22.1.3二次函数 y=a(x-h)²+k的图象和性质(第3课时)（教学设计）数学人教版九年级上册

22.1.3二次函数的图象和性质 （第3课时）（教学设计） 1.教学内容 本课时是人教版九年级上册教材第二十二章二次函数,22.1二次函数的图象和性质，22.1.3二次函的图象和性质第3课时，内容为二次函数的图象和性质。 2.内容解析 本节课从抛物线与抛物线的关系，讨论抛物线怎样由抛物线平移得到的，进而讨论抛物线与抛物线的关系，明确了抛物线间的关系，进而可以得到二次函数的图象和性质。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解二次函数的性质及其图象与的图象之间的关系，了解利用二次函数的图象和性质解决实际问题。 1.教学目标 （1）会用描点法画出二次函数的图象。 （2）掌握抛物线与之间的平移规律。 （3）依据具体问题情境建立二次函数模型来解决实际问题。 （4）进一步培养学生的数学抽象意识、数学建模意识和逻辑推理能力，渗透数形结合、从特殊到一般的思想方法，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。 2.目标解析 （1）通过本节课的学习使学生会用描点法画二次函数的图象。学生已经学习了二次函数、、的图像和性质学习已有很好的基础和经验。 （2）从二次函数的图象，可以观察并归纳出抛物线与之间的平移规律。 （3）从学生熟悉具体的问题情境，建立二次函数，运用二次函数模型来解决实际问题。 （4）类比二次函数的图象和性质，得到二次函数的图象和性质，是对二次函数及其应用知识学习的深化和提高，二次函数的学习为学生进一步学习函数，进而体会函数的思想奠定基础，积累经验，获得一般地认识和研究函数的基本方法，为进一步学习、研究函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。 学生已经学习了二次函数图象和性质，类比二次函数、、学生会用描点法画二次函数的图象，二次函数、、的图象和性质学习已有很好的基础和经验。抛物线间的图象和性质的讨论，既是认识新内容，又是对已学内容的复习巩固。教学要特别注意引导学生正确理解二次函数的图象与二次函数的图象之间的关系以及二次函数的性质，掌握利用二次函数的图象和性质解决实际问题。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：正确理解二次函数的图象与二次函数的图象之间的关系以及二次函数的性质，掌握利用二次函数的图象和性质解决实际问题。 创设情景，引入新课 复习二次函数、、的图象和性质 (活动方法：学生按图象和性质进行复习） (设计意图：复习旧知，为类比学习新知做铺垫) 探究点1 二次函数的图象 探究: 画出函数的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点，怎样移动抛物线就可以得到抛物线？ (活动方法：学生按照“列表、描点、连线”独立画出图象，再观察讨论,教师相机指导) 作出函数图象如图： 追问1:从图象中可以看到,此抛物线的开口方向、对称轴和顶点如何? 抛物线 的开口向下，对称轴是，顶点是. 追问2:抛物线怎样移动抛物线得到? 把抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线;也可以把抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到抛物线. 典例分析 例1.说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并指出它是由抛物线通过怎样的平移得到的． 【分析】结合抛物线与进行判断． 【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是(－1，－3)，它是由抛物线向左平移1个单位，向下平移3个单位得到． 探究点2 二次函数与的图象关系 从上面图象知:函数由向右平移1个单位得到；函数由函数向下平移1个单位得到． 类比,你能归纳出二次函数与的图象之间的关系吗? 当时，将抛物线向右平移个单位长度得到抛物线;当时，将抛物线向左平移|h|个单位长度得到抛物线. 一般地，抛物线与形状相同，位置不同，把抛物线向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线.平移的方向、距离根据h、k的值决定． 典例分析 例2.下列关于抛物线的说法错误的是(　　) A．抛物线开口向下　　　　　　B．抛物线的顶点坐标是(2，3) C．抛物线的对称轴是x＝2 D．当x＞2时，y随x的增大而增大 【分析】根据抛物线的形状和位置进行判断． 【详解】解：抛物线的开口向下，顶点坐标是(2，3)，对称轴是x＝2，当x＞2时，y随x的增大而减小，故抛物线，当x＞2时，y随x的增大而增大的说法错误的，答案选D . 探究点3 二次函数的图象和性质 类比二次函数、、图象和性质，我们可以得出二次函数的图象和性质: 1．二次函数(a≠0)的图象性质：开口方向：a＞0时，开口向上，a＜0时，开口向下，顶点，对称轴x＝h． 最值：a＞0时，有最小值．当a＜0时，有最大值． 增减性：a＞0且x＞h时，y随x的增大而增大；x＜h时，y随x的增大而减小；a＜0且x＞h时，y随x的增大而减小，x＜h时，y随x的增大而增大． 2．二次函数、图象有如下关系： 抛物线与形状相同，位置不同，把抛物线向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线.平移的方向、距离根据h、k的值决定． 由抛物线的图象通过平移得到的图象，左右平移的规律是左负右正．由抛物线的图象通过平移得到的图象，上下平移的规律是上加下减． 3．对于二次函数的图象，只要|a|相等，则它们的形状相同，只是开口方向不同，且|a|越大，开口越小． (活动方法:学生用自己语言归纳二次函数的图象和性质,教师相机指导。) 典例分析 例3．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)求这个函数的表达式． (2)当时，随的增大而减小，求的取值范围． 【分析】本题考查待定系数法确定二次函数解析式及二次函数的性质． （1）将代入解析式，利用待定系数法即可求解； （2）根据（1）中所得解析式可得对称轴，，在对称轴左侧随的增大而减小，根据二次函数的性质求得的取值范围．掌握二次函数的性质：，开口向上，在对称轴左侧随的增大而减小，，开口向下，在对称轴右侧随的增大而减小，是解决问题的关键． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点． ∴，解得：， ∴这个函数的表达式为：； （2）∵， ∴其对称轴为：， ∵， ∴图象开口向上，则当时，随的增大而减小， ∴的取值范围为． (设计意图：通过具体的二次函数类比这些抛物线得出二次函数的图象和性质) 探究点4 二次函数应用 例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长? 【分析】以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立直角坐标系，求出抛物线的函数解析式. 【详解】解：如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立直角坐标系.点(1，3)是图中中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式是 由这段抛物线经过点(3，0)，可得,解得　. 因此　 当时，，也就是说，水管应2.25长。 (设计意图：应用二次函数图象和性质解决问题） 1．已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在右图中画出二次函数C的图象； (3)当时，利用图象直接写出y的取值范围； (4)当时，利用图象直接写出x的取值范围． 【分析】本题主要考查了把抛物线解析式化为顶点式，画抛物线函数图象，抛物线与不等式之间的关系，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）利用配方法把抛物线解析式化为顶点式即可； （2）先列表，然后描点，最后连线画出函数图象即可； （3）（4）利用图象法求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：如图所示，即为所求； 列表如下： … 0 1 2 3 4 … … 3 0 0 3 … （3）解：由函数图象可知，当，； （4）解：由函数图象可知，当时，． (设计意图：拓展对二次函数的认识) 1.说出下列抛物线的开口方向，对称轴和顶点： ；　　　　　　　； ；　　　　　　　． 【详解】（1）开口向上，对称轴是，顶点是; （2）开口向下，对称轴是，顶点是; （3）开口向上，对称轴是，顶点是; （4）开口向下，对称轴是，顶点是. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1．（2025上·杭州·九年级校联考期中）如图，一小球从斜坡上的点处抛出．球抛出的路线可以用图中的抛物线表示，并建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡所在直线解析式为，若小球到达最高点的坐标为，解答下列问题： (1)求抛物线的解析式； (2)在斜坡上的点有一个障碍物，点的横坐标为，障碍物的高度为2，小球能否飞过这个障碍物？通过计算说明理由； (3)该高度为2的障碍物放在斜坡上，若使小球能够通过，求出障碍物放置的水平范围． 【分析】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，待定系数法求次函数的解析式，难度适中，利用数形结合与方程思想是解题的关键； （1）设抛物线的表达式为 ，把代入即可得到答案； （2）把分别代入和，即可得到答案； （3）根据求出x，二次函数的性质即可得到结论； 【详解】（1）解， 设， 将代入得， ． （2）将代入， 得，，， 将代入， 得， ， 小球不能飞过这个障碍物； （3）， ， ， 解得：，． ， 若使小球能够通过，障碍物放置的水平范围是：． 2．（2025上·山东青岛·九年级阶段考试）如图，有一条双向隧道，其横断面由抛物线和矩形的三边组成，隧道的最大高度为米；米，米， (1)在如图所示的坐标系中，求抛物线的解析式． (2)若有一辆高为4米，宽为2米装有集装箱的汽车要通过隧道，则汽车靠近隧道的一侧离开隧道壁m米，才不会碰到隧道的顶部，又不违反交通规则，问m的取值范围是多少？ 【分析】本题主要考查二次函数的应用，包括待定系数法求解析式等知识； （1）设抛物线解析式为，根据题意解出、，抛物线顶点坐标为且过点，设抛物线的解析式为，可求出的值，确定表达式． （2）由（1）得抛物线解析式，若汽车的右侧离开隧道右壁不至于碰到隧道的顶部，则令，解得，然后根据题意得解； 灵活运用二次函数性质解决实际问题是解题的关键． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 由题意知，隧道的最大高度为米；米，米， 由题意可知，抛物线的顶点坐标为，且过点， 则有， ，， 抛物线的解析式为， （2）由题意得， 当时，， ，． 当或8时，集装箱刚好碰到隧道的顶部，此时， 当时，此时刚好违反交通规则， 汽车靠近隧道的一侧离开隧道壁m米，才不会碰到隧道的顶部，又不违反交通规则， 的取值范围是． （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 1．二次函数(a≠0)的图象性质：开口方向：a＞0时，开口向上，a＜0时，开口向下，顶点(h，0)，对称轴x＝h． 最值：a＞0时，有最小值．当a＜0时，有最大值． 增减性：a＞0且x＞h时，y随x的增大而增大；x＜h时，y随x的增大而减小；a＜0且x＞h时，y随x的增大而减小，x＜h时，y随x的增大而增大． 2．二次函数、图象有如下关系： 抛物线与形状相同，位置不同，把抛物线向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线.平移的方向、距离根据h、k的值决定． 3．对于二次函数的图象，只要|a|相等，则它们的形状相同，只是开口方向不同，且|a|越大，开口越小． 4.经历通过特殊到一般秩序渐进讨论二次函数的图象和性质过程体会数学的严谨性与逻辑性。 （设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值： 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 　　 【详解】1. 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 向上 x＝－5 (－5，1) 最小值1 向下 x＝7 (7，－6) 最大值－6 向上 x＝4 (4，10) 最小值10 向下 x＝－4 (－4，－3) 最大值－3 2.二次函数的图象如图，则一次函数y＝mx＋n的图象经过(　　) A．第一、二、三象限　　　　　　　　　　B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限　　　　　　　　　　D．第一、三、四象限 2.由图象知：　顶点坐标在第一象限，所以，故一次函数y＝mx＋n的图象经过第一、二、四象限，故选B． 3.在平面直角坐标系中，将抛物线y＝2x2－3先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，写出得到的抛物线解析式？ 3.． 探究性作业：1．一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题： (1)建立合适的平面直角坐标系，求该拋物线的表达式； (2)由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度； (3)已知一艘货船的高为米，宽为米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？（结果精确到） 【详解】（1）解：如图，为宽16米的水面，C为拱桥最高点，以的中点为平面直角坐标系的原点O，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如下： 则，， 抛物线的顶点坐标为，， 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得：， 解得：， ∴该抛物线的表达式为； （2）解：在中，当时，则， 解得：， ， ∴水面上升2米后的水面宽度为米， （3）解：如图，这艘货船安全通过拱桥时，水面最多可以上升到处，    ∵货船的高为米，宽为米， ∴米，， 设米，则米， ∴点的坐标为， 将代入，得： 解得， ∴要使这艘货船安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升米． 主板书 22.1.3二次函数的图象和性质（第3课时） 探究点1 二次函数的图象 探究点2 二次函数与的图象关系 探究点3 二次函数的图象和性质 探究点4 二次函数应用 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$