专题03 基本不等式16种题型归类（压轴题专项训练）数学人教B版2019必修第一册

专题03 基本不等式归类 目录 类型一、均值不等式基础 类型二、“一正二定三相等”条件 类型三、凑配对勾基础型 类型四、“1”的代换基础型 “1”的代换基础思维： 类型五、“1”的代换单分母构造型 类型六、“1”的代换双分母构造型 类型七、“1”的代换：无条件型构造分母 类型八、“1”的代换：和、积混合同除型 类型九、 “1”的代换：和、积与常数混合解不等式型 类型十、 “1”的代换：分母待定系数法构造型 类型十一、 因式分解型 类型十二、反解带入消元型 类型十三、 万能“k”型 类型十四、多元不等式型 类型十五、恒成立求参数型 类型十六、换元型构造均值不等式 压轴专练 类型一、均值不等式基础 重要基础不等式及不等式链： （1）_（）； （2） （）； （3）2（）； （4）__ 或（）； （5） 例1．（24-25高三下·海南·阶段练习）定义二元函数.若实数，，，满足，则的最小值是（   ） A． B． C．1 D．2 变式1-1．（2025高三·北京·专题练习）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D．不存在 变式1-2． ．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 变式1-3． （24-25高一下·广西贵港·期末）的最小值为（   ） A． B． C． D． 类型二、“一正二定三相等”条件 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 例1、（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为2 变式2-1．（多选） （24-25高一下·贵州遵义·期末）若正实数a，b满足，则（   ） A．有最大值 B．有最大值 C．的最小值是 D．的最小值是 变式2-2． （多选）（2025高一上·全国·专题练习）[多选题]下列选项正确的是（   ） A．若，则的最小值是2 B．若，则的最小值为 C．若，则的最大值为 D．若正实数满足，则的最小值为8 变式2-3．（多选）（2025·浙江·三模）已知，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．的最小值为1 C．若，则的最小值为8 D．若恒成立，则的最小值为 类型三、凑配对勾基础型 均值不等式基础型是对勾型。 对勾型结构： ， 容易出问题的地方，在于能否“取等”,如， 对勾添加常数型 对于形如，则把cx+d转化为分母的线性关系：可消去。不必记忆，直接根据结构转化 例3．（20-21高一上·江苏南京·阶段练习）已知x＞2，则函数的最小值是（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 变式3-1． （19-20高一·浙江·期末）若实数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式3-2． （21-22高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）若在处取得最小值，则（    ） A．1 B．3 C． D．4 变式3-3． （21-22高一上·吉林延边·期末）已知，则函数的最小值是（    ） A． B． C．2 D． 类型四、“1”的代换基础型 “1”的代换基础思维： .利用常数代换法。多称之为“1”的代换。 jichu 例4．（2025·河南·三模）若，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式4-1． ．（2025·广东汕头·模拟预测）已知，，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 变式4-2． （24-25高三下·福建龙岩·阶段练习）已知，则 的最大值为（    ） A． B．15 C． D． 变式4-3． （24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知正数x，y满足，则的最小值为（   ） A．36 B．24 C．18 D．12 类型五、“1”的代换单分母构造型 形如pa+b=t，求型，则可以凑配（pa+m）+（b）=t+m，再利用“1”的代换来求解。 其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。 例5．（24-25高三上·四川攀枝花·阶段练习）已知函数 ，若，，且，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 变式5-1．（24-25高一上·江苏·期末）若正数满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 变式5-2． （24-25高一上·浙江温州·期中）已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式5-3． （24-25高一上·山东济宁·期中）已知，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 类型六、“1”的代换双分母构造型 形如a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代换来求解。 其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。 例6．．（24-25高一上·浙江温州·期中）已知x，y均为正实数，且.则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式6-1． （24-25高一上·云南昆明·阶段练习）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式6-2． （24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知，均为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式6-3． （24-25高一上·浙江·期中）若非负数满足，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 类型七、“1”的代换：无条件型构造分母 无条件型构造单变量隐“和” 。形如： 例7．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知实数x满足，则的最小值为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 变式7-1． （24-25高一上·浙江衢州·期中）若，则函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式7-2． （24-25高一上·浙江衢州·期中）若，则函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式7-3． （24-25高一上·浙江衢州·期中）若，则函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 类型八、“1”的代换：和、积混合同除型 “积、和”混合同除型原理： 1.关系：如与，可以通过同除（乘）ab互化。 2.化归：如化为，则复合“1”的代换模型结构。 例8．（24-25高二下·浙江·期中）已知，，且，则的最小值为（   ） A．12 B．9 C．8 D．6 变式8-1． （24-25高一上·广东广州·期中）已知，且，求的最小值为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 变式8-2． （22-23高一上·新疆·阶段练习）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式8-3． （24-25高三上·四川成都·期中）已知，，则的最小值是（    ） A． B． C． D．17 类型九、 “1”的代换：和、积与常数混合解不等式型 “积、和”与常数混合同除型原理： 1.关系：如与，可以通过同除（乘）ab互化。 2.化归：如化为，则复合“1”的代换模型结构。 例9．（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式9-1． （24-25高三上·山东泰安·期末）若，则的最小值为（    ） A．12 B．16 C．20 D．25 变式9-2． （24-25高二下·福建泉州·阶段练习）已知且，则的最小值为（ ）． A． B． C．2 D．4 变式9-3． （2025·云南昆明·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 类型十、 “1”的代换：分母待定系数法构造型 型如 例10．（23-24高二下·山西临汾·期末）已知，，且恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式10-1． （23-24高三上·山东·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式10-2． （23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 变式10-3．（2023·广西·模拟预测）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 类型十一、 因式分解型 因式分解型思维特征： 1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理 2.最常见的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1） 例11．（24-25高一上·广东清远·期末）已知实数，且，则的最小值为（   ） A．16 B．18 C．22 D．26 变式11-1．（2024·吉林长春·模拟预测）设且，则的最小值为 ． 变式11-2． （24-25高一上·吉林长春·期中）已知，，，则的最小值为 . 变式11-3．（2024·广西河池·模拟预测）若实数，且，则的最小值为 . 类型十二、反解带入消元型 条件等式和所求等式之间互化难以实现，可以借助反解代入消元，再重新构造。 当题目中有2个字母时，利用题目的方程将所求式子进行消元是常用方法. 例12．（2021·高一单元测试）若，，且，则 最小值是 ． 变式12-1．（22-23高一上·辽宁葫芦岛·期末）若，为正数，，则的最小值为（    ） A．2 B．7 C．10 D．17 变式12-2．（21-22高一上·浙江杭州·期中）已知正数a和b满足ab+a+2b=7，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式12-3． （2022·贵州遵义·高一期末）负实数、满足，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 类型十三、 万能“k”型 设K法的三个步骤： ⑴、问谁设谁：求谁，谁就是K； ⑵、代入整理：整理成某个变量的一元二次方程（或不等式）； ⑶、确认最值：方程有解（或不等式用均值放缩），≥0确定最值 例13．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知正实数、满足，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 变式13-1． （24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知正实数、满足，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 变式13-2． （24-25高一上·浙江宁波·期中）已知正实数，，满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式13-3． （2023·浙江嘉兴·模拟）已知，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D．10 类型十四、多元不等式型 一般地，处理多元最值问题的思考角度有以下几个： 从元的个数角度，关键在于减元处理，代入消元、整体换元、三角换元等方法； 从元的次数角度，关键在于转化目标函数（代数式），如一次二次比分式型，齐次比型，双勾函数型等等； 从元的组合结构角度，关键在于结构分析，将问题转化为整体元的和、积、差、平方和、倒数和等并列结构的形式，再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等号取到的条件. 例14．（2023高三·江苏·专题练习）已知，且，则的最小值为 . 变式14-1． （24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知，，且，若的最小值为3，则 . 变式14-2． （2024高二下·浙江绍兴·学业考试）已知正数a，b，c满足，，则的最小值为 . 变式14-3． （23-24高一下·安徽安庆·开学考试）已知实数，，满足，则的最大值为 类型十五、恒成立求参数型 例15．（24-25高一上·重庆·阶段练习）若是三个不全相等的实数，且不等式恒成立，则实数t的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式15-1． （24-25高一上·辽宁大连·期中）不等式对所有的正实数，恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．1 变式15-2． （23-24高一上·甘肃兰州·期末）对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值（    ） A．2 B．4 C． D． 变式15-3． （24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 类型十六、换元型构造均值不等式 换元型构造均值不等式： 1.二次配方型，可以三角换元 2.和前边分母构造换元型一样，可以代数换元， 3.齐次分式同除型，可以代数换元， 例16．（22-23高三上·江西南昌·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 变式16-1． （24-25高一上·江苏扬州·期中）已知，则的最大值为（      ） A． B． C． D． 变式16-2． （24-25高三上·江苏苏州·期中）已知实数，则的最小值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 变式16-3．（23-24高三上·四川巴中·开学考试）已知且，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 压轴专练 一、单选题 1．（24-25高一下·河南平顶山·期末）已知正实数a，b满足，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 2．（24-25高一下·安徽亳州·期末）已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A．4 B． C．2 D．1 3．（山东省日照市2024-2025学年高二下学期期末校际联合考试数学试卷）已知实数，满足，且，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 4．（河北省保定市高中2024-2025学年高二下学期7月期末调研考试数学试题）已知，且，则的最小值为（    ） A．8 B． C． D． 5．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知且，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D．6 6．（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知，，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·山东济宁·阶段练习）已知，且，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．（24-25高二下·重庆·期末）已知，，，且，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 二、多选题 9．（山东省临沂市2024-2025学年高二下学期期末学科素养水平检测考试数学试题）若，则（    ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 10．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知，则下列不等式正确的是（   ） A． B．若，则 C． D．若，则 11．（24-25高一下·四川眉山·期末）下列说法中正确的为（    ） A．已知，则“”是“”的必要不充分条件 B．若，则的最小值为2 C．若正实数满足，则的最小值为 D．若，且，则的最大值为7 三、填空题 12．（24-25高二下·天津·期末）勾股定理是初等几何中最精彩、最著名的定理之一，是几何学的明珠，它不仅揭示了直角三角形三边之间的数量关系，而且体现了“数形统一”的思想，对我们解决直角三角形类问题的帮助很大．如果一个直角三角形的周长等于，则该三角形面积的最大值为 ． 13．（24-25高二下·北京·期末）已知，，，若，，则的最小值是 . 14．（山东省日照市2024-2025学年高二下学期期末校际联合考试数学试卷）定义域为的偶函数在上单调递减，且，若关于的不等式的解集为，则的最小值为 . 结束 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 基本不等式归类 目录 类型一、均值不等式基础 类型二、“一正二定三相等”条件 类型三、凑配对勾基础型 类型四、“1”的代换基础型 “1”的代换基础思维： 类型五、“1”的代换单分母构造型 类型六、“1”的代换双分母构造型 类型七、“1”的代换：无条件型构造分母 类型八、“1”的代换：和、积混合同除型 类型九、 “1”的代换：和、积与常数混合解不等式型 类型十、 “1”的代换：分母待定系数法构造型 类型十一、 因式分解型 类型十二、反解带入消元型 类型十三、 万能“k”型 类型十四、多元不等式型 类型十五、恒成立求参数型 类型十六、换元型构造均值不等式 压轴专练 类型一、均值不等式基础 重要基础不等式及不等式链： （1）_（）； （2） （）； （3）2（）； （4）__ 或（）； （5） 例1．（24-25高三下·海南·阶段练习）定义二元函数.若实数，，，满足，则的最小值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合基本不等式，配方法求出最小值. 【详解】二元函数，则 ，当且仅当时取等号， 故选：B 变式1-1．（2025高三·北京·专题练习）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】根据基本不等式，可得答案. 【详解】由于，则， 故， 当且仅当，即时取等号， 即的最小值为. 故选：A. 变式1-2． ．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 变式1-3． （24-25高一下·广西贵港·期末）的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式，可得答案. 【详解】由题意得，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为． 故选：D. 类型二、“一正二定三相等”条件 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 例1、（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最大值为 C．的最小值为2 D．的最小值为2 【答案】C 【详解】当时，，当且仅当，即时，等号成立；当时，，当且仅当，即时，等号成立.故A，B错误.对任意，，当且仅当，即时，也即时，等号成立，所以的最小值为2，故C正确.，当且仅当，即时，等号成立，但是，等号不成立，故D错误. 变式2-1．（多选） （24-25高一下·贵州遵义·期末）若正实数a，b满足，则（   ） A．有最大值 B．有最大值 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式可对A项判断求解；利用再结合A项即可对B项判断求解；利用单位“1”可对C项求解判断；D项通过化简可得，再结合单位“1”的应用可得，即可对D项判断求解. 【详解】A：由题意得，则，当且仅当时取等号，故A项错误； B：由，则，当且仅当时取等号，故B项正确； C：由，当且仅当，即时取等号，故C项正确； D：由，则， 则， 当且仅当时，即时取等号，此时，故D项正确. 故选：BCD. 变式2-2． （多选）（2025高一上·全国·专题练习）[多选题]下列选项正确的是（   ） A．若，则的最小值是2 B．若，则的最小值为 C．若，则的最大值为 D．若正实数满足，则的最小值为8 【答案】CD 【详解】令，则，所以又，当且仅当，即时取等号，而不满足错误；因为，当且公当，即时取等号，故的最大值为错误；若，则，当且仅当，即时取等号，此时取得最大值，C正确；因为正实数满足，所以，当且仅当且，即时取等号，此时的最小值为8，D正确． 故选：CD. 变式2-3．（多选）（2025·浙江·三模）已知，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．的最小值为1 C．若，则的最小值为8 D．若恒成立，则的最小值为 【答案】AC 【分析】利用基本不等式求解A，利用基本不等式的取等条件判断B，利用基本不等式结合“1”的代换判断C，先分离参数，再对平方后利用换元法和判别式法求解最值，得到的最小值判断D即可. 【详解】对于A，，当且仅当时取等号， 即，得到，解得．故A正确； 对于B，， 当且仅当，即时取等号，显然的值不存在，故B错误； 对于C，因为，所以，由基本不等式得， 当且仅当时取等，此时解得，则的最小值为8，故C正确， 对于D，因为恒成立，且，， 所以恒成立，而 ，令，则可化为， 令，则，化简得， 而该一元二次方程一定有实数根，得到， 解得，当时，，故，故即， 得到，则的最小值为，故D错误.故选：AC 类型三、凑配对勾基础型 均值不等式基础型是对勾型。 对勾型结构： ， 容易出问题的地方，在于能否“取等”,如， 对勾添加常数型 对于形如，则把cx+d转化为分母的线性关系：可消去。不必记忆，直接根据结构转化 例3．（20-21高一上·江苏南京·阶段练习）已知x＞2，则函数的最小值是（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【解析】由，根据基本不等式求最小值． 【详解】 当且仅当时，取等号 . 故选：D 【点睛】本题考查用基本不等式求最值，掌握基本不等式求最值的条件：一正二定三相等是解题关键．属于基础题. 变式3-1． （19-20高一·浙江·期末）若实数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将原式变形为，然后利用基本不等式求解出的最小值. 【详解】因为， 取等号时且，即，所以的最小值为， 故选：B. 变式3-2． （21-22高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）若在处取得最小值，则（    ） A．1 B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】结合基本不等式求得正确答案. 【详解】依题意， ， 当且仅当时等号成立. 故选：B 变式3-3． （21-22高一上·吉林延边·期末）已知，则函数的最小值是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】应用基本不等式求函数的最小值，注意等号成立的条件. 【详解】由题设，， ∴，当且仅当时等号成立， ∴函数最小值为. 故选：D. 类型四、“1”的代换基础型 “1”的代换基础思维： .利用常数代换法。多称之为“1”的代换。 jichu 例4．（2025·河南·三模）若，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“1”的代换，结合基本不等式求出的最小值，即可得出答案. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当，，，即，时等号成立， 所以的最大值为． 故选：A. 变式4-1． ．（2025·广东汕头·模拟预测）已知，，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为，，， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：C 变式4-2． （24-25高三下·福建龙岩·阶段练习）已知，则 的最大值为（    ） A． B．15 C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可求解. 【详解】 ,, 当即当时取得等号，所以， 故选：C. 变式4-3． （24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知正数x，y满足，则的最小值为（   ） A．36 B．24 C．18 D．12 【答案】B 【分析】利用“1”的代换，根据基本不等式求解即得. 【详解】因，，则， 当且仅当，即，时，等号成立．故选：B 类型五、“1”的代换单分母构造型 形如pa+b=t，求型，则可以凑配（pa+m）+（b）=t+m，再利用“1”的代换来求解。 其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。 例5．（24-25高三上·四川攀枝花·阶段练习）已知函数 ，若，，且，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】先根据函数的解析式判断得出函数的奇偶性以及单调性，进而根据函数的性质，列出方程推得，然后根据“1”的代换，结合基本不等式，求解即可得出答案． 【详解】，定义域关于原点对称， ，所以为奇函数， 且为单调递增函数，所以， 所以，可得，即， 又，，所以 ，当且仅当即等号成立. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是根据函数的奇偶性、单调性得出. 变式5-1．（24-25高一上·江苏·期末）若正数满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正数满足，则， 因此，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值.故选：B 变式5-2． （24-25高一上·浙江温州·期中）已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据，展开根据基本不等式求解即可. 【详解】由题意， ，当且仅当，即时取等号.故选：B 变式5-3． （24-25高一上·山东济宁·期中）已知，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】， ， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为4.故选：D 类型六、“1”的代换双分母构造型 形如a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代换来求解。 其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。 例6．．（24-25高一上·浙江温州·期中）已知x，y均为正实数，且.则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用换元法化简题目中的代数式，结合基本不等式“1”的妙用，可得答案. 【详解】令，可得，由，，则，， ， 当且仅当，即时，等号成立.故选：A. 变式6-1． （24-25高一上·云南昆明·阶段练习）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式“1”的妙用，结合二次不等式恒成立的解法即可得解. 【详解】因为，且，则，所以， 所以 ， 当且仅当时，即当，时，取得最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是.故选：A. 变式6-2． （24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知，均为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件化为，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，均为正实数，，均为正实数，且， 则， 整理得：，因为，， 所以， 即，当且仅当时，即时，等号成立.故选：C 变式6-3． （24-25高一上·浙江·期中）若非负数满足，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为为非负数，所以，， 所以 ，当且仅当，即，时取等号. 故选：B 类型七、“1”的代换：无条件型构造分母 无条件型构造单变量隐“和” 。形如： 例7．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知实数x满足，则的最小值为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 【答案】C 【分析】利用，结合基本不等式求和的最小值. 【详解】因为，所以，所以 ，当且仅当，即时取等号. 故选：C 变式7-1． （24-25高一上·浙江衢州·期中）若，则函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】若，则，则，，且， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立. 因此，当时，函数的最小值为.故选：B. 变式7-2． （24-25高一上·浙江衢州·期中）若，则函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】若，则，则，， 且， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立. 因此，当时，函数的最小值为. 故选：B. 变式7-3． （24-25高一上·浙江衢州·期中）若，则函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】若，则，则，，且， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立. 因此，当时，函数的最小值为.故选：B. 类型八、“1”的代换：和、积混合同除型 “积、和”混合同除型原理： 1.关系：如与，可以通过同除（乘）ab互化。 2.化归：如化为，则复合“1”的代换模型结构。 例8．（24-25高二下·浙江·期中）已知，，且，则的最小值为（   ） A．12 B．9 C．8 D．6 【答案】C 【分析】将变形为，再借助乘“1”法，利用基本不等式，即可求出的最小值. 【详解】因为，，，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8.故选：C 变式8-1． （24-25高一上·广东广州·期中）已知，且，求的最小值为（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【分析】构造，结合基本不等式可求最小值. 【详解】因为，且，所以， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立；因此，的最小值为.故选：B 变式8-2． （22-23高一上·新疆·阶段练习）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式“1”的代换求解的最小值，然后利用恒成立法则转化为，解一元二次不等式即可得解. 【详解】因为，，，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以由恒成立，得，所以.故选：D. 变式8-3． （24-25高三上·四川成都·期中）已知，，则的最小值是（    ） A． B． C． D．17 【答案】B 【分析】方法一：由，利用基本不等式结合“”的妙用即可求解； 方法二：由，则，再结合基本不等式即可求解. 【详解】方法一：， 则， 当且仅当，即，时取等号. 方法二：，则 ， 当且仅当，即，时取等号.故选：B. 类型九、 “1”的代换：和、积与常数混合解不等式型 “积、和”与常数混合同除型原理： 1.关系：如与，可以通过同除（乘）ab互化。 2.化归：如化为，则复合“1”的代换模型结构。 例9．（24-25高一下·湖南长沙·期末）已知，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】将拼凑成，再结合基本不等式即可求解. 【详解】原式变形可得，由得， 所以， 当且仅当即时取等号；所以.故选：C 变式9-1． （24-25高三上·山东泰安·期末）若，则的最小值为（    ） A．12 B．16 C．20 D．25 【答案】C 【分析】由，代入,求解一元二次不等式即可； 【详解】，当且仅当时取等号， 即，即，因为， 所以，所以的最小值为20，故选：C 变式9-2． （24-25高二下·福建泉州·阶段练习）已知且，则的最小值为（ ）． A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】先由已知等式得到，再由基本不等式求解可得. 【详解】已知，且，，其中, ， 当且仅当时取等号.故选：B 变式9-3． （2025·云南昆明·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】利用基本不等式转化为一元二次不等式即可求解． 【详解】由题意可知，当时等号成立，即， 令，则解得或舍 即，当且仅当时，等号成立．故选：C. 类型十、 “1”的代换：分母待定系数法构造型 型如 例10．（23-24高二下·山西临汾·期末）已知，，且恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用“1”的代换求得的最小值，再由求解. 【详解】解：设， 则，解得，则，，， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为2， 又因为对，，且恒成立，所以，故选：B 变式10-1． （23-24高三上·山东·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先得出，再根据基本不等式“1”的妙用求得结果. 【详解】设，则且，解得. 所以，因为，所以， 当时取等号，即且，解得.故选：B. 变式10-2． （23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式求最值即可. 【详解】因为，所以， 则． 因为， 所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值是． 故选：A. 变式10-3．（2023·广西·模拟预测）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出. 【详解】解：依题意，， 故，当且仅当时等号成立.故选:A. 类型十一、 因式分解型 因式分解型思维特征： 1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理 2.最常见的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1） 例11．（24-25高一上·广东清远·期末）已知实数，且，则的最小值为（   ） A．16 B．18 C．22 D．26 【答案】C 【分析】变形得到，，由基本不等式求出最小值. 【详解】因为，所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立，此时的最小值为22．故选：C 变式11-1．（2024·吉林长春·模拟预测）设且，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据已知条件得出，再应用基本不等式求出最小值即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．故答案为：. 变式11-2． （24-25高一上·吉林长春·期中）已知，，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，变形等式得，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，而，， 因此， 当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值.故答案为： 变式11-3．（2024·广西河池·模拟预测）若实数，且，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】根据，将化简可得，再根据基本不等式“1”的巧用求解最值即可. 【详解】由可得， 因为，所以，即，则， 则， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.故答案为：. 类型十二、反解带入消元型 条件等式和所求等式之间互化难以实现，可以借助反解代入消元，再重新构造。 当题目中有2个字母时，利用题目的方程将所求式子进行消元是常用方法. 例12．（2021·高一单元测试）若，，且，则 最小值是 ． 【答案】13 【分析】由题得 ，进而，结合基本不等式求解即可 【详解】由题得 ，故 又，当且仅当x=8,y=5,等号成立 故答案为13 【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查换元思想，准确计算变形是关键，是中档题 变式12-1．（22-23高一上·辽宁葫芦岛·期末）若，为正数，，则的最小值为（    ） A．2 B．7 C．10 D．17 【答案】B 【分析】先根据已知条件用表示出，再将待求式子化为表示的形式，最后利用基本不等式求解出最小值. 【详解】因为，所以，所以， 因为，，所以，所以， 取等号时即.故选：B. 【点睛】本题考查利用基本不等式求解最值，对于转化与计算的能力要求较高，难度一般.利用基本不等式求解最值的时候，注意取等号的条件. 变式12-2．（21-22高一上·浙江杭州·期中）已知正数a和b满足ab+a+2b=7，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用，代入所求式子，根据均值不等式求最值即可. 【详解】因为ab+a+2b=7， 所以，， 所以， 当且仅当时等号成立，故选：A 变式12-3． （2022·贵州遵义·高一期末）负实数、满足，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得，再利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为负实数、满足，则，可得， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立. 故的最小值为.故选：A. 类型十三、 万能“k”型 设K法的三个步骤： ⑴、问谁设谁：求谁，谁就是K； ⑵、代入整理：整理成某个变量的一元二次方程（或不等式）； ⑶、确认最值：方程有解（或不等式用均值放缩），≥0确定最值 例13．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知正实数、满足，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】在等式的两边同乘以，结合基本不等式可得出关于的二次不等式，即可解得的最小值. 【详解】因为正实数满足， 等式两边同乘以可得，所以， 因为，解得，当且仅当 时，等号成立. 因此，的最小值为.故选：A. 变式13-1． （24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）已知正实数、满足，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】在等式的两边同乘以，结合基本不等式可得出关于的二次不等式，即可解得的最小值. 【详解】因为正实数满足， 等式两边同乘以可得，所以， 因为，解得，当且仅当 时，等号成立. 因此，的最小值为.故选：A. 变式13-2． （24-25高一上·浙江宁波·期中）已知正实数，，满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，由，得到，再利用不等式和一元二次不等式的解法求解. 【详解】解：因为， 所以，即， 因为，则，解得，当且仅当，即或时，等号成立，所以的取值范围为，故选：C 变式13-3． （2023·浙江嘉兴·模拟）已知，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D．10 【答案】B 【分析】首先对题中所给的式子进行变形为，利用基本不等式求得最小值，将问题转化为，解不等式求得结果. 【详解】由，得， 则， 当且仅当，即时等号成立，令，则，解得（舍去）或， 则，当且仅当，时等号成立，即的最小值为9.故选：B. 类型十四、多元不等式型 一般地，处理多元最值问题的思考角度有以下几个： 从元的个数角度，关键在于减元处理，代入消元、整体换元、三角换元等方法； 从元的次数角度，关键在于转化目标函数（代数式），如一次二次比分式型，齐次比型，双勾函数型等等； 从元的组合结构角度，关键在于结构分析，将问题转化为整体元的和、积、差、平方和、倒数和等并列结构的形式，再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等号取到的条件. 例14．（2023高三·江苏·专题练习）已知，且，则的最小值为 . 【答案】 【解析】先利用把化成，利用基本不等式可求的最小值，再根据不等式的性质把目标代数式放缩为与有关的代数式，再利用基本不等式可求题设中目标代数式的最小值. 【详解】因为，， 所以， 当且仅当时等号成立． 又因为，由不等式的性质可得 . 又因为，当且仅当时等号成立． 所以的最小值为.故答案为：. 【点睛】本题考查多元代数式的最值，处理这类问题的基本策略是降元处理，降元时要结合目标代数式的结构特点，找出能整体处理的部分，本题属于难题. 变式14-1． （24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知，，且，若的最小值为3，则 . 【答案】8 【分析】根据题意整理可得，利用基本不等式可得，结合题意可得，运算求解即可. 【详解】因为，则， 又因为 ， 当且仅当，即时，等号成立. 即，由题意可知：，解得.故答案为：8. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是根据整理可得，结合基本不等式运算求解即可. 变式14-2． （2024高二下·浙江绍兴·学业考试）已知正数a，b，c满足，，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】使用不等式将放缩，使用“1”的代换及基本不等式求得目标最小值. 【详解】由题意知，当时取等号， 故 ，当时取等号， 综上，当时，的最小值为2.故答案为：2 【点睛】关键点点睛：本题求最小值关键是第一步用放缩法将放掉，第二步是将中的2代换为，将整式处理为，再用“1”的代换求最小值. 变式14-3． （23-24高一下·安徽安庆·开学考试）已知实数，，满足，则的最大值为 【答案】 【分析】设，则利用基本不等式计算可得. 【详解】设，因为， 所以， 令，解得或（舍去）， 因此，即，当且时取等号， 故的最大值为.故答案为： 类型十五、恒成立求参数型 例15．（24-25高一上·重庆·阶段练习）若是三个不全相等的实数，且不等式恒成立，则实数t的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，令，可得，故，则求得t的范围，即可求得t的最小值. 【详解】设，， 因为，， 所以，等号成立的条件是． 令，解得，所以， 即，所以，故选：A 变式15-1． （24-25高一上·辽宁大连·期中）不等式对所有的正实数，恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】D 【分析】由题意可得 ，令，则有，，结合基本不等式求得，于是有，从而得答案. 【详解】因为,为正数，所以， 所以，则有，令，则， 所以，当且仅当时，等号成立，所以，则， 又，所以，即，所以的最小值为， 所以，即的最大值为.故选：D. 变式15-2． （23-24高一上·甘肃兰州·期末）对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】首先不等式变形为恒成立，再利用两次基本不等式求的最小值，即可求解的取值. 【详解】不等式恒成立，可转化为恒成立，其中， 令，，，第二次使用基本不等式，等号成立的条件是且， 得且，此时第一次使用基本不等式，说明两次基本不等式能同时取得，所以的最小值为，即，则，所以实数的最大值为.故选：D 变式15-3． （24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变换得到，计算得到答案. 【详解】不等式恒成，即， ， 当且仅当，即时等号成立，故.故选：. 类型十六、换元型构造均值不等式 换元型构造均值不等式： 1.二次配方型，可以三角换元 2.和前边分母构造换元型一样，可以代数换元， 3.齐次分式同除型，可以代数换元， 例16．（22-23高三上·江西南昌·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式“1”的妙用及换元法即可求得结果. 【详解】， 令，，则，， ， 当且仅当且，即，时，等号成立， 所以，故有最小值.故选：D. 变式16-1． （24-25高一上·江苏扬州·期中）已知，则的最大值为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用换元法将分式变形为整式，进而得，再根据基本不等式求最值即可. 【详解】令，，则，，所以，则， 又，，所以， 因为， 当且仅当时，等号成立，此时，； 所以，当且仅当，时，等号成立；故选：B. 变式16-2． （24-25高三上·江苏苏州·期中）已知实数，则的最小值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【分析】将看成一个整体，然后利用换元法结合基本不等式求解即可. 【详解】设，，故， ， 当且仅当，即时，等号成立.故选：B 变式16-3．（23-24高三上·四川巴中·开学考试）已知且，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】令，结合可得，由此即得，展开后利用基本不等式即可求得答案. 【详解】由题意得，，令，则， 由得， 故， 当且仅当，结合，即时取等号， 也即，即时，等号成立，故的最小值为9，故选：B 压轴专练 一、单选题 1．（24-25高一下·河南平顶山·期末）已知正实数a，b满足，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】利用基本不等式结合“1”的妙用，即可得到答案. 【详解】因为是正实数，则， 当且仅当即，时取得等号．故选：A． 2．（24-25高一下·安徽亳州·期末）已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】由题意可知：，m是方程的两根，利用韦达定理可得，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】由题意可知：，m是方程的两根，且， 则，可得，，则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2.故选：C. 3．（山东省日照市2024-2025学年高二下学期期末校际联合考试数学试卷）已知实数，满足，且，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】先将配凑为；再根据得出，，利用基本不等式可求解. 【详解】由可得：. 因为， 所以，， 则，当且仅当，即时等号成立. 故选：B. 4．（河北省保定市高中2024-2025学年高二下学期7月期末调研考试数学试题）已知，且，则的最小值为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】化简式子，然后使用基本不等式计算. 【详解】由，且， 所以， ， 当且仅当，即，时取等号， 所以，所以的最小值为. 故选：D 5．（24-25高一下·湖南岳阳·期末）已知且，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】法一：由得，可得，进而结合基本不等式求解即可； 法二：由得，由，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】已知，且， 法一：由得，则 ， 当且仅当时取等号，则的最小值为； 法二：由得， 则， 当且仅当，即，时取等号， 则的最小值为．故选：B. 6．（24-25高二下·河北保定·阶段练习）已知，，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合条件可得 ，展开等式右侧，结合基本不等式求其最小值即可. 【详解】因为 ，所以 ， 所以 ， 所以 ， 又 ，当且仅当 时等号成立， ，当且仅当 时等号成立， ，当且仅当 时等号成立， 三个等号可同时成立，所以 ， 当且仅当 时等号成立， 所以 的最小值为 ， 故选：A. 7．（24-25高二下·山东济宁·阶段练习）已知，且，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据题意，化简得到，利用基本不等式，求得，得到，得到，令，得到，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由，可得， 因为，两边同除，可得，即， 又因为，可得，所以，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以，所以， 令，其中，则，即，解得或（舍去）， 所以，即的最小值为，此时，.故选：A. 8．（24-25高二下·重庆·期末）已知，，，且，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式可得，再次利用基本不等式即可求解. 【详解】由于，故， ，当且仅当时，取等号， ，当且仅当时，原式取得最小值，故选：D. 二、多选题 9．（山东省临沂市2024-2025学年高二下学期期末学科素养水平检测考试数学试题）若，则（    ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】运用基本不等式、换元法逐一判断即可. 【详解】因为，所以有. A：因为，， 所以，当且仅当时，取等号， 即当时，取等号，故本选项结论正确； B：因为，， 所以有，当且仅当时，取等号， 即当时，取等号，故本选项结论正确； C：因为，，所以 ， 即，当且仅当时取等号，即当且仅当时取等号，故本选项结论不正确； D：令，所以且， 于是， ， 即，当且仅当时取等号，即时取等号， 因此，即时取等号，所以本选项结论正确， 故选：ABD 10．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）已知，则下列不等式正确的是（   ） A． B．若，则 C． D．若，则 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式证明求解判断各选项. 【详解】， 对A，因为，当且仅当时等号成立， 所以， 即，A正确； 对B，，当且仅当时取等号，因此最小值是36，B错； 对C，由三元均值不等式知C正确； 对D， ，当且仅当时取等号， 所以，D正确， 故选：ACD. 11．（24-25高一下·四川眉山·期末）下列说法中正确的为（    ） A．已知，则“”是“”的必要不充分条件 B．若，则的最小值为2 C．若正实数满足，则的最小值为 D．若，且，则的最大值为7 【答案】ACD 【分析】对于A，根据必要不充分判定可判断；对于B，根据基本不等式可判断，取“=”，但此时无解，可判断；对于C，将转化为已知条件，根据基本不等式即可判断；对于D，设，，解出，将使用的表达式表示出来，再利用基本不等式即可判断. 【详解】对于A选项，中，，中，所以可以推出， 但不能推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确； 对于B选项，，当且仅当时取“=”，但此时无解，故B错误； 对于C选项，因为，所以 则， 当且仅当时，即时，取“=”，故C正确； 对于D选项，设，，则，且， 则， 其中， 当且仅当时，等号成立，故，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（24-25高二下·天津·期末）勾股定理是初等几何中最精彩、最著名的定理之一，是几何学的明珠，它不仅揭示了直角三角形三边之间的数量关系，而且体现了“数形统一”的思想，对我们解决直角三角形类问题的帮助很大．如果一个直角三角形的周长等于，则该三角形面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】设直角三角形的两直角边长分别为，得到，利用基本不等式，求得，进而求得面积的最大值. 【详解】设直角三角形的两直角边长分别为，则斜边长为， 因为直角三角形的周长为，所以， 由，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 所以，即三角形面积的最大值为. 故答案为：. 13．（24-25高二下·北京·期末）已知，，，若，，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为，，，且，， 故， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：. 14．（山东省日照市2024-2025学年高二下学期期末校际联合考试数学试卷）定义域为的偶函数在上单调递减，且，若关于的不等式的解集为，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由为偶函数可得，转化题设不等式为，结合单调性分析易得的解集为，的解集为，再结合题意可得3为方程的根，进而得到，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】因为为偶函数，所以，则， 由， 得， 又因为函数在上单调递减，且， 则函数在上单调递增， 则时，，当时，， 则当时，， 当时，， 所以的解集为，的解集为， 由于不等式的解集为， 当时，不等式为， 此时解集为，不符合题意； 当时，不等式解集为， 不等式解集为， 要使不等式的解集为， 则，即； 当时，不等式解集为， 不等式解集为， 此时不等式的解集不为； 综上所述，， 则， 当且仅当，即，时等号成立， 即的最小值为. 故答案为：. 结束 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$