专题11.4 因式分解（高效培优讲义）数学华东师大版2024八年级上册

专题11.4 因式分解 1.因式分解的概念（重点） 2.提公因式法和公式法的运用（重点） 3.准确确定公因式（难点） 4.灵活运用公式法分解因式（难点） 5.确保因式分解彻底（难点） 6.综合运用多种方法进行因式分解（难点） 因式分解 1.定义 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式 2.整式乘法与因式分解的关系 (1)整式乘法与因式分解一个是积化和差，另一个是和差化积，是互逆的变形 (2)可以利用整式乘法检验因式分解的结果的正确性 1.因式分解的对象是多项式，结果是整式的积 2.因式分解是恒等变形 3.因式分解必须分解到每个因式不能再分解为止. 公因式 1．定义 多项式 中的每一项都含有一个相同的因式 ，我们称之为公因式． 2．公因式的确定 （1）确定公因式的系数：若多项式中各项系数都是整数，则取各项系数的最大公因数． （2）确定字母及字母的指数：取各项都含有的相同字母作为公因式中的字母，各相同字母的指数取其中的最低指数． （3）若多项式各项中含有相同的多项式因式，则应将其看成一个整体，不要拆开，作为公因式中的因式．如 的公因式是 1.公因式必须是多项式中每一项都含有的因式. 2.公因式可以是具体的数，也可以是含字母的单项式或多项式. 3.若多项式各项中含有互为相反数的因式，则可将互为相反数的因式统一成相同的因式. 提公因式法 1．定义 把公因式提出来，多项式 就可以分解成两个因式 和 的乘积了，像这种因式分解的方法，叫做提公因式法． 用字母表示为 ． 2．提公因式法的一般步骤 （1）找出公因式，就是找出各项都含有的因式； （2）确定另一个因式，另一个因式即多项式除以公因式所得的商； （3）写成积的形式． 1.提公因式法实质上是逆用乘法的分配律 2.提公因式法就是把一个多项式分解成两个因式的积的形式，其中的一个因式是各项的公因式，另一个因式是多项式除以这个公因式所得的商 用平方差公式分解因式 1．平方差公式 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．即： ． 2．平方差公式的特点 （1）等号的左边是一个二项式，各项都是平方的形式且符号相反； （2）等号的右边是两个二项式的积，其中一个二项式是两个数的和，另一个二项式是这两个数的差． 3.运用平方差公式分解因式的步骤 一判:根据平方差公式的特点，判断是否为平方差，若负平方项在前面，则利用加法的交换律把负平方项放在后面; 二定:确定公式中的a和b，除a和b是单独一个数或单独一个字母外，其余不管是单项式还是多项式都必须用括号括起来，表示一个整体； 三套:套用平方差公式进行分解； 四整理:将每个因式去括号，合并同类项化成最简的形式. 1.因式分解中的平方差公式是乘法公式中的平方差公式逆用的形式 2.乘法公式中的平方差公式指的是符合两数和与这两数差的积的条件后，结果写成乎方差形式:而因式分解中的平方差公式指的是能写成平方差形式的多项式，可以分解成两个数的和乘以这两个数的差 用完全平方公式分解因式 1．完全平方公式 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和（或差）的平方． 即： ． 2．完全平方公式的特点 等号左边是一个完全平方式，右边是这两个数的和（或差）的平方． 3.因式分解的一般步骤 (1)当多项式有公因式时，先提取公因式，当多项式没有公因式时(或提取公因式后)，若符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解因式 (2)当不能直接提取公因式或不能用公式法分解因式时，可根据多项式的特点，把其变形为能提取公因式或能用公式法的形式，再分解因式 (3)当乘积中每一个因式都不能再分解时，因式分解就结束了 1.因式分解中的完全平方公式是整式乘法中的两数和(差)的平方公式的逆用 2.结果是和的乎方还是差的平方由乘积项的符号确定，也可以是“_”，但两个平方项乘积项的符号可以是“+”的符号必须相同，否则就不是完全平方式，不能用完全平方公式进行因式分解。 题型一、判断是否是因式分解 例1（24-25八年级上·甘肃天水·期中）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 1-1（24-25八年级上·甘肃天水·期中）下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是（    ） A． B． C． D． 1-2下列等式，由左边到右边的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 题型二、已知因式分解的结果求参数 例2若和是的因式，则为（    ） A． B． C．7 D．3 2-1若二次三项式可分解为，则m的值为 ． 2-2若是多项式因式分解的结果，则的值是（    ） A．2 B． C．8 D． 题型三、公因式 例3多项式与多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 3-1与的公因式是 ． 3-2写出一个公因式为的多项式： ．（写一个即可） 3-3多项式和的公因式是 ． 题型四、提公因式法分解因式 例4（24-25八年级上·山东烟台·期中）把多项式分解因式，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 4-1分解因式： ． 4-2（24-25八年级上·江西宜春·期中）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 题型五、平方差公式分解因式 例5（24-25八年级上·甘肃天水·期中）已知则 ． 5-1（24-25八年级上·山西朔州·期末）在下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 5-2（2025·江苏苏州·中考真题）因式分解： ． 5-3（24-25八年级上·吉林·期末）分解因式： ． 5-4 （24-25八年级上·河南新乡·期中）已知能被到之间的两个整数整除，则这两个整数的和是 ． 题型六、完全平方公式分解因式 例6（24-25八年级上·广东肇庆·期末）计算（    ） A． B． C． D． 6-1观察图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是（       ） A． B． C． D． 6-2分解因式： ． 6-3（23-24八年级上·福建厦门·期末）分解因式： ，计算： ． 6-4（23-24八年级上·四川成都·期末）若，则代数式的值的平方根为 ． 题型七、综合运用公式法分解因式 例7已知，则的值为（　　） A．36 B．25 C．5 D．无法确定 7-1分解因式： (1) ； (2)； (3)． 7-2因式分解： (1)； (2)． 题型八、综合提公因式和公式法分解因式 例8（24-25八年级上·广东江门·期中）分解因式： 8-1（24-25八年级上·广东江门·期中）分解因式： ． 8-2因式分解： ． 8-3（24-25八年级上·云南文山·期末）分解因式： ． 8-4（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）分解因式：． 题型九、实数范围内分解因式 例9下列各式在实数范围内，不能进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 9-1（24-25八年级上·上海·期中）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 9-2因式分解： ． 题型十、因式分解在有理数简算中的应用 例10（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）计算 (1) (2) 10-1（23-24八年级上·山东东营·阶段练习）因式分解： (1)； (2)； (3)利用因式分解进行简便计算：． 10-2（23-24八年级上·陕西安康·阶段练习）利用乘法公式计算：． 题型十一、因式分解的应用 例11（24-25八年级上·河南南阳·期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项，因式分解的结果是，若取，则各个因式的值是：，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码．那么对于多项式，取时，用上述方法产生的密码是 （写出一个即可）． 11-1（24-25八年级上·山东日照·期末）在中，若三边长a，b，c满足，，则边长c为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 11-2（24-25八年级上·山东淄博·期末）已知的三边，，满足，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 11-3（24-25八年级上·广西防城港·期末）如图，把，两个电阻串联起来，线路上的电流为I，电压为U，则．当，，时，U的值为 ． 11-4（23-24八年级上·福建福州·阶段练习）已知的三边长分别为，，，且满足，试判断的形状，并证明你的结论． 易错点 分解不彻底，未分解到不能再分解为止 例 因式分解：（x2+y2）2﹣4x2y2= 【答案】（x-y）2（x+y）2 【分析】根据平方差公式和完全平方公式因式分解即可； 【详解】原式， ； 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了利用公式法进行因式分解，准确分析化简是解题的关键． 1．若多项式能直接用完全平方公式进行因式分解，则“”所代表的单项式不可以是（   ） A． B． C． D． 2．下列因式分解最后结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列分解因式正确的是（） A． B． C． D． 4．若，则的值为（　　） A．8 B． C．12 D． 5．将几个图形拼成一个新图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图1可得等式．将若干张图2所示的卡片进行拼图，可以将二次三项式分解因式为（    ） A． B． C． D． 6．分解因式： ． 7．在实数范围内因式分解： ． 8．已知a、b、c满足，，则 ． 9．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码是： （写出一个即可）． 10．如果一个三位数的十位数字等于它的百位和个位数字的和，那么称这个三位数为“和好数”，如：三位数352，∵，∴352是“和好数”，把一个和好数的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为，把的百位数字与个位数字之和的7倍记为，则的值为 ；若三位数是“和好数”，且是完全平方数，则所有符合条件的的最大值为 ． 11．分解因式： (1) (2) (3) 12．（1）计算：； （2）因式分解：． 13．分解因式，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生新的公因式，然后提取公因式就可以完成因式分解了，过程如下． ． 上述分解因式的方法叫做分组分解法，请利用这种方法，解答下列问题． (1)分解因式：． (2)分解因式： (3)的三边a，b，c满足，判断的形状，并说明理由． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11.4 因式分解 1.因式分解的概念（重点） 2.提公因式法和公式法的运用（重点） 3.准确确定公因式（难点） 4.灵活运用公式法分解因式（难点） 5.确保因式分解彻底（难点） 6.综合运用多种方法进行因式分解（难点） 因式分解 1.定义 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式 2.整式乘法与因式分解的关系 (1)整式乘法与因式分解一个是积化和差，另一个是和差化积，是互逆的变形 (2)可以利用整式乘法检验因式分解的结果的正确性 1.因式分解的对象是多项式，结果是整式的积 2.因式分解是恒等变形 3.因式分解必须分解到每个因式不能再分解为止. 公因式 1．定义 多项式 中的每一项都含有一个相同的因式 ，我们称之为公因式． 2．公因式的确定 （1）确定公因式的系数：若多项式中各项系数都是整数，则取各项系数的最大公因数． （2）确定字母及字母的指数：取各项都含有的相同字母作为公因式中的字母，各相同字母的指数取其中的最低指数． （3）若多项式各项中含有相同的多项式因式，则应将其看成一个整体，不要拆开，作为公因式中的因式．如 的公因式是 1.公因式必须是多项式中每一项都含有的因式. 2.公因式可以是具体的数，也可以是含字母的单项式或多项式. 3.若多项式各项中含有互为相反数的因式，则可将互为相反数的因式统一成相同的因式. 提公因式法 1．定义 把公因式提出来，多项式 就可以分解成两个因式 和 的乘积了，像这种因式分解的方法，叫做提公因式法． 用字母表示为 ． 2．提公因式法的一般步骤 （1）找出公因式，就是找出各项都含有的因式； （2）确定另一个因式，另一个因式即多项式除以公因式所得的商； （3）写成积的形式． 1.提公因式法实质上是逆用乘法的分配律 2.提公因式法就是把一个多项式分解成两个因式的积的形式，其中的一个因式是各项的公因式，另一个因式是多项式除以这个公因式所得的商 用平方差公式分解因式 1．平方差公式 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．即： ． 2．平方差公式的特点 （1）等号的左边是一个二项式，各项都是平方的形式且符号相反； （2）等号的右边是两个二项式的积，其中一个二项式是两个数的和，另一个二项式是这两个数的差． 3.运用平方差公式分解因式的步骤 一判:根据平方差公式的特点，判断是否为平方差，若负平方项在前面，则利用加法的交换律把负平方项放在后面; 二定:确定公式中的a和b，除a和b是单独一个数或单独一个字母外，其余不管是单项式还是多项式都必须用括号括起来，表示一个整体； 三套:套用平方差公式进行分解； 四整理:将每个因式去括号，合并同类项化成最简的形式. 1.因式分解中的平方差公式是乘法公式中的平方差公式逆用的形式 2.乘法公式中的平方差公式指的是符合两数和与这两数差的积的条件后，结果写成乎方差形式:而因式分解中的平方差公式指的是能写成平方差形式的多项式，可以分解成两个数的和乘以这两个数的差 用完全平方公式分解因式 1．完全平方公式 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和（或差）的平方． 即： ． 2．完全平方公式的特点 等号左边是一个完全平方式，右边是这两个数的和（或差）的平方． 3.因式分解的一般步骤 (1)当多项式有公因式时，先提取公因式，当多项式没有公因式时(或提取公因式后)，若符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解因式 (2)当不能直接提取公因式或不能用公式法分解因式时，可根据多项式的特点，把其变形为能提取公因式或能用公式法的形式，再分解因式 (3)当乘积中每一个因式都不能再分解时，因式分解就结束了 1.因式分解中的完全平方公式是整式乘法中的两数和(差)的平方公式的逆用 2.结果是和的乎方还是差的平方由乘积项的符号确定，也可以是“_”，但两个平方项乘积项的符号可以是“+”的符号必须相同，否则就不是完全平方式，不能用完全平方公式进行因式分解。 题型一、判断是否是因式分解 例1（24-25八年级上·甘肃天水·期中）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的定义．分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定． 【详解】解：A.是整式的乘法，不是因式分解； B. 是整式的乘法，不是因式分解； C. 是因式分解； D. 最后运算加法，不是因式分解； 故选：C． 1-1（24-25八年级上·甘肃天水·期中）下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解的定义， 根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式． 【详解】解：A． 左边是乘积形式，右边是展开后的多项式，属于整式乘法，不是因式分解． B． 左边为，正确因式分解应为，但选项B写为，分解不完整，错误． C． 左边二次三项式被正确分解为，符合因式分解的定义． D． 右边为，包含加法运算，不是乘积形式，不属于因式分解． 综上，只有选项C属于因式分解． 故选：C． 1-2下列等式，由左边到右边的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解，根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的乘积形式，即可求解． 【详解】解：A. 左边为多项式，右边写成，即两个相同整式的乘积，符合因式分解的定义，符合题意． B. 左边为乘积，右边展开为，属于整式乘法，而非因式分解，不合题意． C. 右边为，包含减法运算，不是纯乘积形式，不符合因式分解，不合题意． D. 右边为，包含加法运算，不是纯乘积形式，不符合因式分解，不合题意． 故选：A． 题型二、已知因式分解的结果求参数 例2若和是的因式，则为（    ） A． B． C．7 D．3 【答案】D 【分析】本题考查因式分解、整式的乘法，理解整式和因式分解是互逆运算是解答的关键．利用多项式乘多项式求得，进而可求解p值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 2-1若二次三项式可分解为，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了因式分解和整式乘法的关系． 先将展开，再根据二次三项式可分解为，可得﹣，即可求出m的值． 【详解】解：， ∵二次三项式可分解为， ∴， 解得， 故答案为：1． 2-2若是多项式因式分解的结果，则的值是（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，因式分解的定义，熟练掌握多项式的运算法则是解题的关键． 先计算，由得到即可求得的值． 【详解】解：∵， 由题意得，， ， ． 故选：C． 题型三、公因式 例3多项式与多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是公因式的定义，对每个多项式先因式分解，然后即可选出有公因式的项． 【详解】解：∵，， ∴多项式与多项式的公因式是， 故选：B． 3-1与的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了公因式，一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式．公因式的确定方法：公因式是各项系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次数幂的积． 根据公因式的定义求解即可． 【详解】解：与的公因式是． 故答案为：． 3-2写出一个公因式为的多项式： ．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了公因式．根据公因式的定义求解即可． 【详解】解：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 3-3多项式和的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的公因式，先分解因式，2对比两个多项式，找出共同的因式即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， 故多项式和的公因式是， 故答案为：． 题型四、提公因式法分解因式 例4（24-25八年级上·山东烟台·期中）把多项式分解因式，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了提公因式分解因式，确定多项式各项系数的最大公约数，以及共有字母的最低次数，组合得到公因式，即可作答． 【详解】解：， ∴把多项式分解因式，应提取的公因式是， 故选：B 4-1分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了用提公因式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察分解． 【详解】解：， 故答案为：． 4-2（24-25八年级上·江西宜春·期中）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，涉及提公因式因式分解、平方差公式因式分解等知识，熟练掌握因式分解的方法求解是解决问题的关键． （1）先提公因式，再由平方差公式因式分解即可得到答案； （2）先对式子恒等变形，再提公因式即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型五、平方差公式分解因式 例5（24-25八年级上·甘肃天水·期中）已知则 ． 【答案】32 【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式分解因式，再代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：32． 5-1（24-25八年级上·山西朔州·期末）在下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用平方差公式分解因式．根据平方差公式的特征，即可求解． 【详解】解：A、，不能用平方差公式分解因式，本选项不符合题意； B、，不能用平方差公式分解因式，本选项不符合题意； C 、，不能用平方差公式分解因式，本选项不符合题意； D、，能用平方差公式分解因式，本选项符合题意； 故选：D． 5-2（2025·江苏苏州·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，直接利用分解因式即可. 【详解】解：， 故答案为： 5-3（24-25八年级上·吉林·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，利用平方差公式分解因式即可得解，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 5-4 （24-25八年级上·河南新乡·期中）已知能被到之间的两个整数整除，则这两个整数的和是 ． 【答案】 【分析】此题考查因式分解的应用，利用分解因式的知识进行分解，再结合题目能被至之间的两个整数整除即可得出答案． 【详解】解： ∵能被20 到 30 之间的两个整数整除，则这两个整数的和是 题型六、完全平方公式分解因式 例6（24-25八年级上·广东肇庆·期末）计算（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查因式分解，直接利用完全平方公式分解因式可得出答案． 【详解】解：， 故选：A． 6-1观察图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．从个体分析图形的面积：，从整体分析图形的面积：，两种方法均表示大长方形的面积，据此解题． 【详解】解：图形面积可表示为， 也可表示为， 根据题意得出可以得到一个用来分解因式的公式， ， 故选：D． 6-2分解因式： ． 【答案】 【分析】此题考查了公式法分解因式，涉及完全平方公式，熟练掌握相关知识是解题的关键；整理后用完全平方公式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 6-3（23-24八年级上·福建厦门·期末）分解因式： ，计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，零次幂，负指数幂的运算，熟练掌握完全平方公式，实数的混合运算法则是解本题的关键． 第一个利用完全平方公式分解即可；第二个利用零指数、负指数幂法则计算即可得到结果． 【详解】解：， ， 故答案为：； 6-4（23-24八年级上·四川成都·期末）若，则代数式的值的平方根为 ． 【答案】 【分析】利用完全平方公式分解，代入x的值计算得到的值，再根据平方根定义求出答案． 【详解】∵ ∴， ∴代数式的值的平方根为， 故答案为． 题型七、综合运用公式法分解因式 例7已知，则的值为（　　） A．36 B．25 C．5 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用．能通过对已知条件的变形得出的值是解题的关键．先由已知条件得出的值，再把化成完全平方的形式，再进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 7-1分解因式： (1) ； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键． （1）根据提公因式法分解因式即可； （2）先变形，再提公因式，然后利用平方差公式分解因式即可； （3）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： ． 7-2因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． （1）提取公因式，即可求解． （2）先用平方差公式，再用完全平方公式进行因式分解． 【详解】（1）解： （2）解： ． 题型八、综合提公因式和公式法分解因式 例8（24-25八年级上·广东江门·期中）分解因式： 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法和公式法，熟练掌握平方差公式是解题的关键．先提公因式4，然后使用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 8-1（24-25八年级上·广东江门·期中）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，综合运用提公因式法和公式法进行因式分解成为解题的关键． 先提取公因式4，然后运用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 8-2因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式和公式法进行因式分解是解题的关键． 根据综合提公因式和公式法进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 8-3（24-25八年级上·云南文山·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了用提公因式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．此多项式有公因式，先提取公因式3，在利用平方差公式分解． 【详解】解：， 故答案为． 8-4（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）分解因式：． 【答案】 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，根据式子的特点灵活选用恰当的方法进行分解是解题的关键；原式先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 题型九、实数范围内分解因式 例9下列各式在实数范围内，不能进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了实数范围内分解因式，分别分解因式判断即可得出结果 【详解】A. 不能进行因式分解，故符合题意； B. ，故不符合题意； C. ，故不符合题意； D. ，故不符合题意； 故选：A 9-1（24-25八年级上·上海·期中）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式的应用．判断二次三项式能否在实数范围内分解因式的方法：把二次三项式看成方程的形式，可以在实数范围内分解，即方程有实根，即．若二次三项式可以在实数范围内分解，则二次三项式等于0时，，计算各选项中的值，根据的符号判断即可． 【详解】解：A、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； B、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； C、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； D、， ∵， ∴方程没有实数解， 在实数范围内不能因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 9-2因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了实数范围内分解因式．利用平方差公式进行分解即可． 【详解】解：， 故答案为： 题型十、因式分解在有理数简算中的应用 例10（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)200 【分析】本题考查了实数的混合运算，乘法公式的应用； （1）根据算术平方根、立方根，实数的混合运算法则进行计算即可求解； （2）运用乘法的分配律和完全平方公式进行简算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10-1（23-24八年级上·山东东营·阶段练习）因式分解： (1)； (2)； (3)利用因式分解进行简便计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是因式分解以及因式分解的应用，熟记公式是解本题的关键； （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）直接利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 10-2（23-24八年级上·陕西安康·阶段练习）利用乘法公式计算：． 【答案】100 【分析】本题考查完全平方公式，利用完全平方公式进行简算即可．掌握完全平方公式，是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 题型十一、因式分解的应用 例11（24-25八年级上·河南南阳·期末）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项，因式分解的结果是，若取，则各个因式的值是：，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码．那么对于多项式，取时，用上述方法产生的密码是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 根据或或或或或，把代入即可得到答案． 【详解】解：或或或或或， 当时，，， 六位数密码为或或或或或， 故答案为：（或或或或或）． 11-1（24-25八年级上·山东日照·期末）在中，若三边长a，b，c满足，，则边长c为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是正确掌握因式分解的方法． 根据完全平方公式和平方差公式对等式变形，可求出边长c． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，得 ， ∴． 故选：A． 11-2（24-25八年级上·山东淄博·期末）已知的三边，，满足，则的形状为（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，解题的关键是能够对题目提供的式子进行因式分解．先证明，进而得出，即可判断的形状． 【详解】解：∵的三边，，， ∴， ∵， ∴， ， a、b、c是的三边， ， ， 的形状为等腰三角形， 故选：C． 11-3（24-25八年级上·广西防城港·期末）如图，把，两个电阻串联起来，线路上的电流为I，电压为U，则．当，，时，U的值为 ． 【答案】220 【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握提公因式法进行因式分解是关键．利用提公因式法进行因式分解再进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ． 故答案为：220． 11-4（23-24八年级上·福建福州·阶段练习）已知的三边长分别为，，，且满足，试判断的形状，并证明你的结论． 【答案】是等边三角形．证明见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，非分数的性质，等边三角形三角形的判定，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 先因式分解得到，根据非负数的性质得到，即可得到结论． 【详解】解：是等边三角形， 证明：∵， ∴， ， ∴， ，， ，， ∴， ∴是等边三角形． 易错点 分解不彻底，未分解到不能再分解为止 例 因式分解：（x2+y2）2﹣4x2y2= 【答案】（x-y）2（x+y）2 【分析】根据平方差公式和完全平方公式因式分解即可； 【详解】原式， ； 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了利用公式法进行因式分解，准确分析化简是解题的关键． 1．若多项式能直接用完全平方公式进行因式分解，则“”所代表的单项式不可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方式分解因式，根据完全平方式的特点，首平方，尾平方，首尾的2倍在中间，进行判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，无法用完全平方公式进行因式分解，符合题意； 故选D． 2．下列因式分解最后结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．根据因式分解的运算法则计算即可． 【详解】解：，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，故选项C符合题意； ，故选项D不符合题意； 故选C． 3．下列分解因式正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，直接利用提取公因式法以及公式法分别分解因式，进而判断得出答案，正确运用公式法分解因式是解题关键． 【详解】解：A．，故此选项符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意； 故选：A． 4．若，则的值为（　　） A．8 B． C．12 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、代数式求值等知识点，灵活运用因式分解成为解题的关键． 先局部因式分解得到，然后将代入并化简可得，然后再代入即可解答． 【详解】解：， ， 则． 故选D． 5．将几个图形拼成一个新图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图1可得等式．将若干张图2所示的卡片进行拼图，可以将二次三项式分解因式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的应用，能够根据所给的单项式画出几何图形，画出图形，根据图形因式分解即可，利用等积法进行因式分解是解题的关键． 【详解】解：如图： ∴， 故选：C． 6．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 7．在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了实数范围内因式分解，首先配成完全平方公式，然后利用平方差公式进行因式分解即可，配成完全平方公式及熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 8．已知a、b、c满足，，则 ． 【答案】 【分析】根据可得，代入整理后得到，根据非负数的性质可知，，求出b，a的值，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，整理得：， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式的应用，非负数的性质等知识，利用完全平方公式进行变形是解题的关键． 9．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码是： （写出一个即可）． 【答案】273024或272430 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据提公因式法和公式法分解因式，再把数值代入计算即可确定出密码． 【详解】解：或， 当，时，，，， 产生的密码是：273024或272430， 故答案为：273024或272430． 10．如果一个三位数的十位数字等于它的百位和个位数字的和，那么称这个三位数为“和好数”，如：三位数352，∵，∴352是“和好数”，把一个和好数的任意一个数位上的数字去掉，得到三个两位数，这三个两位数之和记为，把的百位数字与个位数字之和的7倍记为，则的值为 ；若三位数是“和好数”，且是完全平方数，则所有符合条件的的最大值为 ． 【答案】 96 660 【分析】此题主要考查了完全平方数，新定义，根据“和好数”的相关定义计算即可． 【详解】， ， ∴， 设三位数百位数字是，个位数字是，则由“和好数”定义可得十位数字是， ∴， ， ∴， ∵是完全平方数， ∴，其中是非负整数， ∵，， ∴，即， 解得，则或， ∴当时，符合条件的的值更大， 此时， 要使的最大，则尽可能的大， ∴，， ∴所有符合条件的的最大值为660， 故答案为：；660． 11．分解因式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了提取公因式法及完全平方公式、平方差公式进行分解因式，正确找出公因式是解题关键． （1）运用平方差公式进行因式分解即可； （2）提取公因式，再运用完全平方公式进行因式分解即可； （2）运用平方差公式进行因式分解，再提公因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 12．（1）计算：； （2）因式分解：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查二次根式的混合运算，提公因式法与公式法的综合应用，零指数幂，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据二次根式的性质，零指数幂的性质化简计算即可； （2）先提公因式2，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1） 解：原式 ； （2） 解：原式 ． 13．分解因式，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生新的公因式，然后提取公因式就可以完成因式分解了，过程如下． ． 上述分解因式的方法叫做分组分解法，请利用这种方法，解答下列问题． (1)分解因式：． (2)分解因式： (3)的三边a，b，c满足，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查因式分解，掌握提取公因式法，公式法，分组分解法进行因式分解是解题的关键． （1）根据材料提示作为一组，运用平方差公式分解，作为一组，运用提取公因式法分解即可； （2）根据材料提示作为一组，运用完全平方公式分解，再与作为一组，运用平方差分解即可； （3）根据题意，将原式变为，再运用分组分解法得到，结合非负性得到且，即，由此即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：是等边三角形， 理由：∵， ∴， ∴， ∴， ∴且， ∴， ∴是等边三角形． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$