22.1.3二次函数 y=a(x-h)²+k的图象和性质（第2课时）（导学案）数学人教版九年级上册

22.1.3二次函数的图象和性质 （第2课时）（导学案）（原卷版） 1.教学目标 （1）会用描点法画出二次函数的图象。 （2）掌握抛物线与之间的平移规律。 （3）依据具体问题情境建立二次函数模型来解决实际问题。 （4）进一步培养学生的数学抽象意识、数学建模意识和逻辑推理能力，渗透数形结合、从特殊到一般的思想方法，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。 重点：理解二次函数的性质及其图象与的图象之间的关系，了解利用二次函数的图象和性质解决实际问题. 难点：正确理解二次函数的图象与二次函数的图象之间的关系以及二次函数的性质，掌握利用二次函数的图象和性质解决实际问题。 第一环节 自主学习 温故知新： 二次函数的图象和性质： ①抛物线的对称轴是　　，顶点是　　　.当时，抛物线的开口　　　，顶点是抛物线的最　　　;当时，抛物线的开口　　　，顶点是抛物线的最　　　，对于抛物线，越　　，抛物线的开口越　　。 ②如果，当时,抛物线,随的增大而　　　，当时，抛物线,随的增大而　　；如果，当时,抛物线,随的增大而　　，当时，抛物线,随的增大而　　　　。 【学法指导】 自研课本P33-34页内容 （一）二次函数，的图象 操作 在同一直角坐标系中，画出二次函数，的图象. 观察思考： （1）二次函数，的图象的开口方向、对称轴和顶点各如何？ （2）抛物线，与抛物线形状如何？位置如何？ (3)抛物线上的点是，将它的各个点的纵坐标都加1（减1），相应的点在什么抛物线上？由此你能得出什么结论？ (二)二次函数与的图象关系 从上面三个函数图象的关系,类比上节课讨论的二次函数、的图象间的关系,你能归纳出二次函数与的图象之间的关系吗? (三)二次函数的图象和性质 类比二次函数、图象和性质，我们可以得出二次函数的图象和性质: 【自研自探】 例1.如果将抛物线向右平移1个、2个单位，那么所得的抛物线的表达式是什么？ 如果将抛物线向左平移1个、2个单位，那么所得的抛物线的表达式是什么？ 例2.抛物线的顶点为(－2，0)，它的形状与相同，但开口方向与之相反． (1)求抛物线解析式； (2)求抛物线与y轴交点坐标； (3)指出该抛物线的增减性． 第二环节 合作探究 1.讨论二次函数，的图象的开口方向、对称轴和顶点各如何？ 2.讨论抛物线，与抛物线形状如何？位置如何？ 3.讨论抛物线上的点是，将它的各个点的纵坐标都加1（减1），相应的点在什么抛物线上？由此你能得出什么结论？ 4.讨论二次函数与的图象之间的关系. 5.类比二次函数、图象和性质，讨论二次函数的图象和性质. 6.合作探究提升：1.在平面直角坐标系中，抛物线的表达式为． (1)当时，求y的值． (2)将抛物线向左平移2个单位后，恰经过点，求b的值． 1.（课本练习）在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：，，． 观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. 1．(2025•威海)已知点，，都在二次函数的图象上，则的大小关系是(　　) A． B． C． D． 2．（2025上·浙江台州·九年级统考）一条抛物线由抛物线沿轴平移得到，对称轴为直线． 求该抛物线的解析式，并指出其顶点坐标； 1． 二次函数(a≠0)的图象性质：开口方向：a＞0时，开口　　　，a＜0时，开口　　　，顶 点　　，对称轴　　　． 最值：a＞0时，有　　　值　　　．当a＜0时，有　　　值　　　． 增减性：a＞0且x＞h时，y随x的增大而　　　；x＜h时，y随x的增大而　　　；a＜0且x＞h时，y随x的增大而　　　，x＜h时，y随x的增大而　　　　． 2．由抛物线的图象通过平移得到的图象，左右平移的规律是　　　　　． 3．对于二次函数的图象，只要|a|相等，则它们的形状　　　，只是开口方向　　　，且|a|越　　，开口越　　　． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.1.3二次函数的图象和性质 （第2课时）（导学案）（解析版） 1.教学目标 （1）会用描点法画出二次函数的图象。 （2）掌握抛物线与之间的平移规律。 （3）依据具体问题情境建立二次函数模型来解决实际问题。 （4）进一步培养学生的数学抽象意识、数学建模意识和逻辑推理能力，渗透数形结合、从特殊到一般的思想方法，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。 重点：理解二次函数的性质及其图象与的图象之间的关系，了解利用二次函数的图象和性质解决实际问题. 难点：正确理解二次函数的图象与二次函数的图象之间的关系以及二次函数的性质，掌握利用二次函数的图象和性质解决实际问题。 第一环节 自主学习 温故知新： 二次函数的图象和性质： ①抛物线的对称轴是轴，顶点是.当时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点;当时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，对于抛物线，越大，抛物线的开口越小。 ②如果，当时,抛物线,随的增大而减小，当时，抛物线,随的增大而增大；如果，当时,抛物线,随的增大而增大，当时，抛物线, 随的增大而增小. 【学法指导】 自研课本P33-34页内容 （一）二次函数，的图象 操作 在同一直角坐标系中，画出二次函数，的图象. 作出函数图象如图： 观察思考： （1）二次函数，的图象的开口方向、对称轴和顶点各如何？ 抛物线的开口向下；对称轴是； 顶点是. 抛物线的开口向下；对称轴是；顶点是. （2）抛物线，与抛物线形状如何？位置如何？ 抛物线，与抛物线形状相同,位置不同，括号内是，图象向 轴的负方向平移;括号内是，图象向轴的正方向平移. (3)抛物线上的点是，将它的各个点的纵坐标都加1（减1），相应的点在什么抛物线上？由此你能得出什么结论？ 抛物线上的点是，将它的各个点的横坐标都加1（减1），相应的点为在抛物线上；就是将抛物线向右平移1个单位长度，得到抛物线. (二)二次函数与的图象关系 从上面三个函数图象的关系,类比上节课讨论的二次函数、的图象间的关系,你能归纳出二次函数与的图象之间的关系吗? 当时，将抛物线向右平移个单位长度,得到抛物线;当时，将抛物线向左平移|h|个单位长度.得到抛物线. (三)二次函数的图象和性质 类比二次函数、图象和性质，我们可以得出二次函数的图象和性质: 1．二次函数(a≠0)的图象性质：开口方向：a＞0时，开口向上，a＜0时，开口向下，顶点(h，0)，对称轴x＝h． 最值：a＞0时，有最小值y＝0．当a＜0时，有最大值y＝0． 增减性：a＞0且x＞h时，y随x的增大而增大；x＜h时，y随x的增大而减小；a＜0且x＞h时，y随x的增大而减小，x＜h时，y随x的增大而增大． 2．二次函数、图象有如下关系： 二次函数图象 二次函数图象. 3．由抛物线的图象通过平移得到的图象，左右平移的规律是左加右减． 4．对于二次函数的图象，只要|a|相等，则它们的形状相同，只是开口方向不同，且|a|越大，开口越小． 【自研自探】 例1.如果将抛物线向右平移1个、2个单位，那么所得的抛物线的表达式是什么？ 如果将抛物线向左平移1个、2个单位，那么所得的抛物线的表达式是什么？ 【分析】当时，将抛物线向右平移个单位长度得到抛物线;当时，将抛物线向左平移|h|个单位长度得到抛物线． 【详解】解：抛物线向右平移1个、2个单位，那么所得的抛物线的表达式分别为、；抛物线向左平移1个、2个单位，那么所得的抛物线的表达式分别为、． 例2.抛物线的顶点为(－2，0)，它的形状与相同，但开口方向与之相反． (1)求抛物线解析式； (2)求抛物线与y轴交点坐标； (3)指出该抛物线的增减性． 【分析】(1)抛物线的形状与相同，但开口方向与之相反，所以，将的顶点坐标为，代入求出； (2)抛物线与y轴交点的纵坐标是时,的值; (3)，抛物线开口向下，当x＞h时，y随x的增大而减小，x＜h时，y随x的增大而增大． 【详解】解：(1)由题意，抛物线的形状与相同，但开口方向与之相反，所以， 抛物线的顶点为(－2，0)，将，代入，得 故； (2)当x＝0时，y＝－12，与y轴交点(0，－12)； (3)，抛物线开口向下，当时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大． 第二环节 合作探究 1.讨论二次函数，的图象的开口方向、对称轴和顶点各如何？ 2.讨论抛物线，与抛物线形状如何？位置如何？ 3.讨论抛物线上的点是，将它的各个点的纵坐标都加1（减1），相应的点在什么抛物线上？由此你能得出什么结论？ 4.讨论二次函数与的图象之间的关系. 5.类比二次函数、图象和性质，讨论二次函数的图象和性质. 6.合作探究提升：1.在平面直角坐标系中，抛物线的表达式为． (1)当时，求y的值． (2)将抛物线向左平移2个单位后，恰经过点，求b的值． 【分析】（1）把代入，即可求得； （2）根据题意原抛物线经过，代入解析式解方程即可求得． 【详解】（1）解：当时，； 即y的值为0； （2）∵将抛物线向左平移2个单位后，恰经过点 ∴原抛物线经过， 把代入解析式可得：， ∴． 1.（课本练习）在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：，，． 观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. 【详解】（画图略).把抛物线向左平移2个单位长度，就得到拋物线.把抛物线向右平移2个单位长度，就得到抛物线.三条抛物线都是开口向上；对称轴依次是y轴，，; 顶点依次是（O，0),（一2,0)，(2，0). 1．(2025•威海)已知点，，都在二次函数的图象上，则的大小关系是(　　) A． B． C． D． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵三点为(点，，， ∴与对称轴的距离分别为|－2－2|＝4，|3－2|＝1，|7－2|＝5， ∴1＜4＜5， ∴． 故选：C． 2．（2025上·浙江台州·九年级统考）一条抛物线由抛物线沿轴平移得到，对称轴为直线． 求该抛物线的解析式，并指出其顶点坐标； 【详解】解：设所求抛物线为， ∵对称轴为直线， ∴所求抛物线为. 顶点坐标是（-1，0）． 1．二次函数(a≠0)的图象性质：开口方向：a＞0时，开口向上，a＜0时，开口向下，顶点(h，0)，对称轴x＝h． 最值：a＞0时，有最小值y＝0．当a＜0时，有最大值y＝0． 增减性：a＞0且x＞h时，y随x的增大而增大；x＜h时，y随x的增大而减小；a＜0且x＞h时，y随x的增大而减小，x＜h时，y随x的增大而增大． 2．由抛物线的图象通过平移得到的图象，左右平移的规律是左加右减． 3．对于二次函数的图象，只要|a|相等，则它们的形状相同，只是开口方向不同，且|a|越大，开口越小． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$