【第十六章 整式的乘法 02讲 整式的乘法】【六大知识点+12大题型+巩固练习】2025-2026学年八年级上册数学（新版人教版专用）

第十六章 整式的乘法 02讲 整式的乘法 题型归纳 【题型1. 单项式乘单项式】……………………………………………………………… 3 【题型2. 单项式乘多项式】……………………………………………………………… 4 【题型3. 多项式乘多项式】……………………………………………………………… 5 【题型4. （x+p）（x+q）型多项式乘法】……………………………………………… 6 【题型5. 单（多）项式乘单（多）项式字母求参问题】……………………………… 6 【题型6. 多项式乘法中的化简求值】…………………………………………………… 7 【题型7. 多项式乘法中的规律性问题】………………………………………………… 9 【题型8. 多项式乘法的应用】…………………………………………………………… 12 【题型9. 同底数幂的除法运算】………………………………………………………… 14 【题型10. 单项式除以单项式】…………………………………………………………… 15 【题型11. 多项式除以单项式】…………………………………………………………… 16 【题型12. 整式四则混合运算】…………………………………………………………… 17 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 18 知识清单 知识点1 单项式乘单项式 1.运算法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 【提示】 ① 单项式乘单项式的结果仍是单项式； ② 系数相乘时，要注意符号； ③ 同底数幂相乘时，注意字母指数为1时，不要丢掉. 知识点2 单项式乘多项式 1.运算法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 【提示】 ① 单项式与多项式的每一项相乘，不要漏乘， 特别是多项式最后如果有常数项的时候； ② 单项式与多项式相乘，依据的是乘法分配律. 知识点3 多项式乘多项式 1.运算法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 知识点4 同底数幂相除 1.运算法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减. 2.规定：任何不等于0的数的0次幂都等于1. 知识点5 单项式相除 1.运算法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 知识点6 多项式除以单项式 1.运算法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 题型专练 题型1. 单项式乘单项式 【例1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·甘肃张掖·期中） ． 【变式1】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·江西九江·期中）计算： ． 计算： 题型2. 单项式乘多项式 【例1】（24-25九年级下·陕西汉中·期中）计算：（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·广东清远·期中）计算 ． 【变式1】（2025·贵州贵阳·一模）计算的结果正确的是（   ） A．4 B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·浙江温州·期中）化简： ． 计算： 题型3. 多项式乘多项式 【例1】（24-25七年级下·湖南郴州·期中）已知，，则的值是 ． 【变式1】（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）计算： ． 【变式2】（24-25七年级下·安徽滁州·期中）计算： ． 计算： 题型4. （x+p）（x+q）型多项式乘法 【例1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若，则的值分别为（    ） A．7， B．1， C．， D．7，12 【例2】（24-25七年级下·湖南永州·期中）计算： ． 【变式1】（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）若，则为（   ） A．3 B． C．5 D． 【变式2】（22-23七年级下·湖南湘潭·期末）如果，则的值是 ． 【变式3】（24-25七年级下·安徽亳州·期中）若，则 ． 题型5. 单（多）项式乘单（多）项式字母求参问题 【例1】（24-25七年级下·山西吕梁·期中）已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【例2】（24-25七年级下·江苏镇江·期中）若的展开式中不含x的一次项，则实数m的值为 ． 【例3】（24-25七年级下·陕西汉中·期中）若多项式与多项式的乘积中不含一次项和项，求的值． 【变式1】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）若将展开的结果中不含有x项，则满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）若，则的值为（   ） A．1 B． C．6 D． 【变式3】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）若计算结果中不含的一次项，则的值为（　　）． A．2 B．3 C． D．6 【变式4】（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知关于的多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项的系数为，则的值为 . 【变式5】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含项和项，求的值． 题型6. 多项式乘法中的化简求值 【例1】（2025·安徽亳州·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【例2】（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）先化简，再求值，其中． 【变式1】（24-25七年级下·安徽亳州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式2】（24-25七年级下·浙江台州·期中）先化简，再求值：，其中 【变式3】（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）已知：满足，求的值． 题型7. 多项式乘法中的规律性问题 【例1】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）小明同学在计算时发现一次项可以利用交叉相乘再相加的规律算得．例如计算时一次项为．仿照小明的方法，计算展开式中项的系数为 ．（用含n的代数式表示） 【变式1】（24-25七年级下·山东济南·期中）请看杨辉三角（如图），并观察下列等式： 根据前面各式的规律，则的第三项系数是（   ） A．730 B．741 C．780 D．820 【变式2】（24-25七年级下·广东佛山·期中）观察下列各式及其展开式： …… 请你猜想的展开式中含项的系数是 ． 【变式3】（24-25七年级下·陕西西安·期中）某数学兴趣小组开展研究：若两个两位数，它们十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10，则这两个两位数的积存在一定的规律．观察下列算式，完成以下问题： 算式①：； 算式②：； 算式③：； 算式④：； …… (1)观察以上算式规律，请写出__________； (2)观察算式①②的运算规律，若两个两位数的十位上的数字都是a，个位上的数字都是5，则上述规律可用等式表示为______________； (3)观察算式③④的运算规律，若两个两位数的十位上的数字都是a，其中一个数的个位上的数字是b，则另一个两位数个位上的数字是 ，请用等式表示这两个两位数的积的一般规律，并验证它的正确性． 【变式4】（24-25七年级下·河南平顶山·期中）阅读材料：北师大版七年级下册教材页为大家介绍了杨辉三角． 如果将为非负整数的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为； ，它有两项，系数分别为，； ，它有三项，系数分别为，，； ，它有四项，系数分别为，，，； 将上述每个式子的各项系数排成该表． 观察该表，可以发现每一行的首末都是，并且下一行的数比上一行多个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和按照这个规律可以将这个表继续往下写． (1)判断的展开式共有 项；写出的第三项的系数是 ； (2)结合杨辉三角解决以下问题： ①计算：； ②猜想：的展开式中含项的系数是 ． 题型8. 多项式乘法的应用 【例1】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）若长方形的两条边长分别是和，则此长方形的面积是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025八年级下·全国·专题练习）将5张相同小长方形纸片（如图1）按图2所示的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为和，已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且．当宽长度不变而长增长时，将5张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，与的差总保持不变，则a，b满足的等量关系是 ． 【例3】（24-25七年级下·陕西汉中·期中）如图，某社区有一块长为米，宽为米的长方形空地，现计划修建一个“工”字型的绿化带（阴影部分）用来种植草坪，其余部分作为休闲区域． (1)用含x，y的式子表示“工”字型区域的面积并化简； (2)若，，预计种植草坪每平方米的费用为60元，求修建绿化带所需要的费用． 【变式1】（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图，在一块长为宽为的长方形草地上，有两条交叉的笔直的小路，已知小路的边缘，，若，则草地青草覆盖的部分（阴影部分）的面积（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·广东梅州·期中）A，B两块长方形板材的规格如图所示（m为正整数），设板材的面积为，板材的面积为，请比较，的大小 ． 【变式3】（24-25八年级上·北京·期末）在探索有关整式的乘法法则时，可以借助几何图形来解释某些法则． (1)观察图①的面积关系，写出一个数学公式_____； (2)请写出图②中的几何图形所表示的代数恒等式_____； (3)画出一个几何图形，使它的面积表示，其中． 题型9. 同底数幂的除法运算 【例1】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期中）已知，，，求的值． 【变式1】（24-25七年级下·河北唐山·期中）已知，，求和的值． 【变式2】（24-25七年级下·河南郑州·期中）（1），，求的值； （2）若，，求． 计算： 题型10. 单项式除以单项式 【例1】（2025·四川德阳·中考真题）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·广东茂名·期中）深圳科技馆中“数理世界”展厅的的密码被设计成如表所示的数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是 ． 账号：shu li shi jie ，， 【变式1】（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）计算的结果为（　　） A．3 B． C． D． 计算： （﹣xy5z6）÷（﹣xy3z6） 2x2y·（－3xy）÷（xy）2 题型11. 多项式除以单项式 【例1】（24-25七年级下·广西贵港·期中）若，则内应填的式子是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·广东梅州·期中）乐乐的作业本不小心被撕掉了一部分，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮他推测出等号左边被撕掉的内容是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025七年级下·河南郑州·专题练习）已知一张长方形的铁皮的面积为，长为，则这张长方形的铁皮的宽是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·陕西西安·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 计算： 题型12. 整式四则混合运算 计算： 巩固练习 一、单选题 1．（2025·四川南充·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（陕西省陕西多校期末检测2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）若有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·福建厦门·期末）某种流感病毒，现有一人患了这种流感，则在每轮传染中一人将平均传染x人．在进入第二轮传染前，有两位第一轮被传染的患者被及时隔离并治愈，问第二轮传染后患病的人数比第一轮传染后患病的人数多（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 5．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）下面四个备选答案所提供的整式中，表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·陕西西安·期中）若，则的值是（   ） A． B． C．1 D．25 7．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）已知等式（为整数），则的值不可能是（   ） A． B．4 C．11 D．7 8．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）已知，则的值为（    ）． A．25 B．24 C．16 D．10 9．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）甲、乙两个长方形的边长如图所示，其面积分别，，则（   ） A． B． C． D． 10．（2025·重庆·模拟预测）已知关于的整式，满足都是非负整数，且，有下列说法： 若，则符合条件所有整式共有个； 若符合条件的所有整式共有个，则 若，符合条件所有整式共有16个． 其中说法正确的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 11．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）小明在计算时，小亮告诉他结果中的一次项系数为5，则的值为 ． 12．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）要使的展开式中不含的项，则常数a的值为 ． 13．（24-25七年级下·浙江台州·期中）若，则等于 ． 14．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图，王老师把家里的密码设置成了数学问题．小明同学来王老师家做客，看到图片，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了王老师家的网络．请直接写出小明同学输入的密码 ． 15．（24-25七年级下·湖南永州·期中）已知，则 ． 16．（22-23九年级下·浙江宁波·自主招生）在的展开式中，的系数为 ． 17．（2025·河北石家庄·一模）现有三种不同的矩形纸片若干张（边长如图所示）．若要拼成一个长为，宽为的矩形，则需要A种纸片和C种纸片合计 张． 18．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如果，那么称为的“拉格数”，记为，由定义可知：．例如，因为，所以，．若，则 ． 19．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）探索题： 根据以上规律，判断的值的个位数是几 ． 20．（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为 三、解答题 21.计算 22．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）先化简，再求值：，其中，． 23．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）某同学在计算一个多项式A乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)求这个多项式A； (2)求正确的计算结果． 24．（24-25七年级下·江西九江·期中）（1）若的结果中不含项，求的值； （2）已知单项式，是多项式，小明计算时，看成了，结果得，求正确的结果． 25．（24-25七年级下·四川成都·期中）以下关于的各个多项式中，，，，，均为常数． (1)根据计算结果填写表格： 二次项系数 一次项系数 常数项 1 3 2 6 (2)若关于的代数式化简后，既不含二次项，也不含一次项，求的值． 26．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）如图，长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示），留下一个“T”型的图形（阴影部分）． (1)用含的代数式表示“T”型图形的面积并化简； (2)若米，米，“T”型区域铺上价格为每平方米20元的草坪，请计算草坪的造价． 27．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，某学校有一块长为，宽为的长方形土地，计划在阴影部分的区域进行绿化，中间修建一个边长为的正方形喷水池． (1)求绿化面积是多少平方米； (2)当，时，求绿化面积． 28．（24-25九年级下·河北邢台·期中）在计算时，嘉嘉把n错看成了8，得到的结果是：；琪琪错把看成了，得到结果：． (1)求出m，n的值； (2)求的值． 29．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式（是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式， 因为， 所以多项式是一组平衡多项式，其平衡因子为． (1)小明发现多项式是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，要根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子； (2)判断多项式是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由． 30．（24-25七年级下·福建宁德·期中）阅读下面材料，并完成相应的任务． “速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性．观察下列各式： ； ； … 我们发现，两位数与相乘，当时，有如下速算规律：先将十位数字与相乘，得到的结果作为积的前两位数字；再将个位数字和相乘，得到的结果作为积的后两位数字．如果结果是一位数，则在其前面补0． (1)请根据上述规律计算：________；________． (2)根据上述阅读材料，用含字母的等式表示这种速算规律：________． (3)请证明上述阅读材料中的结论． 31．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）【阅读材料】 对于任意实数x，都有． 当x分别取值1，2，3，4，…，n时，得到下列有一定规律的等式： 第1个等式   ； 第2个等式   ； 第3个等式   ； 第4个等式   ； …… 第n个等式   ； 把以上n个等式相加，并整理、化简， 得， 进一步化简，得． 【初步理解】 有一列数满足以下等式： ，…… （1）根据阅读材料、以上等式所包含的规律，解决问题： ①______； ②______；_____．（用含n的代数式表示） 【深化应用】 （2）结合阅读材料、等式，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十六章 整式的乘法 02讲 整式的乘法 题型归纳 【题型1. 单项式乘单项式】……………………………………………………………… 3 【题型2. 单项式乘多项式】……………………………………………………………… 5 【题型3. 多项式乘多项式】……………………………………………………………… 7 【题型4. （x+p）（x+q）型多项式乘法】……………………………………………… 9 【题型5. 单（多）项式乘单（多）项式字母求参问题】……………………………… 11 【题型6. 多项式乘法中的化简求值】…………………………………………………… 16 【题型7. 多项式乘法中的规律性问题】………………………………………………… 18 【题型8. 多项式乘法的应用】…………………………………………………………… 23 【题型9. 同底数幂的除法运算】………………………………………………………… 27 【题型10. 单项式除以单项式】…………………………………………………………… 30 【题型11. 多项式除以单项式】…………………………………………………………… 32 【题型12. 整式四则混合运算】…………………………………………………………… 34 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 37 知识清单 知识点1 单项式乘单项式 1.运算法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 【提示】 ① 单项式乘单项式的结果仍是单项式； ② 系数相乘时，要注意符号； ③ 同底数幂相乘时，注意字母指数为1时，不要丢掉. 知识点2 单项式乘多项式 1.运算法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加， 【提示】 ① 单项式与多项式的每一项相乘，不要漏乘， 特别是多项式最后如果有常数项的时候； ② 单项式与多项式相乘，依据的是乘法分配律. 知识点3 多项式乘多项式 1.运算法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 知识点4 同底数幂相除 1.运算法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减. 2.规定：任何不等于0的数的0次幂都等于1. 知识点5 单项式相除 1.运算法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 知识点6 多项式除以单项式 1.运算法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 题型专练 题型1. 单项式乘单项式 【例1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，首先根据幂的乘方与积的乘方进行计算，然后进行单项式乘单项式运算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·甘肃张掖·期中） ． 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，解题的关键是掌握单项式乘单项式的法则． 利用单项式乘单项式的法则进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查单项式的乘法、积的乘方等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键．先算积的乘方、再运用单项式乘单项式的运算法则计算，最后结合选项判定即可． 【详解】解：． 故选 D． 【变式2】（24-25七年级下·江西九江·期中）计算： ． 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，单项式乘以单项式，先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 计算： 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型2. 单项式乘多项式 【例1】（24-25九年级下·陕西汉中·期中）计算：（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查单项式与多项式的乘法运算．运用分配律进行计算出结果即可判断． 【详解】解：， 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·广东清远·期中）计算 ． 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1】（2025·贵州贵阳·一模）计算的结果正确的是（   ） A．4 B． C． D． 【分析】根据整式的乘法，整式的加减计算即可． 本题考查了整式的乘法，整式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·浙江温州·期中）化简： ． 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的计算，掌握运算法则是解题的关键． 根据单项式乘以多项式法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 计算： 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 =（－4x）2x2+（－4x）3x－（－4x） 题型3. 多项式乘多项式 【例1】（24-25七年级下·湖南郴州·期中）已知，，则的值是 ． 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法运算，化简求值． 把展开，再把和的值代入，即可得到结果． 【详解】解：，， ． 故答案为：4． 【变式1】（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）计算： ． 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，掌握计算法则是解题的关键． 根据多项式乘以多项式计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·安徽滁州·期中）计算： ． 【分析】本题主要查了整式的混合运算．根据整式的加减运算以及乘除运算即可求出答案． 【详解】解： ．     故答案为：8 计算： 解：原式＝ ＝ 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式     题型4. （x+p）（x+q）型多项式乘法 【例1】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）若，则的值分别为（    ） A．7， B．1， C．， D．7，12 【分析】本题考查了多项式的乘法将左边多项式展开后与右边比较对应项的系数，即可确定a和b的值． 【详解】解：左边展开： ， ∵右边为， ∴，． 因此，和的值分别为1和， 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·湖南永州·期中）计算： ． 【分析】本题考查了多项式的乘法．直接根据多项式的乘法法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）若，则为（   ） A．3 B． C．5 D． 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键．根据多项式乘以多项式的计算法则求出即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】（22-23七年级下·湖南湘潭·期末）如果，则的值是 ． 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，将原式中的括号展开后，根据对应项系数相等求出的值即可． 【详解】解： 又， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 【变式3】（24-25七年级下·安徽亳州·期中）若，则 ． 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键．先利用多项式乘多项式法则计算等号的左边，再根据等式的性质确定p、q，然后再求解即可． 【详解】解：， 又， ，， ， 故答案为：8． 题型5. 单（多）项式乘单（多）项式字母求参问题 【例1】（24-25七年级下·山西吕梁·期中）已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【分析】本题主要考查单项式乘法法则（系数相乘、同底数幂“底数不变，指数相加” ），熟练掌握单项式乘法的运算规则是解题关键．先依据单项式乘法法则计算与的积，再通过对比积与的形式，确定、的值． 【详解】解： 单项式相乘，系数相乘，同底数幂分别相乘（底数不变，指数相加） ，， 又 ， 故选：． 【例2】（24-25七年级下·江苏镇江·期中）若的展开式中不含x的一次项，则实数m的值为 ． 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，利用多项式乘以多项式的计算法则求出的展开结果，再根据展开结果中不含x的一次项，即含x的一次项的系数为0列式求解即可． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含x的一次项， ∴， ∴， 故答案为：15． 【例3】（24-25七年级下·陕西汉中·期中）若多项式与多项式的乘积中不含一次项和项，求的值． 【分析】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式的乘法法则．多项式与多项式相乘积中含项和项的系数为0，求出m、m的值，再计算的值． 【详解】解： ； ∵乘积中不含项和项， ∴，且， ∴，， ∴． ∴的值为2． 【变式1】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）若将展开的结果中不含有x项，则满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．原式利用单项式乘以多项式法则计算，由结果不含有的一次项，得出满足的条件即可． 【详解】解：， ∵将展开的结果中不含有的一次项， ∴， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）若，则的值为（   ） A．1 B． C．6 D． 【分析】本题考查了多项式乘多项式，已知字母的值求代数式的值，先通过展开左边多项式并与右边比较系数，确定m和n的值，再计算m的n次方，即可作答． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴，， 得， 故选：A． 【变式3】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）若计算结果中不含的一次项，则的值为（　　）． A．2 B．3 C． D．6 【分析】本题考查的是整式的乘法不含某项求参数问题，根据多项式乘法展开后，令一次项的系数为0，解方程即可． 【详解】解：展开多项式： 根据题意，结果不含的一次项， 一次项系数为0，即，解得． 故选：D． 【变式4】（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知关于的多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项的系数为，则的值为 . 【分析】本题考查多项式乘以多项式，解二元一次方程组，解题的关键是明确不含的二次项，则二次项的系数为．根据多项式乘以多项式法则进行运算，再将计算结果中，利用二次项是系数与一次项的系数的要求建立方程组，即可求解． 【详解】解：， ， ， ∵多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项系数为， 解得，， ， 故答案为：． 【变式5】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的多项式与的乘积展开式中不含项和项，求的值． 【分析】本题主要考查了代数式求值，多项式乘法中的无关型问题，负整数指数幂，熟练掌握以上知识点是关键．先根据多项式乘以多项式的计算法则求出，再根据乘积展开式中不含项和项，即含项和项的系数为0求出、的值，最后代值计算即可． 【详解】解∶． 因为关于x的多项式与的乘积展开式中不含项和项， 所以，所以， 所以． 题型6. 多项式乘法中的化简求值 【例1】（2025·安徽亳州·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【分析】本题考查的是多项式乘以多项式，化简求值，先计算多项式乘以多项式，再合并同类项，得到化简的结果，再把代入计算即可． 【详解】解： ； 当时， 原式． 【例2】（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）先化简，再求值，其中． 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先利用多项式乘多项式法则化简得到，将代入计算即可． 【详解】解： ， ， 原式． 【变式1】（24-25七年级下·安徽亳州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，根据多项式乘以多项式的计算法则，单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【变式2】（24-25七年级下·浙江台州·期中）先化简，再求值：，其中 【分析】本题考查了整式的混合运算，二次根式的运算； 利用完全平方公式、平方差公式和整式乘法的法则展开，然后合并同类项可得最简结果，然后将变形为，再整体代入求值即可． 【详解】解： ∴ ∴ ∴原式 【变式3】（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）已知：满足，求的值． 【分析】本题考查整式的乘法的化简求值问题，绝对值和算术平方根的非负性等知识，先化简，再根据求出x、y的值，从而代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型7. 多项式乘法中的规律性问题 【例1】（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查整式乘法的规律，观察杨辉三角图形规律，可知的第三项系数为，据此求解即可得到答案． 【详解】解：由杨辉三角得， 的第三项系数为， 的第三项系数为， 的第三项系数为， 由此可知的第三项系数为， ∴的展开式中第三项的系数为：， 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·江苏泰州·期中）小明同学在计算时发现一次项可以利用交叉相乘再相加的规律算得．例如计算时一次项为．仿照小明的方法，计算展开式中项的系数为 ．（用含n的代数式表示） 【分析】本题主要考查与多项式乘多项式有关的规律探究，先根据题意得出展开式中项为：，然后再进行运算即可得出答案． 【详解】解：展开式中项为： ， ∴展开式中项的系数为． 故答案为：（写作亦可）． 【变式1】（24-25七年级下·山东济南·期中）请看杨辉三角（如图），并观察下列等式： 根据前面各式的规律，则的第三项系数是（   ） A．730 B．741 C．780 D．820 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，完全平方公式，数学常识．从数字找规律进行计算，即可解答． 【详解】解：的第三项系数为：1； 的第三项系数为：； 的第三项系数为：； …， 的第三项系数， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·广东佛山·期中）观察下列各式及其展开式： …… 请你猜想的展开式中含项的系数是 ． 【分析】本题主要考查的二项式的展开式中系数的规律问题，理解题目中各项的次数，系数之间的关系是解题的关键． 观察数字规律，发现各组数据的首尾均为，中间数字分别为上一组数据相邻两个数字之和，分别写出左边式子的指数分别为，，，的等式右边各项的系数，结合括号内含项的系数为，可得答案． 【详解】解：由所给四组式子的系数规律可得左边式子的指数分别为，，，的等式，右边各项的系数分别为： ，，，，，，； ，，，，，，，； ，，，，，，，，； ，，，，，，，，，； 含项的系数是， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·陕西西安·期中）某数学兴趣小组开展研究：若两个两位数，它们十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10，则这两个两位数的积存在一定的规律．观察下列算式，完成以下问题： 算式①：； 算式②：； 算式③：； 算式④：； …… (1)观察以上算式规律，请写出__________； (2)观察算式①②的运算规律，若两个两位数的十位上的数字都是a，个位上的数字都是5，则上述规律可用等式表示为______________； (3)观察算式③④的运算规律，若两个两位数的十位上的数字都是a，其中一个数的个位上的数字是b，则另一个两位数个位上的数字是 ，请用等式表示这两个两位数的积的一般规律，并验证它的正确性． 【分析】本题考查了数字类规律探究，理解规律的运算方法是解答本题的关键． （1）根据规律计算即可； （2）根据所给算式总结规律即可； （3）观察算式③④总结规律，然后利用多项式与多项式的乘法法则计算即可证明这个规律． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解：根据题意得：其中一个数的个位上的数字是b，则另一个两位数个位上的数字是， 规律为：， 证明： ， ， ∴． 【变式4】（24-25七年级下·河南平顶山·期中）阅读材料：北师大版七年级下册教材页为大家介绍了杨辉三角． 如果将为非负整数的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为； ，它有两项，系数分别为，； ，它有三项，系数分别为，，； ，它有四项，系数分别为，，，； 将上述每个式子的各项系数排成该表． 观察该表，可以发现每一行的首末都是，并且下一行的数比上一行多个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和按照这个规律可以将这个表继续往下写． (1)判断的展开式共有 项；写出的第三项的系数是 ； (2)结合杨辉三角解决以下问题： ①计算：； ②猜想：的展开式中含项的系数是 ． 【分析】本题考查了杨辉三角，整式的乘法，有理数的乘方，通过观察得到系数的规律是解题的关键． 通过观察，可知展开式有五项，分别写出和展开式的系数，从而得到展开式有七项，系数分别是，，，，，，，从而得到答案； 通过观察可知，，从而得出答案； 写出的展开项，从而算得的系数； 【详解】（1）解：根据题意，可知展开式有五项，系数分别是，，，，展开式有六项， 系数分别是，，，，，展开式有七项，系数分别是，，，，，，， 故答案为：六，； （2）①由（1）发现 故答案为：； ，理由如下： 展开后共项，第一项是：， 第二项是：， 第三项是：， 第四项是：， 故答案为：． 题型8. 多项式乘法的应用 【例1】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）若长方形的两条边长分别是和，则此长方形的面积是（   ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了单项式乘以多项式的应用， 根据长方形的面积公式，面积等于长乘以宽列式求解即可． 【详解】∵长方形的两条边长分别是和， ∴此长方形的面积是． 故选：B． 【例2】（2025八年级下·全国·专题练习）将5张相同小长方形纸片（如图1）按图2所示的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为和，已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且．当宽长度不变而长增长时，将5张小长方形纸片还按照同样的方式放在新的长方形内，与的差总保持不变，则a，b满足的等量关系是 ． 【分析】用含a、b、的式子表示出，根据的值总保持不变，即与的值无关，整理后，依据的系数为0即可得到结果．本题考查了此题考查了整式的乘法运算的应用，弄清题意是解本题的关键． 【详解】解：依题意， 则， ∵若当宽长度不变而长增长时，而与的差总保持不变， ∴，即． 即a，b满足的关系是． 故答案为：． 【例3】（24-25七年级下·陕西汉中·期中）如图，某社区有一块长为米，宽为米的长方形空地，现计划修建一个“工”字型的绿化带（阴影部分）用来种植草坪，其余部分作为休闲区域． (1)用含x，y的式子表示“工”字型区域的面积并化简； (2)若，，预计种植草坪每平方米的费用为60元，求修建绿化带所需要的费用． 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式与图形面积，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）用大长方形面积减去两个空白部分的面积即可得到阴影部分面积； （2），代入求出面积，再计算费用即可． 【详解】（1）解：由题意可得： ； （2）解：当时，原式， 费用为（元）． 答：修建绿化带所需要的费用为4680元． 【变式1】（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图，在一块长为宽为的长方形草地上，有两条交叉的笔直的小路，已知小路的边缘，，若，则草地青草覆盖的部分（阴影部分）的面积（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是多项式乘多项式，图形的平移和面积计算，熟记长方形面积公式为长宽是解题的关键；根据平移，可将阴影面积转化为长为，宽为的长方形，再根据长方形的面积公式列式即可． 【详解】解：由题意得： 阴影部分的面积为． 故答案为：D． 【变式2】（24-25七年级下·广东梅州·期中）A，B两块长方形板材的规格如图所示（m为正整数），设板材的面积为，板材的面积为，请比较，的大小 ． 【分析】本题考查了多项式乘法与图形面积，准确识图，熟练掌握相关知识是解题的关键． 分别求出，，再比较大小即可． 【详解】解：，， ∴， 即， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·北京·期末）在探索有关整式的乘法法则时，可以借助几何图形来解释某些法则． (1)观察图①的面积关系，写出一个数学公式_____； (2)请写出图②中的几何图形所表示的代数恒等式_____； (3)画出一个几何图形，使它的面积表示，其中． 【分析】本题考查了平方差公式、多项式乘以多项式与几何图形的面积关系； 【详解】（1）解：根据图1可得， 故答案为：． （2）解：根据图形可得， 故答案为：． （3）解：如图所示， 题型9. 同底数幂的除法运算 【例1】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期中）已知，，，求的值． 【分析】本题考查了同底数幂乘除法，幂的乘方逆用，有理数的乘除，乘方混合运算，根据同底数幂乘除法，幂的乘方法则进行变形，然后代入即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：． 【变式1】（24-25七年级下·河北唐山·期中）已知，，求和的值． 【分析】本题考查了同底数幂相除，幂的乘方，先结合，故，因为，得，故，进行解答即可． 【详解】解：， ， ， ； ， ， ． 【变式2】（24-25七年级下·河南郑州·期中）（1），，求的值； （2）若，，求． 【分析】本题考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）化简，再将已知代入即可； （2）由，，可得，，求出、的值即可求解． 【详解】解：（1），， ∴ ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴． 计算： 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型10. 单项式除以单项式 【例1】（2025·四川德阳·中考真题）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查合并同类项、去括号、整式乘法及除法运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．分别根据合并同类项，去括号，单项式的乘除运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A：与的字母部分不同（与），不是同类项，无法合并，故本选项的计算错误； B：，故本选项的计算错误； C：，故本选项的计算正确； D：，故本选项的计算错误． 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·广东茂名·期中）深圳科技馆中“数理世界”展厅的的密码被设计成如表所示的数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是 ． 账号：shu li shi jie ，， 【分析】本题考查单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，先化简各式，得出密码与指数的关系即可得答案． 【详解】解：根据题意可知，密码为x、y、z的指数， 又∵， ∴密码是2024． 故答案为：2024． 【变式1】（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）计算的结果为（　　） A．3 B． C． D． 【分析】本题考查了单项式的除法和积的乘方，先运算积的乘方，然后根据单项式除以单项式解答即可． 【详解】解：， 故选：C． 计算： 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 （﹣xy5z6）÷（﹣xy3z6） 解：原式= 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 2x2y·（－3xy）÷（xy）2 解：原式 解：原式 题型11. 多项式除以单项式 【例1】（24-25七年级下·广西贵港·期中）若，则内应填的式子是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据乘除法互为逆运算，将等式两边除以即可求出方框内的式子． 【详解】解：设方框内的式子为，则原式可写为．两边同时除以，得： 因此，方框内应填的式子是， 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·广东梅州·期中）乐乐的作业本不小心被撕掉了一部分，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮他推测出等号左边被撕掉的内容是（   ） A． B． C． D． 【分析】此题考查多项式除以单项式．根据题意得到，计算即可得到等号左边被撕掉的内容． 【详解】解：． 故选：A． 【变式1】（2025七年级下·河南郑州·专题练习）已知一张长方形的铁皮的面积为，长为，则这张长方形的铁皮的宽是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查整式除法的应用，根据长方形的面积公式列除法算式，利用多项式除以单项式的运算法则求解即可． 【详解】解：根据题意，这张长方形的铁皮的宽是， 故答案为：B． 【变式2】（2025·陕西西安·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了单项式乘单项式，幂的混合运算，多项式除以单项式、积的乘方，据此相关运算法则进行逐项分析计算，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 计算： 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型12. 整式四则混合运算 计算： 解：原式 解：原式 解：原式         解：原式     解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 ． 巩固练习 一、单选题 1．（2025·四川南充·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查合并同类项，单项式乘单项式，单项式除以单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；根据合并同类项，单项式乘单项式，单项式除以单项式的法则进行解答即可． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 2．（陕西省陕西多校期末检测2024-2025学年七年级下学期7月期末数学试题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查单项式的乘法运算，需分别计算各选项的系数和字母部分，判断是否正确． 【详解】A．，故不正确； B．，故不正确； C．，故不正确； D．，正确； 故选D． 3．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）若有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了零指数幂，要使表达式有意义，需保证底数不为0，因为任何非零实数的0次方均等于1，而0的0次方无意义，熟练掌握零指数幂的定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故选：C． 4．（24-25八年级下·福建厦门·期末）某种流感病毒，现有一人患了这种流感，则在每轮传染中一人将平均传染x人．在进入第二轮传染前，有两位第一轮被传染的患者被及时隔离并治愈，问第二轮传染后患病的人数比第一轮传染后患病的人数多（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 【分析】本题考查整式加减的实际应用，需分轮次分析传染过程，注意隔离治愈对人数的影响，理解题意是解题关键 【详解】解： 第一轮传染：初始1人传染x人，共新增x例，总患者数为人， 隔离治愈：进入第二轮前，2名第一轮被传染者被治愈，剩余患者数为人， 第二轮传染：剩余人每人传染x人，新增患者数为人， 第一轮后总患者数：人， 第二轮后总患者数：剩余患者人 + 新增患者人 = 人， 差值：， 综上，第二轮后患病人数比第一轮多人， 故选D 5．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）下面四个备选答案所提供的整式中，表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 【分析】此题考查了多项式乘法的运算能力，关键是能准确根据题意列式、计算．根据题意列式表示出该阴影部分的面积，再运用多项式的乘法法则进行化简、计算． 【详解】解：图中阴影部分面积为：，或或， 故选：D． 6．（24-25七年级下·陕西西安·期中）若，则的值是（   ） A． B． C．1 D．25 【分析】本题考查多项式乘以多项式，通过展开左边多项式并与右边比较系数，解出m和n的值，再计算即可． 【详解】解： ． ． ∴，解得；，解得； ∴， 故选C． 7．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）已知等式（为整数），则的值不可能是（   ） A． B．4 C．11 D．7 【分析】本题主要考查了多项式与多项式相乘．将左边展开后比较系数，得到关于m、n的方程组，结合整数条件分析可能的k值． 【详解】解：展开左边：， ∵， ∴ ∴，， ∴， ∵为整数， ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； ∴的值不可能是7 故选：D 8．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）已知，则的值为（    ）． A．25 B．24 C．16 D．10 【分析】本题考查多项式乘以多项式，代数式求值，根据多项式乘以多项式的法则进行计算，进而确定的值，再进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选A． 9．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）甲、乙两个长方形的边长如图所示，其面积分别，，则（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查多项式乘以多项式与几何图形的面积，用多项式乘以多项式的法则求出两个长方形的面积，相减即可． 【详解】解： ； 故选A． 10．（2025·重庆·模拟预测）已知关于的整式，满足都是非负整数，且，有下列说法： 若，则符合条件所有整式共有个； 若符合条件的所有整式共有个，则 若，符合条件所有整式共有16个． 其中说法正确的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【分析】本题考查了多项式的有关概念，讨论思想，根据多项式有关概念逐一排除即可，解决本题的关键是根据多项式的定义分情况写出所有可能出现的结果即可． 【详解】解：当时，， 当时，或， 当时，， 符合条件的整式共有个， 故正确； 当时，，共有个， 当时，或或或，共有个， 当时，或或或或或，共个， 当时，或或，共个， 当时，，共个， 一共有个， 故错误； 若，时， 则有， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共有个， 故错误， 正确的只有个． 故选：B． 二、填空题 11．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）小明在计算时，小亮告诉他结果中的一次项系数为5，则的值为 ． 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，根据结果中的一次项系数为5即可得到答案． 【详解】解： ， ∵结果中的一次项系数为5， ∴， ∴， 故答案为；7． 12．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）要使的展开式中不含的项，则常数a的值为 ． 【分析】此题主要考查了单项式乘多项式，直接利用单项式乘多项式运算法则化简，进而得出项的系数为，即可得出答案，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解： ， ∵展开式中不含的项， ∴， 解得：， 故答案为：2． 13．（24-25七年级下·浙江台州·期中）若，则等于 ． 【分析】此题考查了同底数幂除法和幂的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是关键．利用法则把原式变形为，再代入已知条件即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 14．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）如图，王老师把家里的密码设置成了数学问题．小明同学来王老师家做客，看到图片，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了王老师家的网络．请直接写出小明同学输入的密码 ． 【分析】此题考查了幂的运算．根据前面两个等式，得出密码规律：由汉字的拼音与字母x、y、z的指数组成．依此即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴小明同学输入的密码为：， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·湖南永州·期中）已知，则 ． 【分析】此题主要考查整式的运算，方法一：利用多项式乘以多项式法则计算得，则，再代入计算即可；方法二：把代入等式即可求解． 【详解】解：方法一：∵， ∴， ∴， ∴； 方法二：当时，， ， ∵， ∴， 故答案为：． 16．（22-23九年级下·浙江宁波·自主招生）在的展开式中，的系数为 ． 【分析】此题考查了多项式乘多项式，由题意可知展开式中，x的系数是展开式中的常数项与一次项系数的和，进而求解即可． 【详解】解：在的展开式中，x的系数是展开式中的常数项与一次项系数的和． 因为 所以所求的x的系数为 故答案为：． 17．（2025·河北石家庄·一模）现有三种不同的矩形纸片若干张（边长如图所示）．若要拼成一个长为，宽为的矩形，则需要A种纸片和C种纸片合计 张． 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，找出对应卡片面积的系数，分别对应，即可找出所需卡片数量． 利用长乘宽，求出长方形面积，找出各个面积对应卡片，即可找出相应的数量． 【详解】解：， 而A种纸片面积为，而B种纸片面积为，而C种纸片面积为， ∴需要A种纸片6张，B种纸片2张，C种纸片7张， ∴需要A种纸片和C种纸片合计张， 故答案为：13． 18．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如果，那么称为的“拉格数”，记为，由定义可知：．例如，因为，所以，．若，则 ． 【分析】本题考查同底数幂的乘除法的实际应用，掌握同底数幂的乘除法法则是解题的关键． 结合定义，利用同底数幂的乘除法的逆运算得出，，进行计算即可． 【详解】解：由题意，设， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ， ， ∵． ， ， 故答案为：4． 19．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）探索题： 根据以上规律，判断的值的个位数是几 ． 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，找出规律是解题的关键．给等式乘以从而可知，然后找出的尾数规律从而得到答案． 【详解】解：， ，，，，，， ． 故的尾数是4.． 故的值的个位数是3． 20．（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为 【分析】本题考查了整式规律探究，根据展开，即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 三、解答题 21.计算 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式， 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式   解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 22．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．先根据整式乘法混合运算法则，平方差公式和完全平方公式进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 把，代入得： 原式． 23．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）某同学在计算一个多项式A乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是． (1)求这个多项式A； (2)求正确的计算结果． 【分析】本题考查多项式加减法和乘法的计算，熟练掌握多项式的运算法则，正确计算是解本题的关键． （1）根据多项式的加减法计算法则得出代数式A的值； （2）根据多项式的乘法计算法则得出正确的计算结果即可． 【详解】（1）根据题意得， ； （2） ． 24．（24-25七年级下·江西九江·期中）（1）若的结果中不含项，求的值； （2）已知单项式，是多项式，小明计算时，看成了，结果得，求正确的结果． 【分析】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，整式的加减，解题的关键是理解题干意思，列出正确的算式计算． （1）利用多项式乘多项式法则展开，根据结果不含项，求出n的值即可； （2）根据求出B，再代入中计算即可． 【详解】解：（1）原式， 不含有项， ， ； （2），， ， ， 故正确的结果 25．（24-25七年级下·四川成都·期中）以下关于的各个多项式中，，，，，均为常数． (1)根据计算结果填写表格： 二次项系数 一次项系数 常数项 1 3 2 6 (2)若关于的代数式化简后，既不含二次项，也不含一次项，求的值． 【分析】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是准确进行计算． （1）根据多项式乘多项式的计算法则即可求解； （2）先根据多项式乘多项式的计算法则展开，合并同类项后使二次项系数和一次项系数为0即可求解． 【详解】（1）解：， ， 二次项系数 一次项系数 常数项 1 3 2 6 1 -2 故答案为：，； （2）解： ， ∵既不含二次项，也不含一次项， ∴， 解得：， ∴． 26．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）如图，长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示），留下一个“T”型的图形（阴影部分）． (1)用含的代数式表示“T”型图形的面积并化简； (2)若米，米，“T”型区域铺上价格为每平方米20元的草坪，请计算草坪的造价． 【分析】本题主要考查多项式乘多项式的几何应用，熟练掌握多项式乘多项式的几何应用是解题的关键． （1）根据图形可用割补法进行求解； （2）把米，米代入（1）中式子进行求解面积，然后再根据草坪的造价“T”型区域的面积单价，进而问题可解． 【详解】（1）解：由题意得：“T”型图形的面积为； （2）解：当米，米时， （平方米）， ∴造价为（元）． 27．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，某学校有一块长为，宽为的长方形土地，计划在阴影部分的区域进行绿化，中间修建一个边长为的正方形喷水池． (1)求绿化面积是多少平方米； (2)当，时，求绿化面积． 【分析】本题考查多项式乘多项式，完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征以及多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键． （1）根据，用代数式表示即可； （2）把，代入（1）中的代数式求值即可． 【详解】（1）解： ， 绿化面积为平方米； （2）解：当，时， （平方米）， 答：绿化面积为平方米． 28．（24-25九年级下·河北邢台·期中）在计算时，嘉嘉把n错看成了8，得到的结果是：；琪琪错把看成了，得到结果：． (1)求出m，n的值； (2)求的值． 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据题意可以得到，，然后整理化简，即可求得m、n的值； （2）先将所求式子化简，然后将m、n的值代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，， ∴，， ∴，， 解得，； （2）解： ， 当，时，原式． 29．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式（是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式， 因为， 所以多项式是一组平衡多项式，其平衡因子为． (1)小明发现多项式是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，要根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子； (2)判断多项式是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由． 【分析】本题主要考查了新定义的理解，多项式的运算， （1）根据平衡多项式定义，把两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的求差计算即可求出平衡因子； （2）根据运算法则计算，并求出平衡因子． 【详解】（1）根据题意，得 ， 所以平衡因子是； （2）是平衡多项式，理由如下： 根据题意，得 ， 所以是平衡多项式，平衡因子是． 30．（24-25七年级下·福建宁德·期中）阅读下面材料，并完成相应的任务． “速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性．观察下列各式： ； ； … 我们发现，两位数与相乘，当时，有如下速算规律：先将十位数字与相乘，得到的结果作为积的前两位数字；再将个位数字和相乘，得到的结果作为积的后两位数字．如果结果是一位数，则在其前面补0． (1)请根据上述规律计算：________；________． (2)根据上述阅读材料，用含字母的等式表示这种速算规律：________． (3)请证明上述阅读材料中的结论． 【分析】此题考查数字的变化规律，从简单情形考虑，找出一般规律，利用规律解决问题． （1）运用题目中的规律进行计算，即可求出答案； （2）找出规律即可； （3）根据，，利用多项式乘多项式的运算法则即可证明． 【详解】（1）解：由上述规律可知，， ， 故答案为：5621，7224； （2）解：， 故答案为：； （3）证明：∵， ． 31．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）【阅读材料】 对于任意实数x，都有． 当x分别取值1，2，3，4，…，n时，得到下列有一定规律的等式： 第1个等式   ； 第2个等式   ； 第3个等式   ； 第4个等式   ； …… 第n个等式   ； 把以上n个等式相加，并整理、化简， 得， 进一步化简，得． 【初步理解】 有一列数满足以下等式： ，…… （1）根据阅读材料、以上等式所包含的规律，解决问题： ①______； ②______；_____．（用含n的代数式表示） 【深化应用】 （2）结合阅读材料、等式，求的值． 【分析】本题考查的是有理数的运算规律的探究，整式的乘法运算的规律探究； （1）①根据满足的表达式的规律表示，再列式计算即可；②把满足的表达式相加，再整理即可； （2）由可得，再整理即可得到答案． 【详解】解：（1）①有一列数满足以下等式： ， ∴， ②由①归纳可得：； ∵， ， 把所有的等式相加可得： ； （2）∵， ∴， ， ， ， ∴， 整理得：， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$