精品解析：四川省成都市实外西区学校2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

四川省成都市实外西区学校2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题 （考试时间：2小时 满分：150分） A卷（满分：100分） 一、选择题（共8小题．每小题4分，共32分） 1. 《中国航天科技活动蓝皮书》显示，我国今年预计实施100次左右发射任务，有望创造新的纪录，下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，为等腰三角形，，为边上的中线，点P在上，连接，若，则的长为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 3. 若，则下列不等式不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式3x-2>4的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在，，，中，是分式的有 (　 ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤： ①，这与三角形内角和为相矛盾，所以不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设三角形的三个内角，，中有两个直角，不妨设．正确的顺序应为（ ） A. ①②③ B. ①③② C. ②③① D. ③①② 7. 如图，在中，D为边上的一点，，为线段的垂直平分线，若，则的周长为（ ） A. 22 B. 20 C. 18 D. 16 8. 如图，直线经过和两点，则不等式组的解集为（    ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 9. 分解因式：_________． 10. 若点在第四象限，则m的取值范围是______. 11. 如图，在中，分别是边上的中线和高，，则的长是________． 12. 已知分式（，为常数）当时，分式无意义，当时分式的值为0，则___________． 13. 如图，在中，是边上的高，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；画射线，与交于点；作，垂足为点．若，，则的长为______． 三、解答题（共5题48分） 14. 解下列一元一次不等式： （1）； （2）； （3）解不等式组，并把解集表示在数轴上： 15. 化简，并在0、1、2中选一个恰当的数带入求值． 16. 如图，在平面直角坐标系中三个顶点坐标分别为，，小聪把平移后得到了，并写出了它的三个顶点坐标． （1）小明认为小聪写的三个顶点坐标中有一个出错了，请帮小明画出正确的并确认哪个点坐标写错了，将错误的点坐标改正确； （2）画出将绕原点O顺时针旋转后得到的，并写出的坐标． 17. 在中，，点是边上一点，，过点作，垂足为点，与相交于点． （1）求证：； （2）若是等腰三角形，请你直接写出的度数． 18. 如图，点为线段上一点，分别以、、为底作顶角为的等腰三角形，顶角顶点分别为D、E、F（点E、F在的同侧，点在另一侧）． （1）求证：； （2）求证：为等边三角形； （3）连接，若，请直接写出的长． 一、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 19. 已知非零实数，满足，则的值等于______． 20. 若不等式组的解集中的任意x，都能使不等式成立，则a的取值范围____________． 21. 如图，已知平面直角坐标系中点坐标是，点在轴上， 是的垂直平分线上一点，是轴上一点，若时，则___________． 22. 如果一个正整数可以写成两个正整数a、b的平方差的形式，即：（其中，都是正整数，且，那么我们称这个正整数为“智慧数”，称为正整数的“智慧数对”，如：，那么就是正整数9的“智慧数对”．我们知道2025是一个特殊的数字，那么正整数2025的“智慧数对”有______（请写出一个满足条件的“智慧数对”）；它的“智慧数对”共有______对． 23. 如图，是一张长方形纸片，且，沿过点的折痕将角翻折，使得点落在上（如图中的点），折痕交于点．点为射线上一动点，以为底边，在的下方作等腰直角，为中点，连接．当取最小値时，______． 二、解答题（共3题30分） 24. 今年暑假，小明和小聪同学的家长计划组织一些同学和家长一起去敦煌旅游，采用“飞机+租车自驾”组合的形式．报好名后小聪统计信息发现，随行有若干位家长可以胜任开车的任务，届时需要这几位家长各自驾驶一辆车．若全租5座的SUV（全称sport utility vehicle，或suburban utility vehicle，即运动性多用途汽车或城郊多用途汽车），则有9人没座位；若全租7座的MPV（multi-Purpose Vehicles，多用途汽车），则各车坐满后最后一辆车上至少有3人，但不足5人． （1）请问：此次出行共多少人参加？能开车的家长有几位？ （2）小明了解到一辆5座SUV租金为298/天，一辆7座MPV租金为358/天，在不考虑油费、过路费等其他的花费下，怎样租车最合算？为什么？ 25. 在学习全等三角形知识时数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，这个模型就是我们熟悉的“手拉手”模型． （1）如图1，两个等腰三角形和中，，连接、，始终存在____________； （2）如图2，在（1）的条件下，求证：是的平分线． （3）如图3，与都是等腰直角三角形，其中，当时，求的面积． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线交直线于点． （1）求直线的解析式及点的坐标； （2）如图1，为直线上一动点且在第一象限内，M、Q为轴上动点，在右侧且，当时，求最小值； （3）如图2，将沿着射线方向平移，平移后A、O、B三点分别对应D、E、F三点，当过点时，在第一象限内是否存在点，使得以H、D、F三个点为顶点的三角形为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省成都市实外西区学校2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题 （考试时间：2小时 满分：150分） A卷（满分：100分） 一、选择题（共8小题．每小题4分，共32分） 1. 《中国航天科技活动蓝皮书》显示，我国今年预计实施100次左右发射任务，有望创造新的纪录，下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 如图，为等腰三角形，，为边上的中线，点P在上，连接，若，则的长为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，勾股定理，先根据，为边上的中线，则，，利用勾股定理求出即可作答． 【详解】解：∵，为边上的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3. 若，则下列不等式不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；据此解答即可． 【详解】解：A、若，则，故本选项正确，不符合题意； B、若，则，故本选项正确，不符合题意； C、若，则，故本选项正确，不符合题意； D、若，不等式不一定成立，故本选项错误，符合题意； 故选：D． 4. 不等式3x-2>4的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】不等式移项得：3x＞6， 解得：x＞2， 表示在数轴上得： 故选B． 5. 在，，，中，是分式的有 (　 ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【详解】分析： 根据“分式”的定义进行分析判断即可. 详解： 由“分式的定义”可知：上述四个式子中属于分式的是：，共2个. 故选B. 点睛：熟记分式的定义：“形如，其中A、B都是整式，且B中含有字母的式子叫做分式”是解答本题的关键. 6. 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤： ①，这与三角形内角和为相矛盾，所以不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设三角形的三个内角，，中有两个直角，不妨设．正确的顺序应为（ ） A. ①②③ B. ①③② C. ②③① D. ③①② 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反证法、记住反证法的把步骤先假设结论成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立． 根据反证法的步骤即可判断． 【详解】解：反证法的步骤是先假设结论成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立． 所以，正确的步骤是③①②． 故选：D． 7. 如图，在中，D为边上的一点，，为线段的垂直平分线，若，则的周长为（ ） A. 22 B. 20 C. 18 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长，先由线段垂直平分线的性质得，结合，，故，即可作答． 【详解】解：∵为线段的垂直平分线， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 则的周长为， 故选：D 8. 如图，直线经过和两点，则不等式组的解集为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考出来一次函数与一元一次不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． 先找出两条直线的交点，再根据数形结合思想求解． 【详解】解：当时，， 与相交于点， 由图象得： 不等式组的解集为：， 故选：A． 二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 9. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式计算即可得出结果，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 若点在第四象限，则m的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据点所在的象限求参数，解一元一次不等式组，熟知第四象限内点的符号特点是解题的关键．根据第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负进行求解即可． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， 解得， 故答案为：． 11. 如图，在中，分别是边上的中线和高，，则的长是________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了高的定义，以及中线的性质；根据三角形面积公式求出，然后根据中线定义得到的长． 【详解】解：由于AD是△ABC的中线，所以DC=BD. 又因为AE是高，根据三角形面积公式， 又已知AE=3cm，解得： 由于DC=BD， ∴ 故答案为：． 12. 已知分式（，为常数）当时，分式无意义，当时分式的值为0，则___________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题主要考查分式，负整指数幂，根据当时，分式无意义，即分母为0，求出b值；当时，分式的值为0，求出a值，掌握分式无意义的条件与分式的值为0的条件，是解题的关键． 【详解】解：由题意知：当时，分式无意义， ， ， 当时，分式的值为0， ， 解得：， ， 故答案为：． 13. 如图，在中，是边上的高，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点；画射线，与交于点；作，垂足为点．若，，则的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，尺规作图，熟练掌握角平分线上的任意一点到角两边的距离相等是解题的关键． 由作图可得平分，则由角平分线的性质定理得到，再根据以及线段和差计算即可． 【详解】解：由作图可得平分， ∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 三、解答题（共5题48分） 14. 解下列一元一次不等式： （1）； （2）； （3）解不等式组，并把解集表示在数轴上： 【答案】（1） （2） （3）， 数轴表示如下所示： 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟知解一元一次不等式和解一元一次不等式组的方法是解题的关键． （1）按照去括号，移项，合并同类项的步骤解不等式即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可； （3）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：； 【小问2详解】 解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； 【小问3详解】 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为 15. 化简，并在0、1、2中选一个恰当的数带入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，掌握分式乘除法的计算方法以及分式有意义的条件是正确解答的关键．根据分式乘除法的计算方法进行化简后，再根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可． 【详解】解： 由于且， 所以当时，原式． 16. 如图，在平面直角坐标系中三个顶点坐标分别为，，小聪把平移后得到了，并写出了它的三个顶点坐标． （1）小明认为小聪写的三个顶点坐标中有一个出错了，请帮小明画出正确的并确认哪个点坐标写错了，将错误的点坐标改正确； （2）画出将绕原点O顺时针旋转后得到的，并写出的坐标． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； 的坐标错误，的正确的坐标应该为 （2） 解：如图所示，即为所求； 则． 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和旋转，正确找到对应点的位置是解题的关键． （1）根据对应点的坐标，分别判断出点A到点的平移方式，点B到点的平移方式，点C到点的平移方式，根据三者的平移方式相同，可判断出哪个点坐标写错了，据此求解即可； （2）根据旋转方式和网格的特点找到的位置，描出，并顺次连接，再写出对应点坐标即可． 【小问1详解】 解：∵把平移后得到了，，，， ∴点A到点的平移方式为向左平移6个单位长度，向上平移1个单位长度，点B到点的平移方式为向左平移5个单位长度，向上平移1个单位长度，点C到点的平移方式为向左平移6个单位长度，向上平移1个单位长度， ∴的坐标错误，的正确的坐标应该为 【小问2详解】 略 17. 在中，，点是边上一点，，过点作，垂足为点，与相交于点． （1）求证：； （2）若是等腰三角形，请你直接写出的度数． 【答案】（1） 证明：设， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）或 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的内角和定理是解答本题的关键． （1）设，则，根据得，进而得，由此即可得出结论； （2）由（1）知，，，再分别求出，,，则，因此当是等腰三角形时，有以下两种情况：当时，则，进而得，由此解出可得的度数；当时，则，进而得，由此解出可得的度数，综上所述即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，，， 是的一个外角， ， ，， ， 又， ， 当是等腰三角形时，有以下两种情况： 当时，则， ， 解得：， ； 当时，则， ， 解得：， ， 综上所述：的度数是或． 18. 如图，点为线段上一点，分别以、、为底作顶角为的等腰三角形，顶角顶点分别为D、E、F（点E、F在的同侧，点在另一侧）． （1）求证：； （2）求证：为等边三角形； （3）连接，若，请直接写出的长． 【答案】（1） 证明：延长交于H，连接， 如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理：，， ∴， ∴， 同理， ∴四边形、四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； （2） 证明：∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形； （3） 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的性质与判定，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质、直角三角形中30度角的性质等知识点；熟练掌握30度的等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）构建等边三角形，先证明四边形、四边形是平行四边形，得对边相等，再证明是等边三角形，可得出结论； （2）由证明，可得，，所以是等边三角形； （3）过E作于M，先得，，证明，根据勾股定理可得的长． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：如图3，过E作于M， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 中，， 由①知：是等边三角形， ∴． 一、填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 19. 已知非零实数，满足，则的值等于______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查分式的求值，根据，得到，整体代入法求出分式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：5． 20. 若不等式组的解集中的任意x，都能使不等式成立，则a的取值范围____________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组的解集能使不等式成立，得到关于a的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的解集中的任意x，都能使不等式成立， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，正确求出不等式组的解集，进而得到关于a的不等式是解题的关键． 21. 如图，已知平面直角坐标系中点坐标是，点在轴上， 是的垂直平分线上一点，是轴上一点，若时，则___________． 【答案】10 【解析】 【分析】延长BA交y轴于点C，过点A作AD⊥OB于D，根据垂直平分线的性质、勾股定理、三线合一和点的坐标即可求出AO、AB、OB、AD的长，然后利用三角形外角的性质和等角对等边可得AC=AO，从而求出BC，根据勾股定理即可求出OC，再利用三角形外角的性质和等角对等边可得PB=PC，从而得出结论． 【详解】解：延长BA交y轴于点C，过点A作AD⊥OB于D ∵点坐标是，是的垂直平分线上一点 ∴AO=AB ，OB=2OD=4， ∠OAB =2∠OAD，AD=5 根据勾股定理可得AB= AO= ∵PO⊥x轴 ∴AD∥PO ∴∠OAD=∠AOP ∴∠OAB =2∠AOP ∵∠OAB=∠AOP＋∠ACO ∴∠AOP=∠ACO ∴AC=AO= ∴BC=AB＋AC= 根据勾股定理可得OC= ∵ ∴∠OPB=2∠AOP=2∠ACO ∵∠OPB=∠ACO＋∠ABP ∴∠ACO=∠ABP ∴PB=PC ∴PO＋PC=OC=10 故答案为：10． 【点睛】此题考查的是垂直平分线的性质、勾股定理和等腰三角形的判定及性质，掌握垂直平分线的性质、勾股定理、等边对等角、等角对等边和三线合一是解决此题的关键． 22. 如果一个正整数可以写成两个正整数a、b的平方差的形式，即：（其中，都是正整数，且，那么我们称这个正整数为“智慧数”，称为正整数的“智慧数对”，如：，那么就是正整数9的“智慧数对”．我们知道2025是一个特殊的数字，那么正整数2025的“智慧数对”有______（请写出一个满足条件的“智慧数对”）；它的“智慧数对”共有______对． 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. 7 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，解二元一次方程组，分解因式，解成两个正整数的乘积形式，设，（其中都是正整数，且），根据平方差公式可得，则可得到关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：， 设，（其中都是正整数，且）， ∴， ∴或或或或或或或， 解得或或或或或或或（舍去）， ∴正整数2025的“智慧数对”有，，，，，，，共7对， 故答案为：（答案不唯一）；7． 23. 如图，是一张长方形纸片，且，沿过点的折痕将角翻折，使得点落在上（如图中的点），折痕交于点．点为射线上一动点，以为底边，在的下方作等腰直角，为中点，连接．当取最小値时，______． 【答案】## 【解析】 【分析】设，则，，如图，取的中点，连接，得出是等边三角形，则，取的中点，连接，，设交于点，连接，设，则，，证明，则当在射线上运动时，在射线上运动，证明四边形是正方形，则关于的对称点为，当取最小値时，在上，当在上，过点作于点，设，则，勾股定理得出，根据，求得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，， 设，则，， 为中点，则， 如图，取的中点，连接， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴ 如图，取的中点，连接，，设交于点，连接， ∵等腰直角，， ∴， 设，则， ∵ ∴， ∴ ∵等腰直角，， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，则当在射线上运动时，在射线上运动， ∵ ∴ ∴ ∴是的中点 ∴， ∵ ∴四边形是矩形， 又∵ ∴四边形是正方形 ∴关于的对称点为， ∴ ∴ ∴当取最小値时，在上 如图，当在上，过点作于点， ∵, ∴ 设，则 ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查折叠问题，矩形的性质与正方形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质．掌握利用对称变换将折线段和转化为直线段和是解题的关键． 二、解答题（共3题30分） 24. 今年暑假，小明和小聪同学的家长计划组织一些同学和家长一起去敦煌旅游，采用“飞机+租车自驾”组合的形式．报好名后小聪统计信息发现，随行有若干位家长可以胜任开车的任务，届时需要这几位家长各自驾驶一辆车．若全租5座的SUV（全称sport utility vehicle，或suburban utility vehicle，即运动性多用途汽车或城郊多用途汽车），则有9人没座位；若全租7座的MPV（multi-Purpose Vehicles，多用途汽车），则各车坐满后最后一辆车上至少有3人，但不足5人． （1）请问：此次出行共多少人参加？能开车的家长有几位？ （2）小明了解到一辆5座SUV租金为298/天，一辆7座MPV租金为358/天，在不考虑油费、过路费等其他的花费下，怎样租车最合算？为什么？ 【答案】（1）此次出行共39人参加，能开车的家长有6位； （2） 租用5座SUV的1辆，7座MPV的5辆最合算，理由如下： 设租用5座SUV的m辆，则租用7座MPV的辆， 由题意得：， 解得：， ∵m为非负整数， ∴或1， ∴租车方案有2种： ①租用5座SUV的0辆，7座MPV的6辆，费用为（元）； ②租用5座SUV的1辆，7座MPV的5辆，费用为（元）； ∵， ∴租用5座SUV的1辆，7座MPV的5辆最合算． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设此次出行共a人参加？能开车的家长有b位，根据全租5座的SUV，则有9人没座位；若全租7座的MPV，则各车坐满后最后一辆车上至少有3人，但不足5人；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设租用5座SUV的m辆，则租用7座MPV的辆，根据此次出行共39人参加，列出一元一次不等式，解得，再求出非负整数解，即可解决问题． 【小问1详解】 解：（1）设此次出行共a人参加？能开车的家长有b位， 由题意得：或， 解得：或（不符合题意，舍去）， 答：此次出行共39人参加，能开车的家长有6位； 【小问2详解】 略 25. 在学习全等三角形知识时数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，这个模型就是我们熟悉的“手拉手”模型． （1）如图1，两个等腰三角形和中，，连接、，始终存在____________； （2）如图2，在（1）的条件下，求证：是的平分线． （3）如图3，与都是等腰直角三角形，其中，当时，求的面积． 【答案】（1）， （2） 证明：作于G，于H，如图所示： ∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴ ∴ ∵， ∴ 即 ∵ ∴， ∵于G，于H， ∴平分， 即是的平分线 （3） 【解析】 【分析】（1）先整理得出，再根据，即可证明，可得结论； （2）如图，作于G，于H．想办法证明，即可解决问题； （3）作于G，由直角三角形的性质得出设，则，，求出，由（1）得：，，求出，得出，求出，即可得出的面积． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴ 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作于G，如图所示： ∵，， ∴ ∴， 设，则， ∵ ∴ ∴ 由（2）得， ∴， ∵， 则， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理以及三角形面积公式等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题． 26. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线交直线于点． （1）求直线的解析式及点的坐标； （2）如图1，为直线上一动点且在第一象限内，M、Q为轴上动点，在右侧且，当时，求最小值； （3）如图2，将沿着射线方向平移，平移后A、O、B三点分别对应D、E、F三点，当过点时，在第一象限内是否存在点，使得以H、D、F三个点为顶点的三角形为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）先求出点A的坐标和的长，进而求出B的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，再联立直线的解析式和直线的解析式，求出点C的坐标即可； （2）先求出的面积，证明点在点的上方，设点的坐标为，其中，由，求得，得到点的坐标，过点向左作轴，且，则的坐标为，再作点关于轴的对称点，则的坐标为，连接，连接，可证明四边形是平行四边形，则，证得的最小值为，由勾股定理求出答案即可； （3）根据题意可得点C与点O是对应点，则平移方式为向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，据此可求出D、E、F的坐标，再分点D，点F，点H分别为直角顶点，三种情况利用一线三垂直模型构造全等三角形求解即可． 【小问1详解】 解：， 点的坐标是， ， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入可得， 解得， 直线的解析式为， 联立直线和直线的解析式得， 解得， 点的坐标是； 【小问2详解】 解：， 点在点的上方， 为直线上一动点且在第一象限内， ∴可设点的坐标为，其中， 点到轴的距离为， ， ， 解得， ， 点的坐标是， 如图，过点向左作轴，且，则的坐标为， 再作点关于轴的对称点，则的坐标为， 连接，连接， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的值， ∵， ∴ ∴最小值为； 【小问3详解】 解：∵沿着射线方向平移，平移后A、O、B三点分别对应D、E、F三点，当过点时， ∴点C与点O是对应点， ∵点的坐标是， ∴平移方式为向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∴点D的坐标为，即，点F的坐标为，即，点E的坐标为， ∴，； 如图所示，当为直角顶点时， 则， 过点H作交延长线于G， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点H的坐标为； 如图所示，当点F为直角顶点时，则， 过点H作交延长线于K， 同理可证明， ∴， ∴点H的坐标为； 如图所示，当点H为直角顶点时，则， 过点H作交延长线于P，过点F作交延长线于Q， 同理可证明， ∴， 设， ∴， ， ∴， 解得 ， ∴点H的坐标为． 综上所述，点H的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，两点距离计算公式等等，解（2）的关键在于构造平行四边形，解（3）的关系在于利用一线三垂直模型构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $