22.1.4二次函数 y＝ax²＋bx＋c的图象和性质(第1课时) （导学案）数学人教版九年级上册

22.1.4 二次函数的图象和性质 （第1课时）（导学案）（原卷版） 1.教学目标 （1）会将二次函数转化为的形式，确定二次函数的顶点坐标，对称轴； （2）会画出二次函数的图象，掌握二次函数的性质； （3）进一步培养学生的数学抽象意识、数学建模意识和逻辑推理能力，渗透数形结合、从特殊到一般的思想方法，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。 重点：通过配方确定抛物线的对称轴，顶点坐标，掌握二次函数的性质。 难点：正确理解二次函数的性质。 第一环节 自主学习 温故知新： 1．二次函数(a≠0)的图象性质：开口方向：a＞0时，开口　　　，a＜0时，开口　　　，顶点　　　　，对称轴　　　． 最值：a＞0时，有最　　值　　　．当a＜0时，有最　　值　　　． 增减性：a＞0且x＞h时，y随x的增大而　　　；x＜h时，y随x的增大而　　　　；a＜0且x＞h时，y随x的增大而　　　，x＜h时，y随x的增大而　　　． 2．二次函数、图象有如下关系： 抛物线与形状　　　，位置　　　，把抛物线向　　　向　　　平移，可以得到抛物线.平移的方向、距离根据　　　决定． 3．对于二次函数的图象，只要|a|相等，则它们的形状　　　，只是开口方向　　　，且|a|越　　　，开口越　　　． 【学法指导】 自研课本P37-39页内容 （1） 二次函数的图象和性质 思考：要研究二次函数的图象和性质，我们已经知道二次函数的图象和性质，能否利用这些知识来讨论二次函数的图象和性质？ （1）怎样将二次函数的转化为形式？ （2）根据前面学习的知识，我们可以先画出二次函数图象，然后怎样平移得到函数的图象? （3）怎样直接画出函数的图象? （4）根据上述画二次函数的图象过程，你能总结出二次函数的性质吗？ (二)二次函数的图象和性质 （1）将二次函数配方化成（一般称为顶点式），这种形式的表达是什么？ （2）你能求出二次函数对称轴及顶点坐标？ （3）你能归纳出二次函数的图象与性质吗？ 【自研自探】 例1.用配方法把二次函数化成的形式，并写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标． 例2． 已知抛物线的对称轴是直线，求的值及顶点坐标． 第二环节 合作探究 1.讨论怎样将二次函数的转化为形式？ 2.讨论怎样平移二次函数图象，函数的图象? 3.讨论怎样直接画出函数的图象? 4.讨论总结二次函数的性质. 5.讨论将二次函数配方化成（一般称为顶点式），这种形式怎样的表达？ 6.讨论二次函数对称轴及顶点坐标？二次函数的图象与性质吗？ 7.合作探究提升：1．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．    (1)将化成的形式； (2)求点A、B、C的坐标； (3)观察图象直接写出不等式的解集． 1.（课本练习）写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：； ；　　　　　　　　； ；　　　　　. 2.用配方法将二次函数化成的形式，并写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标． 1．(2025•福建)已知点A(－2，y1)，B(1，y2)在抛物线y＝3x2＋bx＋1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是(　　) A．1＜y1＜y2 B．y1＜1＜y2 C．1＜y2＜y1 D．y2＜1＜y1 2．(2025•河南)在二次函数y＝ax2＋bx－2中，x与y的几组对应值如表所示． x … －2 0 1 … y … －2 －2 1 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值． 1.二次函数　　　　如下： 2.的图象与性质． (1)二次函数的对称轴是　　　　，顶点坐标是　　　　　． (2)若a＞0：当x＜－时，y随x的增大而　　　；当x＞－时，y随x的增大而　　　；当x＝－时， y最　　值　　　　；若a＜0：当x＜－时，y随x的增大而　　　；当x＞－时，y随x的增大而　　　，当x＝－时，y最　　值　　　　． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.1.4 二次函数的图象和性质 （第1课时）（导学案）（解析版） 1.教学目标 （1）会将二次函数转化为的形式，确定二次函数的顶点坐标，对称轴； （2）会画出二次函数的图象，掌握二次函数的性质； （3）进一步培养学生的数学抽象意识、数学建模意识和逻辑推理能力，渗透数形结合、从特殊到一般的思想方法，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。 重点：通过配方确定抛物线的对称轴，顶点坐标，掌握二次函数的性质。 难点：正确理解二次函数的性质。 第一环节 自主学习 温故知新： 1．二次函数(a≠0)的图象性质：开口方向：a＞0时，开口向上，a＜0时，开口向下，顶点(h，0)，对称轴x＝h． 最值：a＞0时，有最小值．当a＜0时，有最大值． 增减性：a＞0且x＞h时，y随x的增大而增大；x＜h时，y随x的增大而减小；a＜0且x＞h时，y随x的增大而减小，x＜h时，y随x的增大而增大． 2．二次函数、图象有如下关系： 抛物线与形状相同，位置不同，把抛物线向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线.平移的方向、距离根据h、k的值决定． 3．对于二次函数的图象，只要|a|相等，则它们的形状相同，只是开口方向不同，且|a|越大，开口越小． 【学法指导】 自研课本P37-39页内容 （一）二次函数的图象和性质 思考：要研究二次函数的图象和性质，我们已经知道二次函数的图象和性质，能否利用这些知识来讨论二次函数的图象和性质？ （1）怎样将二次函数的转化为形式？ 由配方法，得。 （2）根据前面学习的知识，我们可以先画出二次函数图象，然后怎样平移得到函数的图象? 把向右平移6个单位长度,再向上平移3个单位长度,得到二次函数的图象。 (也可以把先向上平移3个单位长度，再向右平移6个单位长度,得到二次函数的图象。) （3）怎样直接画出函数的图象? 如果直接画二次函数的图象，可按如下步骤进行. 由配方的结果可知，抛物线的顶点是(6，3)，对称轴是 先利用图象的对称性列表、描点、连线画出图象如下： 　　　　　　　 （4）根据上述画二次函数的图象过程，你能总结出二次函数的性质吗？ 从抛物线的开口方向，对称轴，顶点，增减性讨论 (二)二次函数的图象和性质 （1）将二次函数配方化成（一般称为顶点式），这种形式的表达是什么？ （2）你能求出二次函数对称轴及顶点坐标？ 对称轴为直线x＝－；顶点坐标(－，) （3）你能归纳出二次函数的图象与性质吗？ 归纳：二次函数图象如下： 的图象与性质． 二次函数的对称轴是x＝－，顶点坐标是(－，)． 若a＞0：当x＜－时，y随x的增大而减小；当x＞－时，y随x的增大而增大；当x＝－时，y最小值＝；若a＜0：当x＜－时，y随x的增大而增大；当x＞－时，y随x的增大而减小，当x＝－时，y最大值＝． 【自研自探】 例1.用配方法把二次函数化成的形式，并写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【分析】把二次函数右边的二次三项式转化为的形式，再写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【详解】解：， 开口方向向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，4)． 例2． 已知抛物线的对称轴是直线，求的值及顶点坐标． 【分析】本题考查二次函数的性质，由抛物线对称轴为直线求t的值，再将二次函数解析式化为顶点式求解． 【详解】解：∵图象的对称轴为直线， ∴， 解得，， ∴， ∴抛物线顶点坐标为． 第二环节 合作探究 1.讨论怎样将二次函数的转化为形式？ 2.讨论怎样平移二次函数图象，函数的图象? 3.讨论怎样直接画出函数的图象? 4.讨论总结二次函数的性质. 5.讨论将二次函数配方化成（一般称为顶点式），这种形式怎样的表达？ 6.讨论二次函数对称轴及顶点坐标？二次函数的图象与性质吗？ 7.合作探究提升：1．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．    (1)将化成的形式； (2)求点A、B、C的坐标； (3)观察图象直接写出不等式的解集． 【分析】本题考查了将二次函数表达式化为顶点式，求二次函数与坐标轴交点，以及根据图象写出不等式解集． （1）根据完全平方公式进行配方即可； （2）求出时的函数值，即可得出点C的坐标，求出时自变量的值，即可得出点A和点B的坐标； （3）根据图象，找出函数图形在x轴上方时，自变量x的取值范围即可． 【详解】（1）解：， 即； （2）解：令，则， 即该抛物线与轴的交点坐标是， 令，则， ， ，， 所以该抛物线与轴的交点坐标是、． （3）解：不等式，即， 由图可知或． 1.（课本练习）写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：； ；　　　　　　　　； ；　　　　　. 1.【详解】（1）开口向上，对称轴是，顶点是； （2）开口向下，对称轴是，顶点是（-1，1); （3）开口向下，对称轴是，顶点是(2，O); （4）开口向上，对称轴是，顶点是（4， -5). 2.用配方法将二次函数化成的形式，并写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标． 2.【详解】 所以开口方向向上，对称轴为x＝－3，顶点坐标(－3，－4) 1．(2025•福建)已知点A(－2，y1)，B(1，y2)在抛物线y＝3x2＋bx＋1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是(　　) A．1＜y1＜y2 B．y1＜1＜y2 C．1＜y2＜y1 D．y2＜1＜y1 【详解】解：∵y＝3x2＋bx＋1， ∴当x＝0时，y＝1， ∴抛物线过点(0，1)， ∴抛物线的开口向上，对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵3＜b＜4， ∴， ∵，， ∴点A(－2，y1)到对称轴的距离大于点(0，1)到对称轴的距离，小于B(1，y2)到对称轴的距离， ∴1＜y1＜y2， 故选：A． 2．(2025•河南)在二次函数y＝ax2＋bx－2中，x与y的几组对应值如表所示． x … －2 0 1 … y … －2 －2 1 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值． 【详解】解：（1）由题意，结合表格数据可得，二次函数的对称轴是直线x1． ∴可设二次函数为y＝a(x＋1)2＋k． 又∵图象过(0，－2)，(1，1)， ∴－2＝a(0＋1)2＋k，且1＝a(1＋1)2＋k． ∴a＝1，k＝－3． ∴二次函数为y＝(x＋1)2－3，即y＝x2＋2x－2． （2）由题意，结合（1）y＝(x＋1)2－3， ∴顶点坐标为(－1，－3)． 作图如下． （3）由题意，∵二次函数的图象向右平移n个单位长度后， ∴新函数为y＝(x＋1－n)2－3． ∴此时对称轴是直线x＝n－1，函数图象开口向上． ∴①当3≤n－1时，即n≥4， ∴当x＝0时，y取最大值为(1－n)2－3；当x＝3时，y取最小值为(4－n)2－3． 又∵最大值与最小值的差为5， ∴(1－n)2－3－(4－n)2＋3＝5． ∴n4，不合题意． ②当0＜n－1＜3时，即1＜n＜4， ∴当x＝0或x＝3时，y取最大值为(1－n)2－3或(4－n)2－3；当x＝n－1时，y取最小值为－3． 又∵最大值与最小值的差为5， ∴(1－n)2－3＋3＝5或(4－n)2－3＋3＝5． ∴或(不合题意，舍去) ③当n－1≤0时，即n≤1， ∴当x＝0时，y取最小值为(1－n)2－3；当x＝3时，y取最大值为(4－n)2－3． 又∵最大值与最小值的差为5， ∴(4－n)2－3－(1－n)2－3＝5． ∴n1，不合题意． 综上，或． 1.二次函数图象如下： 2.的图象与性质． (1)二次函数的对称轴是x＝－，顶点坐标是(－，)． (2)若a＞0：当x＜－时，y随x的增大而减小；当x＞－时，y随x的增大而增大；当x＝－时，y最小值＝；若a＜0：当x＜－时，y随x的增大而增大；当x＞－时，y随x的增大而减小，当x＝－时，y最大值＝． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$