22.1.3二次函数 y=a(x-h)²+k的图象和性质(第2课时)（教学设计）数学人教版九年级上册

22.1.3二次函数的图象和性质 （第2课时）（教学设计） 1.教学内容 本课时是人教版九年级上册教材第二十二章二次函数,22.1二次函数的图象和性质，22.1.3二次函的图象和性质第2课时，内容为二次函数的图象和性质。 2.内容解析 本节课从抛物线与抛物线的关系，讨论抛物线怎样由抛物线平移得到的，进而讨论抛物线与抛物线的关系，明确了抛物线间的关系，进而可以得到二次函数性质。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解二次函数的性质及其图象与的图象之间的关系，了解利用二次函数的图象和性质解决实际问题. 1.教学目标 （1）会用描点法画出二次函数的图象。 （2）掌握抛物线与之间的平移规律。 （3）依据具体问题情境建立二次函数模型来解决实际问题。 （4）进一步培养学生的数学抽象意识、数学建模意识和逻辑推理能力，渗透数形结合、从特殊到一般的思想方法，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。 2.目标解析 （1）通过本节课的学习使学生会用描点法画二次函数的图象。学生已经学习了二次函数、的图象和性质学习已有很好的基础和经验。 （2）从二次函数的图象，可以观察并归纳出抛物线与之间的平移规律。 （3）从学生熟悉具体的问题情境，建立二次函数，运用二次函数模型来解决实际问题。 （4）类比二次函数的图象和性质得到二次函数的图象和性质，是对二次函数及其应用知识学习的深化和提高，二次函数的学习为学生进一步学习函数，进而体会函数的思想奠定基础，积累经验，获得一般地认识和研究函数的基本方法，为进一步学习、研究函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。 学生已经学习了二次函数图象和性质，类比二次函数、学生会用描点法画二次函数的图象，二次函数、的图象和性质学习已有很好的基础和经验。抛物线间的图象和性质的讨论，既是认识新内容，又是对已学内容的复习巩固。教学要特别注意引导学生正确理解二次函数的图象与二次函数的图象之间的关系以及二次函数的性质，掌握利用二次函数的图象和性质解决实际问题。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：正确理解二次函数的图象与二次函数的图象之间的关系以及二次函数的性质，掌握利用二次函数的图象和性质解决实际问题。 创设情景，引入新课 复习二次函数、的图象和性质 (活动方法：学生按图象和性质进行复习） (设计意图：复习旧知，为类比学习新知做铺垫) 探究点1 二次函数，的图象 操作 在同一直角坐标系中，画出二次函数，的图象. (活动方法：学生按照“列表、描点、连线”独立画出图象，教师相机指导) 作出函数图象如图： 观察思考： 追问1：二次函数，的图象的开口方向、对称轴和顶点各如何？ 抛物线的开口向下；对称轴是； （教师指导：经过点(-1，0)且与轴垂直的直线，它不同于一次函数所对应的直线，这条直线上的点是所有横坐标为-1的点，因而记作) 顶点是. 抛物线的开口向下；对称轴是；顶点是. 追问2：抛物线，与抛物线形状如何？位置如何？ 抛物线，与抛物线形状相同,位置不同，括号内是，图象向 轴的负方向平移;括号内是，图象向轴的正方向平移. 追问3：抛物线上的点是，将它的各个点的纵坐标都加1（减1），相应的点在什么抛物线上？由此你能得出什么结论？ 抛物线上的点是，将它的各个点的横坐标都加1（减1），相应的点为在抛物线上；就是将抛物线向右平移1个单位长度，得到抛物线. 探究点2 二次函数与的图象关系 从上面三个函数图象的关系,类比上节课讨论的二次函数、的图象间的关系,你能归纳出二次函数与的图象之间的关系吗? 当时，将抛物线向右平移个单位长度,得到抛物线;当时，将抛物线向左平移|h|个单位长度.得到抛物线. 典例分析 例1.如果将抛物线向右平移1个、2个单位，那么所得的抛物线的表达式是什么？ 如果将抛物线向左平移1个、2个单位，那么所得的抛物线的表达式是什么？ 【分析】当时，将抛物线向右平移个单位长度得到抛物线;当时，将抛物线向左平移|h|个单位长度得到抛物线． 【详解】解：抛物线向右平移1个、2个单位，那么所得的抛物线的表达式分别为、；抛物线向左平移1个、2个单位，那么所得的抛物线的表达式分别为、． 探究点3 二次函数的图象和性质 类比二次函数、图象和性质，我们可以得出二次函数的图象和性质: 1．二次函数(a≠0)的图象性质：开口方向：a＞0时，开口向上，a＜0时，开口向下，顶点(h，0)，对称轴x＝h． 最值：a＞0时，有最小值y＝0．当a＜0时，有最大值y＝0． 增减性：a＞0且x＞h时，y随x的增大而增大；x＜h时，y随x的增大而减小；a＜0且x＞h时，y随x的增大而减小，x＜h时，y随x的增大而增大． 2．二次函数、图象有如下关系： 二次函数图象 二次函数图象. 3．由抛物线的图象通过平移得到的图象，左右平移的规律是左加右减． 4．对于二次函数的图象，只要|a|相等，则它们的形状相同，只是开口方向不同，且|a|越大，开口越小． (活动方法:学生用自己语言归纳二次函数的图象和性质,教师相机指导。) (设计意图：通过具体的二次函数类比这些抛物线得出二次函数的图象和性质) 典例分析 例2.抛物线的顶点为(－2，0)，它的形状与相同，但开口方向与之相反． (1)求抛物线解析式； (2)求抛物线与y轴交点坐标； (3)指出该抛物线的增减性． 【分析】(1)抛物线的形状与相同，但开口方向与之相反，所以，将的顶点坐标为，代入求出； (2)抛物线与y轴交点的纵坐标是时,的值; (3)，抛物线开口向下，当x＞h时，y随x的增大而减小，x＜h时，y随x的增大而增大． 【详解】解：(1)由题意，抛物线的形状与相同，但开口方向与之相反，所以， 抛物线的顶点为(－2，0)，将，代入，得 故； (2)当x＝0时，y＝－12，与y轴交点(0，－12)； (3)，抛物线开口向下，当时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大． (设计意图：应用二次函数图象和性质解决问题） 1.在平面直角坐标系中，抛物线的表达式为． (1)当时，求y的值． (2)将抛物线向左平移2个单位后，恰经过点，求b的值． 【分析】（1）把代入，即可求得； （2）根据题意原抛物线经过，代入解析式解方程即可求得． 【详解】（1）解：当时，； 即y的值为0； （2）∵将抛物线向左平移2个单位后，恰经过点 ∴原抛物线经过， 把代入解析式可得：， ∴． (设计意图：拓展对二次函数模型的应用) 1.（课本练习）在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：，，． 观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. 【详解】（画图略).把抛物线向左平移2个单位长度，就得到拋物线.把抛物线向右平移2个单位长度，就得到抛物线.三条抛物线都是开口向上；对称轴依次是y轴，，; 顶点依次是（O，0),（一2,0)，(2，0). （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1．(2025•威海)已知点，，都在二次函数的图象上，则的大小关系是(　　) A． B． C． D． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵三点为(点，，， ∴与对称轴的距离分别为|－2－2|＝4，|3－2|＝1，|7－2|＝5， ∴1＜4＜5， ∴． 故选：C． 2．（2025上·浙江台州·九年级统考）一条抛物线由抛物线沿轴平移得到，对称轴为直线． (求该抛物线的解析式，并指出其顶点坐标； 【详解】解：设所求抛物线为， ∵对称轴为直线， ∴所求抛物线为. 顶点坐标是（-1，0）． （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 1．二次函数(a≠0)的图象性质：开口方向：a＞0时，开口向上，a＜0时，开口向下，顶点(h，0)，对称轴x＝h． 最值：a＞0时，有最小值y＝0．当a＜0时，有最大值y＝0． 增减性：a＞0且x＞h时，y随x的增大而增大；x＜h时，y随x的增大而减小；a＜0且x＞h时，y随x的增大而减小，x＜h时，y随x的增大而增大． 2．二次函数、图象有如下关系： 二次函数图象 二次函数图象. 3．由抛物线的图象通过平移得到的图象，左右平移的规律是左加右减． 4．对于二次函数的图象，只要|a|相等，则它们的形状相同，只是开口方向不同，且|a|越大，开口越小． 5.经历通过特殊到一般秩序渐进讨论二次函数的图象和性质过程体会数学的严谨性与逻辑性。 （设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：1．关于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上，对称轴是直线 B．开口向下，对称轴是直线 C．开口向上，对称轴是直线 D．开口向下，对称轴是直线 【详解】解：二次函数， 由可得抛物线开口向下；对称轴是直线， 故选：D． 2．已知二次函数，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，则h的值为（　） A． B． C．4 D．2 【详解】解：∵， ∴，对称轴为， ∴在对称轴的左侧y随着x的增大而增大，在对称轴的右侧y随着x的增大而减小， ∵当时，y随着x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴， ∴； 故选D． 3.已知二次函数的图象过． （1） 求这个函数的解析式; 将抛物线沿轴平移后，所得到的抛物线的顶点为，求平移后的函数解析式． 【详解】解：(1)∵二次函数的图象过 ∴，∴， ∴这个函数的解析式为． (2)将抛物线沿轴平移后，所得到的抛物线的顶点为，平移后的函数解析式为． 探究性作业：1．将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的新抛物线解析式为(　　) A． B． C． D． 【详解】由“左加右减”的原则可知，将抛物线向右平移3个单位长度所得的抛物线的解析式为：； 再向下平移两个单位长度所得抛物线的解析式为：． 故选：C 主板书 22.1.3二次函数的图象和性质（第2课时） 探究点1 二次函数，的图象 探究点2 二次函数与的图象关系 探究点3 二次函数的图象和性质 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$