4.3.3 对数函数的图象与性质同步练习-2025-2026学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

4.3.3　对数函数的图象与性质 一、基础巩固 1.若函数f(x)=log2(x+1)的定义域是[0,1],则函数f(x)的值域为(　　) A.[0,1] B.(0,1) C.(-∞,1] D.[1,+∞) 2.已知函数f(x)=loga(x-m)(a>0且a≠1)的图象过点(4,0)和(7,1),则f(x)在定义域上是(　　) A.增函数 B.减函数 C.奇函数 D.偶函数 3.已知函数f(x)=log(a-1)(2x+1)在(-,0)内恒有f(x)>0,则实数a的取值范围是(　　) A.(1,+∞) B.(0,1) C.(0,2) D.(1,2) 4.(2025甘肃白银高一期末)已知3a=1.6,8b=3.9,c=(,则(　　) A.c<b<a B.c<a<b C.a<c<b D.a<b<c 5.已知函数f(x)=loga(a-ax)(a>1),则f(x)的定义域为　　　　　,值域为　　　　　.  6.已知对数函数y=f(x)的图象经过点P(9,2). (1)求y=f(x)的解析式; (2)若x∈(0,1),求f(x)的取值范围; (3)若函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称,求y=g(x)的解析式. 二、能力提升 7.(多选题)已知a>0且a≠1,函数y=logax,y=ax,y=x+a在同一坐标系中的图象不可能是(　　) 8.(2025甘肃嘉峪关高一阶段检测)若曲线f(x)=loga(x+2)+1(a>0,且a≠1)经过定点A(m,n),曲线g(x)=bx-2+3(b>0,且b≠1)经过定点B(p,q),则m+n+p+q=(　　) A.4 B.6 C.7 D.8 9.在同一平面直角坐标系中,函数y=g(x)的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称,而函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称,若f(m)=-1,则m的值是(　　) A.-e B.- C.e D. 10.已知a>0且a≠1,若函数f(x)=的值域为[1,+∞),则a的取值范围是(　　) A. B.(1,+∞) C.(1,2) D.(1,2] 11.已知实数a,b满足等式log2a=log3b,给出下列五个关系式: ①a>b>1;②b>a>1;③a<b<1;④b<a<1;⑤a=b. 其中可能正确的关系式是　　　　　.  12.设f(x)=ax(a>0且a≠1),其图象经过点(),g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y=x对称. (1)若f(2m)=4,f(n)=25,求2m+n的值; (2)若g(x)在区间[,c]上的值域为[m,n],且n-m=,求c的值. 13.设函数f(x)=ln(ax2+2x+a)的定义域为M. (1)若1∉M,2∈M,求实数a的取值范围; (2)若M=R,求实数a的取值范围. 答案 1.A　由于0≤x≤1,∴1≤x+1≤2,∴log21≤log2(x+1)≤log22,即0≤log2(x+1)≤1,故函数f(x)的值域为[0,1],故选A. 2.A　将点(4,0)和(7,1)代入函数解析式,有解得a=4和m=3,则有f(x)=log4(x-3).由于定义域是x>3,则函数不具有奇偶性.函数f(x)在定义域上是增函数. 3.D　由-<x<0,得0<2x+1<1.若f(x)>0恒成立,则0<a-1<1.故1<a<2. 4.D　由3a=1.6,得a=log31.6<log3.由8b=3.9,得b=log83.9>log82. 又b=log83.9=,c=(=(>()1=,所以a<b<c.故选D. 5.(-∞,1)　R　令a-ax>0,即ax<a. 因为a>1,所以x<1. 因为a-ax>0,所以f(x)=loga(a-ax)∈R,因此,函数f(x)的定义域为(-∞,1),值域为R. 6.解(1)设f(x)=logax(a>0,且a≠1). 由题意得f(9)=loga9=2,故a2=9, 解得a=3或a=-3. 又因为a>0,所以a=3.故f(x)=log3x. (2)因为3>1,所以当x∈(0,1)时,f(x)<0, 即f(x)的取值范围为(-∞,0). (3)因为函数y=g(x)的图象与函数y=log3x的图象关于x轴对称,所以g(x)=lox. 7.ABD　函数y=ax与y=logax的图象关于直线y=x对称,又函数y=ax的图象过(0,1),y=logax的图象过(1,0),观察图象知,只有C正确,故选ABD. 8.B　依题意,当x+2=1,即x=-1时,恒有f(x)=1,因此点A(-1,1),当x-2=0,即x=2时,恒有g(x)=4,因此点B(2,4),所以m+n+p+q=6.故选B. 9.B　∵函数y=g(x)的图象与y=ex的图象关于直线y=x对称,∴函数y=g(x)与y=ex互为反函数,则g(x)=ln x,又由y=f(x)的图象与y=g(x)的图象关于y轴对称,则f(x)=ln(-x).又f(m)=-1, ∴ln(-m)=-1,m=-,故选B. 10.D　∵当x≤2时,f(x)∈[1,+∞),且f(x)的值域为[1,+∞),∴当x>2时,f(x)的值域是[1,+∞)的子集,此时logax>loga2≥1,∴1<a≤2,∴a的取值范围是(1,2].故选D. 11.②④⑤　实数a,b满足等式log2a=log3b,即y=log2x在x=a处的函数值和y=log3x在x=b处的函数值相等,当a=b=1时,log2a=log3b=0,此时⑤成立;作直线y=1,由图象知,此时log2a=log3b=1,可得a=2,b=3,由此知②成立,①不成立;作出直线y=-1,由图象知,此时log2a=log3b=-1,可得a=,b=,由此知④成立,③不成立. 综上,正确的关系式为②④⑤. 12.解(1)因为f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象经过点(),所以, 所以a=10,所以f(x)=10x. 因为f(2m)=4,f(n)=25, 所以102m=4,10n=25, 所以102m·10n=100, 所以102m+n=102, 所以2m+n=2. (2)因为g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y=x对称, 所以g(x)=lg x(x>0),且为增函数, 所以g(x)在区间[,c]上的值域为[lg,lg c]=[m,n]. 因为n-m=,所以lg c-lg, 所以lg c=2,则c=100. 13.解 (1)由题意M={x|ax2+2x+a>0}. 由1∉M,2∈M可得 化简得无解. 所以a的取值范围为⌀. (2)由M=R可得ax2+2x+a>0恒成立. 当a=0时,不等式可化为2x>0,解得x>0,显然不合题意; 当a≠0时,由二次函数的图象可知Δ=22-4×a×a<0,且a>0,即化简得解得a>1. 所以a的取值范围为(1,+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $$