10.4.2二面角（教学课件）数学沪教版2020必修第三册

10.4平面与平面间的位置关系 2 二面角 第10章 空间直线与平面 沪教版2020必修第三册·高二 章节导读 ①掌握二面角的概念，能通过几何作图找到二面角的平面角； ②理解二面角的平面角的含义，并学会用几何法或向量法计算二面角的大小； ③能能结合空间几何体中的二面角问题，进行简单的计算和证明。 ①通过实物模型直观感知二面角，培养空间想象能力； ②经历“定义—作图—应用”的学习过程，体会从具体到抽象的数学思维方法，学会用类比和转化的策略解决问题。 ①通过观察实物模型和立体图形，学生能够建立起二面角的直观形象，从而培养空间想象能力； ②学生能够运用逻辑推理能力理解并证明二面角的性质定理。 学习目标 知识回顾 面面平行 线线平行 线面平行 面面平行的性质 线面平行的判定 线面平行的性质 面面平行的推论 面面平行的判定 新课讲授 日常生活中，很多场景中都有平面与平面呈现一定角度的形象，如下图（1）翻开的书本形成的角度，如图（2）墙壁和天花板所形成的角。 你能找到日常生活中更多类似的例子吗？ 怎样刻画平面与平面所成的角？ 新课讲授 二面角： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角。 这条直线——二面角的棱 这两个半平面——二面角的面 棱为AB或者l，两个面为α、β的二面角 Q和P分别是平面α和平面β上的点 二面角的表示方法 二面角α-AB-β 二面角α-l-β 二面角P-l-Q 知识点1 二面角的定义和表示 新课讲授 二面角： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角。 这条直线——二面角的棱 这两个半平面——二面角的面 棱为AB或者l，两个面为α、β的二面角 Q和P分别是平面α和平面β上的点 比如，我们在地理学科上学过的黄赤交角，指的就是黄道平面与赤道平面之间的夹角 新课讲授 1.在开门时，有时开得大些，有时开得小些，这里的“大”“小”，说明了什么问题？ 2.平面角可以用量角器进行度量，二面角的大小可以用量角器来度量嘛？ 3.如何确定二面角唯一的测量结果嘛？ 4.哪个角能够表示二面角呢 门和墙体所形成的二面角的大小的变化情况 不能 新课讲授 若在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，且过O分别在α、β上作棱l的垂线OA和OB，容易证明射线OA和OB构成的角∠AOB的大小与点O的取法无关。 因此，我们可以用∠AOB来表示二面角，并称其为二面角α-l-β的平面角，二面角的取值范围是[0,]。当二面角的大小等于直角时，我们称这个二面角为直二面角。 知识点2 二面角的度量 以二面角的棱上任意一点为端点在两个面内分别作垂直于棱的两条射线这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 新课讲授 若在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，且过O分别在α、β上作棱l的垂线OA和OB，容易证明射线OA和OB构成的角∠AOB的大小与点O的取法无关。 因此，我们可以用∠AOB来表示二面角，并称其为二面角α-l-β的平面角，二面角的取值范围是[0,]。当二面角的大小等于直角时，我们称这个二面角为直二面角。 根据二面角的平面角的定义，你是否能总结出二面角的平面角的定义的三个主要特征？ ①点在棱上 ②线在面内 ③与棱垂直 知识点2 二面角的度量 新课讲授 知识点3 二面角的平面角的作法 ①点P在棱上——定义法 直接在二面角的棱上取一点(特殊点)分别在两个半平面内作棱的垂线，得到平面角. 新课讲授 知识点3 二面角的平面角的作法 ②点P在一个半平面上——三垂线定理法 利用三垂线定理或逆定理作出平面角，通过解直角三角形求角的大小. 新课讲授 知识点3 二面角的平面角的作法 ③点P在二面角内——垂面法 通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角. 新课讲授 知识点3 二面角的平面角的作法 ①点P在棱上——定义法 ②点P在一个半平面上——三垂线定理法 ③点P在二面角内——垂面法 新课讲授 知识点3 二面角的平面角的作法 例1 已知锐角二面角α-l-β，A为面α内一点，A到β的距离为2，到l的距离为4，求二面角α-l-β的大小. 解 ①作 过A作AO⊥β于O，过O作OD⊥l于D，连接AD ②证 则由三垂线定理得AD垂直l 所以∠ADO就是二面角α-l-β的平面角 ③算 在RT🔺ADO中，AO=2，AD=4 所以∠ADO=60° ④结论 所以二面角α-l-β的大小为60° 新课讲授 若在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，且过O分别在α、β上作棱l的垂线OA和OB，容易证明射线OA和OB构成的角∠AOB的大小与点O的取法无关。 因此，我们可以用∠AOB来表示二面角，并称其为二面角α-l-β的平面角，二面角的取值范围是[0,]。当二面角的大小等于直角时，我们称这个二面角为直二面角。 当两个平面相交所成的二面角是直二面角时，我们就说这两个平面互相垂直. 新课讲授 两个互相垂直的平面，一般画成如下图的样子：将直立平面的竖边画成和水平平面的横边垂直．平面α与平面β垂直，记作α⊥β 如何判断两个平面垂直呢？ 知识点4 平面与平面垂直的/性质定理 新课讲授 平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直． 证明：设平面β过另一平面α的垂线OA，点O在平面α上 则平面β与平面α交于点O的直线l，且OA⊥l 如右图，在平面α上过点O作OB⊥l，则∠AOB是二面角α-l-β的平面角 由OA⊥α与OB⊂α，推出OA⊥OB，即∠AOB是直角，从而二面角α-l-β是直二面角 所以β⊥α 新课讲授 平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么其中一个平面上垂直于两平面交线的直线与另一个平面垂直． 证明：平面α⊥平面β，它们的交线是l 直线OA⊂β，且OA⊥l，垂足是O 过点O在平面α上作OB⊥l，则∠AOB是二面角α-l-β的平面角 由于β⊥α，∠AOB是直角，即OA⊥OB 这个条件连同OA⊥l，立即推出OA⊥平面α 新课讲授 例2 如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1 (1)作出二面角A1-BD-A的平面角 (2)求证：平面内A1ACC1⊥平面A1BD 解 （1）连接AC，AC与BD交于点O，则AC⊥BD, 连接OA，由A1B=A1B，知A1O⊥BD 所以∠A1OA就是二面角A1-BD-A 的一个平面角. 新课讲授 例2 如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1 (1)作出二面角A1-BD-A的平面角 (2)求证：平面内A1ACC1⊥平面A1BD （2）证明：因为A1A⊥平面ABCD， 所以BD⊥A1A 再由BD⊥AC，A1A∩AC=A 可得BD⊥平面A1ACC1 由上述判定定理 得平面A1ACC1⊥平面A1BD 巩固练习 １．已知平面α⊥平面β，判断下列命题是否正确，并说明理由： （１）平面α上的任意一条直线都垂直于平面β上的任意一条直线； （２）平面α上的任意一条直线都垂直于平面β上的无数条直线； （３）平面α上的任意一条直线都垂直于平面β； （４）过平面α上任意一点作平面α与β交线的垂线l，则l⊥β × （1）两平面垂直 (α⊥β）仅意味着它们的法向量垂直（或交线与另一平面垂直），但并非任意两直线都垂直。 巩固练习 １．已知平面α⊥平面β，判断下列命题是否正确，并说明理由： （１）平面α上的任意一条直线都垂直于平面β上的任意一条直线； （２）平面α上的任意一条直线都垂直于平面β上的无数条直线； （３）平面α上的任意一条直线都垂直于平面β； （４）过平面α上任意一点作平面α与β交线的垂线l，则l⊥β × （2）设两平面交线为 m。对于α上的任意直线l 若l⊥m，则l⊥β（因为α⊥β），此时l⊥β内所有直线 若l不垂直于m，则l仍垂直于β内所有与m垂直的直线 √ 巩固练习 １．已知平面α⊥平面β，判断下列命题是否正确，并说明理由： （１）平面α上的任意一条直线都垂直于平面β上的任意一条直线； （２）平面α上的任意一条直线都垂直于平面β上的无数条直线； （３）平面α上的任意一条直线都垂直于平面β； （４）过平面α上任意一点作平面α与β交线的垂线l，则l⊥β × （3）只有与两平面交线垂直的直线才垂直于另一平面。 √ × （4）设两平面交线为m。由α⊥β，若l⊥m且l⊂α，则l必垂直于β（因为l垂直于β内所有与m相交的直线，符合面面垂直的性质） √ 巩固练习 2．已知，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，有那些平面互相垂直？为什么？ （1）平面ABD⊥平面BCD： 因为AB⊥平面BCD，且AB⊂平面ABD，根据“若一条直线垂直与一个平面，则过该直线的所有平面均垂直于该平面”，得平面ABD⊥平面BCD （2）平面ABC⊥平面BCD： 同理，AB⊥平面BCD，且AB⊂平面ABD ⇒ 平面ABC⊥平面BCD （3）平面ACD⊥平面BCD： 由 AB⊥平面BCD和BC⊥CD，可推出CD⊥平面ABC（因为CD⊥BC且CD垂直AB） 由于CD⊥平面ABC且CD⊂平面ACD，根据相同判定定理⇒ 平面ACD⊥平面BCD 课堂小结 1.本节课学了哪些新知识？ 2.运用了哪些方法，解决了什么问题？ 3.其中蕴含了怎么样的数学思想？ 二面角相关知识 平面与平面垂直的判定/性质定理 类比，转化 课堂小结 知识点4 平面与平面垂直的/性质定理 知识点3 二面角的平面角的作法 知识点2 二面角的度量 知识点1 二面角的定义和表示 用平面角度量二面角 二面角取值范围为[0,] 感谢聆听! $$