第五章　一元一次方程 课件2025-2026学年冀教版七年级数学上册

第五章　一元一次方程 第2课时　解含有括号或分母的一元一次方程 5.3　解一元一次方程  　利用去括号解一元一次方程 1.【学科特色·易错题】(2025河北邯郸月考)解方程2(3x-1)-(x- 4)=1时,去括号正确的是 ( ) A.6x-1-x-4=1　　    B.6x-1-x+4=1 C.6x-2-x-4=1　　    D.6x-2-x+4=1     D     解析　去括号得6x-2-x+4=1,故选D. 易错警示　去括号时容易出现漏乘和符号错误的情况. 2.(2025山东日照东港月考)已知关于x的方程2(x+m)=nx的解 为x=2,则m-n的值为 ( ) A.-2　　    B.-1　　    C.1　　    D.2     A     解析　把x=2代入2(x+m)=nx,得2(2+m)=2n.整理,得m-n=-2. 故 选A. 3.已知3x-5比2x+1的值大1,则x的值为_________.     7     解析　根据题意,得3x-5-(2x+1)=1,解得x=7. 4.解下列方程. (1)3(x+2)=-2x. (2)2(x-7)+1=x-5(2x-1). (3)4 -x=8-9 . (4)2-2(x+4)=1-3(1-0.5x). 解析    (1)去括号,得3x+6=-2x. 移项,得3x+2x=-6. 合并同类项,得5x=-6. 系数化为1,得x=- . (2)去括号,得2x-14+1=x-10x+5. 移项,得2x-x+10x=5+14-1. 合并同类项,得11x=18. 系数化为1,得x= . (3)去括号,得2x+24-x=8-6x+9. 移项,得2x-x+6x=8+9-24. 合并同类项,得7x=-7. 系数化为1,得x=-1. (4)去括号,得2-2x-8=1-3+1.5x. 移项,得-2x-1.5x=1-3-2+8. 合并同类项,得-3.5x=4. 系数化为1,得x=- .  　利用去分母解一元一次方程 5.【学科特色·易错题】(2024河北唐山乐亭期末)将方程 -  =1去分母,结果正确的是 ( ) A.2x-(x+2)=1　　    B.2x-x+2=1 C.2x-(x+2)=6　　    D.2x-x+2=6     C     解析　方程 - =1,去分母,得2x-(x+2)=6.故选C. 易错警示　去分母时,方程两边同乘各分母的最小公倍数,不 要漏乘没有分母的项,同时要把分子(如果是一个多项式)作为 一个整体加上括号. 6.(2024吉林长春德惠期中)将方程 - =1去分母得到2 (2x-1)-3x+1=6,错在 ( ) A.分母的最小公倍数找错了 B.去分母时漏乘项 C.去分母时,各项所乘的数不同 D.去分母时,分子是多项式,漏加括号     D     解析　将方程 - =1去分母得到2(2x-1)-3x+1=6错在去 分母时,分子是多项式,漏加括号,正确结果应为2(2x-1)-3(x+1) =6.故选D. 7.【学科特色·易错题】解方程: (1) + =1.    (2) = -2. 解析    (1)去分母,得5(x-1)+2(3x+2)=10, 去括号,得5x-5+6x+4=10, 移项、合并同类项,得11x=11, 系数化为1,得x=1. (2)去分母,得7(1-2x)=3(3x+1)-42, 去括号,得7-14x=9x+3-42, 移项,得-14x-9x=3-42-7, 合并同类项,得-23x=-46, 系数化为1,得x=2. 易错警示　本题易出现去分母时,漏乘不含分母的项,也易在 去括号时出现错误.  　解一元一次方程的一般步骤 8.(2025河北衡水桃城开学测试)下面是关于x的一元一次方程  = x-2的求解过程,对于每一步的运算,其中依据表述错 误的是 ( )     A     解方程: = x-2. 解:去分母,得2(9x+11)=x-12.① 去括号,得18x+22=x-12.② 移项,得18x-x=-12-22.③ 合并同类项,得17x=-34.④ 方程两边同时除以17,得x=-2. A.①分数的基本性质　　    B.②乘法分配律 C.③等式的基本性质　　    D.④合并同类项法则 解析　去分母,得2(9x+11)=x-12.(等式的基本性质)① 去括号,得18x+22=x-12.(乘法分配律)② 移项,得18x-x=-12-22.(等式的基本性质)③ 合并同类项,得17x=-34.(合并同类项法则)④ 方程两边同时除以17,得x=-2. 依据表述错误的是①, 故选A. 9.【学科特色·教材变式P167T1】(2023浙江衢州中考)小红在 解方程 = +1时,第一步出现了错误,如图:   (1)请在相应的方框内用横线划出小红的错误之处. (2)写出你的解答过程. 解析    (1)如图:   (2)去分母,得2×7x=(4x-1)+6, 去括号,得14x=4x-1+6,移项,得14x-4x=-1+6, 合并同类项,得10x=5,系数化为1,得x= . 10.(2024河北石家庄八十一中月考,★★☆)定义符号“*”表 示的运算为a*b=ab+3a,若(3*x)+(x*3)=-27,则x= ( ) A.- 　　    B. 　　    C.4　　    D.-4     D     解析　根据题意得原式=(3x+9)+(3x+3x)=-27,解得x=-4,故 选D. 11.(2025河北廊坊霸州期末,★★☆)下面是某同学求解一元 一次方程的解题过程. 解方程: -1= . 解:去分母,得3(3x-1)-1=2(5x-7),…第一步 去括号,得9x-3-1=10x-14,…第二步 移项,得9x-10x=-14+3+1,…第三步 合并同类项,得-x=-10,…第四步 系数化为1,得x=10.…第五步 请认真阅读并完成下面的相应问题. (1)以上求解步骤中,第一步去分母的变形依据是________ ____. (2)上述解题过程从第______步开始出现错误,错误的原因是 _________. (3)请帮该同学改正错误,写出完整的解题过程. 解析    (1)等式的基本性质2. (2)一;-1漏乘12. (3) -1= , 去分母,得3(3x-1)-12=2(5x-7), 去括号,得9x-3-12=10x-14, 移项,得9x-10x=-14+3+12, 合并同类项,得-x=1, 系数化为1,得x=-1. 12.【新课标·运算能力】【学科特色·分类讨论思想】先阅读 下列解题过程,然后解答后面两个问题. 解方程:|x-3|=2. 解:当x-3≥0时,原方程可化为x-3=2,解得x=5; 当x-3<0时,原方程可化为x-3=-2,解得x=1. 所以原方程的解是x=5或x=1. (1)解方程:|3x-2|-4=0. (2)解关于x的方程:|x-2|=b. 解析    (1)当3x-2≥0时,原方程可化为3x-2-4=0,解得x=2; 当3x-2<0时,原方程可化为-(3x-2)-4=0, 解得x=- . 所以原方程的解是x=2或x=- . (2)①当b<0时,原方程无解. ②当b=0时,原方程可化为x-2=0,解得x=2. ③当b>0时,若x-2≥0,则原方程可化为x-2=b,解得x=b+2; 若x-2<0,则原方程可化为x-2=-b,解得x=-b+2. 微专题　一元一次方程的同解问题 方法指引　如果两个同解方程中只有一个方程含有参数,那 么我们先求出不含参数的方程的解,再将方程的解代入另一 个方程得到关于参数的方程,从而求出参数的值. 1.已知关于x的两个方程4x- = +4与1-2x=7-5x,如果两个方 程的解相同,那么a的值为( ) A.-5　　    B.5　　    C.10　　    D.-10     A     解析　解1-2x=7-5x,得x=2, 因为两个方程的解相同,所以将x=2代入4x- = +4,得8- =5 +4,解得a=-5,故选A. 2.若关于x的方程3x+5=m与x-2m=5有相同的解,则m的值是  ( ) A.3　　    B.-3　　    C.-4　　    D.4     C     解析　由3x+5=m,得x= , 由x-2m=5,得x=5+2m, 由题意知 =5+2m,解得m=-4,故选C. 3.(2024河北秦皇岛昌黎期末)已知关于x的方程x-2m=3x+4与  - =1的解互为相反数,求m的值. 解析　解方程 - =1,得x=-1, 因为关于x的方程x-2m=3x+4与 - =1的解互为相反数, 所以x=1是方程x-2m=3x+4的解,代入得1-2m=3+4,解得m=-3. END THANKS 感谢您的观看 $$第五章　一元一次方程 5.1　等式与方程  　等式与方程 1.(2025河北邯郸永年期末)在①2-5;②1+7x=-8y+3;③x=6;④3x =2x-9;⑤2x>7中,方程共有 ( ) A.1个　　    B.2个　　     C.3个　　    D.4个     C     解析　根据方程的定义可知,②③④是方程.故选C. 2.(2025福建厦门思明期中)下列式子中,是方程的是 ( ) A.3×3+1=5×2　　     B.x+y+z C.3x+1=5y　　     D.(y-2)2≥0     C     解析　含有未知数的等式叫作方程,故选项C中式子是方程, 故选C. 3.(2024河北保定期末)等式就像平衡的天平,能用如图所示的 事实解释的性质是( )   A.如果a=b,那么ac=bc B.如果a=b,那么 = (c≠0) C.如果a=b,那么a+c=b+c D.如果a=b,那么a2=b2     C     4.(2025北京海淀期末)根据等式的性质,下列变形正确的是  ( ) A.如果a=b,那么a-2=b+2 B.如果a=b,那么2a=2b C.如果6a=2,那么a=3 D.如果ac=bc,那么a=b     B     解析　若a=b,两边同时减去2得a-2=b-2,故A变形不正确;若a= b,两边同时乘2得2a=2b,故B变形正确;若6a=2,两边同除以6得 a= ,故C变形不正确;若ac=bc,当c=0时,a与b不一定相等,故D 变形不正确.故选B. 5.若x=-1能使等式2x+m-6=0成立,则m的值是( ) A.-4　　    B.4　　     C.-8　　    D.8     D     解析　把x=-1代入2x+m-6=0,可得m-8=0,所以m=8,故选D. 6.【学科特色·教材变式P158T2】在下列各题的相应横线上 填上适当的数或整式,并说明变形是根据等式的哪一条基本 性质以及是怎样变形的. (1)如果- = ,那么x=________,根据_____________________ _________; (2)如果-2x=2y,那么x=_______,根据_______________________ ________; (3)如果 x=4,那么x=____,根据___________________________;     6     除以-2     　等式的基本性质2,两边都 　-y     都乘-10     　等式的基本性质2,两边 　-2y     　等式的基本性质2,两边都 乘      (4)如果x=3x+2,那么x-__________=2,根据___________ ____________. 边都减去3x     　等式的基本性质1,两     3x     7.利用等式的基本性质将下列方程化成x=a的形式: (1)x-3=6.    (2)3+x=6.    (3)3x=6. (4)- x=6.(5)4x-6=-10.(6)- x+3=4. 解析    (1)x-3=6, 两边都加上3,得x-3+3=6+3,所以x=9. (2)3+x=6, 两边都减去3,得3+x-3=6-3,所以x=3. (3)3x=6,两边都除以3,得x=2. (4)- x=6,两边都乘-3,得x=-18. (5)4x-6=-10, 两边都加上6,得4x-6+6=-10+6,所以4x=-4, 两边都除以4,得x=-1. (6)- x+3=4, 两边都减去3,得- x+3-3=4-3,所以- x=1, 两边都乘-2,得x=-2. 8.(2025河北邢台信都期末)在将等式3x-2y=2x-2y变形时,小明 的变形过程如下: 因为3x-2y=2x-2y, 所以3x=2x,(第一步) 所以3=2.(第二步) (1)上述过程中,第一步的依据是什么? (2)小明第二步的结论正确吗?请说明原因. 解析    (1)因为3x-2y=2x-2y, 所以根据等式的基本性质1,两边都加上2y,得3x=2x, 所以第一步的依据是等式的基本性质1. (2)小明第二步的结论不正确,理由如下: 因为根据等式的基本性质2,等式两边同时除以一个不为0的 数,等式仍然成立, 所以当x=0时,等式不成立, 所以小明第二步的结论不正确. 9.(2025河北石家庄长安期末,★★☆)已知等式a=b,下列变形 正确的是 ( ) A.2a=3b　　    B. =  C.a+n=b+n　　D.a-1=b+1     C     解析　已知等式a=b, 两边同乘2得2a=2b,故A不符合题意; 当c≠0时,两边同除以c得 = ,故B不符合题意; 两边同时加上n得a+n=b+n,故C符合题意; 两边同时减去1得a-1=b-1,故D不符合题意. 故选C. 10.(2024河北衡水景县二中期末,★★☆)根据等式的基本性 质,若等式m=n可以变形得到m+a=n-b,则a,b应满足的条件是  ( ) A.互为相反数　　    B.互为倒数 C.相等　　     D.a=0,b=0     A     解析　根据等式的基本性质,若等式m=n可以变形得到m+a=n -b,则a=-b, 所以a+b=0,所以a与b互为相反数.故选A. 11.(2025云南昆明呈贡期末,★★☆)下列变形中,不正确的是  ( ) A.若a-3=b-3,则a=b B.若 = ,则a=b C.若a=b,则 =  D.若a(c+1)=b(c+1),则a=b     D     解析　若a-3=b-3,则两边同时加3得a=b; 若 = ,则两边同时乘c2得a=b; 若a=b,则因为c2+1>0,所以两边同除以c2+1得 = ; 若a(c+1)=b(c+1),则当c=-1时,a与b不一定相等.故选D. 12.【跨物理·天平】(2024河北邢台期末,★★☆)有三种不同 质量的物体“ ”“ ”“ ”,同一种物体的质量都相等,将天 平的左右托盘中都放上不同个数的物体,下列四个天平中只 有一个天平状态不对,则该天平是 ( )  　       　          A     解析　设“ ”的质量为x,“ ”的质量为y,“ ”的质量为z,若 各个选项中天平左右托盘中物体的质量相等,则A选项可表示 为2x=3y, B选项可表示为2z+x=2y+2z,即x=2y, C选项可表示为x+z=z+2y,即x=2y, D选项可表示为2x=4y,即x=2y, 只有A选项与其他的等式不同,故选A. 13.(2025河北廊坊广阳期末,★★☆)根据等式的基本性质,下 列结论正确的是 ( ) A.由2x-3=1,得2x=1-3 B.由-2x=1,得x=-2 C.由 + =4,得3x+2x=24 D.由2(x-3)=1,得2x-3=1     C     解析    A.由2x-3=1,得2x=1+3,原结论错误; B.由-2x=1,得x=- ,原结论错误; C.由 + =4,得3x+2x=24,原结论正确; D.由2(x-3)=1,得2x-6=1,原结论错误.故选C. 14.(★☆☆)在物理学中,导体中的电流I跟导体两端的电 压U、导体的电阻R之间有以下关系:I= ,去分母得IR=U,其 变形的依据是____________________. 　等式的基本性质2     15.【新课标·模型观念】利用等式的基本性质,说明由 a-1=  b+1如何变形得到a=b+4. 解析     a-1= b+1, 等式两边同时乘2得a-2=b+2, 等式两边同时加上2得a-2+2=b+2+2,即a=b+4. 16.【新课标·模型观念】能否从等式(3a+7)x=4a-b中得到x=  ?为什么?反过来,能否从等式x= 中得到(3a+7)x=4a -b?为什么? 解析　从等式(3a+7)x=4a-b中不一定能得到x= .理由:当 a=- 时,3a+7=0, 根据等式的基本性质2,等式两边不能同时除以0, 所以不能从等式(3a+7)x=4a-b中得到x= . 反过来,能从等式x= 中得到(3a+7)x=4a-b. 理由:由x= 知3a+7≠0, 等式两边同时乘(3a+7),得(3a+7)x=4a-b, 所以能从等式x= 中得到(3a+7)x=4a-b. END THANKS 感谢您的观看 $$第五章　一元一次方程 第5课时　分段收费问题及其他问题 5.4　一元一次方程的应用  　分段收费问题及其他问题 1.(2024广东汕头期末)在长方形ABCD中放入六个长、宽都分 别相同的小长方形,所标尺寸如图所示,求小长方形的宽AE.若 设AE=x cm,则由题意可列方程为 ( )     B     A.6+2x=14-3x　　     B.6+2x=x+(14-3x) C.14-3x=6-x　　     D.6+2x=14-x 解析　根据小长方形长与宽之间的关系,可得出小长方形的 长为(14-3x)cm,所以6+2x=x+(14-3x).故选B. 2.如图,在△ABC中,AB=20 cm,点P从点B出发以每秒3 cm的速 度向点A运动,点Q从点A同时出发以每秒2 cm的速度向点C运 动,其中一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动,当 AP=AQ时,点P运动的时间是( )   A.4秒　　    B.3.5秒　　         A     C.3秒　　    D.2.5秒 解析　设运动时间为t秒,则AP=20-3t,AQ=2t,由AP=AQ,得20-3 t=2t,解得t=4.故选A. 3.(2024浙江杭州期末)某医疗保险产品对住院病人的费用实 行分段报销,报销细则如下表.如甲的住院医疗费为800元,其 中报销部分为180元,自付部分为620元.若某人住院医疗费的 自付部分是1 000元,则此人的住院医疗费是( )     A     住院医疗费/元 报销率/% 不超过500元的部分 0 500~1 000元的部分 60 1 000~3 000元的部分 80 … … A.2 500元　　    B.2 000元　　     C.1 750元　　    D.1 250元 解析　设此人的住院医疗费是x元, 根据题意得500+(1 000-500)×(1-60%)+(x-1 000)×(1-80%)=1 0 00,解得x=2 500,所以此人的住院医疗费是2 500元.故选A. 4.某城市“一户一表”居民用电实行阶梯电价,具体收费标准 如下. 一户居民一个月 用电量(单位:度) 电价 (单位:元/度) 第1档 不超过180度的部 分 0.5 第2档 超过180度的部分 0.6 (1)若该市某户12月用电量为200度,则该户应交电费_______ ____元. (2)若该市某户12月用电量为x度,请用含x的式子分别表示0≤ x≤180和x>180时该户12月应交的电费. (3)若该市某户12月应交电费126元,则该户12月的用电量为多 少度? 解析    (1)102. (2)当0≤x≤180时,该户12月应交电费0.5x元; 当x>180时,该户12月应交电费0.5×180+0.6(x-180)=90+0.6x-10 8=(0.6x-18)元. (3)设该户12月的用电量为a度, 因为该户12月应交电费126元,180×0.5=90(元),126元>90元, 所以a>180,所以0.6a-18=126,所以a=240. 答:该户12月的用电量为240度. 5.(2025北京通州期末)七年级(1)班和(2)班的同学到某公园开 展社会大课堂活动,公园门票每人40元,超过40人可以购买团 体票.每班的学生人数都超过40人.公园购票处张贴着团体优 惠购票的方案如下表. 团体优惠购票方案 40人以上 方案一 八折优惠(80%) 方案二 5人免票,其他人九折优惠 (1)七年级(1)班有55名学生,选择哪个方案更省钱,说明理由. (2)七年级(2)班无论选择哪种方案的花费都一样多,求七年级 (2)班有多少人. 解析    (1)选择方案一更省钱,理由如下: 方案一的花费:55×40×80%=1 760(元); 方案二的花费:(55-5)×40×90%=1 800(元). 因为1 760<1 800,所以选择方案一更省钱. (2)设七年级(2)班有x人,由题意,得40×80%x=(x-5)×40×90%,解 得x=45.所以七年级(2)班有45人. 6.(2023北京中考,★★☆)对联是中华传统文化的瑰宝,对联装 裱后,如图所示,上、下空白处分别称为天头和地头,左、右空 白处统称为边.一般情况下,天头长与地 头长的比是6∶4,左、右边的宽相等,均 为天头长与地头长的和的 .某人要装 裱一副对联,对联的长为100 cm,宽为27 cm.若要求装裱后的长是装裱后的宽的 4倍,求边的宽和天头长. 解析　设天头的长为6x cm,地头的长为4x cm,则左、右边的 宽为x cm, 根据题意得,100+6x+4x=4(27+x+x), 解得x=4,所以6x=24. 答:边的宽为4 cm,天头长为24 cm. 7.【学科特色·教材变式P180T2】(2024河北廊坊安次期末,★ ★☆)为鼓励居民节约用电,某市试行每月阶梯电价收费制度, 具体执行方案如下: 档次 每户每月用电量/度 执行电价/(元/度) 第一档 小于或等于200 0.5 第二档 大于200且小于或等于450时,超出200的部分 0.7 第三档 大于450时,超出450的部分 1 (1)一户居民七月份用电300度,则需缴电费_______元. (2)某户居民五、六月份共用电500度,缴电费290元.已知该户 居民六月份用电量大于五月份,且五、六月份的用电量均小 于450度. ①请判断该户居民五、六月份的用电量分别属于哪一个档 次,并说明理由. ②求该户居民五、六月份分别用电多少度. 解析    (1)170. (2)①因为两个月的总用电量为500度,所以每个月用电量不可 能都在第一档. 假设该户居民五、六月份每月用电均超过200度,此时的电费 共计200×0.5+200×0.5+100×0.7=270(元),因为270<290,所以不 符合题意. 又因为六月份用电量大于五月份,所以五月份用电量在第一 档,六月份用电量在第二档. ②设五月份用电x度,则六月份用电(500-x)度, 根据题意,得0.5x+200×0.5+0.7×(500-x-200)=290,解得x=100, 所以500-x=400. 答:该户居民五、六月份分别用电100度、400度. 8.【新课标·应用意识】(2025山东青岛李沧期末)为倡导全民 节水,某城市居民年生活用水实行三段式阶梯计价,每一阶梯 都有相对应的单价,具体数据如表: 收费方式 年用水量/m3 单价/(元/m3) 第一阶梯 0~180 4.5 第二阶梯 180~240 6 第三阶梯 240以上 8 (注:阶梯式计量水费=第一阶梯单价×第一阶梯用水量+第二 阶梯单价×第二阶梯用水量+第三阶梯单价×第三阶梯用水量) (1)小明家的年用水量为100 m3,需交水费_______元. 丽丽家的年用水量为220 m3,需交水费_______元. 芳芳家的年用水量为245 m3,需交水费_______元. (2)设某户居民的年用水量为x m3(x为正整数),用含x的代数式 表示x位于不同的阶梯时,相应的总费用. 收费方式 年用水量x/m3 总费用/元 第一阶梯 0~180 ①　　　     第二阶梯 180~240 ②　　　     第三阶梯 240以上 ③　　　     (3)已知某户居民一年的水费为1 110元,这户居民的年用水量 是多少? 解析    (1)4.5×100=450(元); 4.5×180+6×(220-180)=1 050(元); 4.5×180+6×(240-180)+8×(245-240)=1 210(元). 故答案为450;1 050;1 210. (2)①当0<x≤180时,总费用为4.5x元; ②当180<x≤240时,总费用为 4.5×180+6(x-180)=6x-270(元); ③当x>240时,总费用为 4.5×180+6×(240-180)+8(x-240)=8x-750(元). (3)因为4.5×180=810(元), 4.5×180+6×(240-180)=1 170(元), 810<1 110<1 170,所以180<x<240. 根据题意,得6x-270=1 110,解得x=230. 答:这户居民的年用水量是230 m3. END THANKS 感谢您的观看 $$第五章　一元一次方程 第4课时　百分率、销售与储蓄问题 5.4　一元一次方程的应用  　百分率、销售与储蓄问题 1.某商场上个月的营业额是a万元,本月的营业额为500万元, 比上个月增长15%,那么可列方程为 ( ) A.15%a=500　　    B.(1+15%)a=500 C.15%(1+a)=500　　    D.1+15%a=500     B     解析　根据上个月的营业额为a万元,可得出本月的营业额为 (1+15%)a万元,则可列方程为(1+15%)a=500.故选B. 2.(2025陕西西安阎良期末)某服装店为回馈新老客户,打折销 售店内服饰,已知店内某款服装的标价为每件380元,若按标价 的八折销售,仍可获利75元,设这款服装的进价为每件x元,则 可列方程为 ( ) A.380-x=75　　     B.380+x=75 C.380-0.8x=75　　    D.380×0.8-x=75     D     解析　根据“按标价的八折销售,仍可获利75元”,列方程为3 80×0.8-x=75.故选D. 3.(2025陕西榆林期末)某商场购进一批服装,该服装销售的标 价为每件400元,由于换季滞销,商场决定将该服装按标价的六 折销售,若打折后每件服装仍能获利20%,则该服装每件的进 价是多少元? 解析　设该服装每件的进价是x元, 由题意,得400×0.6-x=20%x,解得x=200. 答:该服装每件的进价是200元. 4.【学科特色·教材变式P177例4】小丽的妈妈在银行存入一 些现金,年利率为2.25%,存期一年,到期银行代扣20%的利息 税,实际可得利息90元.问:这项储蓄的本金是多少? 解析　设这项储蓄的本金是x元, 由题意可得2.25%×(1-20%)x=90,解得x=5 000. 答:这项储蓄的本金是5 000元. 5.某品牌自行车1月份的销售量为100辆,每辆车售价相同.2月 份的销售量比1月份增加10%,每辆车的售价比1月份降低了8 0元,2月份与1月份的销售总额相同,求1月份每辆车的售价. 解析　设1月份每辆车的售价为x元,则2月份每辆车的售价为 (x-80)元, 依题意得100x=(x-80)×100×(1+10%), 解得x=880. 答:1月份每辆车的售价为880元. 6.(2025山东济南商河期末)某商场推出新年大促销活动,其中 标价为每件1 800元的某种商品打9折销售,该种商品的利润率 为8%. (1)该商品的成本价是多少? (2)该商品在降价前一周内的销售额达到了97 200元,要使该 商品降价后一周内的销售额也达到97 200元,降价后一周内的 销售数量应该比降价前一周内的销售数量增加多少件? 解析    (1)设该商品的成本价为每件x元, 依题意,得(1+8%)x=1 800×0.9. 解得x=1 500. 答:该商品的成本价为每件1 500元. (2)设降价后一周内的销售数量应该比降价前一周内的销售 数量增加m件, 依题意,得(97 200÷1 800+m)×1 800×0.9=97 200.解得m=6. 答:降价后一周内的销售数量应该比降价前一周内的销售数 量增加6件. 7.(2025河北邢台月考,★★☆)某电商平台决定举办“跨年” 促销活动,对网上销售的某种蓝牙耳机按成本价提高60%后 标价,又以九折优惠卖出,结果每副耳机仍可获利8元,若设这 种耳机每副的成本为a元,则可列方程:___________________.     (1+60%)a×0.9-a=8     解析　根据题意先求出售价,再根据“售价-成本=利润”列 方程.设这种耳机每副的成本为a元,根据题意,得(1+60%)a×0. 9-a=8. 8.(2024河北石家庄裕华期末,★★☆)某玩具厂家出售一种玩 具,其成本价为每件28元.如果直接由厂家门市部销售,那么每 件产品的售价为35元,同时每月还要支出其他费用2 100元;如 果委托商场销售,那么出厂价为每件32元. (1)若用x表示每月销售该种玩具的件数,请你用含x的式子分 别表示这两种销售方式所得的利润. (2)在两种销售方式下,每个月销售多少件时,所得利润相等? (3)若每个月的销售量为1 000件,采用哪种销售方式获得利润 较多?其利润是多少? 解析    (1)由题意可得,若用x表示每月销售该种玩具的件数, 则直接由厂家门市部销售的利润为(35-28)x-2 100=(7x-2 100) 元; 委托商场销售的利润为(32-28)x=4x(元). (2)由题意及(1)得,7x-2 100=4x,解得x=700. 答:在两种销售方式下,每月销售700件时,所得利润相等. (3)由题意及(1)得, 当x=1 000时,7x-2 100=7×1 000-2 100=4 900, 4x=4×1 000=4 000,因为4 900>4 000, 所以当每个月的销售量为1 000件时,直接由厂家门市部销售 获得的利润较多,利润为4 900元. 9.(2025河北保定定州期末,★★☆)某超市第一次用7 000元购 进甲、乙两种商品,其中甲种商品的件数是乙种商品的件数 的2倍,甲、乙两种商品的进价和售价如表:(注:获利=售价-进 价) 甲 乙 进价/(元/件) 20 30 售价/(元/件) 25 40 (1)该超市第一次购进的甲、乙两种商品各多少件? (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品,其 中甲种商品的件数不变,乙种商品的件数是第一次的3倍.甲种 商品按原价销售,乙种商品降价销售,第二次两种商品都售完 以后获得的总利润比第一次获得的总利润多800元,第二次乙 种商品的售价是多少? 解析    (1)设购进甲种商品x件,则购进乙种商品 x件, 20x+30× x=7 000, 解得x=200,所以 x=100. 答:该超市第一次购进甲种商品200件,购进乙种商品100件. (2)第二次购进甲种商品200件,购进乙种商品100×3=300(件), 第一次的利润为(25-20)×200+(40-30)×100 =2 000(元); 设第二次乙种商品的售价为y元, 由题意得(25-20)×200+(y-30)×100×3=2 000+800, 解得y=36. 答:第二次乙种商品的售价为36元. 10.(2024河北邢台期末,★★☆)探究: (1)一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服,其中 一件盈利25%,另一件亏损25%,卖这两件衣服总的是______ ____.(填“盈利”“亏损”或“不盈不亏”) 拓展应用: (2)某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况,了解 到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件,并以每 件120元的价格销售了一部分,因市场原因,为回笼资金,商场 准备采取促销措施,将剩下的衬衫在原售价的基础上每件降 价40%销售,并全部销售完.问:降价之前销售的衬衫数量为多 少时,销售完这批衬衫正好达到盈利20%的预期目标? 解析    (1)亏损. 详解:设盈利的那件衣服的进价为x元, 由题意可得x(1+25%)=60,解得x=48. 设亏损的那件衣服的进价为y元, 由题意可得y(1-25%)=60,解得y=80. 因为(60+60)-(48+80)=-8, 所以卖这两件衣服总的是亏损. (2)设降价之前销售的衬衫数量为m件时,销售完这批衬衫正 好达到盈利20%的预期目标, 由题意可得120m+120×(1-40%)×(500-m)-80×500=80×500×2 0%,解得m=250. 答:降价之前销售的衬衫数量为250件时,销售完这批衬衫正好 达到盈利20%的预期目标. END THANKS 感谢您的观看 $$第五章　一元一次方程 第3课时　追及与等积变形问题 5.4　一元一次方程的应用  　追及与等积变形问题 1.要锻造底面圆直径为60 mm,高为30 mm的圆柱形毛坯,需截 取底面圆直径为40 mm的圆柱形钢材 ( ) A.67.5 mm　　    B.45 mm　　     C.135 mm　　    D.90 mm     A     解析　此题的等量关系为锻造前的体积=锻造后的体积.设需 截取底面圆直径为40 mm的圆柱形钢材x mm,列方程为π×  ×30=π× ·x,解得x=67.5.故需截取底面圆直径为40 mm的圆柱形钢材67.5 mm.故选A. 2.(2023河北保定模拟)如图所示的甲、乙两个长方体容器中 液体的体积相同,根据图中信息,以下结论正确的是 ( ) A.81x=36(x+5) B.81x=36(x-5) C.甲容器中液体的体积为405     A     D.乙容器中液面的高度为10 解析　由题图可知,甲容器中液体的体积=9×9x=81x, 乙容器中液体的体积=6×6(x+5)=36(x+5), 因为两个长方体容器中液体的体积相同, 所以81x=36(x+5),解得x=4, 所以甲容器中液体的体积=81x=81×4=324, 乙容器中液面的高度=324÷36=9. 综上所述,A正确,B、C、D均错误,故选A. 3.用体积为448 cm3的钢锻造一个高7 cm,且底面是正方形的 长方体零件,则底面正方形的边长是____________.     8 cm     解析　设底面正方形的边长为x cm,依题意得 7x2=448,所以x2=64,解得x=8(负值舍去), 所以底面正方形的边长为8 cm. 4.将一装满水的底面圆直径为40 cm,高为60 cm的圆柱形水桶 里的水全部灌入另一个底面圆半径为30 cm的圆柱形水桶里, 问:这时水的高度是多少? 解析　设这时水的高度是x cm, 由题意,得 π·60=302π·x,解得x= . 答:这时水的高度是  cm. 5.【学科特色·教材变式P176练习T3】(2024河北张家口宣化 期末)在全民健身运动中,骑行运动颇受市民青睐,甲、乙两骑 行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地. 已知甲骑行的速度是乙的1.2倍.若乙先骑行2千米,甲才开始 从A地出发,则甲出发半小时恰好追上乙,求甲骑行的速度. 解析　设乙骑行的速度是x千米/时,则甲骑行的速度是1.2x千 米/时. 根据题意得0.5×1.2x=0.5x+2, 解得x=20,1.2x=24. 答:甲骑行的速度是24千米/时. 6.(2025甘肃兰州期末)好朋友给小亮过生日,如图,现有底面直 径为16 cm,高为30 cm的圆柱形容器,里面装满了果汁,小亮要 把果汁分装到底面直径为8 cm的10个小圆柱形杯子里与好友 分享(每个杯子刚好装满),请你帮他计算杯子的高度. 解析　设杯子的高度为x cm, 根据题意,得10π· ·x=π ×30, 解得x=12.所以杯子的高度是12 cm. 7.小明和小强两人在学校400 米长的环形操场跑道上匀速跑 步,小明的速度是小强的1.5倍.两人同时从同一起点同向出发, 4分钟后小明第一次追上小强. (1)求小明和小强两人跑步的速度. (2)如果小明和小强两人同时从同一起点背向出发,经过多长 时间两人恰好第三次相遇? 解析    (1)设小强跑步的速度为x 米/分钟, 则小明跑步的速度为1.5 x米/分钟. 由题意得4(1.5x-x)=400,解得x=200.所以1.5x=300. 答:小明跑步的速度为300 米/分钟,小强跑步的速度为200 米/ 分钟. (2)设经过y分钟两人恰好第三次相遇, 由题意得(200+300)y=400×3,解得y= . 答:经过 分钟两人恰好第三次相遇. 8.【新考向·数学文化】(2023河北石家庄新华模拟,★★☆) 《九章算术》中有这样一道题:“今有善行者行一百步,不善 行者行六十步.今不善行者先行一百步,善行者追之,问几何步 及之?”译文:“相同时间内,走路快的人走100步,走路慢的人 只走60步.若走路慢的人先走100步,走路快的人要走多少步才 能追上?(注:步为长度单位)”设走路快的人要走x步才能追 上,则下列正确的是 ( )     B     A.依题意得 x=100-x B.依题意得x=100+ x C.走路快的人要走200步才能追上 D.从走路快的人出发时开始算,当走路慢的人再走600步时,两 人相隔400步 解析　当走路快的人走x步时,走路慢的人走 ×60步,依题 意,得 ×60+100=x, 即x=100+ x,解得x=250, 则走路快的人要走250步才能追上走路慢的人. 当走路慢的人再走600步时,设走路快的人走y步, 由题意,得y∶600=100∶60,所以y=1 000, 因为1 000-600-100=300, 所以当走路慢的人再走600步时,走路快的人在前面,两人相隔 300步. 观察选项,只有B符合题意.故选B. 9.【学科特色·数形结合思想】(★★☆)如图,一个瓶子的容积 为1 L(1 L=1 000立方厘米)且瓶子内底面半径为r厘米,瓶内装 着一些溶液.当瓶子正放时,瓶内溶液的高度为20厘米;当瓶子 倒放时,空余部分的高度为5厘米.根据题意回答下列问题: (1)用两种不同的代数式表示瓶内溶液的体积.(含r的代数式) (2)求瓶子内底面的面积. 解析    (1)根据题意知,瓶内溶液的体积=20πr2立方厘米或(1 0 00-5πr2)立方厘米. (2)根据题意,得20πr2=1 000-5πr2, 所以πr2=40平方厘米. 答:瓶子内底面的面积为40平方厘米. 10.(2024河北唐山遵化期末,★★☆)某中学学生步行到郊外 旅行,七年级(1)班学生组成前队,步行速度为4千米/小时,七年 级(2)班学生组成后队,步行速度为6千米/小时.前队出发1小时 后,后队才出发,同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间 不间断地来回联络,他骑行的速度为10千米/小时. (1)后队追上前队需要多长时间? (2)后队追上前队的时间内,联络员骑行的路程是多少? (3)七年级(1)班出发多少小时时,两队相距2千米? 解析    (1)设后队追上前队需要x小时,根据题意,得(6-4)x=4×1, 解得x=2. 答:后队追上前队需要2小时. (2)10×2=20(千米). 答:联络员骑行的路程是20千米. (3)设七年级(1)班出发t小时后,两队相距2千米. 当七年级(2)班没有出发时,t= = ; 当七年级(2)班出发,但没有追上七年级(1)班时,4t=6(t-1)+2,解 得t=2; 当七年级(2)班追上七年级(1)班后,6(t-1)=4t+2,解得t=4. 答:七年级(1)班出发 小时或2小时或4小时时,两队相距2千 米. END THANKS 感谢您的观看 $$第五章　一元一次方程 5.2　一元一次方程  　一元一次方程及相关概念 1.(2025河北石家庄桥西期末)若□+x=0是一元一次方程,则 “□”可以为 ( ) A.x2　　    B.y　　    C.2　　    D.      C     解析　由题意可知,只有C选项符合要求.故选C. 2.(2024河南商丘梁园期末)已知x=2是关于x的方程3x+a=0的 一个解,则a的值是 ( ) A.-6　　    B.-3　　    C.-4　　    D.-5     A     解析　把x=2代入方程得6+a=0,解得a=-6.故选A. 3.(2025河北沧州任丘期末)下列方程中,是一元一次方程的是  ( ) A.x2-4=3x　　    B.2y=1-x C.3x-4=x　　    D.xy-3=5     C     解析    x2-4=3x中未知数的最高次数为2,故A不符合题意; 2y=1-x中含有两个未知数,故B不符合题意; 3x-4=x符合一元一次方程的定义,故C符合题意; xy-3=5中含有两个未知数,且含有未知项的次数为2,故D不符 合题意. 故选C. 4.(2024河北石家庄行唐期末)已知方程4xm-1-2=0是关于x的一 元一次方程,则m=_________.     2     解析　因为方程4xm-1-2=0是关于x的一元一次方程,所以m-1= 1,所以m=2. 5.检验下列方程后面小括号内的数是不是相应方程的解. (1)2x+5=10x-3(x=1). (2)2(x-1)- (x+1)=3(x+1)- (x-1)(x=0). 解析    (1)当x=1时,左边=2×1+5=2+5=7, 右边=10×1-3=10-3=7,左边=右边, 所以x=1是方程的解. (2)当x=0时,左边=2×(0-1)- ×(0+1)=-2- =- ,右边=3×(0+1)-  ×(0-1)=3+ = , 左边≠右边,所以x=0不是方程的解.  　根据实际问题列方程 6.(2025广西桂林期末)某超市纪念品A的单价比纪念品B的单 价多20元,小王购买8个纪念品A的金额比购买5个纪念品B的 金额多310元.如果设纪念品B的单价为x元,根据题意,可列方 程正确的是 ( ) A.8(x+20)-5x=310 　　    B.8(x-20)-5x=310 C.8(x+20)=310-5x 　　    D.8(x-20)+5x=310     A     解析　纪念品B的单价为x元,则纪念品A的单价为(x+20)元,则 8(x+20)-5x=310.故选A. 7.鸡兔同笼问题:“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四 足,问鸡兔各几何?”下图是嘉淇的解题过程,需要补全横线上 符号所代表的内容,则下列判断不正确的是 ( )     D     解:设鸡有x只,则兔子有□只. 因为☆+兔子的足数=94,所以列方程为○x+△(35-x)=94,解 这个方程,得x=23, 35-23=12(只). 答:鸡有23只,兔子有12只. A.□代表(35-x)　　    B.☆代表鸡的足数 C.○代表2　　     D.△代表2 解析　由题意得□代表(35-x),☆代表鸡的足数,○代表2,△代 表4,故选D. 8.【学科特色·教材变式P162T4】用方程描述下列实际问题 中各数量之间的等量关系. (1)七年级某班为希望工程共捐款159元,比平均每人捐3元多2 4元,这个班的学生有多少人? (2)某市出租车的收费标准:起步价为8元,路程3千米内(含3千 米)按起步价收费,超过3千米后,每千米加收2元(不足1千米,按 1千米计算),某人乘出租车从甲地到乙地共付费16元.求甲、 乙两地的最大路程. 解析    (1)设这个班的学生有x人,根据题意可列方程为3x+24= 159. (2)因为16元>8元,所以甲、乙两地的路程大于3千米.设甲、 乙两地的最大路程为x千米,根据题意可列方程为8+2(x-3)=16. 9.(2025河北石家庄正定期末,★★☆)已知方程(m-1)·x|m|=6是 关于x的一元一次方程,则m的值是( ) A.±1　　    B.1　　    C.0或1　　    D.-1     D     解析　由题意可知 解得m=-1.故选D. 10.(★★☆)张之洞祖籍南皮,字孝达,号香涛,与曾国藩、李鸿 章、左宗棠并称“晚清中兴四大名臣”,为中国的重工业做 出了重大贡献,为使学生了解张之洞的主要功绩,某校组织学 生去张之洞博物馆游览,带队老师和同学们以4 km/h的速度从 学校步行出发,20 min后,张老师骑自行车从学校出发,以12 km/h的速度沿相同路线追赶队伍,求张老师需要多长时间追 上队伍.根据题意列出方程12x=4 ,则x表示的是  ( )          A A.张老师行进的时间　　     B.队伍行进的路程 C.张老师与队伍的距离　　     D.队伍行进的时间 解析　因为20 min=  h,所以设张老师的行进时间为x h,根据 题意列方程为12x=4 ,故选A. 11.【新考向·数学文化】(2024江苏宿迁中考,★★☆)我国古 代问题:以绳测井,若将绳三折测之,绳多四尺;若将绳四折测 之,绳多一尺.绳长、井深各几何?这段话的意思是用绳子量井 深,把绳三折来量,井外余绳四尺,把绳四折来量,井外余绳一 尺.绳长、井深各几尺?若设绳长为x尺,则可列方程为  ( ) A. x-4= x-1　　    B. x+4= x-1 C. x-4= x+1　　    D. x+4= x+1          A 解析　绳长是x尺,根据“把绳三折来量,井外余绳四尺”可得  x-4;根据“把绳四折来量,井外余绳一尺”可得 x-1.所以 x -4= x-1.故选A. 12.【新考向·数学文化】(2024山东枣庄期末,★★☆)元朝朱 世杰所著的《算学启蒙》中,记载了这样一道题:良马日行二 百七十里,驽马日行一百五十里,驽马先行一十二日,问良马几 何追及之?其大意是两匹马从同一地方出发,快马每天行270 里,慢马每天行150里,慢马先行12天,问:快马几天可追上慢马? 若设快马x天可追上慢马,由题意得 ( ) A. = 　　     B. = -12 C.270(x-12)=150x　　    D.270x=150(x+12)     D     解析　因为慢马先行12天,快马x天可追上慢马,所以快马追上 慢马时,慢马行了(x+12)天.根据题意得270x=150(x+12).故 选D. 13.(2024河南三门峡期末改编,★★☆)小红在解关于x的方程- 3x+1=3a-2时,误将方程中的“-3”看成了“3”,求得方程的 解为x=1,则a的值为___________.     2　　     解析　把x=1代入3x+1=3a-2,得3+1=3a-2, 所以a=2. 14.【学科特色换元法】(2025江苏南通海安期末,★★★)若 关于x的一元一次方程a +b=2x+c- 的解为x=1, 则关于y的一元一次方程ay+b=2y+c的解为y=_________. 解析　因为关于x的一元一次方程a +b=2x+c-  的解为x=1,且该方程整理得a +b=2 +c, 所以关于y的一元一次方程ay+b=2y+c的解为y=x- =1-  = . 方法解读　换元法是指用一个新的元(即未知数)代替原式中 一个复杂代数式,从而简化方程的求解的方法.本题中观察所 求解方程和已知方程结构相同,所以令y=x- ,即用新元y 替换原方程中复杂代数式x- ,从而简化原方程,借助原方 程的解可求出y的值. 15.(2024福建泉州德化期中,★★☆)关于x的方程(m+2)x|m|-1-3= 9是一元一次方程,求m的值. 解析　因为关于x的方程(m+2)x|m|-1-3=9是一元一次方程, 所以|m|-1=1且m+2≠0. 解得m=2. 16.【新课标·推理能力】(2025重庆期中)关于x的方程(a2-9)·x2 +|a-3|x+4=0是一元一次方程,则a=_______. 　-3     解析　若关于x的方程(a2-9)x2+|a-3|x+4=0是一元一次方程,则a 2-9=0,且|a-3|≠0, 所以a=-3. 17.【新课标·运算能力】已知代数式M=3(a-2b)-(b+2a). (1)化简M. (2)如果(a+1)x2+4xb-2-3=0是关于x的一元一次方程,求M的值. 解析    (1)M=3(a-2b)-(b+2a)=3a-6b-b-2a=a-7b. (2)由题意得a+1=0,b-2=1,所以a=-1,b=3, 所以M=-1-7×3=-22. END THANKS 感谢您的观看 $$第五章　一元一次方程 第2课时　行程问题和工程问题 5.4　一元一次方程的应用  　行程问题和工程问题 1.(2024河北秦皇岛青龙月考)一项工程甲单独做需要40天完 成,乙单独做需要50天完成,甲先单独做4天,然后两人合作x天 完成这项工程,则可列的方程是 ( ) A. + =1　　    B. + =1 C. + + =1　　    D. + =1     C     解析　由题意可列方程为 + + =1.故选C. 2.(2024重庆八中期末)小明参加了一场2 000米的跑步比赛,他 以4米/秒的速度跑了一段路程后,又以3米/秒的速度跑完了剩 下的路程,一共花了10分钟,设小明以4米/秒的速度跑了x米,则 列方程为 ( ) A.4x=3(x+10)　　     B. + =10 C. + =60×10　　    D. + =60×10     D     解析　根据等量关系:跑x米所用的时间+余下路程所用的时 间=60×10秒,可列方程为 + =60×10.故选D. 3.(2025河南安阳月考)整理一批数据,由一人做需要40 h,现在 先安排一些人做2 h,然后再增加3人做4 h,刚好完成这项工作 的 .问先安排做2 h的人数是多少?若设先安排x人做2 h,则可 列方程为 ( ) A. + = 　　    B. + =1 C. + = 　　    D. + =      A     解析　安排x人做2 h的工作量为 , 然后由(x+3)人做4 h的工作量为 , 依题意得 + = .故选A. 4.(2024河北衡水景县期末)一艘船从甲码头到乙码头顺流行 驶,用了2 h,从乙码头返回甲码头逆流行驶,用了2.5 h.已知船 在静水中的速度为27 km/h,求水流速度.设水流速度为x km/h, 根据题意列出方程为 ( ) A.2(x+3)=2.5(x-3)　　     B.2(x+27)=2.5(x-27) C.2.5(27+x)=2(27-x)　　     D.2(27+x)=2.5(27-x)     D     解析　因为水流速度为x km/h,所以顺流速度为(27+x)km/h,逆 流速度为(27-x)km/h, 根据题意可得2(27+x)=2.5(27-x).故选D. 5.【学科特色·教材变式P173T1】A,B两地相距408千米,客车 和货车同时从A,B两地相向而行.3小时后相遇,已知客车和货 车的速度比为9∶8,则客车的速度是每小时多少千米? 解析　设客车的速度是每小时x千米, 因为客车和货车的速度比为9∶8, 所以货车的速度是每小时 x千米, 根据题意得3 =408,解得x=72. 答:客车的速度是每小时72千米. 6.【学科特色·多解法】(2024山东青岛崂山期末)2023年12月 18日23时59分甘肃临夏州积石山县发生6.2级地震,造成很多 房屋损毁,急需大量棉被.某企业接到任务,须在规定时间内生 产一批棉被.如果按原来的生产速度,每天生产360床棉被,那 么在规定时间内只能完成任务的90%.为按时完成任务,该企 业所有人员都支援到生产第一线,这样,每天能生产480床棉 被,刚好提前两天完成任务.问:规定时间是多少天?生产任务 是多少床棉被? 解析　【解法一】设规定时间是x天,则生产任务是360x÷90% =400x床棉被, 根据题意,得400x=480(x-2),解得x=12,所以400x=400×12=4 800. 答:规定时间是12天,生产任务是4 800床棉被. 【解法二】设生产任务是y床棉被, 根据题意,得 - =2,解得y=4 800, 所以 +2= +2=12. 答:规定时间是12天,生产任务是4 800床棉被. 7.(2025河北沧州月考,★★☆)小王驾车计划用相同的时间往 返甲、乙两地,从甲地到乙地的平均速度是每小时60千米,结 果早到20分钟,从乙地到甲地的平均速度是每小时40千米,结 果晚到5分钟,求甲、乙两地的距离.设甲、乙两地的距离是x 千米,则所列方程正确的是 ( ) A. + = + 　　    B.60x+20=40x-5 C. + = - 　　    D.60x- =40x+      C     解析　本题等量关系:从甲地到乙地的时间+20分钟=预定时 间;从乙地到甲地的时间-5分钟=预定时间,根据往返所用时间 相等列方程为 + = - .故选C. 8.(2024河北石家庄晋州期中,★★☆)嘉淇的爸爸平时开车从 自己家到嘉淇姥姥家,匀速行驶需要3小时.某天,父女俩以平 时的速度行驶了 的路程时遇到了暴雨,立即将车速减少了20 千米/小时,到达姥姥家时共用了3.5小时,则嘉淇家到姥姥家的 距离是 ( ) A.150千米　　    B.160千米　　     C.180千米　　    D.200千米     C     解析　设平时开车从自己家到嘉淇姥姥家的速度为x千米/小 时, 根据题意得3x=3x× + (x-20), 解得x=60,所以嘉淇家到姥姥家的距离是3×60=180(千米),故 选C. 9.(2022湖南永州中考节选,★★☆)受第24届北京冬季奥林匹 克运动会的影响,小勇爱上了雪上运动.一天,小勇在滑雪场训 练滑雪,第一次他从滑雪道A端以平均(x+2)米/秒的速度滑到B 端,用了24秒;第二次从滑雪道A端以平均(x+3)米/秒的速度滑 到B端,用了20秒.求x的值. 解析　由题意得24(x+2)=20(x+3), 解得x=3.故x的值为3. 10.(2025河北秦皇岛海港期末,★★☆)为了美化环境,建设生 态城市,某社区需要进行绿化改造,现有甲、乙两个绿化工程 队可供选择.已知甲队先做了2天,然后乙队加入一起完成剩下 的工作.设工作总量为1,工作进度如表. 时间 第1天 第3天 工作进度     (1)甲队单独完成这项工作需要______天,乙队单独完成这项 工作需要______天. (2)完成这项工作共需要几天?(要求利用方程求解) 解析    (1)12;8. 详解:由题意可得,甲队的工作效率为 , 设乙队的工作效率为x,依题意得 ×3+x= , 解得x= . 所以甲队单独完成这项工作需要1÷ =12(天). 乙队单独完成这项工作需要1÷ =8(天). (2)设完成这项工作共需要y天, 依题意得 + =1, 解得y=6. 答:完成这项工作共需要6天. 11.(2024山东烟台牟平期末,★★☆)周末,小明和小军决定骑 自行车到昆嵛山游玩,两人相约早晨从各自家中出发,已知两 家相距15 km,小明出发后要经过小军家. (1)若两人同时出发,小明的车速为20 km/h,小军的车速为15 km/h,则经过多少小时能相遇? (2)若小军的车速为10 km/h,小明提前20 min出发,两人商定小 军出发后半小时两人相遇,则小明的车速应为多少? 解析    (1)设经过t h能相遇. 依题意,得20t=15t+15,解得t=3, 所以经过3 h能相遇. (2)设小明的车速为x km/h, 则相遇时小明所行驶的路程为 km, 因为相遇时小军所行驶的路程为10× =5(km), 所以 x+ x=5+15,解得x=24, 所以小明的车速应为24 km/h. 12.【新课标·模型观念】【学科特色·易错题】(2022江苏连 云港灌南月考)一列火车匀速驶过一座桥,火车完全通过桥共 用了50 s,整列火车在桥上的时间为30 s,已知桥长1 200 m,求 火车的车身长和速度. 解析　设火车的车身长是x m, 根据题意得 = , 解得x=300,  =30(m/s). 答:火车的车身长是300 m,速度是30 m/s. 易错警示　易因对“火车完全通过桥”及“整列火车在桥 上”理解不到位而出错. END THANKS 感谢您的观看 $$第五章　一元一次方程 第1课时　和差倍分问题 5.4　一元一次方程的应用  　列一元一次方程解决实际问题 1.【跨地理·长江长度】长江比黄河长899 km,黄河长度的6倍 比长江长度的5倍多969 km,设长江长度为x km,则下列方程中 正确的是 ( ) A.5x-6(x-899)=969 B.6x-5(x+899)=969 C.6(x+899)-5x=969 D.6(x-899)-5x=969     D     解析　根据长江长度为x km,长江比黄河长899 km,可得黄河 的长度为(x-899)km,再根据黄河长度的6倍比长江长度的5倍 多969 km,可得6(x-899)-5x=969,故选D. 2.【新考向·数学文化】(2025天津滨海新区期末)我国古代数 学名著《九章算术》中记载:“今有共买物,人出八,盈三;人出 七,不足四.问:人数、物价各几何?”题目大意是有几个人一 起购买一件物品,若每人出8钱,则多了3钱;若每人出7钱,则少 了4钱.问共有多少人?该物品的价格是多少?若设共有x人,则 可列方程为 ( ) A.8x-4=7x-3　　    B.8x-3=7x+4 C.7x+4=8x+3　　    D.7x-3=8x+4     B     解析　根据“人出八,盈三”可得共花了(8x-3)钱,根据“人出 七,不足四”可得共花了(7x+4)钱. 列方程为8x-3=7x+4.故选B. 3.一份数学竞赛题,有25道选择题,做对一道题得4分,做错一道 题扣1分,某同学做了全部试题,得了85分,他共做对了  ( ) A.19道　　    B.20道　　    C.21道　　    D.22道     D 解析　设他做对了x道题,则做错了(25-x)道题,根据题意得4x- (25-x)=85,解得x=22, 即他共做对了22道题,故选D. 4.有一户人家,父亲和儿子同一天过生日,若父子两人的年龄 加起来是100岁,则称他二人为“百岁父子”,已知父亲38岁 时,儿子10岁,现在父亲的年龄是儿子年龄的2倍,那么现在父 子二人各多少岁?再过多少年两个人的年龄加起来等于100 岁? 解析　设现在儿子的年龄为x岁,则现在父亲的年龄为2x岁, 由题意得2x-x=38-10,解得x=28,则2x=56. (100-28-56)÷2=8(年). 答:现在儿子的年龄为28岁,父亲的年龄为56岁,再过8年两个 人的年龄加起来等于100岁. 方法技巧　父子两人的年龄差是一个定值. 5.【学科特色·教材变式P171习题T2】粮店运来一批大米和 面粉,其中大米和面粉的袋数比是7∶8,已知运来的大米和面 粉共有90袋,则大米和面粉各有多少袋? 解析　设大米有7x袋,则面粉有8x袋, 根据题意得7x+8x=90,解得x=6, 所以7×6=42(袋),8×6=48(袋). 答:大米有42袋,面粉有48袋. 6.饺子是中国传统食物,用一张小圆形面皮包馅儿制作而成, 形如半月或元宝;馅饼也是非常流行的一种美食,用一张大圆 形面皮包馅儿制作而成,呈扁圆形.元旦当天,小盛和爸爸、妈 妈一起制作美味的饺子和馅饼,小盛向爸爸学习制作圆形面 皮,一共制作了80张大小不同的圆形面皮(小面皮用作包饺子, 大面皮用作包馅饼),爸爸和妈妈一起包饺子和馅饼,正好用完 所有制作的大、小面皮,小盛发现饺子的数量比馅饼数量的4 倍多5个.请你根据以上信息,求出所包饺子和馅饼各多少个. 解析　设所包的馅饼有x个,则所包的饺子有(4x+5)个,根据题 意得x+4x+5=80,解得x=15, 4×15+5=65(个). 答:所包的饺子有65个,馅饼有15个. 7.【新考向·数学文化】(2025辽宁沈阳皇姑期末,★★☆)《孙 子算经》中记载:今有百鹿入城,家取一鹿,不尽,又三家共鹿适 尽,问:城中家几何?大意为今有100头鹿进城,每家取一头鹿,没 有取完,剩下的鹿每3家共取一头,恰好取完,问:城中有多少户 人家?设有x户人家,可列方程为 ( ) A.x+3x=100　　    B.3x-x=100 C.x- =100　    D.x+ =100     D     解析　有x户人家,依题意,得x+ =100.故选D. 8.(2024河北石家庄裕华期末,★★☆)学校在一次研学活动中, 有n位师生乘坐m辆客车,若每辆客车乘50人,则还有12人不能 上车;若每辆客车乘55人,则最后一辆客车空了8个座位.下列 四个等式:①50m+12=55m-8;②50m+12=55m+8;③ = ; ④ = . 其中正确的有 ( ) A.①③　　    B.①④　　    C.②③　　    D.②④     A     解析　根据总人数列方程,得50m+12=55m-8, 根据客车辆数列方程,得 = .故选A. 9.【学科特色·多解法】(2024河北保定安新期末,★★☆)某糕 点厂中秋节前要生产一批盒装月饼,每盒中装2块大月饼和4 块小月饼.制作1块大月饼要用0.05 kg面粉,1块小月饼要用0.0 2 kg面粉.现共有面粉4 500 kg,制作两种月饼应各用多少千克 面粉,才能生产最多的盒装月饼? 解析　【解法一】设大月饼要用x kg面粉,则小月饼要用(4 50 0-x)kg面粉. 所以大月饼制作了 块,小月饼制作了 块. 依题意列方程为4× =2× ,解得x=2 500. 4 500-2 500=2 000(kg). 答:制作大月饼用2 500 kg面粉,制作小月饼用2 000 kg面粉,才 能生产最多的盒装月饼. 【解法二】设大月饼做了x块,则小月饼做了2x块. 大月饼用了0.05x kg面粉,小月饼用了0.04x kg面粉.依题意列 方程为0.05x+0.04x=4 500,解得x=50 000. 0.05×50 000=2 500(kg),0.04×50 000=2 000(kg). 答:制作大月饼用2 500 kg面粉,制作小月饼用2 000 kg面粉,才 能生产最多的盒装月饼. 10.(2023河北中考,★★☆)某磁性飞镖游戏的靶盘如图.珍珍 玩了两局,每局投10次飞镖,若投到边界则不计入次数,需重新 投.计分规则如下表: 投中位置 A区 B区 脱靶 一次计分/分 3 1 -2 在第一局中,珍珍投中A区4次,B区2次,脱靶4次. (1)求珍珍第一局的得分. (2)第二局,珍珍投中A区k次,B区3次,其余全部脱靶,若本局得 分比第一局提高了13分,求k的值.   解析    (1)由题意可得4×3+2×1+4×(-2)=6(分). 答:珍珍第一局的得分为6分. (2)由题意可得3k+3×1+(10-k-3)×(-2)=6+13, 解得k=6. 答:k的值为6. 11.【新课标·应用意识】学校礼堂舞台正上方有一个长为1 8 00 cm的长方形电子显示屏,如图所示,每次搞活动都会用电子 显示屏展示主题活动的标题,由于每次活动的主题不同,标题 字数也就不等,为了制作方便及显示时美观,负责播出的工作 人员对有关数据给出了如下规定:边空宽∶字宽∶字距=3∶ 4∶1.若某次主题活动的标题字数为17,求字距是多少. 解析　设字距为x cm, 因为边空宽∶字宽∶字距=3∶4∶1, 所以边空宽为3x cm,字宽为4x cm, 根据题意得2×3x+17×4x+(17-1)x=1 800, 解得x=20. 答:字距是20 cm. END THANKS 感谢您的观看 $$第五章　一元一次方程 第1课时　利用移项和合并同类项解一元一次方程 5.3　解一元一次方程  　移项 1.下列方程移项正确的是 ( ) A.4x-2=-5移项,得4x=5-2 B.4x-2=-5移项,得4x=-5-2 C.3x+2=4x移项,得3x-4x=2 D.3x+2=4x移项,得4x-3x=2     D     解析    4x-2=-5移项,得4x=-5+2,故A、B错误;3x+2=4x移项,得3 x-4x=-2,所以4x-3x=2,故C错误,D正确.故选D. 2.(2024河北唐山路北期末)解一元一次方程3x+7=32-2x,移项 正确的是 ( ) A.3x+2x=32-7　　    B.3x+2x=32+7 C.3x-2x=32-7　　    D.3x-2x=32+7     A     解析　移项得3x+2x=32-7,故选A. 3.下列移项是否正确?若不正确,应该怎么改? (1)由5+x=10,得x=10+5. (2)由3x=8-2x,得3x+2x=-8. (3)由3x=2x-5,得3x+2x=-5. (4)由2=-5x+1,得5x=1+2. (5)由1-2x=-3x,得3x-2x=-1. 解析    (1)错误,由5+x=10,得x=10-5. (2)错误,由3x=8-2x,得3x+2x=8. (3)错误,由3x=2x-5,得3x-2x=-5. (4)错误,由2=-5x+1,得5x=1-2. (5)正确.  　利用移项和合并同类项解一元一次方程 4.(2024海南中考)若代数式x-3的值为5,则x等于( ) A.8　　    B.-8　　    C.2　　    D.-2     A     解析　由题意得x-3=5,移项,得x=5+3.合并同类项,得x=8,故选 A. 5.(2024河北唐山丰润期末)下列方程中,解为x=-2的是  ( ) A.3x+1=2x-1　　    B.3x-2=2x C.5x-3=6x-2　　    D.4x-1=2x+3          A 解析　解方程3x+1=2x-1,得x=-2,故A符合题意; 解方程3x-2=2x,得x=2,故B不符合题意; 解方程5x-3=6x-2,得x=-1,故C不符合题意; 解方程4x-1=2x+3,得x=2,故D不符合题意. 故选A. 6.(2024河北廊坊广阳期中)某同学解关于x的方程2x-3=ax+3 时,把a看错了,解得x=-2,他把a看成了 ( ) A.5　　    B.6　　    C.7　　    D.8     A     解析　把x=-2代入原方程,得-4-3=-2a+3,解得a=5,故选A. 7.解方程: (1)6x-7=4x-5.　    (2)3x+7=32-2x. (3) z+ = z- .    (4)6a+7=12a-5-3a. (5) -8x=3- x.　 (6)2.5x+ =2- . 解析    (1)移项,得6x-4x=-5+7, 合并同类项,得2x=2, 系数化为1,得x=1. (2)移项,得3x+2x=32-7, 合并同类项,得5x=25, 系数化为1,得x=5. (3)移项,得 z- z=- - , 合并同类项,得z=-1. (4)移项,得6a-12a+3a=-5-7, 合并同类项,得-3a=-12, 系数化为1,得a=4. (5)移项,得-8x+ x=3- , 合并同类项,得- x= , 系数化为1,得x=- . (6)移项,得2.5x+ =2- , 合并同类项,得 x= , 系数化为1,得x= . 8.(2024河北石家庄行唐期末,★★☆)若3x+1的值比3-2x的值 小1,则x的值为 ( ) A.-5　　    B.-1　　    C.-3　　    D.      D     解析　因为3x+1的值比3-2x的值小1,所以3x+1+1=3-2x,移项, 得3x+2x=3-1-1,合并同类项,得5x=1,系数化为1,得x= .故选D. 9.(2024河北秦皇岛昌黎期末,★★☆)方程5y-7=2y- 中被 阴影盖住的是一个常数,此方程的解是y=-1.这个常数应是  ( ) A.10　　    B.4　　    C.-4　　    D.-10     A     解析　将y=-1代入方程5y-7=2y- 中,得5×(-1)-7=2×(-1)- , 解得 =10,故选A. 10.(2024河北唐山路北期末,★★☆)已知关于x的一元一次方 程2x+m=6,其中m是正整数.若方程有正整数解,则m的值为 ___________. 或4         2 解析    2x+m=6,移项,得2x=6-m,系数化为1,得x= ,因为m是 正整数,方程有正整数解,所以m=2或4. END THANKS 感谢您的观看 $$