19.1 矩形 暑假题型专练2024-2025学年华东师大版八年级数学下册

华师大版八年级下册 19.1 矩形 暑假题型专练 一、利用矩形的性质求角度 1.如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为(　　)      A. B. C. D. 2.如图，在矩形中，对角线，相交于点O，如果，那么的度数是(　　)    A. B. C. D. 3.在矩形中，对角线相交于点O，的角平分线交于点E，若，则用表示为（　　） A. B. C. D. 4.点是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则      ． 5.如图，在矩形中，交于点O，于点E，，则的度数为         . 6.如图，矩形ABCD的对角线的交点是O，CE⊥BD，垂足为E，且OE＝CE．求：∠DCE的度数． 7.如图，矩形的对角线，相交于点O． (1)尺规作图：作的角平分线交边于点E连接； (2)若，求． 二、利用矩形的性质求线段的长度 1.矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若，AB=4，则BD的长为(　　) A.4 B.5 C.4 D.8 2.如图，在矩形中，是边上的点，，过点作于点，连接．若，，则的长为(　　) A.4 B. C.6 D. 3.矩形的面积为，周长为，则它的对角线长为(　　) A. B. C. D. 4.矩形的一条边长是，对角线长是3，则这个矩形的另一条边长是       ． 5.如图，在矩形ABCD中，DE⊥CE，AE＜BE，AD＝4，AB＝10，则DE长为        ． 6.如图，在矩形中，点在边上，且与相交于点，若，，且，求的长． 7.如图，在矩形中，，对角线，相交于点O，垂直平分于点E，求的长． 三、利用矩形的性质求面积 1.如图，矩形的长为6，宽为3，O为对角线交点，过点O任画一条直线，将矩形分成两部分，则图中阴影部分的面积为(　　) A.9 B.18 C.12 D.15 2.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，．若，则矩形ABCD的面积是(　　) A.16 B. C.32 D. 3.如图，在矩形中，，，为的中点，点，分别在，上，为等腰直角三角形，且，则四边形的面积为(　　)    A.18 B.14 C.16 D.12 4.如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（5，0），点B（0，3）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F．记K为矩形AOBC对角线的交点，则△KDE的最大面积为     ． 5.矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，矩形ABCD的面积为               ． 6.如图，在矩形中，对角线与交于点O，点E、F在上，. （1）求证：. （2）若，，求矩形的面积. 7.如图，在矩形中，两点在对角线上，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，直接写出四边形的面积． 四、利用矩形的性质证明 1.如图，在矩形中，、是对角线上两点，，连接、，图中全等三角形共有(　　) A.4对 B.3对 C.2对 D.1对 2.如图，在矩形中，与交于点，点是上一点，连结交对角线于．若，则下列结论错误的是(　　) A. B. C. D. 3.如图，在矩形中，点是上一点，且，，垂足为点，在下列结论中，不一定正确的是（　　）    A. B. C. D. 4.如图，矩形中，、交于点O，平分交于E，，连接．下列结论：①是等边三角形；②；③；④．其中正确的有           （填序号）． 5.如图，在矩形中，平分交于点，点是边上一点（不与点重合）．点为上一动点，，将绕点逆时针旋转后，角的两边交射线于，两点，有下列结论：①；②；③；④，其中一定正确的是      ．（填序号） 6.已知：如图，四边形是矩形，，求证：． 7.如图，已知四边形是矩形．延长至E使．连接分别交，于点G，F，且． (1)过点C作，交的延长线于点M．求证：四边形是平行四边形； (2)连结，求证：． 五、矩形中的折叠问题 1.如图，矩形中，，，将其沿直线折叠使点与点重合，则的长为(　　) A. B. C. D. 2.把一张矩形纸片（矩形）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为．若，则重叠部分的面积是(　　) A.32 B.20 C.16 D.10 3.矩形纸片中，为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长是(　　) A. B. C. D. 4.如图，在矩形中，已知，折叠矩形使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且，则         ． 5.如图，将矩形沿折叠，点与点重合，连结并延长分别交，于点，，且．若，则        ． 6.如图，折叠长方形，使点落在对角线上的点处，若，． (1)求线段的长； (2)求的面积． 7.如图，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点E处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，求的周长． 六、用定义判定矩形 1.如图，关于四边形的4个结论中，推导顺序正确的是(　　)    ①它两组对边分别相等；②它是矩形；③它是平行四边形；④它有一个角是直角． A.④②①③ B.①③④② C.②④①③ D.③①④② 2.在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．连接AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是(　　) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 3.下列图形一定为矩形的是(　　) A. B. C. D. 4.已知Rt△ABC，∠ABC=90°，小明按如下步骤作图，①以A为圆心，BC长为半径作弧，以C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点D；②连接DA，DC，则四边形ABCD为           . 5.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，DF∥AB，DE∥AC，则当∠B＝　　°时，四边形AEDF是矩形． 6.如图，在中，是边上的中线，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)若，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 7.如图，在中，，D为边上一点，以为邻边作平行四边形，连接．    (1)求证：； (2)若点D是中点，说明四边形是矩形． 七、用角判定矩形 1.下列各图中，是矩形的是(　　) A. B. C. D. 2.如图，已知的四个内角的平分线分别交于点、、、，则四边形的形状是(　　)    A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 3.求证：有三个角是直角的四边形是矩形． 已知：如图，在四边形中，． 求证：四边形是矩形． 证明：∵， … ∵， ∴四边形是矩形．    下面是“…”部分被打乱顺序的证明过程：①∴四边形是平行四边形；②∴，；③∴，，则正确的顺序是(　　) A.③②① B.③①② C.②③① D.①②③ 4.工人师傅在测量一个门框是否是矩形时，只需要用到一个直角尺，则他用到的判定方法是　　　　　　　　． 5.木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为，宽为，对角线为，这个桌面          （填“合格”或“不合格”）． 6.如图，在中，．垂足分别为，求证：四边形是矩形．    7.如图，过的顶点A分别作及其外角的平分线的垂线，垂足分别为E、F，求证：四边形是矩形. 八、用对角线判定矩形 1.下列能够判断四边形是矩形的是(　　) A.两组对角相等 B.对角线互相垂直 C.对角线互相垂直且相等 D.对角线互相平分且相等 2.如图，平行四边形中，对角线，相交于点O，，若要使平行四边形为矩形，则的长应该为(　　)    A.4 B.3 C.2 D.1 3.如图，有甲、乙两个四边形，分别标出了部分数据，则下列判断正确的是(　　) A.甲是矩形 B.乙是矩形 C.甲、乙均是矩形 D.甲、乙都不是矩形 4.如图，四边形的对角线相交于点，且，则它是        形． 5.在平行四边形中，如果，那么这个平行四边形是        形． 6.如图，四边形是平行四边形，过中点且交的延长线于点．    (1)求证：； (2)若，四边形是什么特殊四边形？请说明理由． 7.如图，在中，点F是边的中点，连接、． (1)求证：； (2)若，则四边形是什么特殊四边形？请说明理由 九、添一条件使四边形是矩形 1.如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，，添加下列条件，可以判定四边形是矩形的是(　　)    A. B. C. D. 2.如图，在中，对角线与交于点，添加下列条件不能判定为矩形的只有(　　) A. B.，， C. D. 3.如图，四边形是平行四边形，添加下列一个条件不能判定四边形为矩形的是（　　） A. B. C. D. 4.已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，分别添加下列条件：①；②；③；④中的一个，能使平行四边为矩形的条件的序号是      ． 5.如图，在平行四边形中，延长到点E，使，连接、、请你添加一个条件        ，使四边形是矩形． 6.如图，和相交于点O，，点E、F分别是、的中点． (1)求证： (2)当______时，四边形是矩形，请说明理由． 7.如图，中，点O是边上一个动点，过O作直线．设交的平分线于点E，交的外角平分线于点F． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)当点O在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？并说明理由． 十、综合利用矩形的判定与性质进行求解 1.如图，在四边形中，为直角，，，对角线、相交于点O，，，则四边形的面积为(　　) A.240 B.192 C.120 D.96 2.如图，矩形中，，点E是上一点，且，的垂直平分线交的延长线于点F，交于点H，连接交于点G．若G是的中点，则的长是(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 3.如图，在四边形中，，于点，若四边形的面积是，则的长是(　　) A. B. C. D. 4.如图是一个矩形，在上各取一点G、H，使得，再取的中点E、F．连接，已知，，则四边形的面积为       ． 5.在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为      ． 6.如图，在矩形中，，．为对角线，E，F分别是，的中点，交对角线于点O． (1)求证：． (2)点G是对角线上的点，，求的长． 7.如图，在平行四边形中，连接，E为的中点，延长与的延长线交于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的面积． 十一、综合利用矩形的判定与性质进行证明 1.已知：如图，在平行四边形中，、分别为边、的中点，是对角线，且，交的延长线于，连接，若．下列结论中：①；②四边形是矩形；③；④．其中正确的是(　　) A.①②③④ B.①② C.①③ D.①②④ 2.已知四边形中，，对角线相交于点O．下列结论一定成立的是(　　) A. B. C. D. 3.平行四边形中，，则下列结论不一定正确的是(　　) A. B. C. D. 4.如图，中，，，将绕点逆时针旋转，得到，过点作交的延长线于点，连接并延长交于点，连接交于点下列结论： 平分；；是的中点；，其中正确的序号有      ． 5.如图，直线，平分，，且平移恰好到，则下列结论正确的有_______.      ①；②平分；③；④. 6.如图1，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，经过点O的直线与边AB相交于点E，与边CD相交于点F．连接DE，BF． (1)求证：四边形BFDE为平行四边形； (2)如图2，直接写出四边形BFDE的边满足什么条件时，BD=EF． 7.如图：在中，，是中线，是的外角的平分线，，垂足为E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点F，直接写出与之间的关系为__________________． 华师大版八年级下册 19.1 矩形 暑假题型专练（参考答案） 一、利用矩形的性质求角度 1.如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为(　　)      A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A. 2.如图，在矩形中，对角线，相交于点O，如果，那么的度数是(　　)    A. B. C. D. 【答案】C 【解析】四边形是矩形， ， 故选C． 3.在矩形中，对角线相交于点O，的角平分线交于点E，若，则用表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵四边形是矩形， ∴，， ∵的角平分线交于点E， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴, ∴, 故选：B． 4.点是矩形的对角线的延长线上一点，若，，则      ． 【答案】 【解析】∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5.如图，在矩形中，交于点O，于点E，，则的度数为         . 【答案】 【解析】∵四边形是矩形， ， ， ， ∵， ∴， ， ， 故答案为：． 6.如图，矩形ABCD的对角线的交点是O，CE⊥BD，垂足为E，且OE＝CE．求：∠DCE的度数． 【答案】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BCD＝90°，OC＝OD， ∴△OCD是等腰三角形， ∴∠DCO＝∠ODC， ∵CE⊥BD，垂足为E，且OE＝CE， ∴∠DOC＝∠ECO＝45°， ∴∠DCO＝＝67.5°， ∴∠DCE＝∠DCO﹣∠OCE＝22.5°． 7.如图，矩形的对角线，相交于点O． (1)尺规作图：作的角平分线交边于点E连接； (2)若，求． 【答案】解：（1）如图，射线AE即为所求； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠BAD＝90°， ∵AE平分BAD， ∴∠BAE＝∠DAE＝∠AEB＝45°， ∴BA＝BE， ∵∠OAE＝15°， ∴∠OAB＝60°， ∵OA＝OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝OB＝BE，∠ABO＝60°， ∴∠OBE＝30°， ∴∠BOE＝（180°﹣30°）＝75°． 二、利用矩形的性质求线段的长度 1.矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若，AB=4，则BD的长为(　　) A.4 B.5 C.4 D.8 【答案】D 【解析】如图： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，OA=OC，OD=OB， ∴OA=OB， ∵∠AOB=60°， ∴△ABO是等边三角形， ∴OA=OB=4， ∴BD=2OB=8， 故选：D． 2.如图，在矩形中，是边上的点，，过点作于点，连接．若，，则的长为(　　) A.4 B. C.6 D. 【答案】B 【解析】∵四边形是矩形， ∴，，． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中, , ∴． ∴． ∵， ∴在中，． ∴． ∴． ∴在中，． 故选：B. 3.矩形的面积为，周长为，则它的对角线长为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设矩形的长与宽分别为x、y，根据题意列出方程组得： ， 由②得， 即， ∴， ∴对角线的长为 (cm)． 故选：A． 4.矩形的一条边长是，对角线长是3，则这个矩形的另一条边长是       ． 【答案】2 【解析】矩形的四个内角都是90度， 两个相邻边和对角线构成直角三角形， 矩形的一条边长是，对角线长是3， 由勾股定理得另一条边长， 故答案为：2． 5.如图，在矩形ABCD中，DE⊥CE，AE＜BE，AD＝4，AB＝10，则DE长为        ． 【答案】 【解析】设AE＝x，则BE＝10﹣x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝10，∠A＝∠B＝90°， ∴AD2＋AE2＝DE2，BC2＋BE2＝CE2， ∵DE⊥CE， ∴∠DEC＝90°， ∴DE2＋CE2＝CD2， ∴AD2＋AE2＋BC2＋BE2＝CD2， 即42＋x2＋42＋（10﹣x）2＝102， 解得：x＝2或x＝8（不合题意，舍去）， ∴AE＝2， ∴DE＝＝＝2， 故答案为：2． 6.如图，在矩形中，点在边上，且与相交于点，若，，且，求的长． 【答案】解：∵在矩形中，，, ∴，， ，，， ， ∴， ，， ∴， ∴． 7.如图，在矩形中，，对角线，相交于点O，垂直平分于点E，求的长． 【答案】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、利用矩形的性质求面积 1.如图，矩形的长为6，宽为3，O为对角线交点，过点O任画一条直线，将矩形分成两部分，则图中阴影部分的面积为(　　) A.9 B.18 C.12 D.15 【答案】A 【解析】因为矩形的面积为18，O为对角线交点，过点O任画一条直线，将矩形分成面积相等的两部分，所以阴影部分的面积为9． 故选A． 2.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，．若，则矩形ABCD的面积是(　　) A.16 B. C.32 D. 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=2AO，BD=2BO，AC=BD，∠ABC=90°， ∴AO=OB， ∵∠AOB=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AO=AB， ∴AC=2AO=8， ∴， ∴矩形ABCD的面积=AB•BC=． 故选：B． 3.如图，在矩形中，，，为的中点，点，分别在，上，为等腰直角三角形，且，则四边形的面积为(　　)    A.18 B.14 C.16 D.12 【答案】C 【解析】为等腰直角三角形，，， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，，为的中点， ，， ， ， 故选：C． 4.如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（5，0），点B（0，3）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F．记K为矩形AOBC对角线的交点，则△KDE的最大面积为     ． 【答案】 【解析】∵A（5，0），B（0，3）， ∴OA=5，OB=3， ∵四边形AOBC是矩形， ∴AC=OB=3，OA=BC=5，∠OBC=∠C=90°， ∴, ∴, ∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到， ∴AD=AO=5， 如图，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小， 当点D在BA的延长线上时，＋的面积最大， 最大面积． 故答案为：． 5.矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，矩形ABCD的面积为               ． 【答案】 【解析】如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝BO＝，∠BAD＝90°， 又∵∠AOB＝60°， ∴△AOB为等边三角形， ∴BO＝AB＝4， ∴BD＝2BO＝8， ∴AD＝, ∴矩形ABCD的面积＝, 故答案为：． 6.如图，在矩形中，对角线与交于点O，点E、F在上，. （1）求证：. （2）若，，求矩形的面积. 【答案】解：（1）四边形是矩形， ∴，AB//CD， ∴. 在和中，， ∴. （2）∵四边形是矩形， ∴. ∵， ∴. ∴为等边三角形. ∴. ∴. 在中，由勾股定理得：， ∴. 7.如图，在矩形中，两点在对角线上，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，直接写出四边形的面积． 【答案】（1）证明：连，交于点，如图所示：    四边形为矩形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：如图所示：    ； ， 由图可知， , ， 由等面积法得到，则在中，， ， ． 四、利用矩形的性质证明 1.如图，在矩形中，、是对角线上两点，，连接、，图中全等三角形共有(　　) A.4对 B.3对 C.2对 D.1对 【答案】B 【解析】∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵ ∴，即 在和中， , ∴, ∵ ∴, ∵， ∴ ∴ 又 ∴， 所以，图中全等三角形共有3对， 故选：B. 2.如图，在矩形中，与交于点，点是上一点，连结交对角线于．若，则下列结论错误的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，故正确，不符合题意； ∵， ∴， 即，故正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴，故正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵根据条件无法推出平分， ∴推导不出， 故推导不出，故错误，符合题意． 故选：． 3.如图，在矩形中，点是上一点，且，，垂足为点，在下列结论中，不一定正确的是（　　）    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A.由矩形，可得，， ． 又， ，故A正确； B.由，可得， 由矩形，可得， 又， ，故B正确； C.由，可得， 由矩形，可得， ，故C正确； D.不一定等于， 直角三角形中，不一定等于的一半，故D错误； 故选：D． 4.如图，矩形中，、交于点O，平分交于E，，连接．下列结论：①是等边三角形；②；③；④．其中正确的有           （填序号）． 【答案】①②④ 【解析】∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形，故①正确； ∵矩形中，与平行，且， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴，故④正确； 故答案为：①②④． 5.如图，在矩形中，平分交于点，点是边上一点（不与点重合）．点为上一动点，，将绕点逆时针旋转后，角的两边交射线于，两点，有下列结论：①；②；③；④，其中一定正确的是      ．（填序号） 【答案】③④ 【解析】，， ， 平分， ， 为等腰直角三角形， ， 在和中， ， ， ； 为等腰直角三角形， ，， ， ；故③正确， ，， ，故④正确， 无法证明①；②； 故答案为：③④． 6.已知：如图，四边形是矩形，，求证：． 【答案】证明：∵四边形是矩形， ∴，，           ∵， ∴，           ∴，           ∴，           ∴， ∴． 7.如图，已知四边形是矩形．延长至E使．连接分别交，于点G，F，且． (1)过点C作，交的延长线于点M．求证：四边形是平行四边形； (2)连结，求证：． 【答案】证明：（1）如图， ∵四边形是矩形， ∴，即， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）过点A作交于点N， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 五、矩形中的折叠问题 1.如图，矩形中，，，将其沿直线折叠使点与点重合，则的长为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由折叠可得，， ∵四边形为矩形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2.把一张矩形纸片（矩形）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为．若，则重叠部分的面积是(　　) A.32 B.20 C.16 D.10 【答案】D 【解析】∵四边形是矩形，， ∴，， 由折叠可知，，，， 设，则， 在中，， ， ， 由勾股定理得： 解得：， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， 故选：D． 3.矩形纸片中，为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】连接，交于点， 在矩形中，，， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴，，， ∴垂直平分， ∴，， ∵点为的中点，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， 故选：D． 4.如图，在矩形中，已知，折叠矩形使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且，则         ． 【答案】 【解析】设， ∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴，， 则， 在中，得， 在中，得， 即， 解得， ∴， 故答案为：. 5.如图，将矩形沿折叠，点与点重合，连结并延长分别交，于点，，且．若，则        ． 【答案】 【解析】∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴由折叠可得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6.如图，折叠长方形，使点落在对角线上的点处，若，． (1)求线段的长； (2)求的面积． 【答案】解：（1）四边形为矩形， ∴， ∵，, 在中，, 由折叠可得，，， 所以， 设，则，， 由勾股定理得到， 解得， ∴． （2）由（1）知：，，， ∴， ∴的面积． 7.如图，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点E处，折痕为． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，求的周长． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； （3）解；如图所示，过点G作于K，则四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴的周长． 六、用定义判定矩形 1.如图，关于四边形的4个结论中，推导顺序正确的是(　　)    ①它两组对边分别相等；②它是矩形；③它是平行四边形；④它有一个角是直角． A.④②①③ B.①③④② C.②④①③ D.③①④② 【答案】B 【解析】两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形． A：有一个角是直角的四边形不一定是矩形，故④不能推导出②，故A错误； B：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．故B正确； C：矩形本身就是平行四边形，不需要由矩形去证明它本身平行四边形，故C错误； D：应先确定该四边形是平行四边形，故D错误． 故选：B． 2.在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．连接AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是(　　) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 【答案】B 【解析】连接AC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD， ∵E、F分别是AB、CD的中点， ∴AE=CF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴AE∥CF， ∵AE=CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC=BC，E是AB的中点， ∴CE⊥AB， ∴∠AEC=90°， ∴四边形AECF是矩形, 故选：B. 3.下列图形一定为矩形的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A.只有两个角是直角，无法证明该四边形是矩形，不符合题意； B.只有两个角是直角，进而证明有一组对边平行，无法证明该四边形是矩形，不符合题意； C.有两个角是直角，可以证明边长为3的两边平行，则该四边形是平行四边形，再由有两个角是直角，可证明该四边形是矩形，符合题意； D.只有两个角是直角，无法证明该四边形是矩形，不符合题意； 故选C． 4.已知Rt△ABC，∠ABC=90°，小明按如下步骤作图，①以A为圆心，BC长为半径作弧，以C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点D；②连接DA，DC，则四边形ABCD为           . 【答案】矩形 【解析】根据小明的作图方法可知：AD＝BC，AB＝DC，∠B＝90°， ∵AD＝BC，AB＝DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠B＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形． 故答案为：矩形． 5.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，DF∥AB，DE∥AC，则当∠B＝　　°时，四边形AEDF是矩形． 【答案】45 【解析】当∠B＝45°时，四边形AEDF是矩形． ∵DF∥AB，DE∥AC， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝45°， ∴∠A＝90°， ∴四边形AEDF是矩形． 故答案为45． 6.如图，在中，是边上的中线，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)若，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中, , ∴，          ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴． （2）解：四边形是矩形， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，是中线， ∴，即°， ∴平行四边形是矩形． 7.如图，在中，，D为边上一点，以为邻边作平行四边形，连接．    (1)求证：； (2)若点D是中点，说明四边形是矩形． 【答案】解：（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，点是中点， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形． 七、用角判定矩形 1.下列各图中，是矩形的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A.只有两个角是直角，不能判断该四边形为矩形，不符合题意； B.只有两个角是直角，不能判断该四边形为矩形，不符合题意； C.不是四边形，即不是矩形，不符合题意； D.该四边形是有三个直角的四边形，则该四边形为矩形，符合题意； 故选：D． 2.如图，已知的四个内角的平分线分别交于点、、、，则四边形的形状是(　　)    A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 【答案】B 【解析】因为四边形是平行四边形， 所以，, 则，，, 因为、、、分别是、、、的角平分线， 所以，， 所以，, 在中，， 即； 在中，， 即； 在中，， 即； 所以四边形是矩形, 故选：B. 3.求证：有三个角是直角的四边形是矩形． 已知：如图，在四边形中，． 求证：四边形是矩形． 证明：∵， … ∵， ∴四边形是矩形．    下面是“…”部分被打乱顺序的证明过程：①∴四边形是平行四边形；②∴，；③∴，，则正确的顺序是(　　) A.③②① B.③①② C.②③① D.①②③ 【答案】A 【解析】∵， ③∴，． ②∴，． ①∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形． 所以，顺序为③②①． 故选：A． 4.工人师傅在测量一个门框是否是矩形时，只需要用到一个直角尺，则他用到的判定方法是　　　　　　　　． 【答案】三个角是直角的四边形为矩形 【解析】用直角尺测量门框的三个角是否都是直角，如果都是直角，则四边形是矩形． 故答案为：三个角是直角的四边形为矩形. 5.木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为，宽为，对角线为，这个桌面          （填“合格”或“不合格”）． 【答案】合格 【解析】∵， 即：， ∴， 同理：， ∴四边形是矩形， ∴这个桌面合格． 故答案为：合格． 6.如图，在中，．垂足分别为，求证：四边形是矩形．    【答案】解：证明：，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是矩形． 7.如图，过的顶点A分别作及其外角的平分线的垂线，垂足分别为E、F，求证：四边形是矩形. 【答案】证明：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴四边形是矩形. 八、用对角线判定矩形 1.下列能够判断四边形是矩形的是(　　) A.两组对角相等 B.对角线互相垂直 C.对角线互相垂直且相等 D.对角线互相平分且相等 【答案】D 【解析】.两组对角相等的四边形不一定是矩形，故此选项不能判定四边形是矩形，不符合题意，排除； .对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，故此选项不能判定四边形是矩形，不符合题意，排除； .对角线互相垂直且相等的四边形不一定是矩形，故此选项不能判定四边形是矩形，不符合题意，排除； .对角线互相平分且相等四边形是矩形，故此选项能判定四边形是矩形，符合题意； 故选：． 2.如图，平行四边形中，对角线，相交于点O，，若要使平行四边形为矩形，则的长应该为(　　)    A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】A 【解析】∵四边形是平行四边形，， ∴， 当时， ∴， ∴平行四边形是矩形， 故选：A． 3.如图，有甲、乙两个四边形，分别标出了部分数据，则下列判断正确的是(　　) A.甲是矩形 B.乙是矩形 C.甲、乙均是矩形 D.甲、乙都不是矩形 【答案】A 【解析】由题意知，甲中对角线相等且互相平分， ∴甲中四边形是矩形， 如图乙，记的交点为， 由图可知，，的数量关系未知， ∴乙中四边形不一定是矩形， 故选：A． 4.如图，四边形的对角线相交于点，且，则它是        形． 【答案】矩 【解析】∵， ∴四边形为平行四边形，， ∴四边形为矩形． 故答案为：矩． 5.在平行四边形中，如果，那么这个平行四边形是        形． 【答案】矩 【解析】四边形为平行四边形，， 这个平行四边形是矩形， 故答案为：矩． 6.如图，四边形是平行四边形，过中点且交的延长线于点．    (1)求证：； (2)若，四边形是什么特殊四边形？请说明理由． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵过中点， ∴， ∴； （2）解：四边形是矩形，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形．    7.如图，在中，点F是边的中点，连接、． (1)求证：； (2)若，则四边形是什么特殊四边形？请说明理由 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点F是边的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （2）解：四边形是矩形．理由如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 九、添一条件使四边形是矩形 1.如图，在四边形中，对角线与相交于点O，，，添加下列条件，可以判定四边形是矩形的是(　　)    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 观察各选项只有添加B选项时可以， ∵， ∴四边形是矩形， 故选B． 2.如图，在中，对角线与交于点，添加下列条件不能判定为矩形的只有(　　) A. B.，， C. D. 【答案】D 【解析】A.正确．对角线相等的平行四边形是矩形． B.正确．，，， ， ， 平行四边形为矩形． C.正确，， ， ， 平行四边形是矩形， D.错误．对角线垂直的平行四边形是菱形． 故选：D 3.如图，四边形是平行四边形，添加下列一个条件不能判定四边形为矩形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵四边形是平行四边形，补充， ∴四边形是矩形，故A不符合题意； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，补充， ∴， ∴四边形是矩形，故B不符合题意； ∵四边形是平行四边形，补充， ∴四边形是矩形，故C不符合题意； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴不能判定四边形是矩形，故D符合题意； 故选：D． 4.已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，分别添加下列条件：①；②；③；④中的一个，能使平行四边为矩形的条件的序号是      ． 【答案】①③④ 【解析】①∵有一个角是直角的平行四边形是矩形，∴此项成立； ②∵菱形是平行四边形，它的对角线也互相垂直，但它不是矩形，∴此项不成立； ③∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴此项成立； ④∵平行四边形的对角线互相平分，由可得它的对角线相等，∴此项成立． 故答案为：①③④． 5.如图，在平行四边形中，延长到点E，使，连接、、请你添加一个条件        ，使四边形是矩形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴根据对角线相等的平行四边形是矩形，可以添加一个条件即. 故答案为：（答案不唯一）． 6.如图，和相交于点O，，点E、F分别是、的中点． (1)求证： (2)当______时，四边形是矩形，请说明理由． 【答案】解：（1）， ∴， ， 在与中, ， ， ， ∵点分别是的中点， ， ； （2）当时，四边形是矩形，理由为： ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ∴四边形是矩形. 故答案为：. 7.如图，中，点O是边上一个动点，过O作直线．设交的平分线于点E，交的外角平分线于点F． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)当点O在边上运动到什么位置时，四边形是矩形？并说明理由． 【答案】解：（1）∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴； （2）∵分别是的角平分线, ∴， ∵， 由勾股定理得：， 在中  ， ∴； （3）当点O在边上运动到中点时，四边形是矩形， 理由：∵, ∴四边形是平行四边形, ∵, ∴四边形是矩形. 十、综合利用矩形的判定与性质进行求解 1.如图，在四边形中，为直角，，，对角线、相交于点O，，，则四边形的面积为(　　) A.240 B.192 C.120 D.96 【答案】B 【解析】∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵为直角， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴，则， ∴四边形的面积为， 故选：B． 2.如图，矩形中，，点E是上一点，且，的垂直平分线交的延长线于点F，交于点H，连接交于点G．若G是的中点，则的长是(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】A 【解析】过点E作于点P， 在矩形中， ，， ∴四边形和四边形为矩形， 又，， ∴，， ∵G是的中点， ∴， 又∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， 令，则， 又∵， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 解得． 故选：A． 3.如图，在四边形中，，于点，若四边形的面积是，则的长是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】如图，过点D作交的延长线于E， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形的面积四边形的面积， ∴， ∴， 故选C． 4.如图是一个矩形，在上各取一点G、H，使得，再取的中点E、F．连接，已知，，则四边形的面积为       ． 【答案】 【解析】∵，， ∴， ∵， ∴、为等边三角形， ∴，， ∵E、F为的中点， ∴垂直平分，垂直平分，， ∴， ∴四边形为矩形， 又， ∴， ∴，， ∴四边形的面积为：， 故答案为：. 5.在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为      ． 【答案】 【解析】连接， ，， ， ，且，， 四边形是矩形， ，， 又是的中点， ， 当值最小时，值最小，即当值最小时，值最小． 根据 垂线段最短，即当时值最小， 此时， ， ， ， 故答案为：． 6.如图，在矩形中，，．为对角线，E，F分别是，的中点，交对角线于点O． (1)求证：． (2)点G是对角线上的点，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴＝，，， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∴为、中点， ∴． ∵， ∴， ∴或， ∴的长为或． 7.如图，在平行四边形中，连接，E为的中点，延长与的延长线交于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， （2）解：由（1）得：四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形的面积， 答：四边形的面积为36． 十一、综合利用矩形的判定与性质进行证明 1.已知：如图，在平行四边形中，、分别为边、的中点，是对角线，且，交的延长线于，连接，若．下列结论中：①；②四边形是矩形；③；④．其中正确的是(　　) A.①②③④ B.①② C.①③ D.①②④ 【答案】D 【解析】①∵四边形是平行四边形， ∴． ∵、分别为边、的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，故①正确； ②∵且， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形，故②正确； ③连接， ∵四边形是矩形， ∴过点E，． 若，则，显然与不一定相等，故③不正确； ④∵四边形是矩形， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． ∵为边的中点， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故选D． 2.已知四边形中，，对角线相交于点O．下列结论一定成立的是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵， ∴四边形是矩形， ∴，一定成立，故B符合要求； ，不成立，故D不符合要求； ，，不一定成立，故A、C不符合要求； 故选：B． 3.平行四边形中，，则下列结论不一定正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵平行四边形中，， ∴四边形是矩形， ∴，，但对角线不一定垂直， 故选项C不一定正确； 故选：C． 4.如图，中，，，将绕点逆时针旋转，得到，过点作交的延长线于点，连接并延长交于点，连接交于点下列结论： 平分；；是的中点；，其中正确的序号有      ． 【答案】 【解析】①，， ，， 将绕点逆时针旋转， ，，，，， ，， 又， 四边形是矩形， ，，， ，， ∴Rt△DEC≌Rt△DEH(HL)， ，，， 平分，故①正确； ②，， ， ， ，， ， ，故②正确； ③如图，连接， ， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， 点是的中点，故③正确， ④，， ， ， ，故④不合题意， 故答案为：①②③． 5.如图，直线，平分，，且平移恰好到，则下列结论正确的有_______.      ①；②平分；③；④. 【答案】①②④ 【解析】平移恰好到， 四边形为平行四边形， ，故正确； 平分， ， ， ， ， ， ， 平分，故正确； 平分，平分， ，， 但， ，故错误； 四边形为平行四边形， 又， 四边形为矩形， ， 在中，，故正确． 故选①②④． 6.如图1，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，经过点O的直线与边AB相交于点E，与边CD相交于点F．连接DE，BF． (1)求证：四边形BFDE为平行四边形； (2)如图2，直接写出四边形BFDE的边满足什么条件时，BD=EF． 【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，，OB=OD． ∴∠OAE=∠OCF， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴OE=OF， ∵OB=OD， ∴四边形BFDE为平行四边形； （2）解：四边形DEBF的边满足DE⊥BE时，BD=EF，理由如下： 由（1）得：四边形DEBF是平行四边形． ∵DE⊥AB， ∴∠DEB=90°， ∴平行四边形DEBF是矩形， ∴BD=EF． 7.如图：在中，，是中线，是的外角的平分线，，垂足为E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点F，直接写出与之间的关系为__________________． 【答案】（1）证明：是中线， ， ， 为的外角的平分线， ， ， 即， ， ， 四边形是矩形； （2）解：，理由如下： 由（1）知，四边形为矩形， ， 又， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$