22.1.4二次函数 y＝ax²＋bx＋c的图象和性质(第1课时)（教学设计）数学人教版九年级上册

22.1.4 二次函数的图象和性质 （第1课时）（教学设计） 1.教学内容 本课时是人教版九年级上册教材第二十二章二次函数,22.1二次函数的图象和性质，22.1.4二次函的图象和性质第1课时，内容为二次函数的图象和性质。 2.内容解析 本节课将二次函数转化为的形式，根据二次函数的图象和性质，研究二次函数的图象和性质，掌握二次函数的开口方向，顶点坐标，对称轴和增减性等。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：通过配方确定抛物线的对称轴，顶点坐标，掌握二次函数的性质。 1.教学目标 （1）会将二次函数转化为的形式，确定二次函数的顶点坐标，对称轴； （2）会画出二次函数的图象，掌握二次函数的性质； （3）进一步培养学生的数学抽象意识、数学建模意识和逻辑推理能力，渗透数形结合、从特殊到一般的思想方法，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。 2.目标解析 （1）前面学生学习了配方法，在此基础上能将二次函数转化为的形式，会用描点法画二次函数的图象。 （2）学生已经学习了二次函数的图像和性质，学习二次函数的图象和性质已有很好的基础和经验，会将二次函数转化为的形式讨论函数的性质。 （3）类比二次函数的图象和性质，是对二次函数及其应用知识学习的深化和提高，二次函数的学习为学生进一步学习函数，进而体会函数的思想奠定基础，积累经验，获得一般地认识和研究函数的基本方法，为进一步学习、研究函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。 学生已经学习了二次函数，会用描点法画二次函数的图象，二次函数的图象和性质学习已有很好的基础和经验。二次函数的图象和性质的讨论，既是认识新内容，又是对已学内容的复习巩固。教学要特别注意引导学生正确理解二次函数的图象与二次函数的图象之间的关系，以及二次函数的性质，掌握利用二次函数的图象和性质解决实际问题。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：正确理解二次函数的性质。 创设情景，引入新课 复习二次函数的图象和性质 (活动方法：学生独立按图象和性质进行复习） (设计意图：复习旧知，为类比学习新知做铺垫) 探究点1 二次函数的图象和性质 思考：要研究二次函数的图象和性质，我们已经知道二次函数的图象和性质，能否利用这些知识来讨论二次函数的图象和性质？ 追问1：怎样将二次函数的转化为形式？ 由配方法，得。 追问2：根据前面学习的知识，我们可以先画出二次函数图象，然后怎样平移得到函数的图象? 把向右平移6个单位长度,再向上平移3个单位长度,得到二次函数的图象。 (也可以把先向上平移3个单位长度，再向右平移6个单位长度,得到二次函数的图象。) 追问3：怎样直接画出函数的图象? 如果直接画二次函数的图象，可按如下步骤进行. 由配方的结果可知，抛物线的顶点是(6，3)，对称轴是 先利用图象的对称性列表、描点、连线画出图象如下： 　　　　　　　 追问4：根据上述画二次函数的图象过程，你能总结出二次函数的性质吗？ (活动方法：学生按照开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性等独立总结，再观察讨论,教师相机指导) 典例分析 例1.用配方法把二次函数化成的形式，并写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【分析】把二次函数右边的二次三项式转化为的形式，再写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【详解】解：， 开口方向向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，4)． (设计意图：认识具体的二次函数的图象和性质） 探究点2 　二次函数的图象和性质 追问1：将二次函数配方化成（一般称为顶点式），这种形式怎样表达？ 追问2：你能求出二次函数对称轴及顶点坐标？ 对称轴为直线x＝－；顶点坐标(－，) 追问3：你能归纳出二次函数的图象与性质吗？ 归纳：二次函数图象如下： 的图象与性质． (1)二次函数的对称轴是x＝－，顶点坐标是(－，)． (2)若a＞0：当x＜－时，y随x的增大而减小；当x＞－时，y随x的增大而增大；当x＝－时，y最小值＝；若a＜0：当x＜－时，y随x的增大而增大；当x＞－时，y随x的增大而减小，当x＝－时，y最大值＝． 典例分析 例2． 已知抛物线的对称轴是直线，求的值及顶点坐标． 【分析】本题考查二次函数的性质，由抛物线对称轴为直线求t的值，再将二次函数解析式化为顶点式求解． 【详解】解：∵图象的对称轴为直线， ∴， 解得，， ∴， ∴抛物线顶点坐标为． (设计意图：认识一般形式的二次函数图象和性质） 1．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．    (1)将化成的形式； (2)求点A、B、C的坐标； (3)观察图象直接写出不等式的解集． 【分析】本题考查了将二次函数表达式化为顶点式，求二次函数与坐标轴交点，以及根据图象写出不等式解集． （1）根据完全平方公式进行配方即可； （2）求出时的函数值，即可得出点C的坐标，求出时自变量的值，即可得出点A和点B的坐标； （3）根据图象，找出函数图形在x轴上方时，自变量x的取值范围即可． 【详解】（1）解：， 即； （2）解：令，则， 即该抛物线与轴的交点坐标是， 令，则， ， ，， 所以该抛物线与轴的交点坐标是、． （3）解：不等式，即， 由图可知或． (设计意图：拓展对二次函数的认识) 1.（课本练习）写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：； ；　　　　　　　　； ；　　　　　. 1.【详解】（1）开口向上，对称轴是，顶点是； （2）开口向下，对称轴是，顶点是（-1，1); （3）开口向下，对称轴是，顶点是(2，O); （4）开口向上，对称轴是，顶点是（4， -5). 2.用配方法将二次函数化成的形式，并写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标． 2.【详解】 所以开口方向向上，对称轴为x＝－3，顶点坐标(－3，－4) （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1．(2025•福建)已知点A(－2，y1)，B(1，y2)在抛物线y＝3x2＋bx＋1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是(　　) A．1＜y1＜y2 B．y1＜1＜y2 C．1＜y2＜y1 D．y2＜1＜y1 【详解】解：∵y＝3x2＋bx＋1， ∴当x＝0时，y＝1， ∴抛物线过点(0，1)， ∴抛物线的开口向上，对称轴为， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵3＜b＜4， ∴， ∵，， ∴点A(－2，y1)到对称轴的距离大于点(0，1)到对称轴的距离，小于B(1，y2)到对称轴的距离， ∴1＜y1＜y2， 故选：A． 2．(2025•河南)在二次函数y＝ax2＋bx－2中，x与y的几组对应值如表所示． x … －2 0 1 … y … －2 －2 1 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值． 【详解】解：（1）由题意，结合表格数据可得，二次函数的对称轴是直线x1． ∴可设二次函数为y＝a(x＋1)2＋k． 又∵图象过(0，－2)，(1，1)， ∴－2＝a(0＋1)2＋k，且1＝a(1＋1)2＋k． ∴a＝1，k＝－3． ∴二次函数为y＝(x＋1)2－3，即y＝x2＋2x－2． （2）由题意，结合（1）y＝(x＋1)2－3， ∴顶点坐标为(－1，－3)． 作图如下． （3）由题意，∵二次函数的图象向右平移n个单位长度后， ∴新函数为y＝(x＋1－n)2－3． ∴此时对称轴是直线x＝n－1，函数图象开口向上． ∴①当3≤n－1时，即n≥4， ∴当x＝0时，y取最大值为(1－n)2－3；当x＝3时，y取最小值为(4－n)2－3． 又∵最大值与最小值的差为5， ∴(1－n)2－3－(4－n)2＋3＝5． ∴n4，不合题意． ②当0＜n－1＜3时，即1＜n＜4， ∴当x＝0或x＝3时，y取最大值为(1－n)2－3或(4－n)2－3；当x＝n－1时，y取最小值为－3． 又∵最大值与最小值的差为5， ∴(1－n)2－3＋3＝5或(4－n)2－3＋3＝5． ∴或(不合题意，舍去) ③当n－1≤0时，即n≤1， ∴当x＝0时，y取最小值为(1－n)2－3；当x＝3时，y取最大值为(4－n)2－3． 又∵最大值与最小值的差为5， ∴(4－n)2－3－(1－n)2－3＝5． ∴n1，不合题意． 综上，或． （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 1.二次函数图象如下： 2.的图象与性质． (1)二次函数的对称轴是x＝－，顶点坐标是(－，)． (2)若a＞0：当x＜－时，y随x的增大而减小；当x＞－时，y随x的增大而增大；当x＝－时，y最小值＝；若a＜0：当x＜－时，y随x的增大而增大；当x＞－时，y随x的增大而减小，当x＝－时，y最大值＝． 3.经历通过特殊到一般秩序渐进讨论二次函数的图象和性质过程体会数学的严谨性与逻辑性。 （设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：习题22.1第6、7题 探究性作业：1.如图，在直角坐标系中，已知函数． (1)完成以下列表： … 0 1 2 3 4 … … … (2)画出这个函数的图象； (3)观察图象，写出图象与坐标轴的交点坐标，顶点坐标及对称轴． 【详解】（1）如图，列表如下 … 0 1 2 3 4 … … 5 0 0 5 … 故答案为：5，0，，，，0，5； （2）如图，函数的图象如下： （3）由图可知：与x轴交于，，与y轴交于，顶点坐标，对称轴． 主板书 22.1.4 二次函数的图象和性质（第1课时） 探究点1 二次函数的图象和性质 探究点2 　二次函数的图象和性质 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$