14.3角的平分线（题型专练）数学人教版2024八年级上册

14.3 角的平分线 题型一 作角平分线 1．（24-25八年级上·广东江门·期中）尺规作图：(不写作法，保留作图痕迹)作的角平分线． 【答案】图形见解析 【分析】本题主要考查尺规作图，熟练掌握角平分线的作图步骤是解题的关键．根据角平分线的作图步骤画图即可． 【详解】解：以点为圆心任意半径画弧，交两点，以两点分别为圆心，大于两点的距离画弧交于一点，连接A点和此点的射线交边于D点，连接即可； 2．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在中，作的平分线交于点D；（不写作法，只保留作图痕迹．） 【答案】作图见解析 【分析】本题考查作图-基本作图，解题的关键熟练掌握角平分线的作图方法．利用尺规作出的平分线即可． 【详解】解：如图，射线即为所求． ； 3．（24-25八年级上·广东广州·期中）已知是的一个外角，． (1)尺规作图，作角平分线．（不写作法，保留痕迹）； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图——角平分线，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的外角定理，平行线的判定等知识点，解题的关键是熟练掌握角平分线的作法和平行线的判定定理． （1）利用角平分线的作法进行操作即可； （2）利用等腰三角形的性质得出两底角相等，利用三角形的外角定理得出，利用角平分线的性质得出，即可判定出两直线平行． 【详解】（1）解：如图所示，射线即为所求； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵为的平分线， ∴ ∴， ∴ ∴． 4．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，中，，，垂足为D． (1)求作的平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；） (2)若的平分线分别交，于，两点，证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线尺规作图，角平分线定义，同角的余角互余等． （1）根据题意以点为圆心，任意长为半径画弧交于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点长的一半为半径画弧，两弧交于一点，再连接和两弧的交点，即为的平分线； （2）根据题意利用角平分线定义可得，后得到，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：以点为圆心，任意长为半径画弧交于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点长的一半为半径画弧，两弧交于一点，再连接和两弧的交点，如下图即为的平分线： ； （2）解：根据题意画图如下： ，， ， ． ， ． ， ． ， ． 题型二 用角平分线的性质定理证明 1．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，平分，且，垂足分别为E，F．求证： (1)， (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质，是解题的关键： （1）根据角平分线的性质，利用证明即可； （2）证明，即可得证． 【详解】（1）证明：∵平分，， ∴， 又∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·天津·期中）如图，在中，平分，点是的中点，于点，于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定及性质．根据角平分线的性质得到，再证明，即可得证结论． 【详解】证明：平分，，， ，， 是的中点， 在和中， ， ∴， ． 3．（24-25八年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，是的平分线，于点M，N在边上且． (1)求证：． (2)试判断与之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查角平分线的性质，直角三角形全等的判定和性质： （1）根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明； （2）证明，根据全等三角形的性质求解． 【详解】（1）证明：， ， 是的平分线，，， ， 在和中， ， ， ． （2）解：，理由如下： 在和中， ， ， ， ． 由（1）得， ． 4．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知平分，于点，交的延长线于点F，且，求证：． 【答案】答案见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明是关键．根据角平分线的性质就可以得出，再证明就可以得出结论． 【详解】证明：∵ 平分，于，于， ∴ ，， 在和中， ， ∴， ∴ ． 5．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，，平分，于点E，点F在上，，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理、全等三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线的性质定理、全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后根据“”可判定，进而问题可求证． 【详解】证明：∵，平分，于点E， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型三 用角平分线的性质定理求面积 1．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，已知的周长是，，分别平分和，于点，且，的面积是 ． 【答案】42 【分析】本题主要考查了角平分线的性质及三角形面积的求法，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键． 根据角平分线的性质可得，从而可得到的面积等于周长的一半乘以2，代入求出即可． 【详解】如下图，连接，过作于，于， 、分别平分和， ∴是的平分线， ∵，， ∴， 的周长是， ， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，的平分线交于点，若，，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，能根据角平分线性质得出是解此题的关键； 过作于，由，，即可求得的长，然后由角平分线的性质，求得的长，继而求得答案． 【详解】解：过作于， 平分，， ， ，， ， ∵在中，，的平分线交于， ， ， 的面积是：． 故答案为： 3．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，如果的面积为 ，那么的面积为 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D分别作的垂线，垂足为E、F，由角平分线的性质可得，则可证明，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D分别作的垂线，垂足为E、F，    ∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴， 故答案为；． 4．（22-23八年级上·黑龙江鸡西·期中）如图，是的角平分线，，则的面积是 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，掌握其性质及运用是关键． 先作于E，再根据角平分线的性质得到，最后根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：过D作于E， ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴的面积． 故答案为：24． 题型四 用角平分线的性质定理求线段长度 1．（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，为的平分线，于E，于F，的面积是，，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质得出，根据三角形面积公式推出，代入数据求解即可． 【详解】解：∵为的角平分线，，， ∴， ∴ ， ∵的面积是，，， ∴， ∴． 2．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，在中，平分，过点作于点，作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据角平分线的性质得，然后证明，即可解决问题； （2）根据三角形的面积公式即可解决问题． 本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形的面积，解决本题的关键是得到． 【详解】（1）证明：平分，，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，，，，， ， ， ． 3．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，在中，是它的角平分线．求证． (1)在图1中完成上面的证明过程； (2)在图2中，如果，，， 求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握角平分线的性质． （1）过D作于E，于F，根据角平分线性质得出，根据，，即可得出答案； （2）过点A作于E，根据三角形面积公式得出，，从而得出， 根据解析（1）得出， 代入数据求值即可． 【详解】（1）证明：过D作于E，于F，如图所示： ∵平分， ∴， ∵，， ∴． 即． （2）解：如图，过点A作于E， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴ ∴． 4．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）如图，在，，平分，于点E，点F在上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）证明即可； （2）证明，结合，列式计算即可． 本题考查了直角三角形全等的判定和性质，角的平分线的性质，熟练掌握直角三角形的全等判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，平分，， ∴ ∵，，， ∴， ∴． （2）解：∵，平分，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵． ∴， ∵，， ∴． 题型五 用角平分线的性质定理求点到直线的距离 1．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，是的角平分线，若，，则点到的距离是 ． 【答案】2 【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴的长为点到的距离， ∵是的角平分线， ∴点到的距离等于点到的距离，即为的长， ∵， ∴点到的距离等于2； 故答案为：2． 2．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，以点A为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交于点E、F，再分别以E、F为圆心，大于的同样长为半径作圆弧，两弧交于点P，作射线，交于点D．，那么点D到的距离是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和角平分线的尺规作图，过点D作于H，由作图方法可得平分，则由角平分线的性质得到，再由线段的和差关系求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于H， 由作图方法可得平分， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴点D到的距离是， 故答案为：3． 3．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在中，，O是与平分线的交点，则点O到的距离为 ． 【答案】/1厘米 【分析】本题考查了角平分线的性质定理及与三角形高有关的计算，分别过点O作，连接，易得点在的角平分线上，推出，设，根据，建立方程求解即可． 【详解】解：分别过点O作，连接， ∵点是与平分线的交点， ∴点在的角平分线上， ∴， 设， ∵， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离等于． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）如图，在中，，平分交于点，若，则点到斜边的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质．过点作于点，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等得出，即可求解． 【详解】解：过点作于点，如图： ∵平分，，， ∴， 即点到斜边的距离为． 故答案为：． 题型六 角平分线的判定定理 1．（24-25八年级上·宁夏固原·期中）如图，，M是的中点，平分，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，作于，由角平分线性质定理可得，结合题意推出，再由角平分线的判定定理判断即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：如图，作于， ∵平分，，， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上， ∴平分． 2．（24-25八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，在中，是的中点，于，于点，且．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据题意可证，得到，即可得到结论． 【详解】证明：是的中点， ， ，， ， 在和中，   ， ， 平分． 3．（23-24八年级上·河南安阳·期中）如图，，于点E，交的延长线于点D，且，求证：是的平分线． 【答案】见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到. 证明得，可得点C在的平分线上，进而可以解决问题． 【详解】证明：，， ， 在和中， ， ， ， ，， 点C在的平分线上， ∴是的平分线． 4．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）在三角形中，为的中点，，，垂足分别是，，．求证：点在的平分线上． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的判定，掌握角平分线的判定定理是解题关键．由题意得出，，即易证，得出，说明点在的平分线上． 【详解】解：∵为的中点， ∴． ∵，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴点在的平分线上． 题型七 角平分线性质的实际应用 1．（22-23八年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路和铁路的距离相等，并且离交叉处，这个集贸市场应建于何处？（在图上标出它的位置，比例尺） 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质及比例尺的相关计算，解题的关键熟知角平分线的性质与图上距离的计算方法． 根据角平分线上的任意一点到两边的距离相等作角的平分线，然后再根据比例尺算出集贸市场到交叉处的图上距离，这样就确定了集贸市场的位置． 【详解】解：如图，设交叉处为点O，S区在内部．作的平分线． ∵图中要求比例尺为，实地距离， ∴图上距离 于是在上截取线段， 点M即为所求． 2．（2023·吉林长春·模拟预测）三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修一座油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地方有几处？请在图中画出来，保留作图痕迹，不写画法． 【答案】4处，图见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质等知识，利用角平分线的性质作出图形即可． 【详解】解：如图，满足条件的点有4个，图中即为所求． 3．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，要在区建一个电子商品批发市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处，这个电子商品批发市场应建于何处（请在图上标出它的位置，保留作图痕迹，比例尺为）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了成比例线段的性质，作角平分线；作角平分线，在射线上截取，使得，点即为所求． 【详解】解：依题意， 在射线上截取，使得，如图点为所求， 4．（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）已知：如图公路AE、AF、BC两两相交． 求作：加油站O，使得O到三条公路的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】作图见解析 【分析】根据角平分线的性质及作法，即可作得． 【详解】解：作法如下： 1．尺规作出∠A、∠EBC、∠BCF中任意两个角的角平分线，交点即为点； 2．尺规作出∠A、∠ABC、∠ACB中任意两个角的角平分线，交点即为点． 证明：点是∠A与∠BCF平分线的交点， 点到公路AE、AF、BC的距离相等； 点是∠A与∠ABC平分线的交点， 点到公路AE、AF、BC的距离相等； 点、点即为所求作的点 【点睛】本题考查了尺规作图—角平分线，角平分线的性质，熟练掌握和运用角平分线的作法及性质是解决本题的关键． 1．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，在和中，，，若，连接交于点； (1)求证：． (2)求的度数． (3)连接，求证：平分． (4)如图2，是等腰直角三角形，，，，点是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角三角形，连接，若，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4)或或 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等边三角形判定及性质，角平分线判定定理． （1）利用即可证明出； （2）先得到是等边三角形，利用全等性质可得，后利用即可计算出； （3）过点作于点，于点，利用全等性质可得 再证明出，继而得到； （4）分三种情况讨论：当在线段上，点在的右侧或左侧时，证明，继而得到，当在的延长线上时，证明，继而得到，后即可得到本题答案． 【详解】（1）解：证明：， ， 又，， 在和中， ， ； （2）解：，， 是等边三角形， ， ， ， ， ； （3）解：过点作于点，于点， ， ， ， ， ， ， ， 又， 平分． （4）解：如图所示，当在线段上，点在的右侧时， ， 是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ，， 又，， ， ， ， ，， ， 如图所示，当在线段上，点在的左侧时，连接， ∵是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴,， 又∵,, ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴,， ∴， ∵,， ∴; 在直角三角形中，根据勾股定理可得，即 解得， 如图所示，当在的延长线上时， ， 同理， ， ，， ， 综上所述，或或． 2．（24-25八年级上·广东汕头·期中）【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，、、的长分别为a、b、c，且满足，点P从A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒．则A的坐标为_________，B的坐标为_________． 【数学理解】 （1）如图2，连接，当平分时，求出t的值． 【深入探究】 （2）过P作交直线于D，交y轴于Q，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使与全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】问题背景：，；数学理解：（1）；深入探究：（2）存在这样的点，使与全等，此时的值为1或7 【分析】问题背景：先根据绝对值、偶次方和算术平方根的非负性求出的值，由此即可得； 数学理解：（1）过点作于点，先根据角平分线的性质定理可得，再根据建立方程，解方程即可得； 深入探究：（2）分两种情况：当点在线段上时和当点在的延长线上时，先证出，，从而可得只能是，再根据全等三角形的性质可得，由此建立方程，解方程即可得． 【详解】解：问题背景：∵，， ∴， ∴， 则由图1可知，点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：，． 数学理解：（1）如图2，过点作于点， 由上可知，， 由题意得：， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴，即， 解得． 深入探究：（2）如图3，当点在线段上时，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴此时只能是， ∴，即， 解得，符合题设； 如图4，当点在的延长线上时，则， 同理可得：，， 又∵， ∴此时只能是， ∴，即， 解得，符合题设； 综上，存在这样的点，使与全等，此时的值为1或7． 【点睛】本题考查了绝对值、偶次方和算术平方根的非负性，坐标与图形，三角形全等的判定与性质，角平分线的性质定理等知识，较难的是题（2），正确分两种情况讨论是解题关键． 3．（24-25八年级上·河南信阳·期末）【发现问题】（1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，若，求边上的中线的取值范围．小亮在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：如图①，延长到点E，使，连接，得到，他用到的判定定理是__________；（用字母表示），可以求得边上的中线的取值范围是__________． 【解决问题】 （2）小刚发现，解题时，条件中若出现“中点”，“中线”的字样，可以考虑构造全等三角形，要学好数学一定要多思考，做到举一反三，于是他又提出了一个新的问题：如图，当平分时，若，求的值（用含m，n的式子表示）； （3）如图，平分，延长到E，使得，连接，若，求的值． 【答案】（1）；；（2）；（3）16 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键． （1）根据定理解答，再根据全等三角形的性质得到，根据三角形的三边关系计算，得到答案； （2）过作于，于，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出即可； （3）根据已知和（1）（2）的结论求出和的面积，即可求出答案． 【详解】解：（1）解：，，， ， 小亮证明用到的判定定理是， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：；，； （2）如图，过作于，于， 为的角平分线， ， ，， ； （3）， 由（1）知：， ， ， ，，平分， 由（2）知：， ， ． 4．（24-25八年级上·广东中山·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． (1)求点，坐标； (2)如图1，以为斜边构造等腰直角，请直接写出点的坐标； (3)如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 【答案】(1)， (2)或 (3)①见解析；②的大小不变，为定值 【分析】（1）由绝对值和偶次方的非负性质得，，则，，进而得点，坐标； （2）分两种情况，①点C在第一象限时，②点C在第四象限时，过点C作轴于点G，过点A作于点F，证，得，，即可解决问题； （3）①延长、，相交于点F，证，得，再证，得，则，即可得出结论； ②过点C作于点M，于点N，证，得，则是的角平分线，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，； （2）解：解：分两种情况： ①如图1，点C在第一象限时，过点C作轴于点G，过点A作于点F， ∴，，， ∴， ∵等腰直角， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为； ②如图1-1，点C在第四象限时，过点C作轴于点G，过点A作于点F， 同①得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或； （3）解：①证明：如图2，延长、，相交于点F， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②解：的大小不变，为定值，理由如下： 如图3，过点C作于点M，于点N， 则， ∵， ∴， 由①可知，，， ∴， ∴， ∴是的角平分线， ∴， 即的大小不变，为定值． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、绝对值和偶次方的非负性质、角平分线的判定、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 1．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）【问题提出】工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法：如图1，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即．过角尺顶点的射线便是的平分线，已知角尺的夹角． 【初步思考】试说明工人师傅这样做能得到角平分线的道理； 【变式判断】张明同学认为当时，工人师傅就不需要先在边，上分别取，直接移动角尺，使角尺的两边分别与，相交于点，，且满足，如图2所示，便可以得到平分，你觉得张明的观点对吗？并说明理由； 【拓展探究】如图3，，平分，是射线上的一点，点在射线上运动，过点作，与直线交于点，过点作于点.若，，请直接写出的长． 【答案】[初步思考]见解析；[变式判断]正确，见解析；[拓展探究]5或7 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定定理，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，掌握全等三角形判定与性质以及角平分线的性质定理是解题的关键． [初步思考]根据证明即可； [变式判断] 过点作于点，作于点，证明，则，再根据角平分线的判定即可说理； [拓展探究] 当点D在点O右侧时，过点P作于点F， 证明，则，再证明，则，那么；当点D在点O左侧时，过点P作于点F， 同理可求，，故． 【详解】[初步思考]，解：在和中 ， ， 即平分； [变式判断]，解：张明的观点正确，理由如下， 过点作于点，作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴, ∵，， ∴平分， ∴张明的观点正确； [拓展探究]解：当点D在点O右侧时，过点P作于点F，如图 ∵，平分， ∴，， 同上可得，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点D在点O左侧时，过点P作于点F，如图 ∵，平分， ∴，， 同上可得，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上：长为5或7． 2．（24-25八年级上·山东临沂·期中）综合与实践 【问题情境】 在学习了角平分线的性质后，兴趣小组通过查阅资料得到以下知识： 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形， 如图1，在四边形中，，，这种四边形被称为等补四边形． 【探究实践】 经过交流讨论，李明、王红向同学们分享了自己的发现． （1）如图2，李明发现，连接，则为的角平分线，请你判断他的结论是否正确，并说明理由； （2）如图3，王红发现，在等补四边形中，当，，时，，与之间存在某种数量关系，请写出该关系并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，已知，，，若，，则的长度是_________． 【答案】（1）正确，理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质．正确地作出辅助线是解题的关键． （1）作交延长线于点，作于点，利用“角角边”证明，得出，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等反推出为的角平分线． （2）延长至使，连接，利用“边角边”证明，得到，，再通过角的等量代换得到，再利用“边角边”证明，得到，最后通过角的等量代换即可得到结论． （3）延长至，使，连接，利用“边角边”证明，得到，，再通过角的等量代换得到，再利用“边角边”证明，，最后通过角的等量代换即可得到结论． 【详解】解：（1）正确，理由如下： 作交延长线于点，作于点， ， 已知，， ． 在和中， ， ， ， 又，， 为的角平分线． （2），理由如下： 延长至使，连接， ，， 在和中， ， ， ，， 又， ， ， 在和中， ， ， ， 又 ． （3）延长至，使，连接， ，， ． 在和中， ， ， ，． 又， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·江苏泰州·期中） 如图1，在平面直角坐标系中，点 点P为x轴正半轴上一点，直线直线，垂足为C，直线与y轴交于点E，设P点的横坐标为m． (1)求证：； (2)求E点坐标 (用含m的代数式表示)； (3)如图2， 连接，作点O关于的对称点D，连接与轴交于点F． ①求证：当时， 平分； ②试探索三条线段长度之间的数量关系，直接写出结论． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求解； （2）证，即可求解； （3）①作，由，可得，进而可证；②作，则，证，即可求解； 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴． （2）在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）①作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时， 平分． ②，理由如下： 作，则， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查三角形的全等证明及性质、角平分线的性质，能够真确做出辅助线是解题的关键． 4．（22-23八年级上·浙江台州·阶段练习）已知点是平分线上一点，的两边、分别与射线、相交于，两点，且过点作，垂足为． (1)如图，当点在线段上时，求证：； (2)如图，当点在线段的延长线上时，探究线段、与之间的等量关系； (3)如图，在（）的条件下，若，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点作，根据角平分线的性质得到，证明，得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过点作，根据角平分线的性质得到，证明，证明，得到，结合图形解答即可； （3）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的判定定理得到，证明，得到，计算即可． 【详解】（1）证明：如图，过点作，垂足为， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（） ∴； （2）解：，理由如下： 如图，过点作，垂足为， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴（） ∴，， ∵是的平分线，是的平分线， ∴是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，同角的补角相等，垂线定义及同角的余角相等等，关键是依照基础示例引出正确辅助线． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 14.3 角的平分线 题型一 作角平分线 1．（24-25八年级上·广东江门·期中）尺规作图：(不写作法，保留作图痕迹)作的角平分线． 2．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在中，作的平分线交于点D；（不写作法，只保留作图痕迹．） 3．（24-25八年级上·广东广州·期中）已知是的一个外角，． (1)尺规作图，作角平分线．（不写作法，保留痕迹）； (2)求证：． 4．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，中，，，垂足为D． (1)求作的平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；） (2)若的平分线分别交，于，两点，证明：． 题型二 用角平分线的性质定理证明 1．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，平分，且，垂足分别为E，F．求证： (1)， (2)． 2．（24-25八年级上·天津·期中）如图，在中，平分，点是的中点，于点，于点．求证：． 3．（24-25八年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，是的平分线，于点M，N在边上且． (1)求证：． (2)试判断与之间存在的数量关系，并说明理由． 4．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知平分，于点，交的延长线于点F，且，求证：． 5．（24-25八年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，，平分，于点E，点F在上，，求证：． 题型三 用角平分线的性质定理求面积 1．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，已知的周长是，，分别平分和，于点，且，的面积是 ． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，的平分线交于点，若，，，则的面积是 ． 3．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，如果的面积为 ，那么的面积为 ．    4．（22-23八年级上·黑龙江鸡西·期中）如图，是的角平分线，，则的面积是 ． 题型四 用角平分线的性质定理求线段长度 1．（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，在中，为的平分线，于E，于F，的面积是，，，求的长． 2．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，在中，平分，过点作于点，作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 3．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）如图，在中，是它的角平分线．求证． (1)在图1中完成上面的证明过程； (2)在图2中，如果，，， 求的长． 4．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）如图，在，，平分，于点E，点F在上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型五 用角平分线的性质定理求点到直线的距离 1．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图，是的角平分线，若，，则点到的距离是 ． 2．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，以点A为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交于点E、F，再分别以E、F为圆心，大于的同样长为半径作圆弧，两弧交于点P，作射线，交于点D．，那么点D到的距离是 ． 3．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在中，，O是与平分线的交点，则点O到的距离为 ． 4．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）如图，在中，，平分交于点，若，则点到斜边的距离为 ． 题型六 角平分线的判定定理 1．（24-25八年级上·宁夏固原·期中）如图，，M是的中点，平分，求证：平分． 2．（24-25八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，在中，是的中点，于，于点，且．求证：平分． 3．（23-24八年级上·河南安阳·期中）如图，，于点E，交的延长线于点D，且，求证：是的平分线． 4．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）在三角形中，为的中点，，，垂足分别是，，．求证：点在的平分线上． 题型七 角平分线性质的实际应用 1．（22-23八年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路和铁路的距离相等，并且离交叉处，这个集贸市场应建于何处？（在图上标出它的位置，比例尺） 2．（2023·吉林长春·模拟预测）三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修一座油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地方有几处？请在图中画出来，保留作图痕迹，不写画法． 3．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，要在区建一个电子商品批发市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处，这个电子商品批发市场应建于何处（请在图上标出它的位置，保留作图痕迹，比例尺为）． 4．（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）已知：如图公路AE、AF、BC两两相交． 求作：加油站O，使得O到三条公路的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 1．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，在和中，，，若，连接交于点； (1)求证：． (2)求的度数． (3)连接，求证：平分． (4)如图2，是等腰直角三角形，，，，点是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角三角形，连接，若，请直接写出的值． 2．（24-25八年级上·广东汕头·期中）【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，、、的长分别为a、b、c，且满足，点P从A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线匀速运动，设点P运动时间为t秒．则A的坐标为_________，B的坐标为_________． 【数学理解】 （1）如图2，连接，当平分时，求出t的值． 【深入探究】 （2）过P作交直线于D，交y轴于Q，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使与全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 3．（24-25八年级上·河南信阳·期末）【发现问题】（1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，若，求边上的中线的取值范围．小亮在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：如图①，延长到点E，使，连接，得到，他用到的判定定理是__________；（用字母表示），可以求得边上的中线的取值范围是__________． 【解决问题】 （2）小刚发现，解题时，条件中若出现“中点”，“中线”的字样，可以考虑构造全等三角形，要学好数学一定要多思考，做到举一反三，于是他又提出了一个新的问题：如图，当平分时，若，求的值（用含m，n的式子表示）； （3）如图，平分，延长到E，使得，连接，若，求的值． 4．（24-25八年级上·广东中山·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，且，满足． (1)求点，坐标； (2)如图1，以为斜边构造等腰直角，请直接写出点的坐标； (3)如图2，已知等腰直角中，，，点是腰上的一点（不与，重合），连接，过点作，垂足为点． ①若是的角平分线，求证：； ②探究：如图3，连接，当点在线段上运动时（不与，重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值． 1．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）【问题提出】工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法：如图1，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，即．过角尺顶点的射线便是的平分线，已知角尺的夹角． 【初步思考】试说明工人师傅这样做能得到角平分线的道理； 【变式判断】张明同学认为当时，工人师傅就不需要先在边，上分别取，直接移动角尺，使角尺的两边分别与，相交于点，，且满足，如图2所示，便可以得到平分，你觉得张明的观点对吗？并说明理由； 【拓展探究】如图3，，平分，是射线上的一点，点在射线上运动，过点作，与直线交于点，过点作于点.若，，请直接写出的长． 2．（24-25八年级上·山东临沂·期中）综合与实践 【问题情境】 在学习了角平分线的性质后，兴趣小组通过查阅资料得到以下知识： 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形， 如图1，在四边形中，，，这种四边形被称为等补四边形． 【探究实践】 经过交流讨论，李明、王红向同学们分享了自己的发现． （1）如图2，李明发现，连接，则为的角平分线，请你判断他的结论是否正确，并说明理由； （2）如图3，王红发现，在等补四边形中，当，，时，，与之间存在某种数量关系，请写出该关系并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，已知，，，若，，则的长度是_________． 3．（23-24八年级上·江苏泰州·期中） 如图1，在平面直角坐标系中，点 点P为x轴正半轴上一点，直线直线，垂足为C，直线与y轴交于点E，设P点的横坐标为m． (1)求证：； (2)求E点坐标 (用含m的代数式表示)； (3)如图2， 连接，作点O关于的对称点D，连接与轴交于点F． ①求证：当时， 平分； ②试探索三条线段长度之间的数量关系，直接写出结论． 4．（22-23八年级上·浙江台州·阶段练习）已知点是平分线上一点，的两边、分别与射线、相交于，两点，且过点作，垂足为． (1)如图，当点在线段上时，求证：； (2)如图，当点在线段的延长线上时，探究线段、与之间的等量关系； (3)如图，在（）的条件下，若，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点若，，求线段的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$