2.4 等腰三角形的判定定理（题型专练）数学浙教版2024八年级上册

2.4 等腰三角形的判定定理 题型一：格点中画等腰三角形 1．（24-25七年级下·上海杨浦·期末）如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图所示，已知A，B是两个格点，如果点C也是图中的格点，且使为等腰直角三角形，那么点C的个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．（2025·陕西渭南·一模）在如图所示的正方形网格中，点、均在格点（小正方形的顶点）上，连接，以为一边，在格点上找一点，使得为等腰三角形的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，A，B，C，D，E五点都在小正方形网格的格点上，则下列各组点能构成等腰三角形的是（　　） A．A，B，C B．B，C，D C．A，D，E D．A，C，E 6．（24-25八年级上·云南昆明·期末）正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知点A，B在格点上，点C也在格点上，若为等腰三角形，则图中符合条件的点C有（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 7．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，点，在方格图的格点上，在此图中再确定一格点，使得是等腰三角形，则满足条件的格点共有(    ) A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A和B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点C的个数为 ． 题型二：找出图中的等腰三角形 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，已知中，，，，若过的顶点的一条直线将分割成两个三角形，使其中有一个边长为6的等腰三角形，则这样的直线最多可画（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 3．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，共有等腰三角形（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 4．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有 个等腰三角形． 5．（22-23八年级上·河南南阳·期末）如图，中，，，用尺规作图作出射线交于点D，则图中等腰三角形共有 个．   题型三：利用等腰三角形中等边对等角求线段长度 1．（2025·湖南郴州·二模）如图，，，，则的周长是（   ） A．18 B．20 C．26 D．28 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作，分别交于点E、F．若，则的周长是（   ） A．15 B．18 C．20 D．22 3．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，的边、均为平面反光镜，一束光线从上的C点射出，经上的D点反射后，反射光线恰好与平行，已知，，则光线的长度是（   ） A．8 B．10 C．15 D．20 4．（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）如图所示，是的角平分线，过点作交于点，若，，则边的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 5．（23-24八年级上·广西河池·期中）如图，中，、分别平分、，，，，则的周长 ． 6．（24-25八年级下·陕西西安·期中）在中，，，则的长度为 ． 7．（24-25八年级上·上海·期中）如图，已知，平分，点E为中点，如果，，那么 ． 8．（2024八年级上·全国·专题练习）（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，，为，的中点，，，则的长为 ．    题型四：判断是否为等腰三角形 1．（24-25八年级下·云南临沧·期中）下列条件中，不能判定为等腰三角形的是（    ） A． B． C．， D． 2．（24-25七年级下·上海·阶段练习）下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（   ） A．，， B． C．， D． 3．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）在中，，则对的形状判断最准确的一项是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 4．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（    ） A．，， B． C．， D． 6．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，、、的对边分别为、、，给出以下条件，不能判定其是等腰三角形的是（   ） A． B． C．， D． 题型五：等腰三角形中尺规作图（选填题） 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知在中，，用尺规在边上确定一点D，使得，则下列作图中，一定符合要求的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·海南省直辖县级单位·二模）如图，已知直线，线段分别与直线m，n相交于点、点，以点为圆心，的长为半径画弧交直线于点、点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河北石家庄·一模）如图，已知直线l及直线l外一点P，过点P作直线l的平行线，下面四种作法中错误的是（    ）    A．   B．   C．   D．   4．（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）下列尺规作图分别表示：I.作一个角等于已知角；Ⅱ.作一条线段的垂直平分线；Ⅲ.作一个角的平分线，其中对应作法正确的是（   ） A．I→①；Ⅱ→②；Ⅲ→③ B．I→①； Ⅱ→③；Ⅲ→② C．I→②；Ⅱ→③；Ⅲ→① D．I→③；Ⅱ→①；Ⅲ→② 5．（24-25九年级上·山东德州·期中）已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点D，以O为圆心，长为半径画，交于点C．②以D为圆心，长为半径画，与交于点E，连接并延长，使的延长线交于点P，连接，则的度数为 ． 题型六：尺规作图----作等腰三角形（解答题） 1．（24-25七年级下·山东青岛·期末）已知：线段a，，求作：等腰，使得点、分别在、上，且底边上的高长为． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，点在边上．请用尺规作图法，在内求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在钝角中，，请用尺规作图法，求作一个等边，使得顶点D，E均在的边上．（作出符合题意的一个等边三角形即可．保留作图痕迹，不写作法） 4．（2025九年级下·江苏南京·专题练习）如图，已知，线段．用直尺和圆规按下列要求作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)作出一个等腰三角形，使其底角，底边长； (2)作出一个等腰三角形，使其底角，底边上的高． 5．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知线段和．求作以的长为底，的长为腰的等腰三角形，并画出边上的高．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 6．（2025·江苏·模拟预测）如图，已知角，线段．用直尺和圆规按下列要求作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)作出一个等腰三角形，使其底角，底边长； (2)作出一个等腰三角形，使其底角，底边上的高．（用两种不同的方法） 7．（2025·陕西咸阳·一模）如图，为直线外一点，点，在直线上，已知为锐角．请用尺规作图法，在直线上求作一点，使得，（保留作图痕迹，不写作法） 8．（24-25八年级上·山东滨州·期末）尺规作图： (1)如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图中作出表示它位置的点． (2)已知等腰三角形腰长为a，腰上的高的长为h，求作这个等腰三角形． 9．（2025·陕西西安·二模）如图，在四边形中，点E是边上的点，请用尺规作图法作一个等腰，点P在四边形内部，且点P到边、的距离相等．（作出符合题意的一个等腰三角形即可，保留作图痕迹，不写作法） 题型七：根据等边角对等边证明等腰三角形 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，F是的延长线上一点，连接交于点E，，点G在边上，连接，平分．求证：是等腰三角形． 2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）某卡通形象如图所示，其中射线是的外角平分线，且．请判断该卡通形象头部的形状，并说明理由． 3．（24-25八年级下·河南焦作·期末）如图，在中，，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)连接，试判断的形状，并说明理由． 4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，，的平分线交于点．求证：是等腰三角形． 5．（24-25八年级下·陕西榆林·期中）如图，在和中，，交于点，且．求证：是等腰三角形． 6．（24-25八年级下·广东清远·期中）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 7．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，，是边上一点，连接．若，求证：是等腰三角形． 8．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，，平分，交于点，求证：是等腰三角形．    9．（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，是等边三角形，，点E在的延长线上，且．求证：是等腰三角形． 10．（24-25九年级下·广东茂名·期中）如图，在中，，是角平分线，是高，、相交于点．求证：． 11．（2025·四川自贡·中考真题）如图，，．求证：． 12．（23-24八年级上·广东汕头·期中）已知：中，的角平分线相交于点D，过D作交于点E，交于点F．求证：． 13．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，在中，，分别以，为边作两个等边和，连接并延长交于点D． (1)求的度数； (2)求证：． 14．（2025九年级下·海南·专题练习）如图，点、、、在同一条直线上，，线段与线段交于点． (1)求证：； (2)求证：． 题型八：等腰三角形的性质与判定求边长 1．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作的平行线分别交、于点、，若的周长为，则的周长为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，是高和的交点，，则线段的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 3．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知等腰的一腰长为4厘米，过底边上任意一点D作、的平行线，分别交、于点E、F，则四边形的周长为（   ） A．4厘米 B．8厘米 C．12厘米 D．16厘米 4．（2025·辽宁盘锦·二模）如图，在中，，点E，F，D分别在边，，上，∥，∥，则四边形的周长是（   ） A．6 B．15 C．18 D．12 5．（2025·四川成都·模拟预测）如图，和均为等腰直角三角形，其中点在同一直线上，，连接，则的长为（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，在三角形中，过点B，A作，，交于点F，若，则线段的长度为（    ） A．2 B． C．3 D． 7．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，平分，点是的中点，过点作，交的延长线于点，若，则 ． 8．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）如图，在中，，，，平分，平分，将平移使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为 ． 9．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，，E为中点且，若，则 ． 10．（24-25七年级下·上海普陀·期末）在中，是边上一点，平分，在不添加字母和辅助线的情况下，如果添加一个条件能使为等边三角形，那么可以添加的条件是 ．（只需写出一个） 题型九：等腰三角形的性质与判定求角度 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，是边上的中线，平分分别交、于点O、E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，的垂直平分线交于为垂足，连接，若的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·山东威海·期中）如图，在中，平分，平分，点O是的垂直平分线的交点，连接，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽阜阳·三模）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点在上，点在上，与相交于点，以A，B为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点P，Q，作直线交直线于点，连接．若，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在中，，点D是边上一点，连接，线段的垂直平分线交于点E，交于点F，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在等腰中，，是的角平分线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型十：等腰三角形的性质与判定综合 1．（24-25七年级下·四川巴中·期末）如图，是线段的中点，． (1)求证：； (2)请判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)分别连接，，求证垂直平分． 2．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若的周长比的周长大9，求的长． 3．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）在中，，，点D是上一点，，点E是上一点，． (1)如图1，求证：是等腰三角形； (2)如图2，延长、交于点G，求证：点C在的垂直平分线上． 4．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图所示，在中，，是边的垂直平分线，交于，交于，连接． (1)若，求的度数． (2)若的周长为，的周长为，求的长． 5．（2025·河北·中考真题）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． (1)求证：； (2)若，求证：． 6．（24-25八年级上·内蒙古乌海·期中）如图1，在中，是它的角平分线． (1)求证：； (2)如图2，在中，是它的角平分线，且，请同学们探究线段、、三者的数量关系，并证明． 7．（24-25七年级下·上海青浦·期中）已知：如图，分别平分，． (1)求证：； (2)求证：． 8．（24-25八年级下·四川达州·期中）如图，为斜边上的高，的平分线分别交，于点E、F，，垂足为点G． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 题型十一：等边三角形的判定 1．（24-25八年级下·四川达州·期中）若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为，则这个三角形一定是（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 2．（24-25八年级下·内蒙古包头·期末）下列条件中，能判定为等边三角形的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）下列条件不能判断是等边三角形的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）若三条边的长分别为m，n，p，且，则这个三角形为（   ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 5．（23-24八年级上·北京西城·期中）的三边长分别为，，，若满足，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．有角的直角三角形 D．钝角三角形 6．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，，点从点出发，沿射线方向运动，在运动开始后，形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（    ） A．直角三角形等边三角形直角三角形 B．等边三角形直角三角形等腰三角形 C．等边三角形等腰三角形直角三角形 D．等腰三角形直角三角形等边三角形 7．（24-25八年级下·四川成都·期中）已知为三边的长，若，则的形状为 ． 题型十二：等边三角形的性质与判定综合 1．（辽宁省本溪市2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题）如图，是等边三角形，点D在边上，点E在的延长线上，连接，，且． (1)求证：； (2)求证：． 2．（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，与都是等边三角形，若与相交于点，与相交与点，与相交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 3．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，，，是边上的中线，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线分别交，于点，，连接． (1)是等边三角形吗？为什么？ (2)若的长为2，求的长． 4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，平分，交于点，过点作，交于点． (1)求的度数． (2)若与的周长分别为和，求的长． 5．（24-25八年级下·全国·期中）如图，在等边三角形中，点D、E分别在边、上，，过点E作，交的延长线于点F． (1)求的度数； (2)若，求的长． 6．（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，在中，于点D，E是上一点，连接，与相交于点O，连接，且． (1)求证：垂直平分 (2)若，求证：是等边三角形． 7．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，垂足为，且，，，的两边分别交，于点，，． (1)求证：是等边三角形． (2)求的长． 8．（2025·福建·中考真题）如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 9．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，和是等边三角形，连接交于点P，交于点Q．点F为线段上一点，且． 求证： (1)； (2)是等边三角形． 题型一：等腰三角形判定定理中多结论问题 1．（24-25七年级下·山东东营·期末）已知：如图，中，点是边上一点，，，平分，且于，与相交于点，若于，交于点．有以下结论： ①；②；③若连接，则；④点是的中点；⑤与成轴对称．以上五个结论中正确的是（   ） A．①③⑤ B．①④⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤ 2．（24-25八年级上·内蒙古乌海·期中）如图，为线段上一动点（不与，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，则有以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（   ） A．①③⑤ B．①②⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 3．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，交于点．则下列说法中，不一定正确的是（　　） A． B．若，则 C．的面积的面积 D． 4．（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，中，于D，平分，且于点E，与相交于点F，于H，交于G，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 5．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）如图，在等边中，D是边AC上一点，连接BD，将绕点B逆时针旋转60°，得到，连接．若，，则下列结论①；②的周长是9；③是等边三角形；④，正确的是（   ） A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②③④ 6．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边与交于点与交于点与交于点，连接，有如下四个结论：①，②，③，④平分，⑤平分，其中结论正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）如图，在中，，平分，于点E，于点D，交于点F，H是边的中点，连接与交于点G．现有下列结论：①；②；③是等腰三角形；④四边形和四边形面积相等．其中正确的结论有（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 8．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在中，为内一点，平分，，垂足为，交于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型二：根据等边对等角求边长 1．（24-25八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，点是内一点，连接、、，其中，平分，若，，，则（　　）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·云南玉溪·期中）如图，是的角平分线，为上一点，，．若，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，分别是和的平分线，，交于点D，于点F．若，，，则的面积为（    ）    A．50 B．55 C．60 D．65 4．（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，若，，，则的长为 ． 5．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，为内一点，平分，，，若，，则的长为 ． 6．（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点，，，相交于点． （1）若，则的度数为 ； （2）若，，则的值为 ． 7．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，为边上的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ． 题型三：等腰三角形的个数 1．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：如图，中，，在直线上找一点，使或为等腰三角形，则符合条件的点的个数有（   ） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 2．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知中，，．在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有（    ）处．    A．6 B．7 C．8 D．3 3．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）在平面直角坐标系中，已知，在坐标轴上确定一点P使得为等腰三角形，则满足条件的点可以画出（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．7个 5．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知、，点C在x轴上，若是等腰三角形，则满足这样条件的C有 个． 6．（23-24八年级上·吉林白城·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，点Q在坐标轴上，是等腰三角形，则满足条件的点Q共有 个． 7．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）在直角坐标系中，为坐标原点，已知，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点共有 个． 题型四：等腰三角形的性质与判定中最值问题 1．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，，边上的高，E是边上的一个动点，F是边的中点，则的最小值是（   ） A．3.5 B．5 C．7 D．10 2．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，等边中，于点，点，分别为，上的两个定点且，，在上有一动点使最短，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·重庆渝北·期中）如图，已知的大小为，P是内部的一个定点，且，点E，F分别是、上的动点，若周长的最小值等于8，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·广东汕头·期末）已知，点是等边三角形的边上的一点（点与点、点不重合），则在以线段，，为边的三角形中，最大的内角的大小为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，点是内任意一点，，，点和点分别是射线和射线上的动点，则周长的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在面积为的锐角中，，，D是内部一点，E，F分别是边上的动点，连接．若的面积为2，则周长的最小值为 ． 7．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）如图，点C、D在线段的同侧，是的中点，，则长的最大值是 ． 题型五：等腰三角形的性质与判定中需分情况讨论 1．（24-25七年级下·上海·阶段练习）已知是等腰一腰上的高，且，则三内角度数为 ． 2．（24-25七年级下·上海·阶段练习）在中，，的垂直平分线交于点D，交直线于点E，，那么等于 ． 3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）在中，与边上的垂直平分线、分别交于点、点．连接、，，则 ． 4．（19-20八年级上·山东潍坊·期中）如图，已知点P是射线上的一动点，若，当 时，为等腰三角形． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）在中，，，点在边上，把沿折叠后，使得点落在点处，连接、，若，则 ． 8．（24-25九年级下·河南驻马店·阶段练习）在中，，，为上不与端点重合的一动点，将沿直线翻折得到，连接，若是以为直角边的等腰直角三角形，则的长等于 ． 9．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）中，，，点在直线上，是等腰三角形，则的度数为 ． 10．（24-25八年级上·江西上饶·期末）已知是以为腰的等腰三角形，D为线段上一点，且，若恰好为一边的，则的大小为 ． 题型六：等腰三角形的性质与判定解答题压轴 1．（24-25七年级下·山东烟台·期末）已知是等边三角形，点是所在直线左侧的一动点，且在边的上方． (1)如图1，平分，连接．求证：； (2)如图2，若，点是延长线上一点，连接交于点． ①求的度数； ②若点为的中点，，探究线段之间的数量关系． 2．（24-25七年级下·广东深圳·期末）探究活动：折叠中的对称之美 【初步探究】 在学习了轴对称的知识后，老师告诉大家：折叠中隐含着许多轴对称问题．为了深入理解，小明决定动于实验．他拿出一张长方形纸片，其中，，．他在边上取一点，在边上取一点，并将纸片沿直线折叠，使得点落在新位置，如图，小明发现是等腰三角形； （1）请结合图1证明是一个等腰三角形（即） 【深入探究】 小明又沿着对称轴折叠，使得点与重合，展开后如图，与交于点，连接后，他想进行以下探究活动： 活动1（计算面积）： 若测量得，，求四边形的面积； 活动2（证明性质）： 小明发现四边形的四条边均相等，你能证明吗？ （2）请选择以上任意一个活动完成． 3．（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）在中，为边上一点，为边上一点，连接，将沿折叠得到，直线与直线相交于点． (1)当为边的中点，且时， ①如图1，探究的形状，并说明理由； ②如图2，若，探究与的数量关系，并说明理由； (2)如图3，，，，当时，求的度数． 4．（23-24八年级上·福建莆田·期中）已知和都是等边三角形，分别连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若点D在边上，延长交于点G，连接． ①求证：平分． ②判断之间的数量关系，并说明理由． 5．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）我们把过三角形的一个顶点且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段”，例如：等腰直角三角形斜边上的中线为该三角形的“等腰线段”． (1)①如图1，在中，，，请你在这个三角形中画出它的“等腰线段”，并标出所分得的各等腰三角形顶角的度数； ②如图2，等边三角形 （填“存在”或“不存在”）“等腰线段”． (2)如图3，，点在射线上，若存在“等腰线段”，则的度数为 ． 6．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）（1）在数学活动课上，老师让同学们就三角形的中线进行进一步的探究：如图1，是的中线，过点作的平行线，交的长线于点，发现的长恰好等于中线的长，请验证这一结论； 【深入探究】 （2）如图2，中，点，在边上，，过点作，交的角平分线于点，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，平分，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，则的长度． 7．（23-24八年级上·广西桂林·期中）如图，在等边角形中，是等腰三角形，，以D为顶点作一个的，角的两边分别交边于M、N两点，连接．延长分别与交于点P、Q， (1)求证：； (2)求证：； (3)与有怎样的数量关系，请说明理由； (4)若的边长为1，求的周长． 8．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，，，是边上的中线，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线分别交，于点，，连接． (1)是等边三角形吗？为什么？ (2)若的长为2，求的长． 1．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至，使 ，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）如图，点为的角平分线的交点，，，，将平移，使其顶点与点重合，则图中阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江佳木斯·三模）如图，在中，，点D在边上，点E在边上，，若，则的面积为（   ）    A．10 B．12 C．14 D．16 4．（2025·湖南常德·二模）已知货轮在海上以每小时50海里的速度沿南偏东的方向航行，当货轮在处时，测得灯塔在其北偏东的方向上，航行2小时后货轮到达处，此时测得灯塔在其北偏东的方向上，则货轮到达处时与灯塔的距离是（　　） A．100海里 B．80海里 C．60海里 D．50海里 5．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，点P为等边的边上一点，Q为延长线上一点，，连接交于D，若，，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 6．（2025·河北邯郸·二模）如图，牧民从生活区边上某点出发，先到草地边上某点收马，再到小河边上某点饮马，最后回到点处．已知，点到的距离为，，若的周长为，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D． 7．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，在中，平分，，若与互补，，则的长为 ． 8．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，以为边向外作等腰直角，连接，若，则 ． 9．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）如图，在中，，，，的垂直平分线交边于点，交边于点，则的周长为 （用、表示）． 10．（23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，点C是线段上除点A、B外的任意一点，分别以为边在线段的同旁作等边和等边，连接交于M，连接交于N，交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数； 11．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，过等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，且，连交边于D． (1)求证：； (2)线段与有什么样的数量关系？请说明理由． 12．（24-25八年级上·天津·期中）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的正半轴上，且． (1)如图1，若点D在的延长线上，连接，点E在第一象限，且满足，连接，求证：是等腰直角三角形； (2)如图2，点F在的延长线上，以为斜边向上构等腰直角三角形，连接若，求的面积． 13．（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，在中，于平分． (1)若，且，求的度数； (2)若，的面积为2，，求点E到边的距离． 14．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）如图①，在中，，直线过点，且，点是直线上一点，不与点重合． (1)若点是图①中线段上一点，且，请判断线段与的位置关系，并说明理由； (2)如图②，在（1）的条件下，连接，过点作交线段于点，求证：； (3)如图③，在图（1）的基础上，改变点的位置后，连接，过点作交线段的延长线于点，请判断线段与的数量关系，并说明理由． 15．（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知是等边三角形，，点P从点A出发，沿射线以的速度运动，过点P作交射线于点E，同时点Q从点C出发沿的延长线以的速度运动，连接、，设点P的运动时间为． (1)当点P在边上，且不与点、重合时，求证：； (2)直接写出的长（用含t的代数式表示）； (3)在不添加字母和连接其它线段的条件下，当图中等腰三角形的个数大于3时，直接写出t的值和对应的等腰三角形的个数．（请写出所有的可能性） 16．（24-25七年级下·重庆北碚·期末）在中，点是边上的一点，，平分，与交于点，与交于点． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，是的一个外角，平分，与的延长线交于点，，求证：． 17．（24-25七年级下·福建福州·期末）综合与实践 问题提出：如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用： （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①________，连接②________．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究： （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4 等腰三角形的判定定理 题型一：格点中画等腰三角形 1．（24-25七年级下·上海杨浦·期末）如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，画出图形即可得出结论． 【详解】解：如图， 由图得满足条件的格点P有5个， 故选：C． 2．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题． 分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数． 【详解】解：如图：当为腰时，点C的个数有2个， 当为底时，点C的个数有1个， 故选：C． 3．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图所示，已知A，B是两个格点，如果点C也是图中的格点，且使为等腰直角三角形，那么点C的个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定，以为直角顶点有2个，以A为直角顶点有2个，以C为直角顶点有2个，据此结合网格的特点画出示意图即可得到答案． 【详解】解：如图所示，即为所求， 故选：A． 4．（2025·陕西渭南·一模）在如图所示的正方形网格中，点、均在格点（小正方形的顶点）上，连接，以为一边，在格点上找一点，使得为等腰三角形的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键；因此此题可根据等腰三角形的定义在格点上分以为腰和底进行求解即可． 【详解】解：如图， ∴使得为等腰三角形的点有4个； 故选D． 5．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，A，B，C，D，E五点都在小正方形网格的格点上，则下列各组点能构成等腰三角形的是（　　） A．A，B，C B．B，C，D C．A，D，E D．A，C，E 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等腰三角形的判定解决问题． 【详解】解：如图，，是等腰三角形． 故选：A． 6．（24-25八年级上·云南昆明·期末）正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知点A，B在格点上，点C也在格点上，若为等腰三角形，则图中符合条件的点C有（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是掌握等腰三角形的判定方法． 根据等腰三角形的定义判断即可． 【详解】解：如图，满足条件点C有8种情形． 故选：C． 7．（24-25八年级上·福建泉州·期末）如图，点，在方格图的格点上，在此图中再确定一格点，使得是等腰三角形，则满足条件的格点共有(    ) A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握分类讨论思想的运用是解题的关键．满足的点的位置有个，满足的点的位置有个，满足的点的位置有个，由此得出答案即可． 【详解】解：如图，满足条件的格点共个， 故选：D． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A和B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点C的个数为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了等腰三角形的判定,线段的垂直平分线的性质．熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键．由题意知，分当为底时，当为腰时，两种情况求解作答即可． 【详解】解：如图，由题意知，当为底时，满足要求的点如；当为腰时，满足要求的点如； ∴共有5个， 故答案为：5． 题型二：找出图中的等腰三角形 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是本题的关键．根据等腰三角形的判定和性质定理以及平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴为等腰三角形，， ∵ ∴， ∴，为等腰三角形， ∵平分， ∴， ∴，为等腰三角形， ， ∴，为等腰三角形， ∵，， ∴ ∴，为等腰三角形． 综上所述：共有5个等腰三角形． 故选C． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，已知中，，，，若过的顶点的一条直线将分割成两个三角形，使其中有一个边长为6的等腰三角形，则这样的直线最多可画（   ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】C 【分析】此题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图所示，当，时，都能得到符合题意的等腰三角形．    综上，这样的直线最多可画4条． 故选：C． 3．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，共有等腰三角形（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形，结合三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形，， ∴ ， ∴，， ∴、是等腰三角形， ∵，， ∴，， ∴、是等腰三角形， 故图中共有5个等腰三角形， 故选：C． 4．（23-24八年级下·四川成都·期末）如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有 个等腰三角形． 【答案】3 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定可解答． 【详解】解：∵边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点， ， ， ∴都是等腰三角形； 故答案为：3． 5．（22-23八年级上·河南南阳·期末）如图，中，，，用尺规作图作出射线交于点D，则图中等腰三角形共有 个．   【答案】3 【分析】根据已知条件，，可得是底角为的等腰三角形，再根据尺规作图可得平分，从而判断等腰三角形的个数． 【详解】∵中，，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 由题图可知，平分， ∴， ∴，， ∴,， ∴是等腰三角形，， ∴是等腰三角形． 综上可知，题图中的等腰三角形有，，，共3个． 故答案为：3． 题型三：利用等腰三角形中等边对等角求线段长度 1．（2025·湖南郴州·二模）如图，，，，则的周长是（   ） A．18 B．20 C．26 D．28 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，线段和差的计算，确定是关键． 根据，得，则，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的周长是， 故选：A ． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作，分别交于点E、F．若，则的周长是（   ） A．15 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握相关知识是解题的关键．由平行线的性质得到，由角平分线的性质得到，得出，得到，即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴的周长， 故选：C． 3．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，的边、均为平面反光镜，一束光线从上的C点射出，经上的D点反射后，反射光线恰好与平行，已知，，则光线的长度是（   ） A．8 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】该题考查了平行线的性质和等腰三角形的判定，根据平行线的性质得，结合，证出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）如图所示，是的角平分线，过点作交于点，若，，则边的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】先根据角平分线的定义和平行线的性质得到，再根据等角对等边得到，进而求解． 本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的定义和平行线的性质． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故选：C． 5．（23-24八年级上·广西河池·期中）如图，中，、分别平分、，，，，则的周长 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 由角平分线的定义得出，结合平行线的性质得出，推出，同理，即可得解． 【详解】解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，     同理， ∵， 则的周长． 故答案为：． 6．（24-25八年级下·陕西西安·期中）在中，，，则的长度为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等角对等边可得． 【详解】解：在中，， ∴． 故答案为：2． 7．（24-25八年级上·上海·期中）如图，已知，平分，点E为中点，如果，，那么 ． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等角对等边，延长交于点F，证明可得，然后根据平行线的性质和等角对等边得到． 【详解】解：如图，延长交于点F， ∵， ∴， ∵点E为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：4． 8．（2024八年级上·全国·专题练习）（23-24七年级下·山东烟台·期末）如图，，为，的中点，，，则的长为 ．    【答案】2 【分析】本题考查等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定是解答的关键．先证明得到，，再根据等角对等边得到，，设，由结合已知列方程求解x值即可． 【详解】解： 为，的中点， ，， 又， ，， ， ， ，， 设， ，， ，， ， 解得， ， 故答案为：2． 题型四：判断是否为等腰三角形 1．（24-25八年级下·云南临沧·期中）下列条件中，不能判定为等腰三角形的是（    ） A． B． C．， D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键． 根据等腰三角形的判定条件，即至少有两个角相等或两边相等，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A．由，总份数为，故，．因，则，为等腰三角形，不符合题意； B．边比例，说明，故为等腰三角形，不符合题意； C．，，则．因，则，为等腰三角形，不符合题意； D．由，结合内角和，得，即，．但无法确定与是否相等，例如，时，不为等腰三角形．符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级下·上海·阶段练习）下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（   ） A．，， B． C．， D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理应用．由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴是等腰三角形；故选项A不符合题意； B、∵， ∵， ∴， ∴是等腰三角形，故选项B不符合题意； C、∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故选项C不符合题意； D、∵ ∴， ∴不是等腰三角形，故选项D符合题意． 故选：D． 3．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）在中，，则对的形状判断最准确的一项是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理，先求出的度数，进而得到，再由即可得到是等腰直角三角形． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 故选：C． 4．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的定义和判定，三角形三边关系，三角形内角和定理．掌握等腰三角形的定义和等角对等边的判定定理是解题关键．由等腰三角形的定义可直接判断A；由三角形三边关系可判断B；根据三角形内角和定理可求出，再根据等角对等边，可判断C；直接由等角对等边可判断D． 【详解】解：A．∵， ∴，即是等腰三角形，故该选项能判定，不符合题意； B．∵， ∴可设，则，， ∴，即此时以为边不能组成三角形， ∴不能判定是等腰三角形，故该选项符合题意； C．∵， ∴， ∴能判定是等腰三角形，故该选项不符合题意； D．∵， ∴可设， ∴能判定是等腰三角形，故该选项不符合题意． 故选：B． 5．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（    ） A．，， B． C．， D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定．由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案． 【详解】解：A、∵，，， ∴， ∴是等腰三角形；故选项A不符合题意； B、∵ ∴， ∴不是等腰三角形，故选项B符合题意； C、∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故选项C不符合题意； D、∵， ∵， ∴， ∴是等腰三角形，故选项D不符合题意． 故选：B． 6．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，、、的对边分别为、、，给出以下条件，不能判定其是等腰三角形的是（   ） A． B． C．， D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定，以及三角形内角和定理是解题的关键．根据等腰三角形的判定，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：A、因为，，所以，则，所以是等腰三角形，故本选项不符合题意； B、因为 ，所以设，则有两边相等的是等腰三角形，故本选项不符合题意； C、因为 ，所以，则，则，所以是等腰三角形，故本选项不符合题意； 因为，，则，那么， ，不能判定是等腰三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 题型五：等腰三角形中尺规作图（选填题） 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知在中，，用尺规在边上确定一点D，使得，则下列作图中，一定符合要求的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质， 根据尺规作图的过程可知，再判断A，C；然后根据尺规作图的过程可得的垂直平分线交于点D，可得，进而得，判断C，最后结合C判断D即可． 【详解】解：根据尺规作图的过程可知， 可得，， 所以A，C不正确； 根据尺规作图的过程可得的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∴C不正确； 根据尺规作图的过程可得的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∴D正确． 故选：D． 2．（2024·海南省直辖县级单位·二模）如图，已知直线，线段分别与直线m，n相交于点、点，以点为圆心，的长为半径画弧交直线于点、点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点，先由尺规作图得出，由等边对等角得出，进而即可得解，熟练掌握等边对等角及平行线的性质是解决此题的关键． 【详解】∵以点A为圆心，的长为半径画弧交直线m于点B、点D， ∴, ∴， ∵, ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．（2024·河北石家庄·一模）如图，已知直线l及直线l外一点P，过点P作直线l的平行线，下面四种作法中错误的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查尺规作图规范和平行线的判定，解题的关键在于明白尺规作图的原理．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：A选项利用等腰三角形性质等边对等角，角平分线的定义及内错角相等证明两直线平行， B选项利用同位角相等判定两直线平行， C选项无法判断两直线平行， D选项利用内错角相等即可证明两直线平行， 故选：C． 4．（23-24七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）下列尺规作图分别表示：I.作一个角等于已知角；Ⅱ.作一条线段的垂直平分线；Ⅲ.作一个角的平分线，其中对应作法正确的是（   ） A．I→①；Ⅱ→②；Ⅲ→③ B．I→①； Ⅱ→③；Ⅲ→② C．I→②；Ⅱ→③；Ⅲ→① D．I→③；Ⅱ→①；Ⅲ→② 【答案】B 【分析】该题主要考查了基本作图，解题的关键是掌握尺规作图的基本方法； 根据作一个角等于已知角；作一个角的平分线； 作一条线段的垂直平分线；即可判断得出答案； 【详解】解：①是作一个角等于已知角的方法；②是作一个角的平分线的作法；③是作一条线段的垂直平分线方法， 故选：B． 5．（24-25九年级上·山东德州·期中）已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点D，以O为圆心，长为半径画，交于点C．②以D为圆心，长为半径画，与交于点E，连接并延长，使的延长线交于点P，连接，则的度数为 ． 【答案】 【分析】由作法得，，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，再计算出，然后计算即可． 【详解】解：由作法得，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 题型六：尺规作图----作等腰三角形（解答题） 1．（24-25七年级下·山东青岛·期末）已知：线段a，，求作：等腰，使得点、分别在、上，且底边上的高长为． 【答案】作图见解析 【分析】本题考查的是作已知角的角平分线，过直线上一点作直线的垂线，作线段等于已知线段，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，先作的平分线，再在角平分线上截取，再过作角平分线的垂线，交于即可. 【详解】解：如图，即为所求； 理由：由作图可得：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即为所求. 2．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，点在边上．请用尺规作图法，在内求作一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，根据作图可得，进而根据等边对等角以及三角形的内角和定义，即可求解． 【详解】解：如图， 根据作图可得 ∴ 3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在钝角中，，请用尺规作图法，求作一个等边，使得顶点D，E均在的边上．（作出符合题意的一个等边三角形即可．保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图—复杂作图，过点作的垂线，交于点，易得，再以为圆心，以的长为半径画弧，交于点，得到，即可得到等边． 【详解】解：如图，即为所求作．（作法不唯一） 4．（2025九年级下·江苏南京·专题练习）如图，已知，线段．用直尺和圆规按下列要求作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)作出一个等腰三角形，使其底角，底边长； (2)作出一个等腰三角形，使其底角，底边上的高． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的尺规作图，需要利用直尺和圆规，深刻理解等腰三角形的性质，即两底角相等；等腰三角形“三线合一”的性质，即在等腰三角形中，顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高线三条特殊线段重合为一条线段，根据给定的底角和底边或高进行作图．解题的关键是利用已知条件，通过得到顶角，或利用两直线平行，同位角相等，来转化相等的角． （1）先作射线，再以点B为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点C，分别作，交于点，则即为所求； （2）先作出的补角，即为等腰三角形的顶角，再作顶角的角平分线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，在角平分线上截取，过点作，分别交、于点、点，即得所求． 【详解】（1）解：作法：先作射线，再以点B为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点C，分别作，交于点，则即为所求； （2）解：①原图中，在角的一边上作一个与相等的角， ②原图中，延长已知角的另一条边，得到，即， ③作， ④作的角平分线， ⑤在上取点，使， ⑥过点作，分别交、于点、点， 5．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知线段和．求作以的长为底，的长为腰的等腰三角形，并画出边上的高．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图之线段的垂直平分线，作已知线段，掌握尺规作图的基本方法是解题的关键．首先作，进而作出线段的垂直平分线交于点，以点为圆心，以长为半径画弧交的垂直平分线于点，连接，即可． 【详解】解：作，进而作出线段的垂直平分线交于点，以点为圆心，以长为半径画弧交的垂直平分线于点，连接， 如图，和即为所作． 6．（2025·江苏·模拟预测）如图，已知角，线段．用直尺和圆规按下列要求作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)作出一个等腰三角形，使其底角，底边长； (2)作出一个等腰三角形，使其底角，底边上的高．（用两种不同的方法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的尺规作图，需要利用直尺和圆规，深刻理解等腰三角形的性质，即两底角相等；等腰三角形“三线合一”的性质，即在等腰三角形中，顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高线三条特殊线段重合为一条线段，根据给定的底角和底边或高进行作图．解题的关键是利用已知条件，通过得到顶角，或利用两直线平行，同位角相等，来转化相等的角． （1）根据给定的线段长度作出底边，分别以、为顶点，作两底角都等于的角，这两个角的另一边相交于点，即得所求； （2）方法：先作出的补角，即为等腰三角形的顶角，再作顶角的角平分线，根据等腰三角形“三线合一”的性质，在角平分线上截取，过点作，分别交、于点、点，即得所求；方法：先作一个两底角为的等腰三角形，作底边上的高，在上截取，过点作，分别交、于点、点，即为所求． 【详解】（1）解：作法：①作， ②在上取点，使， ③在的上方作，交于点， 则如图，即为所求； （2）作法：①原图中，在角的一边上作一个与相等的角， ②原图中，延长已知角的另一条边，得到，即， ③作， ④作的角平分线， ⑤在上取点，使， ⑥过点作，分别交、于点、点， 则如图，即为所求； 作法：①作一条线段， ②分别以、为顶点，作，，交于点， ③过点作于， ④在上截取，使， ⑤过点作，分别交、于点、点， 则如图，即为所求． 7．（2025·陕西咸阳·一模）如图，为直线外一点，点，在直线上，已知为锐角．请用尺规作图法，在直线上求作一点，使得，（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质．作线段的垂直平分线交直线于点，再连接，得到，进而得到，推出，最后以为圆心、的长为半径画弧，交直线于点，得到，点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求． 8．（24-25八年级上·山东滨州·期末）尺规作图： (1)如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图中作出表示它位置的点． (2)已知等腰三角形腰长为a，腰上的高的长为h，求作这个等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图--应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）作平分，垂直平分线段，射线交于点P，点P即为所求； （2）作于点D，在射线上截取线段，以A为圆心，a为半径作弧交直线于点B，C，连接，即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，点P即为所求； （2）如图2中，即为所求． 由作图可知：， 故即为所求． 9．（2025·陕西西安·二模）如图，在四边形中，点E是边上的点，请用尺规作图法作一个等腰，点P在四边形内部，且点P到边、的距离相等．（作出符合题意的一个等腰三角形即可，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】此题考查了尺规作等腰三角形，角平分线，解题的关键是掌握以上作图方法． 以点B为圆心，为半径画弧交于点F，然后作出的平分线交于点P，连接，，即为所求． 【详解】如图所示， 根据题意得，，且点P到，的距离相等 ∴等腰即为所求． 题型七：根据等边角对等边证明等腰三角形 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，F是的延长线上一点，连接交于点E，，点G在边上，连接，平分．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定，先证明，结合，可得，从而可得结论． 【详解】证明：平分， ， ， ， ， 是等腰三角形． 2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）某卡通形象如图所示，其中射线是的外角平分线，且．请判断该卡通形象头部的形状，并说明理由． 【答案】是等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和平行线的性质；进行角的等量代换是正确解答本题的关键． 根据得出，，再根据平分线得出，等量代换得出即可证明． 【详解】解：是等腰三角形，理由如下， ， ，， 是的外角的平分线， ， ， ， 是等腰三角形． 3．（24-25八年级下·河南焦作·期末）如图，在中，，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定． （1）证明，可得，可证明，可得结论； （2）由（1）可得，又因为垂直平分，可得，可证明，可知为等腰三角形． 【详解】（1）证明：∵在中，，， ． 又， ， ， 又， ， ， ， 又为的中点， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ； （2）解：是等腰三角形，理由如下： 由（1）知：， ， 是等腰直角三角形，且是的平分线， 垂直平分， ， ， ， 是等腰三角形． 4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，，的平分线交于点．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质，熟记等腰三角形的判定定理是解题的关键．根据平行线的性质求出，根据角平分线定义求出，则，根据“等角对等边”即可得证． 【详解】证明：， ， 平分， ， ， ， 是等腰三角形． 5．（24-25八年级下·陕西榆林·期中）如图，在和中，，交于点，且．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据证明，再根据全等三角形的性质得出，然后根据等腰三角形的判定即可得证． 【详解】证明：在和中， ， ， ， ， 是等腰三角形． 6．（24-25八年级下·广东清远·期中）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，平行线的性质是解此题的关键． （1）根据角平分线性质可得，由，根据平行线的性质得，到，即可得到结论． （2）根据三角形的内角和可求出，由，根据平行线的性质即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ， ， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）解：， ， ， ， ． 7．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，，是边上一点，连接．若，求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的性质是关键．利用全等三角形的性质得到，再由平行线的性质得到，进一步证明即可． 【详解】证明：， ． ， ， ， 是等腰三角形． 8．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，，平分，交于点，求证：是等腰三角形．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、等腰三角形的判定，首先根据，，平分，可以求出，根据三角形内角和定理可以求出，根据等角对等边可证结论成立． 【详解】证明：， ， 又， ， 平分， ， ， ， ， 是等腰三角形． 9．（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，是等边三角形，，点E在的延长线上，且．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等角对等边．根据等边三角形的性质、外角的性质及等腰三角形的性质计算得到，即可推理得出结论． 【详解】证明：是等边三角形，， ， ， ， ， ． ∴是等腰三角形． 10．（24-25九年级下·广东茂名·期中）如图，在中，，是角平分线，是高，、相交于点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了余角性质，对顶角的性质，等腰三角形的判定等，由余角性质可得，进而由对顶角相等得，即可求证，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．（2025·四川自贡·中考真题）如图，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，先证明，结合，，证明即可. 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴. 12．（23-24八年级上·广东汕头·期中）已知：中，的角平分线相交于点D，过D作交于点E，交于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线定义，平行线性质，等腰三角形的判定的应用，注意：等角对等边． 根据角平分线定义和平行线性质求出，推出，同理得出，即可求出答案． 【详解】证明：∵平分，平分， ， ， ， ， ，， ， 即． 13．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，在中，，分别以，为边作两个等边和，连接并延长交于点D． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）证明， 得出即可； （2）先分别求出，，得出，根据等角对等边求出结果即可． 【详解】（1）解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵，， ∴， ， ∴， ∴． 14．（2025九年级下·海南·专题练习）如图，点、、、在同一条直线上，，线段与线段交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据线段的和差可得出，再利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，再根据等角对等边即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． ∴在和中， ， ∴； （2）∵， ∴， ∴． 题型八：等腰三角形的性质与判定求边长 1．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作的平行线分别交、于点、，若的周长为，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等角对等边判定等腰三角形，平行线的性质，掌握等腰三角形的判定是关键，根据角平分线的定义，角平分线的定义得到，结合题意得到的周长为，由的周长为，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为16， 故选：D ． 2．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，是高和的交点，，则线段的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，根据三角形内角和定理、等腰三角形性质等可得到，根据，推出，根据证，推出即可． 【详解】解：∵是的高， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故选：A． 3．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知等腰的一腰长为4厘米，过底边上任意一点D作、的平行线，分别交、于点E、F，则四边形的周长为（   ） A．4厘米 B．8厘米 C．12厘米 D．16厘米 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质定理和等腰三角形的性质． 根据等腰可得，再由，，可求出，，即可解答． 【详解】解：∵等腰的一腰长为4厘米 ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴四边形的周长为（厘米）． 故选B． 4．（2025·辽宁盘锦·二模）如图，在中，，点E，F，D分别在边，，上，∥，∥，则四边形的周长是（   ） A．6 B．15 C．18 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．先根据等腰三角形的性质可得，再根据平行线的性质可得，，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，由此即可得． 【详解】解：， ， ，， ，， ， ， 则四边形的周长是， 故选：D． 5．（2025·四川成都·模拟预测）如图，和均为等腰直角三角形，其中点在同一直线上，，连接，则的长为（  ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键，证明即可求出结论． 【详解】解：和均为等腰直角三角形， ， ，即， ， ， 故选：A． 6．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，在三角形中，过点B，A作，，交于点F，若，则线段的长度为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，，， ， 在与中， ， ， ， ， 故选：C． 7．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，平分，点是的中点，过点作，交的延长线于点，若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形和特殊三角形．根据角平分线的定义和平行线的性质，推出，进而得到，延长至点，使，连接，证明，得到，证明为等腰三角形，得到，再根据线段的和差进行计算即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长至点，使，连接， ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：3． 8．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）如图，在中，，，，平分，平分，将平移使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形的内角平分线的含义，平移的性质及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握三角形的三条角平分线的交于一点是解题的关键．连接，证明平分，则，由平移得，则，推出，得出，同理可得的周长，即可得出结果． 【详解】解：连接，如图所示， ∵平分平分， ∴平分， ∴， 由平移得， ， ， ， 同理可得； ∴的周长， 即图中阴影部分的周长为 8 ； 故答案为：8． 9．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，，E为中点且，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，三角形内角和定理等；延长、交于，由可判定，由全等三角形的性质得，由等腰三角形的判定及性质结合三角形内角和定理即可求解；掌握全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，能构建全等三角形是解题的关键． 【详解】解：延长、交于， E为中点， ， ， ， ， （）， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·上海普陀·期末）在中，是边上一点，平分，在不添加字母和辅助线的情况下，如果添加一个条件能使为等边三角形，那么可以添加的条件是 ．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，等边三角形的判定．根据题意要证明垂直平分，推出，再根据等边三角形的判定定理即可得出结论． 【详解】解：如图，添加时，为等边三角形， ∵在中，平分，， ∴是中边上的中线， ∴是中边上的高（三线合一）， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：（答案不唯一）． 题型九：等腰三角形的性质与判定求角度 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，是边上的中线，平分分别交、于点O、E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理．根据等腰三角形的三线合一得，从而得，再根据角平分线定义可得，据此计算即可求解． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， 故选：D． 2．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，的垂直平分线交于为垂足，连接，若的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及等腰三角形的判定与性质、垂直平分线性质和三角形内角和定理，先由等腰三角形性质得到，再由三角形内角和定理确定，利用垂直平分线性质及等腰三角形的判定与性质即可得到答案，熟记相关几何性质，掌握等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：在中，，则, 由三角形内角和定理可得, 是的垂直平分线， ,则， , 故选：A． 3．（24-25七年级下·山东威海·期中）如图，在中，平分，平分，点O是的垂直平分线的交点，连接，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，连接常用的辅助线是解题关键． 连接并延长，交于点D，由线段垂直平分线的性质可知，，即得出，结合三角形外角的性质可求出，即，再根据三角形内角和定理有．由角平分线的定义得出，，再结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长，交于点D． ∵点O是的垂直平分线的交点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 故选B． 4．（2025·安徽阜阳·三模）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点在上，点在上，与相交于点，以A，B为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点P，Q，作直线交直线于点，连接．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质，结合角平分线的定义进行求解即可． 【详解】解：由题意知，是的垂直平分线， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故选B． 5．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，在中，，点D是边上一点，连接，线段的垂直平分线交于点E，交于点F，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，则，设，根据等边对等角可得，再由三角形外角的性质可得，据此可得答案． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点E，交于点F， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在等腰中，，是的角平分线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识点．熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的外角性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，得到，再根据是的角平分线得到，然后利用三角形外角性质计算即可． 【详解】解：∵等腰中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 故选：B． 题型十：等腰三角形的性质与判定综合 1．（24-25七年级下·四川巴中·期末）如图，是线段的中点，． (1)求证：； (2)请判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)分别连接，，求证垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用证明即可； （2）根据得到；结合，得到，利用线段之差解答即可； （3）设，的交点为M，证明，利用等腰三角形的三线合一性质证明即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴． （2）证明：，理由如下： ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． （3）证明：设，的交点为M， ∵， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴垂直平分． 2．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若的周长比的周长大9，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用； （1）求解，，，从而可得结论； （2）证明，，结合与的周长比的周长大9，进一步求解即可. 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形. （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，而， ∵的周长比的周长大9， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 3．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）在中，，，点D是上一点，，点E是上一点，． (1)如图1，求证：是等腰三角形； (2)如图2，延长、交于点G，求证：点C在的垂直平分线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、三角形内角和定理、垂直平分线的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由，得到，利用全等三角形的判定推出，得到，即可证明； （2）由，得到，推出，利用对顶角相等和全等三角形的性质得到，利用三角形外角的性质推出，再利用垂直平分线的判定即可证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）证明：∵，， ∴， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点C在的垂直平分线上． 4．（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图所示，在中，，是边的垂直平分线，交于，交于，连接． (1)若，求的度数． (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定及性质，三角形的周长，熟悉掌握垂直平分线的性质是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质求出的度数，利用垂直平分线的性质求出的度数，即可解答； （2）利用三角形的周长运算方法列式求出的长，再利用垂直平分线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵的周长， 的周长， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴． 5．（2025·河北·中考真题）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质； （1）先证明，结合，，即可得到结论； （2）先证明，结合即可得到结论. 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即. 6．（24-25八年级上·内蒙古乌海·期中）如图1，在中，是它的角平分线． (1)求证：； (2)如图2，在中，是它的角平分线，且，请同学们探究线段、、三者的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查角平分线的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质，添加辅助线是解答的关键． （1）作，，垂足为E、F，根据角平分线的性质得到，再利用三角形的面积公式求解即可； （2）在上截取，连接，先证明，得到，，，再利用三角形的外角性质和等角对等边得到，进而可求解． 【详解】（1）证明：作，，垂足为E、F， 平分， ， ； （2）解：在上截取，连接，如图， 平分， ， 又， ， ，，， 又，且， ， ， ， ， 即． 7．（24-25七年级下·上海青浦·期中）已知：如图，分别平分，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和、平行线的判定等知识，证明三角形全等是解题的关键； （1）根据角平分线的定义结合，即可推出，进而可得，再根据角边角即可证得结论； （2）根据全等三角形的性质可得，可得，然后根据三角形的内角和定理结合对顶角相等可得，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵分别平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵，且，， ∴， ∴． 8．（24-25八年级下·四川达州·期中）如图，为斜边上的高，的平分线分别交，于点E、F，，垂足为点G． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)54 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和，三角形面积，熟练掌握它们的性质是解题的关键； （1）先根据角平分线的性质得出，,再证，由对顶角相等可知，故可得出，那么，由此可得出结论； （2）先证，再根据即可解答； 【详解】（1）证明：∵是的平分线，，， ∴，, ,, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴ ． 题型十一：等边三角形的判定 1．（24-25八年级下·四川达州·期中）若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为，则这个三角形一定是（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了等边 三角形的判定、轴对称图形，如果一个三角形是轴对称图形，那么这个三角形一定是等腰三角形，有一个内角为的等腰三角形是等边三角形． 【详解】解：三角形是轴对称图形， 这个三角形一定是等腰三角形， 又这个三角形有一个内角为， 这个三角形一定是等边三角形． 故选：C． 2．（24-25八年级下·内蒙古包头·期末）下列条件中，能判定为等边三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据等边三角形的判定条件逐一分析选项：需满足三个角均为，或一个角为的等腰三角形． 【详解】解：A、不能判定为等边三角形，不符合题意； B、不能判定为等边三角形，不符合题意； C、不能判定为等边三角形，不符合题意； D、能判定为等边三角形，符合题意； 故选D． 3．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）下列条件不能判断是等边三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和三角形内角和定理，属于基础题．（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 根据等边三角形的定义、判定定理进行判断即可． 【详解】解：A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断是等边三角形，故本选项不符合题意； B、得到，那么只能得到是等腰三角形，故不能判断为等边三角形，符合题意； C、由“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可以判断是等边三角形，故本选项不符合题意； D、，则三边相等，故可以判断为等边三角形，不符合题意； 故选：B． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）若三条边的长分别为m，n，p，且，则这个三角形为（   ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查的是非负数的性质、等边三角形的判定，根据非负数的性质列出算式，求出m，n，p的关系，根据等边三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，，， 则， ∴这个三角形是等边三角形， 故选：C． 5．（23-24八年级上·北京西城·期中）的三边长分别为，，，若满足，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．有角的直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的判定、偶次方和绝对值的非负性，熟练掌握等边三角形的判定是解题关键．根据偶次方和绝对值的非负性可得，从而可得，再根据等边三角形的判定即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵的三边长分别为，，， ∴是等边三角形， 故选：A． 6．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，，点从点出发，沿射线方向运动，在运动开始后，形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（    ） A．直角三角形等边三角形直角三角形 B．等边三角形直角三角形等腰三角形 C．等边三角形等腰三角形直角三角形 D．等腰三角形直角三角形等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查三角形，是特殊三角形，特殊三角形只能是直角三角形，等边三角形，由此判断即可解答． 【详解】解：点从点出发，沿射线方向运动，在运动开始后，形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是：直角三角形，等边三角形，直角三角形． 故选：． 7．（24-25八年级下·四川成都·期中）已知为三边的长，若，则的形状为 ． 【答案】等边三角形 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，对原式进行整理，得出，得到，因此三角形是等边三角形． 【详解】解：因为， 即， 即， 得：， 所以， 所以， 所以的形状为等边三角形． 故答案为：等边三角形． 题型十二：等边三角形的性质与判定综合 1．（辽宁省本溪市2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题）如图，是等边三角形，点D在边上，点E在的延长线上，连接，，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定； （1）由等边三角形的性质结合三角形的内角和定理可得答案； （2）在线段上截取，连接，证明是等边三角形，可得，结合，可得结论. 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 在中，， 在中，， 又∵，， ∴； （2）证明：在线段上截取，连接， ∵是等边三角形 ∴，， ∵，， ∴是等边三角形 ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. 2．（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，与都是等边三角形，若与相交于点，与相交与点，与相交于点． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识，正确寻找全等三角形是解决本题的关键． （1）利用“边角边”证明全等，即可证明． （2）证明，，证明，可得，为等边三角形，从而可得答案. 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴. 3．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，，，是边上的中线，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线分别交，于点，，连接． (1)是等边三角形吗？为什么？ (2)若的长为2，求的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】（1）先运用三角形内角和性质算出，因为是的垂直平分线，所以，则，故，再结合在中，，是边上的中线，即可作答; （2）因为是的垂直平分线，则，结合，，得，因为，得，因为是等边三角形，得，，即可作答． 【详解】（1）解：是等边三角形． 理由是：在中，，，， 以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线分别交，于点，， 是的垂直平分线， ， ， ． 在中，，是边上的中线， ， ， 是等边三角形； （2）解：由（1）知，是的垂直平分线， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，平分，交于点，过点作，交于点． (1)求的度数． (2)若与的周长分别为和，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质、等边三角形的判定和性质，证明是等边三角形是解题的关键． （1）由三角形内角和定理得到，由平分得到，由三角形外角的性质得到， （2）证明是等边三角形，则，由三角形周长得到，则，即可得到． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， （2）∵ ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∵与的周长分别为和， ∴， ∴， ∴． 5．（24-25八年级下·全国·期中）如图，在等边三角形中，点D、E分别在边、上，，过点E作，交的延长线于点F． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理． （1）根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理即可求解； （2）易证是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴． 6．（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，在中，于点D，E是上一点，连接，与相交于点O，连接，且． (1)求证：垂直平分 (2)若，求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据，，即可证明垂直平分； （2）根据等边三角形的判定得出是等边三角形，根据等边三角形性质得出，，，，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， 即垂直平分． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ． ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 7．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，垂足为，且，，，的两边分别交，于点，，． (1)求证：是等边三角形． (2)求的长． 【答案】(1)见详解 (2)3 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． （1）由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出结论； （2）由是等边三角形，得出，，证出，由证明，得出，结合已知和即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴是等边三角形． （2）证明：∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴． ∴， ∴． 在与中， ， ∴． ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴． 8．（2025·福建·中考真题）如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的基本性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等基础知识，考查空间观念、几何直观与推理能力，考查化归与转化思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）等边三角形的性质推出，垂直，得到，角的和差关系求出的大小即可； （2）平移得到，进而得到，角的和差关系推出，进而得到，根据，推出垂直平分，进而得到，推出，进而得到是等边三角形即可． 【详解】（1）解：是等边三角形， ． D是的中点， ． ， ， ． （2）由平移可知：， ， 又， ， ∴， 又， 垂直平分， ， 由（1）知，， ， ， 是等边三角形． 9．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，和是等边三角形，连接交于点P，交于点Q．点F为线段上一点，且． 求证： (1)； (2)是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定定理，等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，再证明，据此可利用证明； （2）由全等三角形的性质可得，再由三角形内角和定理可证明，据此可证明结论． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 题型一：等腰三角形判定定理中多结论问题 1．（24-25七年级下·山东东营·期末）已知：如图，中，点是边上一点，，，平分，且于，与相交于点，若于，交于点．有以下结论： ①；②；③若连接，则；④点是的中点；⑤与成轴对称．以上五个结论中正确的是（   ） A．①③⑤ B．①④⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤ 【答案】A 【分析】证明，判断①，角平分线结合全等三角形的性质，判断②，连接，三线合一，全等三角形的性质，结合等边对等角，得到，判断③，中垂线的性质，结合斜边大于直角边，判断④，证明，得到垂直平分，判断⑤． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴，故①正确； ∵平分， ∴， ∴；故②错误； 连接， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴垂直平分，， ∴，，故③正确； 在中，， ∴，故④错误； ∵，平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴与成轴对称，故⑤正确； 故选：A． 2．（24-25八年级上·内蒙古乌海·期中）如图，为线段上一动点（不与，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，则有以下五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（   ） A．①③⑤ B．①②⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知；由得，加之，，得到，再根据 推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知正确；根据 中，可知③正确；根据可知，可知错误；由，得到，由，得到，故正确．熟记相关几何性质与判定，灵活运用是解决问题的关键． 【详解】解：和是等边三角形， ， ，即， 在和中， ， ，故正确； ， ， 又， ，即， 又， ， ， 又，可知为等边三角形， ， ，故正确； ， ，故③正确； ，， ，即， ，， ，则，故错误； ， ， ， ，故正确； 故选：C． 3．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，交于点．则下列说法中，不一定正确的是（　　） A． B．若，则 C．的面积的面积 D． 【答案】C 【分析】A、根据三角形内角和定理可得，然后根据、分别平分、，可得，再根据三角形内角和定理即可进行判断；B、延长至G，使，连接，根据证明，则可得，，然后根据等角对等边可得，再根据等腰三角形三线合一即可进行判断；C、当是的中线时，的面积的面积，进而可以进行判断；D、如图，作的平分线交于点G，易得，，通过证明，，得出，，即可解答． 【详解】解：A、中，， ， ∵、分别平分、， ， ． 故A选项正确，不符合题意； B、如图，延长至G，使，连接，    又∵， ∴， ∵， ， ， 又， ， ， 又， ， ，故B选项正确，不符合题意： C、当是的中线时，的面积的面积，题干所给条件无法证明， 故C选项不一定正确，符合题意； D、如图，作的平分线交于点G，由A选项得，   ，， ， ，， ，， ，， ， 故D选项正确，不符合题意． 故选：C 4．（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，中，于D，平分，且于点E，与相交于点F，于H，交于G，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理，全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据，可得，从而得到，故①符合题意；再由，可得，从而得到，故②符合题意；然后根据，可得，从而证得，可得到，故③符合题意；再由平分，可得，可得到，故④符合题意． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 故选：D． 5．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）如图，在等边中，D是边AC上一点，连接BD，将绕点B逆时针旋转60°，得到，连接．若，，则下列结论①；②的周长是9；③是等边三角形；④，正确的是（   ） A．①③ B．①②③ C．②③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质． 利用旋转的性质可得出，，即可判断③；证明，得出，即可判断①；利用等边三角形的性质以及全等三角形的性质即可判定②，利用三角形外角的性质即可判断④． 【详解】解：∵将绕点B逆时针旋转，得到， ∴，， ∴是等边三角形，故③正确； ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴，故①正确； ∵、是等边三角形， ，， ∴，， ∴的周长是，故②正确； ∵，， ∴， 故④不正确， 故选：B． 6．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边与交于点与交于点与交于点，连接，有如下四个结论：①，②，③，④平分，⑤平分，其中结论正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，角平分线的判定定理等知识点，证即可判断①；证推出是等边三角形，根据，，可推出，即可判断③；根据，可得，设边上的高为，边上的高为，可推出，即可判断④；根据，即可判断②；假设平分，则可求出，即可判断⑤． 【详解】解：由题意得：， ， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴，故③正确； ∵， ∴， 设边上的高为，边上的高为， 则， ∴， ∴平分，故④正确； ∴， 又即， ∴， ∴， 又， ∴，故②错误； 若平分， 则， 又， ∴， 又， ∴， 而题干没有这一条件，则平分不成立，故⑤错误； 故选∶B 7．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）如图，在中，，平分，于点E，于点D，交于点F，H是边的中点，连接与交于点G．现有下列结论：①；②；③是等腰三角形；④四边形和四边形面积相等．其中正确的结论有（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，综合运用知识点进行推理是解此题的关键．根据角平分线的定义求出，求出，根据全等三角形的判定推出，，根据全等三角形的性质得出，，再逐个判断即可． 【详解】解：平分， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ∴，即，故①正确； ，， ，故②正确； ，H为的中点， ， ， ，， ， ， 是等腰三角形，故③正确； ， ， 又和的面积不一定相等， ，故④错误； 即正确的是①②③，共3个， 故选：C． 8．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在中，为内一点，平分，，垂足为，交于点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定是解题的关键． 根据平分，，证出，得到，即可． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ，， 又， ， ，， ， ， ， 故选：A． 题型二：根据等边对等角求边长 1．（24-25八年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，点是内一点，连接、、，其中，平分，若，，，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长，交于点，由三角形角平分线的定义可得，利用可证得，于是可得，，，由三角形外角的性质可得，则，进而可得，由等角对等边可得，再根据即可求出的长． 【详解】解：如图，延长，交于点，   ， ， 平分， ， 又， ， ，，， ， ， ， ， ， 故选：． 2．（24-25八年级上·云南玉溪·期中）如图，是的角平分线，为上一点，，．若，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过作于点，由角平分线的性质可得，利用角平分线的有关计算可得，由两直线平行内错角相等可得，进而可得，由等角对等边可得，然后利用三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：如图，过作于点， ∵是的角平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， 故选：． 3．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，在中，，分别是和的平分线，，交于点D，于点F．若，，，则的面积为（    ）    A．50 B．55 C．60 D．65 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质的综合应用以及等角对等边的应用；解题的关键是熟练掌握相关性质．过E作于M，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可求得，根据平行线和角平分线的性质易证，根据等角对等边求得，从而求得，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：过E作于M，     平分，，，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 4．（24-25八年级上·吉林松原·期末）如图，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，若，，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 先证明和全等得，，则，再根据得，由此可得出的长． 【详解】解：平分， ， ， ， 在和中， ， ∴， ，， ，， ，， ， ， ， ． 故答案为：5． 5．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，为内一点，平分，，，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，理解角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．延长交于点，根据角平分线的定义及垂直的定义得，，利用可证明，得出，，可得，根据等角对等边得出，即可得的长． 【详解】解：如图，延长交于， ∵平分，， ∴，， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 6．（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点，，，相交于点． （1）若，则的度数为 ； （2）若，，则的值为 ． 【答案】 13 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，与角平分线有关的三角形的内角和定理，平行线的性质： ①由角平分线得到，由三角形的内角和定理得到，再对运用内角和定理即可求解； ②根据题意证明，进而可得，即可得出答案． 【详解】解：①和的平分线分别交于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∵和的平分线分别交于点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：13． 7．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，为边上的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ． 【答案】3.2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等角对等边，延长至，使，连接，可证明，则，，根据，得，可证出，即得出，然后利用线段的和差即可解决问题． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3.2． 题型三：等腰三角形的个数 1．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：如图，中，，在直线上找一点，使或为等腰三角形，则符合条件的点的个数有（   ） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的存在形问题，根据题意，画出图形，利用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】解：以为圆心，的长为半径画圆，得到为等腰三角形， 以为圆心，的长为半径画圆，得到为等腰三角形， 作的中垂线，得到为等腰三角形，即，以为边的等腰三角形有4个， 同理：以为边的等腰三角形也有4个； 故总共有8个等腰三角形； 故选B． 2．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知中，，．在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有（    ）处．    A．6 B．7 C．8 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题，根据题意，画出图形结合求解． 【详解】如图，第1个点在上，作线段的垂直平分线，交于点P，则有； 第2个点是以A为圆心，以长为半径截取，交延长线上于点P； 第3个点是以A为圆心，以长为半径截取，在上边与延长线上交于点P； 第4个点是以B为圆心，以长为半径截取，与的延长线交于点P； 第5个点是以B为圆心，以长为半径截取，与在左边交于点P； 第6个点是以A为圆心，以长为半径截取，与在右边交于点P； 故符合条件的点P有6个点． 故选：A．    3．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到满足条件的点的个数．熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键．也考查了三角形内角和定理． 【详解】解：如图， ∵在中，，， ∴， 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 综上，满足条件的点的位置有个． 故选：C． 4．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）在平面直角坐标系中，已知，在坐标轴上确定一点P使得为等腰三角形，则满足条件的点可以画出（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．7个 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的判定得出可能为底，可能为腰两种情况，依此即可得出答案． 【详解】解：如图：①以A为圆心，以为半径作圆，此时交坐标轴于两个点（除外）； ②以O为圆心，以为半径作圆，此时交坐标轴于四个点； ③作线段的垂直平分线，此时交坐标轴于两个点， 共有：， 故选：． 5．（24-25八年级上·全国·单元测试）已知、，点C在x轴上，若是等腰三角形，则满足这样条件的C有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用，分，，三种情况，根据等腰三角形性质即可求解． 【详解】解：以B为圆心，以为半径画弧，交x轴于，两点，此时； 以A为圆心，以为半径画弧，交x轴于点，此时； 作的垂直平分线交x轴于，此时， 满足这样条件的C有: （个）， 故答案为：4． 6．（23-24八年级上·吉林白城·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，点Q在坐标轴上，是等腰三角形，则满足条件的点Q共有 个． 【答案】8 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质，垂直平分线的判定，根据等腰三角形的性质作出图形，利用数形结合的思想是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知：是等腰三角形， 当时，以点为圆心，为半径画圆，与坐标轴交于，（除点外）， 当时，以点为圆心，为半径画圆，与坐标轴交于，，，， 当时，即点在的垂直平分线，与坐标轴交于，，    结合图形，综上，满足条件的点共有8个， 故答案为：8． 7．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）在直角坐标系中，为坐标原点，已知，在轴上确定点，使为等腰三角形，则符合条件的点共有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，坐标与图形的性质，能正确进行分类求出所有的情况是解题的关键．有三种情况：当时，以为圆心，以为半径画圆，看与轴交点个数；当时，以为圆心，以为半径画圆，看与轴交点个数；当时，作的中垂线，看中垂线与轴的交点个数，从而得到答案． 【详解】解：如图，有三种情况 当时，以为圆心，以为半径的圆与轴交点有1个； 当时，以为圆心，以为半径的圆与轴交点有2个； 当时，作的中垂线，中垂线与轴的交点有1个． 故答案为：4． 题型四：等腰三角形的性质与判定中最值问题 1．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，，边上的高，E是边上的一个动点，F是边的中点，则的最小值是（   ） A．3.5 B．5 C．7 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，熟练掌握和运用等边三角形的性质是解决本题的关键．解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论． 先连接，，再根据，将转化为，最后根据两点之间线段最短，求得的长，即为的最小值． 【详解】解：连接，， ∵，， ∴是等边三角形， ∵是边上的高， 是边上的中线，即垂直平分， ， ∴， ∴当、、三点共线时，值最小 ，最小值为， 等边中，是边的中点， ， 的最小值为7， 故选：C． 2．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，等边中，于点，点，分别为，上的两个定点且，，在上有一动点使最短，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在上找到点关于的对称点，连接交于点，连接，推出的最小值是的长，再证明出是等边三角形，即可求出的长，从而解决问题． 【详解】解：在上找到点关于的对称点，连接交于点，连接， 此时是的垂直平分线， ，， 此时取最小值，最小值为， 等边中，， ， ，， 等边中，，， 又， ， 是等边三角形， ， 即的最小值为． 故选：． 3．（24-25八年级上·重庆渝北·期中）如图，已知的大小为，P是内部的一个定点，且，点E，F分别是、上的动点，若周长的最小值等于8，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称求最短距离．作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点、交于点，连接、，此时周长最小为，由对称性可得是等边三角形，，即可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点、交于点，连接、， 由对称性可知，，， 周长， 此时周长最小， ∵周长的最小值等于8，即 ，， ， 是等边三角形， ， 由对称的性质得：， ， 故选：A． 4．（24-25八年级上·广东汕头·期末）已知，点是等边三角形的边上的一点（点与点、点不重合），则在以线段，，为边的三角形中，最大的内角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解决问题的关键．过点作交于点，证明是等边三角形得，则，，由此即可得出答案． 【详解】解：过点作交于点，如图所示： 是等边三角形， ，， ， ，， ， 是等边三角形， ， ，， 在以线段，，为边的三角形中，最大的内角为． 故选：． 5．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，点是内任意一点，，，点和点分别是射线和射线上的动点，则周长的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】此题考查轴对称－最短路线问题．设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，当点M、N在上时，的周长最小，据此解答即可． 【详解】解：分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接．    ∵点P关于的对称点为C， ∴； ∵点P关于的对称点为D， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴是等边三角形， ∴． ∴的周长的最小值． 故选：D． 6．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在面积为的锐角中，，，D是内部一点，E，F分别是边上的动点，连接．若的面积为2，则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】过点D作直线，过点C作于点G，交直线l于点H，求出，推出的最小值为，再作点D关于的对称点，，连接，、，证明出是等边三角形，且边长等于，由此可解决问题． 本题考查了轴对称——最短路线问题，三角形面积计算，等边三角形的判定与性质，垂线段最短，熟练掌握相关知识，证明出是等边三角形，且边长等于，是解题的关键． 【详解】解：过点D作直线，过点C作于点G，交直线l于点H，如图， 由题意，知为的边上的高，等于的边上的高， ∵锐角的面积为，， ∴， ， ∵的面积为2，， ∴，点D是直线l上的动点， ∴， ， ∵， 的最小值为， 作点D关于的对称点，，连接，、，，， 则，，，，， 当共线时，周长最小为， ∵， ∴， ∴是等边三角形， 周长的最小值为， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）如图，点C、D在线段的同侧，是的中点，，则长的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了了翻折变换，等边三角形的判定与性质，两点之间线段最短等知识点，解题的关键是利用两点之间线段最短解决问题．作点A关于的对称点，点B关于的对称点，证明为等边三角形，即可解决问题. 【详解】解：作点A关于的对称点，点B关于的对称点，连接，，，，， ∴，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ， ∴的最大值为19． 故答案是19． 题型五：等腰三角形的性质与判定中需分情况讨论 1．（24-25七年级下·上海·阶段练习）已知是等腰一腰上的高，且，则三内角度数为 ． 【答案】、、或、、或、、 【分析】主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，根据直角三角形两锐角互余求出，再分点A是顶角顶点，点A是底角或顶角顶点3种情况求解． 【详解】解：∵，是等腰腰上的高， ∴， ①如图1，点A是顶角顶点时，顶角为，是，两底角为； ②如图2，点A是底角顶点时，两底角是，顶角； ③如图3，点A是顶角顶点时，顶角，两底角是； 综上所述，等腰三内角度数为、、或、、或、、． 故答案为：、、或、、或、、． 2．（24-25七年级下·上海·阶段练习）在中，，的垂直平分线交于点D，交直线于点E，，那么等于 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查线段的垂直平分线及等腰三角形的判定和性质；线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．分两种情况：为锐角，为钝角，根据线段垂直平分线的性质可求出，然后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：分以下两种情况： 如图1，为锐角， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（此时点E和点C重合）； 如图2，为钝角， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：或． 3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）在中，与边上的垂直平分线、分别交于点、点．连接、，，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 分种情况，①根据线段垂直平分线的性质推得、，根据题意得，利用三角形的外角的性质求得，根据即可求解；②当点与点重合，点与点重合，． 【详解】解：根据题意，有种情况， ①如图， 与边上的垂直平分线、分别交于点、点， ，， ，， ， ， 是的一个外角，是的一个外角， ，， ， ， ． ②如图，当点与点重合，点与点重合， 此时，． 综上所述，或． 故答案为：或． 4．（19-20八年级上·山东潍坊·期中）如图，已知点P是射线上的一动点，若，当 时，为等腰三角形． 【答案】或或 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．分、和三种情况，分别利用等腰三角形的两底角相等可求得的度数． 【详解】解：分三种情况： ①当时，则， ； ②当时，则； ③当时，则， 综上所述，当为或或时，为等腰三角形， 故答案为：或或． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）在中，，，点在边上，把沿折叠后，使得点落在点处，连接、，若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 分两种情况：当点在直线的下方时，当点在直线上方时；分别求解即可得到答案． 【详解】解：如图1，当点在直线的下方时， ， ， 由折叠可知 ， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图2，当点在直线上方时， ， ， ， 由折叠可知， ， ， ， ， ， ， 故答案为：或． 8．（24-25九年级下·河南驻马店·阶段练习）在中，，，为上不与端点重合的一动点，将沿直线翻折得到，连接，若是以为直角边的等腰直角三角形，则的长等于 ． 【答案】8或 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．根据当时和当时两种情况进行讨论，求出答案即可． 【详解】解：当时， 沿直线翻折得到，， ，， ， 四边形是正方形． 又是等腰直角三角形， ． ； 当时，如图2所示，设，则． 延长交的延长线于点．由题意可知，． 是等腰直角三角形． ． ， 解得． ． 故的长为8或． 9．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）中，，，点在直线上，是等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质及等边三角形的判定是解题的关键．根据题意分点D在斜边上和在斜边的延长线上两种情况讨论，对于第一种情况，可证是等边三角形，得到，再由即可得到答案；对于第二种情况，根据等腰三角形的性质求出，即可求得答案． 【详解】解：当点D在斜边上时， 是等腰三角形，， 是等边三角形， ， ， ； 当点D在斜边的延长线上时， 是等腰三角形， ， ， ， ， ； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 10．（24-25八年级上·江西上饶·期末）已知是以为腰的等腰三角形，D为线段上一点，且，若恰好为一边的，则的大小为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质．分四种情况讨论，利用等腰三角形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：如图，当，时，取的中点，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； 当，时， 同理，； 当，时， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 综上，的大小为或或． 故答案为：或或． 题型六：等腰三角形的性质与判定解答题压轴 1．（24-25七年级下·山东烟台·期末）已知是等边三角形，点是所在直线左侧的一动点，且在边的上方． (1)如图1，平分，连接．求证：； (2)如图2，若，点是延长线上一点，连接交于点． ①求的度数； ②若点为的中点，，探究线段之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)①；②，见解析 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． （1）根据题意可证， 得到，由此即可求解； （2）①在上截取，连接，可证，得到，，则为等边三角形，由此即可求解； ②在上取点，使，连接，可证，由①知，为等边三角形，则，，，，所以，由即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①在上截取，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； ②在上取点，使，连接， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 由①知，为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25七年级下·广东深圳·期末）探究活动：折叠中的对称之美 【初步探究】 在学习了轴对称的知识后，老师告诉大家：折叠中隐含着许多轴对称问题．为了深入理解，小明决定动于实验．他拿出一张长方形纸片，其中，，．他在边上取一点，在边上取一点，并将纸片沿直线折叠，使得点落在新位置，如图，小明发现是等腰三角形； （1）请结合图1证明是一个等腰三角形（即） 【深入探究】 小明又沿着对称轴折叠，使得点与重合，展开后如图，与交于点，连接后，他想进行以下探究活动： 活动1（计算面积）： 若测量得，，求四边形的面积； 活动2（证明性质）： 小明发现四边形的四条边均相等，你能证明吗？ （2）请选择以上任意一个活动完成． 【答案】（1）见解析；（2）活动一：40；活动二：见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，折叠的性质，等角对等边，以及全等三角形的性质与判定；掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠可得，根据平行线的性质可得，即可得出，根据等角对等边，即可得证； （2）活动一：根据折叠的性质可得，进而根据，即可求解． 活动二：根据折叠的性质，证明，进而得出，即可得证． 【详解】（1）第一次折叠， 又，， ， （2）活动一： 第二次折叠，对称轴是， 活动二：第二次折叠， ，，， 又， 在和中 ， 3．（24-25七年级下·辽宁锦州·期末）在中，为边上一点，为边上一点，连接，将沿折叠得到，直线与直线相交于点． (1)当为边的中点，且时， ①如图1，探究的形状，并说明理由； ②如图2，若，探究与的数量关系，并说明理由； (2)如图3，，，，当时，求的度数． 【答案】(1)①是直角三角形，理由见解析；②，理由见解析 (2)或 【分析】（1）①根据等边对等角得出，，进而根据三角形内角和定理得出，即可求解； ②根据已知得出，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得出结论； （2）设，则，，根据建立方程，得出．所以，．进而可得，进而分两种情况讨论，①当点在下方时，②当点在上方时，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】（1）解：①是直角三角形，理由如下： 如图1，因为，， 所以，．所以． 在中， 因为， 所以， 即． 所以． 所以是直角三角形． ②如图2，因为，所以． 所以， 即． 在和中， 因为，，， 所以． 所以． （2）如图3，因为，所以． 设，所以． 因为，所以． 因为，所以． 所以．所以，． 所以． ①当点在下方时，如图3， 因为，所以． 因为， 在中，． 所以． ②当点在上方时，如图4， 因为，所以． 因为， 在中，． 综上，的度数为或． 4．（23-24八年级上·福建莆田·期中）已知和都是等边三角形，分别连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若点D在边上，延长交于点G，连接． ①求证：平分． ②判断之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①见解析；②，理由见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质，证明即可； （2）①过点A分别作于点P，于点Q，证明，利用角的平分线的判定定理解答即可． ②在延长线上取点T，使得，连接，利用三角形全等，等边三角形的判定和性质解答即可． 本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，角平分线的判定等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【详解】（1）解：和都是等边三角形， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴为． （2）①证明：如图，过点A分别作于点P，于点Q， ， ∴， ∴，，即， 解得， ∵，， ∴平分． ②解：． 理由如下：在延长线上取点T，使得，连接， 由（1）得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 由， ∴是等边三角形 ∴， 由， 故． 5．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）我们把过三角形的一个顶点且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段”，例如：等腰直角三角形斜边上的中线为该三角形的“等腰线段”． (1)①如图1，在中，，，请你在这个三角形中画出它的“等腰线段”，并标出所分得的各等腰三角形顶角的度数； ②如图2，等边三角形 （填“存在”或“不存在”）“等腰线段”． (2)如图3，，点在射线上，若存在“等腰线段”，则的度数为 ． 【答案】(1)①画图见解析；②不存在 (2)或或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识．解题的关键是： （1）①作的平分线即可，然后根据角平分线的定义，三角形的内角和定理求解即可； ②根据“等腰线段”的定义和等边三角形的判定与性质判定即可； （2）分三种情况讨论：①；②；③三种情况讨论，根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识求解即可． 【详解】（1）解：①如图，即为所求， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴，，， ∴、是等腰三角形， ∴是的“等腰线段”； ②若等边三角形存在“等腰线段”，如图， 则，都是等腰三角形， 又是等边三角形， ∴， ∴，都是等边三角形， ∴D和A或D和C重合， 此时不存在或， ∴等边三角形不存在“等腰线段”， 故答案为：不存在； （2）解∶∵存在“等腰线段”， ∴、是等腰三角形， ①当时，如图， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， ∴； ②当时，如图， ∴ ∴， ∵是等腰三角形， ∴； ③当时，如图， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， ∴； 综上，的度数为或或． 6．（24-25八年级上·湖南益阳·期中）（1）在数学活动课上，老师让同学们就三角形的中线进行进一步的探究：如图1，是的中线，过点作的平行线，交的长线于点，发现的长恰好等于中线的长，请验证这一结论； 【深入探究】 （2）如图2，中，点，在边上，，过点作，交的角平分线于点，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，平分，点为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点，若，，则的长度． 【答案】（1）见解析   （2）；理由见解析   （3）4 【分析】本题考查的是三角形综合题，全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质定理解答； （2）延长到，使，连接，根据全等三角形的性质得到，，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，求得，于是得到结论； （3）延长至点，使，连接，证明，得到，，推出， 均为等腰三角形，得到，，根据，根据面积求出的长即可． 【详解】解：（1）， ， 是的中线， ， 在和中， ， ， ； （2）， 理由：延长到，使，连接， 在与中， ， ， ，， 平分， ， ∵， ， ， ， ； （3）延长至点，使，连接， 同法可得：， ，， ，平分， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 故的长度为4． 7．（23-24八年级上·广西桂林·期中）如图，在等边角形中，是等腰三角形，，以D为顶点作一个的，角的两边分别交边于M、N两点，连接．延长分别与交于点P、Q， (1)求证：； (2)求证：； (3)与有怎样的数量关系，请说明理由； (4)若的边长为1，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 (4)1 【分析】本题主要考查了等边三角形、等腰三角形的性质、全等三角形得判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定定理及等边三角形的性质是解答本题的关键． （1）根据，，即可证明结论； （2）由等边三角形的性质结合等腰三角形的性质及三角形内角和定理可证 ，利用即可证明； （3）同理（2）得，推出，易证，即可得出结论；             （4）由全等三角形的性质将的周长转化为，即可得出结果． 【详解】（1）证明：如图， ∵， ∴， ∵即， ∴； （2）证明：是等边三角形， ， ∵为等腰三角形，且， ∴ ，                 ∴ ，          在与中， ∴； （3）解：， 同理（2）得，   ∴， ∴， ∴； （4）解：∵， ∴， ∴即 ， ∵， ∴ ， ∴ 即， ∵， ∴的周长为． 8．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，，，是边上的中线，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线分别交，于点，，连接． (1)是等边三角形吗？为什么？ (2)若的长为2，求的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】（1）先运用三角形内角和性质算出，因为是的垂直平分线，所以，则，故，再结合在中，，是边上的中线，即可作答; （2）因为是的垂直平分线，则，结合，，得，因为，得，因为是等边三角形，得，，即可作答． 【详解】（1）解：是等边三角形． 理由是：在中，，，， 以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线分别交，于点，， 是的垂直平分线， ， ， ． 在中，，是边上的中线， ， ， 是等边三角形； （2）解：由（1）知，是的垂直平分线， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 1．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至，使 ，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，根据等边三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，再根据外角的性质可判断A，根据等边三角形中线得到，，即可判断B，根据等边三角形中线得到，即可判断C，由，，可判断D，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、是等边三角形， ， ， ， ， ， ，故选项不符合题意； B、∵是等边三角形的中线， ∴，， ∵， ，故选项不符合题意； C、∵是等边三角形的中线， ∴ ∴， ，故选项不符合题意； D、，， ，故选项符合题意 故选：D． 2．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）如图，点为的角平分线的交点，，，，将平移，使其顶点与点重合，则图中阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定、平行线的性质及平移的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的定义、等腰三角形的判定、平行线的性质及平移的性质． 连接，，根据点I为的角平分线的交点，可得和分别平分和，再根据平移，使其顶点与点重合，可得，，可得角相等，从而得等腰三角形，进而可得图中阴影部分的周长． 【详解】解：如图，连接，，        点I为的角平分线的交点， 和分别平分和， ，， 将平移，使其顶点与点重合， ，， ，， ，， ，， ． 所以图中阴影部分的周长为． 故选：A． 3．（2025·黑龙江佳木斯·三模）如图，在中，，点D在边上，点E在边上，，若，则的面积为（   ）    A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形的内角和定义，对顶角相等．掌握知识点是解题的关键． 过点A作于点A，与的延长线交于点F，连接，证明，，可得是等腰直角三角形，继而证明，则，可得，即可解答． 【详解】解：过点A作于点A，与的延长线交于点F，连接，如图    ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4．（2025·湖南常德·二模）已知货轮在海上以每小时50海里的速度沿南偏东的方向航行，当货轮在处时，测得灯塔在其北偏东的方向上，航行2小时后货轮到达处，此时测得灯塔在其北偏东的方向上，则货轮到达处时与灯塔的距离是（　　） A．100海里 B．80海里 C．60海里 D．50海里 【答案】A 【分析】本题考查了方向角，平行线性质，等边三角形性质和判定，解题的关键在于推出为等边三角形． 根据方向角，平行线性质，推出为等边三角形，再结合等边三角形性质求解，即可解题． 【详解】解：由题知，，（海里）， 如图，由两直线平行，内错角相等可知，， ， 为等边三角形， 海里， 故选：A． 5．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，点P为等边的边上一点，Q为延长线上一点，，连接交于D，若，，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定．过点作交于点；得出是等边三角形，进而证明)，得到，设，则有，根据，列式计算即可求解． 【详解】解：如图，过点P作交于点F， 是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ，， 在和中， )， ， 设，则有， ， ，， ， ， ， ， 解得：，即， 故选：A． 6．（2025·河北邯郸·二模）如图，牧民从生活区边上某点出发，先到草地边上某点收马，再到小河边上某点饮马，最后回到点处．已知，点到的距离为，，若的周长为，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短，在上取一点，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、、、、，由轴对称的性质可得的周长为，即当最小时，的周长最小，证明为等腰直角三角形，得出，由垂线段最短可得，当时，最小，即最小，结合题意可得的最小值为，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，在上取一点，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、、、、， ， 由对称轴的性质可得：，，，，，， ∴的周长为， ∴当最小时，的周长最小， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由垂线段最短可得，当时，最小，即最小， ∵点到的距离为， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故选：B． 7．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，在中，平分，，若与互补，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，补角性质，等腰三角形的判定，延长交于点，可证，得到，，由补角性质可得，即得，得到，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，以为边向外作等腰直角，连接，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 如图所示，过点B作交延长线于E，连接，证明得到，则，再利用三角形面积公计算式可得答案． 【详解】解：如图所示，过点B作交延长线于E，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 9．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）如图，在中，，，，的垂直平分线交边于点，交边于点，则的周长为 （用、表示）． 【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质得到，则，进一步证明，得到，即可求出答案． 【详解】解：∵的垂直平分线交边于点，交边于点 ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为 故答案为： 10．（23-24八年级上·重庆永川·期中）如图，点C是线段上除点A、B外的任意一点，分别以为边在线段的同旁作等边和等边，连接交于M，连接交于N，交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，证明，即可证明，得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到，根据三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】（1）证明：等边和等边， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， ，， ． 11．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，过等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，且，连交边于D． (1)求证：； (2)线段与有什么样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题综合考查等边三角形的性质、三线合一以及三角形全等的判定与性质等知识点．正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）过P作的平行线至于F，易证是等边三角形，再证明与全等，得出结论； （2）利用是等边三角形，，得出，再由，得出，由此得出与的关系解决问题． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 过P作的平行线至于F， ∴， ∴， ∴是等边三角形； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴； （2）解：结论：，理由： ∵，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（24-25八年级上·天津·期中）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的正半轴上，且． (1)如图1，若点D在的延长线上，连接，点E在第一象限，且满足，连接，求证：是等腰直角三角形； (2)如图2，点F在的延长线上，以为斜边向上构等腰直角三角形，连接若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定， 对于（1），先根据“角边角”证明，再根据三角形全等的性质求解即可； 对于（2），过点O作交的延长线于点T，连接，证明再求得，再求解即可． 【详解】（1）证明：如图，与交于点H， ∵， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴是等腰直角三角形； （2）解：如图3，过点O作交的延长线于点T，连接． ∵为等腰直角三角形， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴. ∵， ∴． ∵， ∴, ∴. ∵， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴. 13．（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，在中，于平分． (1)若，且，求的度数； (2)若，的面积为2，，求点E到边的距离． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据角平分线定义得到，根据等边对等角以及三角形内角和得到，结合已知可求出，利用即可求出结果； （2）过点作于点M，于点N，求出，根据，求出的长，根据角平分线性质即可求出最后结果． 【详解】（1）解：平分， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作于点M，于点N， ，， ，即， ， ， ， ， ，，平分， ， 点E到边的距离为4． 14．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）如图①，在中，，直线过点，且，点是直线上一点，不与点重合． (1)若点是图①中线段上一点，且，请判断线段与的位置关系，并说明理由； (2)如图②，在（1）的条件下，连接，过点作交线段于点，求证：； (3)如图③，在图（1）的基础上，改变点的位置后，连接，过点作交线段的延长线于点，请判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）先求出，再由平行线的性质求出，然后证，即可得出结论； （2）先证，再证，再由即可证得； （3）过点作交的延长线于，先证，再证，然后由证得，即可得出结论． 【详解】（1）解：线段与的位置关系为：， 理由如下： 在中，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：线段与的数量关系为：， 理由如下： 过点作交的延长线于，如图3所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 由（1）知，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 15．（24-25七年级下·上海静安·期末）如图，已知是等边三角形，，点P从点A出发，沿射线以的速度运动，过点P作交射线于点E，同时点Q从点C出发沿的延长线以的速度运动，连接、，设点P的运动时间为． (1)当点P在边上，且不与点、重合时，求证：； (2)直接写出的长（用含t的代数式表示）； (3)在不添加字母和连接其它线段的条件下，当图中等腰三角形的个数大于3时，直接写出t的值和对应的等腰三角形的个数．（请写出所有的可能性） 【答案】(1)证明过程见解析； (2)当时，的长为；当时，的长为； (3)当时，等腰三角形有5个；当时，等腰三角形有4个． 【分析】本题考查等边三角形，等腰三角形，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确理解图形的运动过程． （1）由等边三角形的性质和平行线的性质，可得角之间的关系和线段长度之间的关系，利用“”即可证得结论； （2）根据运动时间进行分类讨论，写出每种情况对应的线段长度即可； （3）根据题意可知，当或时，等腰三角形的个数大于3，写出对应的等腰三角形即可． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， 根据点的运动过程可知，， ∴， 在和中， ， ∴ （2）解：根据题意可知，点从点到点所需时间为， 当时，， 当时，， 答：当时，的长为；当时，的长为． （3）解：当时，如图，有5个等腰三角形：、、、、， 当时，如图，有4个等腰三角形：、、、， 答：当时，等腰三角形有5个；当时，等腰三角形有4个． 16．（24-25七年级下·重庆北碚·期末）在中，点是边上的一点，，平分，与交于点，与交于点． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，是的一个外角，平分，与的延长线交于点，，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形外角的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据等角对等边可得，进而证明得出，则是等边三角形，，进而根据三角形的外角的性质，即可求解； （2）设，根据三角形外角的性质可得，根据角平分线的定义可得，进而可得，则，根据以及三角形的外角的性质可得，即可得证． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵平分，， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴ （2）证明：设 ∵是的一个外角， ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵平分， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴． 17．（24-25七年级下·福建福州·期末）综合与实践 问题提出：如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用： （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①________，连接②________．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究： （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数． 【答案】（1），见解析；（2）①；②，见解析；（3） 【分析】（1）利用证明，得出，从而证得，所以，即可得出结论； （2）在线段上截取，使得，连接，同理可证明，则，证明，得到，则，即可证明； （3）延长至点G，使，连接，利用证明，得出，，从而可证得．即可利用证明，得出，即可由求解． 【详解】（1），理由如下： ∵平分， ∴． 又∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）如图，在线段上截取，使得，连接， 同理可证明， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；    （3）如图，延长至点G，使，连接，．    ∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴，． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$