图步骤: ①列表, ②描点, ③连线 列表 描点 连线 2 1 -1 -2 1 2 4 0 y x 3 x 1/4 1/2 1 2 4 2 1 0 -1 -2 -2 -1 0 1 2 思考 这两个函数的图象有什么关系呢？ … … … … … … 图象特征 函数性质 　 　 　 　 　 　 定义域 : ( 0,+∞) 值 域 : R 增函数 在(0,+∞)上是： 探索发现:认真观察函数y=log2x 的图象填写下表 图象位于y轴右方 图象向上、向下无限延伸 自左向右看图象逐渐上升 2 1 -1 -2 1 2 4 0 y x 3 探究：对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象与性质 图象特征 函数性质 　 　 　 　 　 　 定义域 : ( 0,+∞) 值 域 : R 减函数 在(0,+∞)上是： 图象位于y轴右方 图象向上、向下无限延伸 自左向右看图象逐渐下降 探索发现:认真观察函数 的图象填写下表 2 1 -1 -2 1 2 4 0 y x 3 探究：对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象与性质 这些函数图象都在y轴右侧 函数的定义域为(0,＋∞) 这些图象向上向下无限延伸 函数的值域为R 函数图象都过定点(1,0) 当x=1时，y=0 自左向右看， a>1时图象逐渐上升， 0<a<1时图象逐渐下降 当a>1时，在（0,＋∞）上是增函数， 当a<1时，在（0,＋∞）上是减函数. 图 象 性 质 对数函数y=log a x (a>0, a≠1) (4) 0<x<1时, y<0; x>1时, y>0 (4) 0<x<1时, y>0; x>1时, y<0 (3) 两点:定点（1，0），特征点（a，1）；两线：x=1 与 y=1 (1) 定义域： (0,+∞) (2) 值域：R x y o (1, 0) x y o （1, 0) (5)在(0,+∞)上是减函数 (5) 在(0,+∞)上是增函数 对数函数的图象和性质 总结 真底同大于0 真底异小于0 “同正异负” 画对数函数 的图象。 2 1 -1 -2 1 2 4 0 y x 3 新课探究3 思考：对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象随着a的取值变化图象如何变化？有规律吗？ 思考：对数函数:y = loga x (a＞0,且a≠ 1) 图象随着a的取值变化图象如何变化？有规律吗？ 2 1 -1 -2 1 2 4 0 y x 3 规律：在x轴上方图象自左向右底数越来越大！ 底变大的方向 返回 再来一遍 探究新知 2.对数函数 的图像 （1）当a>1时， y=logax图像变化分布情况如下： 36 探究新知 探究 2.对数函数 的图像 思考：当0<a<1时， y=logax图像变化分布情况又如何呢？ （2）当0<a<1时， y=logax图像变化分布情况如下： C log , log , log , log 则下列式子中正确的是（ ） 的图像如图所示， 　 函数 x y x y x y x y d c b a = = = = 例题讲解 例2.求下列函数的定义域： (1) y=logax2 (2) y=loga(4-x) ①分母不为0 ②偶次根式中的被开方数≥0 ③零指数幂的底数不等于0 ④有对数运算时,底数大于0且不等于1,真数大于0. 思考：求函数的定义域应从哪几个方面入手? 【利用对数函数单调性比较大小】 1、底数相同，真数不同 同底的两个对数值比较大小，利用对数函数的单调性，可通过自变量的大小关系，判定相应的对数函数值的大小关系。对于底数不确定的对数，要根据底数的取值进行分类讨论。 2、底数不同，真数相同 同真数, 常借助图象比较，也可用换底公式转化为同底数的对数后比较。 3、底数不同，真数不同 若底数、真数都不相同,则常借助1、0等中间量进行比较,也可借助图象 进行比较。 图 象 性 质 a ＞ 1 0 ＜ a ＜ 1 定义域 : 值 域 : 过定点 在(0,+∞)上是 在(0,+∞)上是 对数函数y=logax (a＞0,a≠1) 的图象与性质 当x>1时， 当x=1时， 当0<x<1时， ( 0,+∞) R (1 ,0) 即当x ＝1时,y＝0 增函数 减函数 y>0 y=0 y<0 当x>1时， 当x=1时， 当0<x<1时， y<0 y=0 y>0 例1.比较下列各组数中两个值的大小： 1、底数相同，真数不同 点评：同底的两个对数值比较大小，利用对数函数的单调性，可通过自变量的大小关系，判定相应的对数函数值的大小关系。对于底数不确定的对数，要根据底数的取值进行分类讨论。 P73练习3 【利用对数函数单调性比较大小】 $$