13.1 三角形的边角关系（三角形中角的关系）（题型专练）数学新教材沪科版八年级上册

13.1 三角形的边角关系 （三角形中角的关系） 题型一 证明三角形内角和 1．（23-24八年级上·广东佛山·期末）在探究证明“三角形的内角和等于”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．如图①，过点作 B．如图②，延长到，过点作 C．如图③，过上一点作， D．如图④，过点作 2．（24-25七年级下·山东泰安·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．如图①所示，过三角形一边上点D作 B．如图②所示，过三角形内部一点P作 C．如图③所示，过点C作于点D D．如图④所示，过三角形外部一点P作 3．（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务： 如图1，中的三个内角分别为．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合． 理由：由操作可知， 所以________ （依据：________）． 所以，________（依据：________）． 即________________． 所以，三角形的内角和等于 题型二 由三角形内角和直接求角度 4．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·云南楚雄·二模）如图，在正五边形中，连接．则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·安徽淮北·开学考试）如图：等于 度． 7．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在中，已知，，则 ． 8．（24-25八年级上·安徽六安·期中）求出下列图形中的值． 题型三 由三角形内角和判断三角形形状 9．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在中，，那么是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 10．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在中，，则是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 11．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 12．（22-23八年级上·安徽亳州·期末）当满足条件（    ）时，是直角三角形． A． B． C． D． 题型四 求三角形外角的度数 13．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）等腰三角形的一个外角是，则顶角是（   ） A． B． C．或 D． 14．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）一个三角形中，三个内角的比为，则该三角形最大的外角为（   ） A． B． C． D． 15．（21-22八年级上·安徽马鞍山·期末）已知一个等腰三角形的一个外角为，则这个等腰三角形的底角为 ． 题型五 由三角形的外角性质求角度 16．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 17．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在中，，，则的度数是 ． 18．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，沿虚线剪去，若，则的度数为 ． 19．（22-23八年级上·安徽淮北·期末）如图，，则的度数为 ． 题型六 三角形的内角和定理/外角性质的应用 20．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，缺了一个角，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 21．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）在下列条件中：①；②；③；④中，能确定是直角三角形的条件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，B是边上一点，，，，求和的度数． 23．（24-25八年级上·河南信阳·期中）小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆的点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的在同一平面上），过点作于点，测得，． (1)求证：； (2)求的长． 24．（2024七年级上·安徽·专题练习）如图，，两处是我国在南海上的两个观测站，从处发现它的北偏西方向有一艘轮船，同时，从处发现这艘轮船在它的北偏西方向． (1)试在图中确定这艘轮船的位置处．（保留画图痕迹） (2)求度数． 题型一 三角形内角和（或外角性质）与平行线的综合运用 1．（2025·安徽合肥·一模）某物体静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力G方向的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽六安·一模）如图，将一直角三角形放于一对平行线上，若，则（    ） A． B． C． D． 根据题意可知， 3．（2025·河南周口·一模）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽蚌埠·三模）图1是某折叠椅的侧面图，图2是该折叠椅抽象成的几何图形，椅面DE与地面平行，，，则椅子靠背与椅面夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·四川达州·期末）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． (1)如图1，若，点P在内部，， 求； (2)如图2，将点P移到外部，则之间有何数量关系？请证明你的结论． 题型二 三角形内角和（或外角性质）与角平分线的综合运用 1．（24-25八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图，正方形的边长为2，连接，，平分交于点，则的长为（   ） A． B．2 C． D．4 2．（2025·湖南·模拟预测）如图，在五边形中，， 分别平分和，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在中，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，和相交于点，，，，分别平分和，若，则 ． 5（24-25八年级上·安徽淮北·期中）（1）问题引入：如图①，在中，O是和的平分线的交点，若，则________；如图②，，，，则________（用含的式子表示） （2）如图③，，，，请猜想________（用含的式子表示），并说明理由． （3）类比研究：，分别是的外角，的n等分线，它们交于点O，，，，请猜想________． 题型三 三角形内角和（或外角性质）与翻折的综合运用 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，，点D是上的一点，将沿翻折得到，边交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（2022·安徽·模拟预测）如图，在中，的平分线与的平分线交于点．若将沿翻折，使得点与点重合，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·安徽亳州·期中）如图，，，点、分别为、上的两点，将沿翻折得到，交于点，若，，则 ．    5．（24-25七年级下·全国·课后作业）把三角形纸片沿折叠． (1)如图①，当点A落在四边形内部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． (2)如图②，当点A落在四边形外部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． 题型四 三角形内角和与三角板的综合运用 1．（2025·山东菏泽·一模）一副三角板按如图方式摆放，，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽宿州·三模）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点在上，点，在上，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，将一副三角板的直角顶点重合，其中，，，，则下列结论不正确的是（   ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，则 4．（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，将一个直角三角板放置在锐角三角形上，使得该三角板的两条直角边恰好分别经过点，若，则 ． 5．（22-23八年级下·安徽宿州·期中）小明善于用数学的眼光观察生活，从中找到数学研究的乐趣．他用一副三角板拼成了如下两幅图．    (1)图1中，的度数是______． (2)①求图1中的度数； ②图2中，，求的度数． 题型五 由三角形内角和定理（或外角性质）探究角度之间的关系 1．（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）已知，请完成以下问题： (1)如图1，的度数之间的等量关系是___________； (2)如图2，，则___________ 2．（15-16八年级上·安徽蚌埠·期中）如图①，已知线段、相交于点O，连接、，我们把这种图形称之为“8字型”，试解答下列问题：    (1)在图①中写出、、、之间的等量关系为________． (2)如图②，和的平分线和相交于点P，并与、分别交于点M、N． ①若，，求的度数； ②探究与、之间有何等量关系，并说明理由． 3．（21-22八年级上·安徽合肥·期中）如图1，在中，、是、的平分线；    (1)填写下面的表格 的度数 的度数 (2)试猜想与之间存在一个怎样的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图2，的高、交于O点，试说明图中与的关系． 题型六 与三角形的外角性质有关的规律探究 1．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则（   ）度．    A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，已知，在射线、上分别取点，连接，在、上分别取点、，使，连接，…，按此规律，记，，…，，则的值为 ． 3．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在四边形中，的平分线与外角的平分线交于点P，爱动脑筋的小明在写作业时发现如下规律：  ①若，则； ②若，则； ③若，则． (1)根据上述规律，若．则______． (2)猜想：的数量关系，并证明． 1．（24-25七年级下·安徽·期中）【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题： (1)如图1所示，已知，点为，之间一点，连接，，得到．请猜想与之间的数量关系，并说明理由； (2)【类比迁移】如图2所示，已知，点为之间一点，和的平分线相交于点，若，求的度数； (3)【变式挑战】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图3所示，已知：，点的位置移到上方，点在延长线上，且平分与的平分线相交于点，请直接写出与之间的数量关系． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，点E，F分别在边和上，连接，将沿着直线折叠，使得点A与点重合，连接，，平分，平分． (1)若，求的度数： (2)若，，求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 3．（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”，例如，三个内角分别为，，的三角形是“三倍角三角形”． (1)中，，，是“三倍角三角形”吗？为什么？ (2)若是“三倍角三角形”，且，求中最小内角的度数． 4．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）在中，和分别是和的角平分线，和交于点O． (1)如图1，若，，求的度数； (2)连接并延长交于点F，已知，． （i）如图2，求的度数（用含，的式子表示）； （ii）如图3，过点O作于点G，试判断和度数的大小关系，并加以说明． 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图1，，点A、B分别在上运动（不与点O重合）． (1)若是的平分线，的反方向延长线与的平分线交于点D． ①若，则__________． ②猜想：的度数是否随点A、B的移动发生变化，并说明理由． (2)如图2，若将“”改为“（）”， ，其余条件不变，__________（直接用含、n的代数式表示的度数）． 6．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）沪科版（数学）（八年级上册）第页第题求五角星形五个角的度数和（如图1）．我们求得．爱动脑筋的小聪借助几何画板将图1进行调整，得到图2、图3、图4三个图形，请你帮助小聪解决下列问题： (1)根据图2，直接写出，，，，满足的关系式___________； (2)如图3，点在上，求证：； (3)如图4，点在上方，请问（2）中的结论是否还成立，如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你的结论，并进行证明． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.1 三角形的边角关系 （三角形中角的关系） 题型一 证明三角形内角和 1．（23-24八年级上·广东佛山·期末）在探究证明“三角形的内角和等于”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．如图①，过点作 B．如图②，延长到，过点作 C．如图③，过上一点作， D．如图④，过点作 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴，故A选项不符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴，故B选项不符合题意， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故C选项不符合题意， ∵， ∴，不能证明“三角形的内角和等于”故D选项符合题意， 故选：D 2．（24-25七年级下·山东泰安·期中）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A．如图①所示，过三角形一边上点D作 B．如图②所示，过三角形内部一点P作 C．如图③所示，过点C作于点D D．如图④所示，过三角形外部一点P作 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，由平行线的性质可得，，则，由平角的定义得到，则，据此可判断A；由平行线的性质可得，同理可得，据此可判断B；设交于O，根据平行线的性质可得，，，， ，再由，即可判断D；C中根据现有条件无法证明． 【详解】解：A、∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，故A不符合题意； B、∵ ∴， ∵， ∴同A选项中的证明方法可得， ∴，故B不符合题意； C、根据现有条件无法证明，故C符合题意； D、设交于O， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，故D不符合题意； 故选；C． 3．（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务： 如图1，中的三个内角分别为．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合． 理由：由操作可知， 所以________ （依据：________）． 所以，________（依据：________）． 即________________． 所以，三角形的内角和等于 【答案】；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；； 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形内角和的证明方法，先由内错角相等，两直线平行得到，再由两直线平行，同旁内角互补得到，据此可证明． 【详解】证明；由操作可知， 所以（依据：内错角相等，两直线平行）． 所以，（依据：两直线平行，同旁内角互补）． 即． 题型二 由三角形内角和直接求角度 4．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）如图，在矩形中，对角线、相交于点O，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由矩形的性质可得，根据等边对等角可得，最后根据三角形内角和即可解答． 【详解】解：∵矩形中，对角线、相交于点O， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选A． 5．（2025·云南楚雄·二模）如图，在正五边形中，连接．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正五边形内角问题，三角形内角和定理，等边对等角，根据正五边形内角和定理求出的度数，再根据等边对等角和三角形内角和定理可求出答案． 【详解】解；∵五边形是正五边形， ∴， ∴， 故选：A． 6．（24-25七年级上·安徽淮北·开学考试）如图：等于 度． 【答案】 【分析】此题考查了三角形内角和定理．根据三角形内角和为得到，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为： 7．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在中，已知，，则 ． 【答案】50 【分析】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是利用三角形内角和为这一性质，结合已知条件建立关于的方程求解． 根据三角形内角和定理得到，由得出关于的表达式，将的值和关于的表达式代入三角形内角和等式，求解． 【详解】在中，根据三角形内角和定理可知， 已知，移项可得， 因为，把和代入中，得到， 解得， 故答案为：50． 8．（24-25八年级上·安徽六安·期中）求出下列图形中的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查三角形内角和定理的应用，熟练掌握三角形内角和为，是解题的关键． （1）根据三角形内角和为列出方程，进行求解即可； （2）根据三角形内角和为列出关于x的方程，解方程即可． 【详解】解：（1）三角形内角和是， ， 解得； （2）三角形内角和是， ， 解得：． 题型三 由三角形内角和判断三角形形状 9．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在中，，那么是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，根据在中，，可求出各角的度数，进而得出结论． 【详解】解：解：∵在中，，， ∴， 解得， ∴， ∴是锐角三角形． 故选：A． 10．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在中，，则是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的分类、三角形的内角和定理及其应用问题，运用三角形的内角和定理求出，进而求出，，即可解决问题． 【详解】解：在中， ∵，且， ， ， ∴是直角三角形． 故选：A． 11．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的内角和，熟悉掌握三角形的内角和公式是解题的关键．利用三角形的内角和，代入已知条件求出角的度数，逐一判断是否有直角即可． 【详解】解：A：，代入， 得：， ，故此选项不符合题意； B：，根据得： ， ，故此选项不符合题意； C：， ∴， ∴为钝角三角形，故此选项符合题意； D：代入， 得：， ，故此选项不符合题意； 故选：C． 12．（22-23八年级上·安徽亳州·期末）当满足条件（    ）时，是直角三角形． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的分类，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理结合各选项的条件分解即可． 【详解】解：A．∵，， ∴， ∴不是直角三角形，故不符合题意； B．∵，， ∴， ∴是直角三角形，故符合题意； C．∵，， ∴ ∴不是直角三角形，故不符合题意； D．∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴不是直角三角形，故不符合题意． 故选B． 题型四 求三角形外角的度数 13．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）等腰三角形的一个外角是，则顶角是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外角性质，等腰三角形的定义，根据三角形外角定义即可求解相邻的内角为，即可得到答案． 【详解】解：∵等腰三角形的一个外角是， ∴相邻的内角为， ∴顶角是， 故选：D． 14．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）一个三角形中，三个内角的比为，则该三角形最大的外角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形的内角和定理先求出各个内角，再求解外角即可． 【详解】解：设三角形的内角为别为，，， ， 解得， ∴，， ∴最小的内角为， 故这个三角形的最大的外角的度数是． 故选：C． 15．（21-22八年级上·安徽马鞍山·期末）已知一个等腰三角形的一个外角为，则这个等腰三角形的底角为 ． 【答案】或 【分析】此题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．因为没有指明这个内角是顶角还是底角，所以分两情况进行分析，从而求得其底角的度数． 【详解】解：∵等腰三角形的一个外角为， ∴与这个外角相邻的角的度数为， ∴当角是顶角时，其底角为； 当角是底角时，底角为． 故这个等腰三角形的底角等于或． 故答案为：或． 题型五 由三角形的外角性质求角度 16．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 设，则，根据三角形的内角和定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：∵， ， 设， ， ， ， ， 解得， 故选：C． 17．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在中，，，则的度数是 ． 【答案】/38度 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解答本题的关键．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求解． 【详解】解：∵是的外角， ∴． ∵，， ∴． 故答案为：． 18．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，沿虚线剪去，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外角与内角，根据外角得到，，再结合三角形内角和计算即可． 【详解】解：如图， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 19．（22-23八年级上·安徽淮北·期末）如图，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形的外角性质；过点，作射线，根据三角形的外角性质即可求得的度数． 【详解】解：过点，，作射线，如图 ∵， ∴ ∵，，， ∴ 故答案为 ： 题型六 三角形的内角和定理/外角性质的应用 20．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，缺了一个角，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理可得，由此即可求出答案． 【详解】解：，，， ， 故选：C． 21．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）在下列条件中：①；②；③；④中，能确定是直角三角形的条件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理、直角三角形的定义等知识点，掌握三角形的内角和为是解题的关键． 根据直角三角形的判定方法以及三角形内角和定理逐个判定即可． 【详解】解：①因为，则，即，所以是直角三角形； ②因为，设，则，解得：，则，所以是直角三角形； ③因为，即，则，所以是直角三角形； ④因为，则，解得：，所以是直角三角形． 所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③④，共4个． 故选：D． 22．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，B是边上一点，，，，求和的度数． 【答案】， 【分析】根据，结合，，得到，继而得到，根据，得到，结合 解答即可． 本题考查了三角形外角性质，三角形内角和定理，角的和，熟练掌握三角形外角，三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．（24-25八年级上·河南信阳·期中）小明同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆的点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的在同一平面上），过点作于点，测得，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）由得，又，，则，根据同角的余角相等即可求解； （）由（）得：，，证明，由全等三角形的性质得，最后由线段和差即可求解； 本题考查了垂直的定义，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（）得：，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 24．（2024七年级上·安徽·专题练习）如图，，两处是我国在南海上的两个观测站，从处发现它的北偏西方向有一艘轮船，同时，从处发现这艘轮船在它的北偏西方向． (1)试在图中确定这艘轮船的位置处．（保留画图痕迹） (2)求度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了方向角，三角形的内角和，正确画出方位角是解题的关键； （1）根据题意正确画出方向角， （2）利用三角形的内角和求解即可． 【详解】（1）解：如图， （2）根据题意，知，， 则； 题型一 三角形内角和（或外角性质）与平行线的综合运用 1．（2025·安徽合肥·一模）某物体静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力G方向的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，根据题意结合图形可知是重力与斜面形成的三角形的外角，从而可求得的度数． 【详解】解：重力的方向竖直向下， 重力与水平方向夹角为， 摩擦力的方向与斜面平行，， ， 故选：C． 2．（2025·安徽六安·一模）如图，将一直角三角形放于一对平行线上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了两直线平行同位角相等，三角形外角的性质，根据平行线的性质得，由对顶角的性质求出，再根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图所示， 根据题意可知， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3．（2025·河南周口·一模）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的内角和、外角和的综合应用，平行线的性质．如图，求出正六边形的一个内角和一个外角的度数，得到，，平行线的性质，得到，三角形的外角的性质，得到，进而求出的度数． 【详解】解：如图：    ∵正六边形的一个外角的度数为：， ∴正六边形的一个内角的度数为：， 即：，， ∵一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 4．（2025·安徽蚌埠·三模）图1是某折叠椅的侧面图，图2是该折叠椅抽象成的几何图形，椅面DE与地面平行，，，则椅子靠背与椅面夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等；由平行线的性质得，由三角形外角的性质得，即可求解；能熟练利用平行线的性质进行求解是解题的关键． 【详解】解：∵椅面与地面平行， ， ， ， ， ； 即椅子靠背与椅面夹角的度数为． 故选：B． 5．（23-24八年级上·四川达州·期末）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． (1)如图1，若，点P在内部，， 求； (2)如图2，将点P移到外部，则之间有何数量关系？请证明你的结论． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，关键是熟悉两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等的知识点． （1）过P点作，根据平行线的性质即可求解； （2）根据平行线的性质和三角形外角的性质即可求解； 【详解】（1）【小问1详解】 解：如图1，过P点作，    ∵， ∴， ∴，， ∵； （2）解：，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴； 题型二 三角形内角和（或外角性质）与角平分线的综合运用 1．（24-25八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图，正方形的边长为2，连接，，平分交于点，则的长为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的定义．根据正方形的性质，可得，再由角平分线的定义可得，然后结合三角形外角的定义可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：B 2．（2025·湖南·模拟预测）如图，在五边形中，， 分别平分和，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义求出，最后由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵ 分别平分和， ∴， ∴， ∴ 故选：B． 3．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在中，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了含角平分线的三角形内角和定理问题，牢记三角形内角和是是解题的关键．首先根据三角形内角和定理得到，然后由角平分线的概念得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴． 故选：C． 4．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，和相交于点，，，，分别平分和，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，对顶角的性质，三角形的外角性质等；，设，则，由三角形的内角和定理得，，再由角平分线及三角形的内角和定理得，由三角形的外角性质得，即可求解；能熟练利用三角形的内角和定理进行求解是解题的关键． 【详解】解：如图， ，， 又， ， 设，则， ， ， ，分别平分和， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 5（24-25八年级上·安徽淮北·期中）（1）问题引入：如图①，在中，O是和的平分线的交点，若，则________；如图②，，，，则________（用含的式子表示） （2）如图③，，，，请猜想________（用含的式子表示），并说明理由． （3）类比研究：，分别是的外角，的n等分线，它们交于点O，，，，请猜想________． 【答案】（1）；（2）（3） 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）由三角形内角和定理可求得，根据角平分线的定义可求得，在中利用三角形内角和定理可求得； （2）方法同（1）； （3）根据三角形的内角和等于列式整理即可得． 【详解】解：（1）∵，, ∴， ∵点O是和平分线的交点， ∴， ∵， ∴； 同法，在中， ， 故答案为：；； （2） 理由如下：在中， ； 故答案为：； （3）类似（2），可得在中， ； 故答案为：． 题型三 三角形内角和（或外角性质）与翻折的综合运用 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，，点D是上的一点，将沿翻折得到，边交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了折叠的性质，平行线性质，三角形内角和定理等知识，由等腰三角形的性质得出，再根据折叠的性质可得，，由，得，最后由三角形的内角和定理即可求解，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形外角的性质、翻折变换的性质，由折叠的性质可得，再根据外角的性质即可求出结果． 【详解】解：如图： 由折叠的性质可知：， 根据外角的性质可知：， ∴， ∴， 故选：C． 3．（2022·安徽·模拟预测）如图，在中，的平分线与的平分线交于点．若将沿翻折，使得点与点重合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理．根据角平分线的定义，推出，利用三角形内角和定理得到，求得，据此即可求解． 【详解】解：分别是的平分线，， ． 由翻折可知，，， ∴，故选项AC都不正确； ∴，故选项B不正确；故选项D正确； 故选：D． 4．（23-24八年级上·安徽亳州·期中）如图，，，点、分别为、上的两点，将沿翻折得到，交于点，若，，则 ．    【答案】/度 【分析】本题主要考查了翻折的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质等知识；连接，先证明出，得，从而求出的度数，利用三角形内角和即可求出答案． 【详解】如图，连接，   是的外角， ， 是的外角， ， ， 将沿翻折得到， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）把三角形纸片沿折叠． (1)如图①，当点A落在四边形内部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． (2)如图②，当点A落在四边形外部时，，，有怎样的等量关系？写出这个关系式，并证明你的结论． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理翻折的性质，整体思想的利用是解题的关键． （1）根据翻折的性质以及平角的定义表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解； （2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图， 根据翻折以及平角的意义可得，，， ， ， 整理得，； （2）解：，理由如下： 如图： 根据翻折以及平角的意义可得，，， ， ， 整理得，． 题型四 三角形内角和与三角板的综合运用 1．（2025·山东菏泽·一模）一副三角板按如图方式摆放，，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，由平行线的性质可得，再根据三角形外角的性质即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 2．（2025·安徽宿州·三模）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点在上，点，在上，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理求出，结合平行线性质即可求解． 【详解】解：， ，， ． ， ， 即， 故选：B． 3．（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，将一副三角板的直角顶点重合，其中，，，，则下列结论不正确的是（   ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了互余定义，互补定义，平行线的性质定理和判定定理等知识点，熟练灵活应用以上知识点是解题的关键． 利用互余定义，互补定义，平行线的性质定理和判定定理即可解答此题． 【详解】解：A、, （内错角相等，两直线平行） 故该选项正确； B、如图所示，延长 ，， ， 又， ， 故该选项正确； C、 故该选项正确； D、由图可得的对顶角 ∴ 未知 ∴不可得 故该选项错误，符合题意， 故选：D． 4．（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，将一个直角三角板放置在锐角三角形上，使得该三角板的两条直角边恰好分别经过点，若，则 ． 【答案】/40度 【分析】此题考查三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余的关系， 根据三角形的内角和定理求出的度数，再根据直角三角形两锐角互余的关系得到，由此即可得到答案． 【详解】如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（22-23八年级下·安徽宿州·期中）小明善于用数学的眼光观察生活，从中找到数学研究的乐趣．他用一副三角板拼成了如下两幅图．    (1)图1中，的度数是______． (2)①求图1中的度数； ②图2中，，求的度数． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由三角板可知，，然后利用三角形外角的性质求解即可； （2）①由三角板可知，，然后利用三角形外角的性质求解即可； ②由三角板可知，然后根据平行线的性质得出的度数，再利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴； ②∵，， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 题型五 由三角形内角和定理（或外角性质）探究角度之间的关系 1．（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）已知，请完成以下问题： (1)如图1，的度数之间的等量关系是___________； (2)如图2，，则___________． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是添加辅助线利用平行线的性质解决问题，属于中考常考题型． （1）如图2中，作，，结论，利用平行线的性质即可证明． （2）如图3中，作，，与交于点，利用平行线的性质即可解决． 【详解】（1） 如图2中， 如图2中，作，，， ， ， ，，，， ， 即． 故答案为． （2） 如图3中，作，，与交于点． ，，， ， ， ，， ，， ， ． 故答案为 2．（15-16八年级上·安徽蚌埠·期中）如图①，已知线段、相交于点O，连接、，我们把这种图形称之为“8字型”，试解答下列问题：    (1)在图①中写出、、、之间的等量关系为________． (2)如图②，和的平分线和相交于点P，并与、分别交于点M、N． ①若，，求的度数； ②探究与、之间有何等量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②；理由见解析 【分析】（1）利用三角形的内角和定理表示出与，再根据对顶角相等可得，然后整理即可得解； （2）①根据（1）的关系式求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用“8字形”的关系式列式整理即可得解； ②根据“8字形”用、表示出，再用、表示出，然后根据角平分线的定义可得，然后整理即可得证． 【详解】（1）解：，， 又∵， ； （2）解：①，， ， ， 、分别是和的角平分线， ，， 又， ； ②；理由如下： 根据“8字形”数量关系，，， ∴，， 、分别是和的角平分线， ，， ， 整理得，， ． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键． 3．（21-22八年级上·安徽合肥·期中）如图1，在中，、是、的平分线；    (1)填写下面的表格 的度数 的度数 (2)试猜想与之间存在一个怎样的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图2，的高、交于O点，试说明图中与的关系． 【答案】(1)，， (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据三角形内角和定理，求出∠ABC+∠ACB的度数，再根据角平分线的定义进行计算即可； （2）由（1）中的求法，进行计算即可； （3）根据四边形的内角和以及平角的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：当时， ∵、是、的平分线， ∴，， 在中， ； 当时， ； 当时，即， 解得； 故答案为：，，； 补充表格如下： 的度数 的度数 （2）解：，理由如下： ∵、是、的平分线， ∴，， 在中， ； （3）解：∵四边形的内角和为， ∴， ∵、是的高， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理的应用，三角形高线，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形内角和为． 题型六 与三角形的外角性质有关的规律探究 1．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则（   ）度．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外角定理，等式性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先分别对运用三角形的外角定理，设，则，，则，得到，，同理可求：，所以可得． 【详解】解：如图：    ∵，， ∴设，，则，， 由三角形的外角的性质得：，， ∴， 如图：    同理可求：， ∴， ……， ∴， 即， 故选：A． 2．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，已知，在射线、上分别取点，连接，在、上分别取点、，使，连接，…，按此规律，记，，…，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键； 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出，，进而求得，进而求解即可 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 故， ， ， 故答案为： 3．（23-24八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在四边形中，的平分线与外角的平分线交于点P，爱动脑筋的小明在写作业时发现如下规律：    ①若，则； ②若，则； ③若，则． (1)根据上述规律，若．则______． (2)猜想：的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理、外角的定义、多边形内角和问题，解题的关键是掌握三角形内角和为180度，四边形内角和为360度． （1）根据题目中已知式子找出规律，即可求解； （2）先根据角平分线的定义和三角形内角和定理推出，再根据四边形内角和360度，推出，进而可得． 【详解】（1）解：由题意知：若，则， 故答案为：； （2）解：； 理由如下：∵分别是，的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵在四边形中，， ∴． 1．（24-25七年级下·安徽·期中）【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题： (1)如图1所示，已知，点为，之间一点，连接，，得到．请猜想与之间的数量关系，并说明理由； (2)【类比迁移】如图2所示，已知，点为之间一点，和的平分线相交于点，若，求的度数； (3)【变式挑战】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图3所示，已知：，点的位置移到上方，点在延长线上，且平分与的平分线相交于点，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）如图：过E作，结合，根据平行线的性质、角的和差以及等量代换即可解答； （2）如图：延长交于点G，利用平行线性质、三角形外角性质、角的平分线定义，四边形内角和定理，解答即可． （3）如图：延长交于点M，然后利用平行线的判定和性质，三角形外角性质解答即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图：过E作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． （2）解：如图：延长交于点G， ∵， ∴， ∵和的平分线相交于点， ∴． ∵，， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： 如图：延长交于点M， ∵， ∴， ∵分与的平分线相交于点， ∴，， 设，的交点为N， ∵，且，， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质、三角形外角性质、对等角相等、四边形内角和定理、角的平分线等知识点，熟练掌握平行线的性质和三角形外角性质是解题的关键． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，点E，F分别在边和上，连接，将沿着直线折叠，使得点A与点重合，连接，，平分，平分． (1)若，求的度数： (2)若，，求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查折叠的性质，三角形内角和定理和角平分线定义等知识，熟练掌握疏导他对于空间解答本题的关键． （1）由三角形内角和定理求出，由角平分线定义得，再由三角形内角和定理可求出； （2）设，则，求出根据可得结论． 【详解】（1）解：如图， ，且 又平分，平分， ∴ ∴ ； （2）解：设，则， 由折叠得， ∴ ∴ 而 ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 3．（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”，例如，三个内角分别为，，的三角形是“三倍角三角形”． (1)中，，，是“三倍角三角形”吗？为什么？ (2)若是“三倍角三角形”，且，求中最小内角的度数． 【答案】(1)是，见解析 (2)或 【分析】本题考查新定义问题，涉及三角形内角和定理，读懂题意，理解“三倍角三角形”是解决问题的关键． （1）根据定义，结合三角形内角和定理求解即可得到答案； （2）根据题意，由定义，结合三角形内角和定理分三种情况求解即可得到答案． 【详解】（1）解： 是“三倍角三角形”，理由如下： ∵，， ∴， ∴是“三倍角三角形”． （2）∵， ∴， 设最小的角为， ①当时，，满足题意； ②最小角为时，另外两个角为，，满足题意； ③当时，，，（不合题意，舍去） 答②：中最小内角的度数为或． 4．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）在中，和分别是和的角平分线，和交于点O． (1)如图1，若，，求的度数； (2)连接并延长交于点F，已知，． （i）如图2，求的度数（用含，的式子表示）； （ii）如图3，过点O作于点G，试判断和度数的大小关系，并加以说明． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ），理由见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形的内角和为180度，以及角平分线的定义． （1）先根据三角形的内角和求出，根据角平分线的定义得出．最后根据，即可解答； （2）（ⅰ）先根据三角形的内角和求出．结合角平分线的定义推出平分，则，即可解答； （ⅱ）由（ⅰ）可知：，，则，由（1）知，则，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵BE是的平分线， ∴． ∴． （2）解：（ⅰ）在中，． ∵和分别是和的角平分线， ∴平分． ∴． ∴． （ⅱ），理由如下： 由（ⅰ）可知：，， ∴． ∵， ∴． 由（1）知， ∴． ∴． 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图1，，点A、B分别在上运动（不与点O重合）． (1)若是的平分线，的反方向延长线与的平分线交于点D． ①若，则__________． ②猜想：的度数是否随点A、B的移动发生变化，并说明理由． (2)如图2，若将“”改为“（）”， ，其余条件不变，__________（直接用含、n的代数式表示的度数）． 【答案】(1)①；②的度数不变，理由见解析 (2) 【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解决问题的关键． （1）①根据题意得到，再根据角平分线定义得，由即可解答；②设，则，求出，再根据角平分线的定义求出解答； （2）设，根据题意得到，，由，求出，即可解答． 【详解】（1）解：①，是的外角， ， 平分、平分， ， ， ②的度数不变，理由如下：                         设， 平分， ， ， ， 平分， ， ； （2）解：设， ， ， ， ， ， ， ． 6．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）沪科版（数学）（八年级上册）第页第题求五角星形五个角的度数和（如图1）．我们求得．爱动脑筋的小聪借助几何画板将图1进行调整，得到图2、图3、图4三个图形，请你帮助小聪解决下列问题： (1)根据图2，直接写出，，，，满足的关系式___________； (2)如图3，点在上，求证：； (3)如图4，点在上方，请问（2）中的结论是否还成立，如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你的结论，并进行证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)成立，见解析 【分析】本题考查三角形的内角和的知识，解题的关键是掌握三角形的内角和为，平角的性质，平行线的性质，进行解答，即可． （1）连接，设，交于点，根据三角形的内角和，则，得到，根据，等量代换，即可； （2）根据三角形的内角和，则，，可得，根据，等量代换，即可； （3）如图，过点作交于点，交于点，根据平行线的性质，则，，根据三角形的内角和，则，，得到，根据平角的性质，则，等量代换，即可． 【详解】（1）解：如图，连接，设，交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：证明：如图， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：成立，理由如下： 如图，过点作交于点，交于点， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$