【第十六章 整式的乘法 01讲 幂的运算】【三大知识点+六大题型+巩固练习】2025-2026学年八年级上册数学（新版人教版专用）

第十六章 整式的乘法 01讲 幂的运算 题型归纳 【题型1. 同底数幂相乘】………………………………………………………………… 3 【题型2. 幂的乘方运算】………………………………………………………………… 4 【题型3. 积的乘方运算】………………………………………………………………… 6 【题型4. 幂的混合运算】………………………………………………………………… 8 【题型5. 幂的运算新定义运算题】……………………………………………………… 9 【题型6. 幂的运算阅读材料题】………………………………………………………… 10 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 14 知识清单 知识点1 同底数幂的乘法 1.运算法则：一般地，对于任意底数a与任意正整数m、n. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.扩展：（m，n，p都是正整数） 【提示】 ① 底数a可以代表一个数，也可以代表一个式子； ② 指数可以是一个数，也可以代表一个式子； ③ 幂指数为1时，不要遗漏； ④ 要注意算式里的负号是属于幂的还是指数的. 知识点2 幂的乘方 1.运算法则：一般地，对于任意底数a与任意正整数m、n. 幂的乘方，底数不变，指数相乘. 2.扩展：（m，n，p都是正整数） 【提示】 指数是多项式，指数相乘时要加括号，如：(. 知识点3 积的乘方 1.运算法则：一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n. 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 2.扩展：（n是正整数） 【提示】 底数中的“－”看作“－1”，作为一个因数，防止漏乘，如：. 题型专练 题型1. 同底数幂相乘 【例1】（24-25九年级下·山东烟台·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知（是正整数），求的值． 【变式1】（2025·重庆永川·模拟预测）若 则m的值为（    ） A．18 B．9 C．5 D．3 【变式2】（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）已知，则m的值为（    ） A．5 B．24 C．9 D．10 【变式3】（2024七年级上·上海·专题练习）规定：． (1)求的值； (2)若，求的值； (3)判断，与是否相等，并说明理由． 计算. （是正整数） （是正整数） 题型2. 幂的乘方运算 【例1】（24-25七年级下·安徽亳州·期中）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）已知，，． (1)求的值． (2)求的值． (3)直接写出a，b，c之间的数量关系：_______ 【变式1】（2025·上海·中考真题）下列代数式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）已知：，，． (1)求的值； (2)试说明：． 计算. 题型3. 积的乘方运算 【例1】（2025·吉林·中考真题）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）先化简，再求值：其中． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）将幂的运算利用逆向思维可以得到，，，．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)求的值； (2)若，求的值． 计算. 题型4. 幂的混合运算 计算. 题型5. 幂的运算新定义运算题 【例1】（2025·黑龙江绥化·二模）定义一种新的运算：一般地，如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作，于是，我们可探究出对数运算的性质：如果，且，，那么会有．求（   ） A．19 B．21 C．16 D．40 【例2】（24-25七年级下·广西贵港·期中）【阅读材料】对于整数定义运算：（其中m，n为常数），如． (1)若，则___________； (2)若， ，求的值． 【变式1】（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）我们知道：，现定义一种新运算：；比如，则，若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）定义两个正数，之间的一种运算，记作，如果，那么，例如，所以． (1)根据上述规定，填空：_____ ，_____． (2)小亮通过探究发现：． 证明如下：设，则． 因为，所以． 又因为，，所以．所以． 所以． 请你类比这种方法证明等式成立． 【变式3】（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）探究应用：用“”“”定义两种新运算：对于两个数、，规定，，例如：；． (1)求的值； (2)求的值； (3)当为何值时，的值与的值相等． 题型6. 幂的运算阅读材料题 【例1】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）请阅读下列材料：，，比较，的大小关系． 解：，，且， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质_____． A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方   D．积的乘方 (2)已知，，，，试比较，的大小． 【例2】（24-25六年级下·山东淄博·阶段练习）阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：，且， ，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：，且， ，即． 小结：底数相同且大于1的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 【方法运用】 (1)比较、、的大小； (2)比较、、的大小； (3)已知，，，，比较、的大小； (4)比较与的大小． 【变式1】（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）阅读下列两则材料，解决问题． 材料一：比较和的大小． 解：，，，即， 小结：指数相同的情况下，通过比较底数（底数大于1）的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：若，则；若，则；若，则．这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小． (1)比较大小：__________（填“”“ ”或“”） (2)试比较，，的大小； (3)若，，证明：不论a取何值，始终有； (4)已知，猜想和ab的大小，并说明理由． 【变式2】（23-24七年级上·重庆·期中）阅读材料：根据乘方的意义计算： 例如1： 例如2： (1)仿照上面材料的计算方法计算：； (2)由上面的计算可总结出一个规律：（用字母表示）___________； (3)用（2）的规律计算： 【变式3】（2025七年级下·全国·专题练习）阅读下列两则材料，解决问题． 材料一：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 材料二：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． (1)比较的大小； (2)已知，比较的大小（均为大于的数）． 巩固练习 一、单选题 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）若，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·湖南湘潭·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河北石家庄·模拟预测）结果等于的有（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·山东聊城·期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，、为正整数），类似地我们规定关于任意正整数、的一种新运算：；比如若，则，若，那么的结果是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·广东揭阳·二模）我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：，如：，则．若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 8．（2025·浙江台州·一模）观察下面三行数： ① ② ③ 设分别为第①②③行的第个数，则的值为（　　） A．0 B． C． D． 9．（24-25八年级上·四川眉山·期中）已知，，，，则 a、b、c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·吉林长春·期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中为正整数），类似的，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：．比如，则．若，则的结果是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25七年级下·广西贵港·期中）已知，则的值是 ． 12．（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）若，则 ． 13．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知，，则 ； ． 14．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）下列图形中，能直观解释“”的是 ． 15．（23-24八年级上·河南南阳·期末）已知，则a，b的大小关系是 （用“>”号连接）． 16．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）按一定规律排列的一列数：2026，若表示这列数中的连续三个数，猜想满足的关系式是 ． 17．（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知，，，下列结论：①；②；③.其中所有正确结论的序号是 . 18．（24-25七年级下·安徽六安·期中）阅读下面例题的解题过程：例：已知，，请你用含m，n的代数式表示． 解：因为知，，所以． （1）一位同学发现解答此例题还有另一种思路，请你补全解题答案： ； （2）解决问题：若，，试用含a，b的代数式表示 ． 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）请用“”或“”填空： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； 20．（22-23七年级下·江苏·单元测试）已知m，n，x，y满足，，则 ． 三、解答题 21.计算 22．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，． (1)比较，的大小． (2)比较，，的大小． 23．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）规定两数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，，所以． (1)______； (2)若，探究之间的数量关系； (3)若，求的值． 24．（24-25七年级下·山西太原·开学考试）探究与应用 ●探究规律：计算下列各式 （1）；（2）；（3）都是正整数） 描述你发现的规律：__________________________________． ●提出猜想：根据你发现的规律，如果m，n都是正整数，那么_____________． ●验证规律： 请补充上述证明过程． ●应用规律：计算下列各式 （1）；     （2）；     （3） 25．（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）喜欢探索数学奥秘的小梦同学学习了《整式的乘除》后，结合，规定了一种新的运算公式：（其中m，n为正整数）．例如，若，则． (1)若． ①计算． ②当，求的值． (2)若，求的值． 26．（24-25七年级下·贵州毕节·期中）阅读下列各式：，，…… (1)发现规律：______，______． (2)应用规律： ①填空：______，______； ②计算：． (3)若，请求出n的值． 27．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）阅读理解：下面是小明完成的一道作业题． 小明的作业：计算：． 解：原式． (1)知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： ①； ②． (2)知识拓展：若，求（用字母表示）． 28．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）【阅读材料】：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法： 方法一：比较的大小：当时，，所以当同底数时，指数越大，值越大； 方法二：比较和的大小：因为，所以． 即可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大． 根据上述材料，解答下列问题： (1)比较大小：_______________（直接填写“>”或“”或“<”）． (2)已知，试比较的大小． 29．（2025·安徽亳州·模拟预测）观察以下等式： ； ； ； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________________； (2)试写出第n(n为正整数)个等式，并证明这个等式； (3)求的值．(n为正整数，结果用含有幂的形式表示) 30．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）【教材研究】下面方框内是2024苏科版教材内的一道例题． 计算： 解：原式 x． 【我的感悟】请参考例题的解法解答下列问题： (1)计算： ①； ② (2)如果，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十六章 整式的乘法 01讲 幂的运算 题型归纳 【题型1. 同底数幂相乘】………………………………………………………………… 3 【题型2. 幂的乘方运算】………………………………………………………………… 6 【题型3. 积的乘方运算】………………………………………………………………… 9 【题型4. 幂的混合运算】………………………………………………………………… 13 【题型5. 幂的运算新定义运算题】……………………………………………………… 14 【题型6. 幂的运算阅读材料题】………………………………………………………… 19 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 25 知识清单 知识点1 同底数幂的乘法 1.运算法则：一般地，对于任意底数a与任意正整数m、n. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.扩展：（m，n，p都是正整数） 【提示】 ① 底数a可以代表一个数，也可以代表一个式子； ② 指数可以是一个数，也可以代表一个式子； ③ 幂指数为1时，不要遗漏； ④ 要注意算式里的负号是属于幂的还是指数的. 知识点2 幂的乘方 1.运算法则：一般地，对于任意底数a与任意正整数m、n. 幂的乘方，底数不变，指数相乘. 2.扩展：（m，n，p都是正整数） 【提示】 指数是多项式，指数相乘时要加括号，如：(. 知识点3 积的乘方 1.运算法则：一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n. 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 2.扩展：（n是正整数） 【提示】 底数中的“－”看作“－1”，作为一个因数，防止漏乘，如：. 题型专练 题型1. 同底数幂相乘 【例1】（24-25九年级下·山东烟台·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查整式的合并同类项及同底数幂的乘除法，熟练掌握整式的合并同类项及同底数幂的乘除法是解题的关键．根据整式的合并同类项及同底数幂的乘除法法则逐一判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，所以选项A错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，所以选项B错误，不符合题意； C、，所以选项C正确，符合题意； D、，所以选项D错误，不符合题意． 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知（是正整数），求的值． 【分析】本题主要考查同底数幂乘法的逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据题意得到，即可得到答案． 【详解】解：， ． 【变式1】（2025·重庆永川·模拟预测）若 则m的值为（    ） A．18 B．9 C．5 D．3 【分析】本题主要考查幂的运算，根据同底数幂相乘的法则，底数不变，指数相加求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）已知，则m的值为（    ） A．5 B．24 C．9 D．10 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘．将每个乘数表示为2的幂次，利用同底数幂相乘法则，指数相加即可求解． 【详解】解：将各数分解为2的幂次： 原式可化为： ∴， ∴． 故选：D． 【变式3】（2024七年级上·上海·专题练习）规定：． (1)求的值； (2)若，求的值； (3)判断，与是否相等，并说明理由． 【分析】本题考查同底数幂的乘法，有理数的乘方，解一元一次方程，解答本题的关键理解新定义，代入数据，求出相应式子的值． （1）根据规定和同底数幂的乘法计算即可； （2）根据规定和同底数幂的乘法得到一个关于的一元一次方程，然后解方程即可求得的值； （3）根据规定和同底数幂的乘法计算即可． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ， ， ． （3）解：， 理由：， ， ． 计算. 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 （是正整数） 解：原式 （是正整数） 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型2. 幂的乘方运算 【例1】（24-25七年级下·安徽亳州·期中）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查幂的运算性质，熟练掌握运算法则是几天的关键． 根据合并同类项法则，幂的乘方，同底数幂的乘法运算法则逐一分析各选项即可． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，不符合题意； B、，原写法错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，原写法错误，不符合题意； 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）已知，，． (1)求的值． (2)求的值． (3)直接写出a，b，c之间的数量关系：_______ 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方的逆运算求解； （2）根据同底数幂乘法的逆运算求解； （3）观察（1）（2）结论可直接得出答案． 【详解】（1）解：， ； （2）解：，， ； （3）解：由（1）（2）知， ． 【变式1】（2025·上海·中考真题）下列代数式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查代数式的运算，涉及合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方等基本法则；逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】解：A：，合并同类项时，系数相加，字母部分不变，的系数为1，故，结果为，计算正确； B：加法运算中，指数不改变，仅系数相加；正确结果应为，而非，计算错误； C：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；，结果应为，而非，计算错误； D：幂的乘方运算中，底数不变，指数相乘；，结果应为，而非，计算错误； 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）已知：，，． (1)求的值； (2)试说明：． 【分析】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方的正用和逆用，掌握这两个运算公式或法则是解题的关键． （1）逆用同底数幂的乘法和幂的乘方代入计算即可； （2）利用同底数幂相乘及其逆运算证明即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：∵，， ∴， ∴． 计算. 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式， 解：原式， 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型3. 积的乘方运算 【例1】（2025·吉林·中考真题）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了积的乘方运算及幂的乘方运算，熟练掌握积的乘方运算及幂的乘方运算是解题的关键．根据积的乘方法则及幂的乘方运算，逐步计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 【例2】（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）先化简，再求值：其中． 【分析】本题考查整式的化简求值，根据幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方运算法则化简原式，然后代值求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁丹东·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方、积的乘方，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方、积的乘方的运算法则，逐项分析即可判断． 【详解】A、，故此选项运算错误，不符合题意； B、，故此选项运算错误，不符合题意； C、，故此选项运算错误，不符合题意； D、 ，故此选项运算正确，符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·江苏淮安·期中）将幂的运算利用逆向思维可以得到，，，．在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)求的值； (2)若，求的值． 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）逆用积的乘方法则计算即可； （2）先逆用幂的乘方法则，再根据同底数幂的乘法法则计算即可求出m的值． 【详解】（1）解：原式， ， ， ； （2）解：， ． 计算. 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型4. 幂的混合运算 计算. 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 题型5. 幂的运算新定义运算题 【例1】（2025·黑龙江绥化·二模）定义一种新的运算：一般地，如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作，于是，我们可探究出对数运算的性质：如果，且，，那么会有．求（   ） A．19 B．21 C．16 D．40 【分析】本题是材料问题，考查了对数的定义及性质，幂的运算性质，理解题中对数的定义及性质是解题的关键与难点．把化为，再结合新定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ； 故选：B 【例2】（24-25七年级下·广西贵港·期中）【阅读材料】对于整数定义运算：（其中m，n为常数），如． (1)若，则___________； (2)若， ，求的值． 【分析】本题考查了加减消元法解方程，有理数的乘方的混合运算，新定义，同底数幂相乘的逆运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合新定义的运算法则，把代入进行运算，即可作答． （2）结合， ，列出方程组，解得，，再代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵，且， ∴ ， 故答案为：3 （2）解：∵， ，， ∴， 整理得， ∴， 即， ∴， 把代入， ∴， ∴ ． 【变式1】（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）我们知道：，现定义一种新运算：；比如，则，若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了数字类规律探索、同底数幂的乘法等知识，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先根据新运算的定义可得、、的值，再归纳类推出（其中为正整数），由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ， ， 归纳类推得：（其中为正整数）， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）定义两个正数，之间的一种运算，记作，如果，那么，例如，所以． (1)根据上述规定，填空：_____ ，_____． (2)小亮通过探究发现：． 证明如下：设，则． 因为，所以． 又因为，，所以．所以． 所以． 请你类比这种方法证明等式成立． 【分析】本题主要考查了实数的运算，同底数幂乘法的逆用，解题关键是理解已知条件中的新运算． （）根据已知条件中的新运算进行计算即可； （）按照已知条件中的方法，先设，，然后根据新运算进行解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴，， ∴ ， ∴， ∴． 【变式3】（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）探究应用：用“”“”定义两种新运算：对于两个数、，规定，，例如：；． (1)求的值； (2)求的值； (3)当为何值时，的值与的值相等． 【分析】（1）根据，代入，即可求解， （2）根据，代入，即可求解， （3）根据两种新定义运算规则，代入后得到：，根据幂的运算法则，整理后，得到，即可求解， 本题考查了，实数的新定义运算，幂的运算，解题的关键是：熟练应用新定义运算法则． 【详解】（1）解：， 故答案为：， （2）解：， （3）解：由题意，得：，则：， ∴， ∴，解得：， 故答案为：． 题型6. 幂的运算阅读材料题 【例1】（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）请阅读下列材料：，，比较，的大小关系． 解：，，且， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质_____． A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方   D．积的乘方 (2)已知，，，，试比较，的大小． 【分析】本题考查了幂的乘方与幂的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据幂的乘方的逆用求解即可得； （2）求出，，则，由此即可比较大小． 【详解】（1）解：由上述计算可得逆用幂的乘方， 故选：C； （2）解：，，且， ∴， 又∵，， ∴． 【例2】（24-25六年级下·山东淄博·阶段练习）阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：，且， ，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：，且， ，即． 小结：底数相同且大于1的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 【方法运用】 (1)比较、、的大小； (2)比较、、的大小； (3)已知，，，，比较、的大小； (4)比较与的大小． 【分析】 本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． （1）仿照材料中的例题，比较大小即可求解； （2）仿照材料中的例题，比较大小即可求解； （3）仿照材料中的例题，比较大小即可求解； （4）仿照材料中的例题，比较大小即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∵， ∴， 即； （2）∵，，， ∵， ∴， 即； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）∵，， 又∵， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）阅读下列两则材料，解决问题． 材料一：比较和的大小． 解：，，，即， 小结：指数相同的情况下，通过比较底数（底数大于1）的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：若，则；若，则；若，则．这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式值的大小． (1)比较大小：__________（填“”“ ”或“”） (2)试比较，，的大小； (3)若，，证明：不论a取何值，始终有； (4)已知，猜想和ab的大小，并说明理由． 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法、整式的运算，完全平方公式，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． （1）根据，，再比较底数的大小即可； （2）根据，，，再比较底数的大小即可； （3）根据“作差法”得，即可证明结论； （4）根据，得，，进而可得，即：，即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∵， ∴， 即：， 故答案为：； （2）∵，，， 又∵， ∴， 即：； （3）证明： ， ∵任何数的平方都大于等于0， ∴，即： ∴； （4），理由如下： ∵， ∴，， 则，即：， ∴． 【变式2】（23-24七年级上·重庆·期中）阅读材料：根据乘方的意义计算： 例如1： 例如2： (1)仿照上面材料的计算方法计算：； (2)由上面的计算可总结出一个规律：（用字母表示）___________； (3)用（2）的规律计算： 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，解题的关键是找出规律，进行简便计算． （1）根据积的乘方的逆运算直接求解即可得到答案； （2）根据乘方的积等于积的乘方即可得到答案； （3）根据乘方的积等于积的乘方即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：根据题意可得， 故答案为：； （3）解：             ． 【变式3】（2025七年级下·全国·专题练习）阅读下列两则材料，解决问题． 材料一：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． 材料二：比较和的大小． 解：因为， 所以，即． (1)比较的大小； (2)已知，比较的大小（均为大于的数）． 【分析】本题考查了幂的乘方，幂的乘方的逆用，有理数的大小比较，掌握幂的乘方的运算法则是解题的关键． （）根据材料二的方法求解即可； （）先根据材料一的方法可得，，然后判断即可解答； 【详解】（1）解：∵，，，， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴． 巩固练习 一、单选题 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查幂的运算性质和合并同类项，根据同底数幂的乘方，幂的乘方，合并同类项，积的乘方逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）若，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了积的乘方以及同底数幂的乘法；根据题意，将左边的个相加转化为乘法，右边的个相乘转化为幂运算，利用指数运算性质化简等式，进而得到与的关系． 【详解】解：左边为个相加，即；右边为个相乘，即． 将左边改写为， 因此等式变为． 由于底数相同，指数相等， 故， 故选：A． 3．（24-25七年级下·湖南湘潭·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查指数运算中的同底数幂相乘及幂的乘方性质．通过将原式拆分为同指数的部分，结合底数的乘积简化计算即可． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， 故选：C． 4．（2025·河北石家庄·模拟预测）结果等于的有（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方的运算，掌握整式的混合运算法则是关键． 根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方的运算法则计算即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符题意；故选：C ． 5．（24-25七年级下·山东聊城·期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，、为正整数），类似地我们规定关于任意正整数、的一种新运算：；比如若，则，若，那么的结果是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，新定义下的实数运算，根据，通过对所求式子变形，然后根据同底数幂的乘法计算即可解答本题． 【详解】解：∵，， 故． 故选： C． 6．（2025·广东揭阳·二模）我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：，如：，则．若，那么的结果是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法，新定义运算，关键是正确理解新定义，将把新运算化成常规运算． 根据新定义进行计算即可求解． 【详解】解：由题意得， ， ∴， 故选：C． 7．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查了有理数乘方的逆运算、积的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据有理数乘方的逆运算可得，再根据积的乘方的逆用计算即可得． 【详解】解： ， 故选：D． 8．（2025·浙江台州·一模）观察下面三行数： ① ② ③ 设分别为第①②③行的第个数，则的值为（　　） A．0 B． C． D． 【分析】本题主要考查了数字规律、同底数幂相乘等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先观察数据，发现规律，确定的值，然后代入计算即可． 【详解】由题知，第①行是以2为底数，从1开始的连续自然数为指数，奇数位置为负，偶数位置为正的数，所以第①行的第20个数为， 第②行的数比第①行对应的数大2，所以第②行的第20个数为，即， 第③行的数由第①行对应的数除以2所得，所以第③行的第20个数为， 所以 ． 故选B． 9．（24-25八年级上·四川眉山·期中）已知，，，，则 a、b、c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查有理数乘方的应用，解决本题的关键是熟记有理数的乘方法则．应先将化为指数都为11的乘方形式，再比较底数的大小，即可确定出的大小． 【详解】解：， ， 故选：A 10．（24-25八年级上·吉林长春·期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中为正整数），类似的，我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：．比如，则．若，则的结果是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了新运算，有理数的乘方，把握新运算的法则并得出规律是解题的关键；计算出，则由此规律可计算，则可计算出结果． 【详解】解：，，……，，则， ∴； 故选：D． 二、填空题 11．（24-25七年级下·广西贵港·期中）已知，则的值是 ． 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，已知式子的值求代数式的值，先整理，结合，即，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：8 12．（24-25七年级下·甘肃张掖·期中）若，则 ． 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用和同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 先逆用幂的乘方和同底数幂的乘法法则整理得出关于n的方程，再计算即可． 【详解】解：， ∴． 故答案为：9． 13．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知，，则 ； ． 【分析】本题考查了幂的运算法则，关键是逆用同底数幂和幂的乘方的运算法则． 由，得，，再整体代入求值． 【详解】解：∵， ∴； ∵，， ∴， 故答案为：4；20． 14．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）下列图形中，能直观解释“”的是 ． 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，掌握数形结合的思想求解是解题的关键．根据长方形和正方形的面积计算公式逐项判断即可． 【详解】解：图①表示：，故不符合题意； 图②表示：，故不符合题意； 图③表示：，故不符合题意； 图④表示：，故符合题意； 综上分析可知：只有④符合题意． 故答案为：④． 15．（23-24八年级上·河南南阳·期末）已知，则a，b的大小关系是 （用“>”号连接）． 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用，掌握幂的乘方运算法则是解题的关键．根据幂的乘方得出指数都是11的幂，再根据底数的大小比较即可． 【详解】解：依题意，， 则， ∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 16．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）按一定规律排列的一列数：2026，若表示这列数中的连续三个数，猜想满足的关系式是 ． 【分析】本题主要考查了数字规律、同底数相乘等知识点，灵活运用同底数幂乘法的运算法则成为解题的关键． 经观察这一列数的底数相同，连续的三个数的指数满足前两个之和等于第三个的指数，再结合同底数幂相乘的运算法则即可解答． 【详解】解：观察发现：该列数的底数相同，连续的三个数的指数满足前两个之和等于第三个的指数，则这列数中的连续三个数满足的关系为：． 故答案为：． 17．（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知，，，下列结论：①；②；③.其中所有正确结论的序号是 . 【分析】本题考查了同底数幂乘法及其逆运算、对指数的大小比较，掌握这些知识点时解题的个关键. 利用同底数幂乘法及其逆运算对等式进行对比可得：①，②，③，可证结果. 【详解】解：（1）∵， ∴，即 ∴ ∴；①正确； （2）∵， ∴ ，即 ∵ ∴ ；②不正确； （3）∵ ∴ ，而，③正确； 故答案为：①③ . 18．（24-25七年级下·安徽六安·期中）阅读下面例题的解题过程：例：已知，，请你用含m，n的代数式表示． 解：因为知，，所以． （1）一位同学发现解答此例题还有另一种思路，请你补全解题答案： ； （2）解决问题：若，，试用含a，b的代数式表示 ． 【分析】本题考查了积的乘方逆用，同底数幂的乘发，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）利用运算法则进行运算即可； （2）利用积的乘方公式运算求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； 故答案为：； （2）∵，， ∴， 故答案为：． 19．（24-25七年级下·全国·课后作业）请用“”或“”填空： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； 【分析】本题主要考查同底数幂比较大小，熟练掌握运算法则是解题的关键．计算出每一个值进行比较大小即可． 【详解】解：； ； ； ； 故答案为：，，，． 20．（22-23七年级下·江苏·单元测试）已知m，n，x，y满足，，则 ． 【分析】对进行通分、合并计算，然后结合已知条件进行整理，从而可求解． 【详解】解：∵1， ∴1， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，解答的关键是对同底数幂的乘法的法则的掌握与应用． 三、解答题 21.计算 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 22．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，． (1)比较，的大小． (2)比较，，的大小． 【分析】本题考查幂的运算，掌握幂的乘方法则是解题的关键． （1）转化为同底数幂，比较指数即可； （2）转化为同指数，比较底数即可． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴，即； （2）解：∵，，， 又∵，，， ∴， ∴． 23．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）规定两数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，，所以． (1)______； (2)若，探究之间的数量关系； (3)若，求的值． 【分析】本题主要考查新定义运算，同底数幂的乘法运算，理解新定义，掌握同底数幂的乘法运算法则是关键． （1）根据材料提示方法求解即可； （2）根据题意得到，，，结合同底数幂的乘法运算即可求解； （3）设，则，，，根据同底数幂的乘法运算得到，即，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：3； （2）解：已知， ∴，，， ∵， ∴， ∴； （3）解：设， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 24．（24-25七年级下·山西太原·开学考试）探究与应用 ●探究规律：计算下列各式 （1）；（2）；（3）都是正整数） 描述你发现的规律：__________________________________． ●提出猜想：根据你发现的规律，如果m，n都是正整数，那么_____________． ●验证规律： 请补充上述证明过程． ●应用规律：计算下列各式 （1）；     （2）；     （3） 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法有关的规律问题，正确理解题意找到规律是解题的关键． 探究规律：根据乘方的意义计算每个小题即可得到规律； 提出猜想：根据得到的规律即可得到答案； 验证规律：根据乘方的意义计算即可得到答案； 应用规律：根据发现的规律进行计算即可． 【详解】解：探究规律： ； ； ，发现的规律是：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； 故答案为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； 提出猜想：根据发现的规律可得：； 故答案为：； 验证规律：； 应用规律：计算下列各式 （1）；     （2）；     （3）． 25．（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）喜欢探索数学奥秘的小梦同学学习了《整式的乘除》后，结合，规定了一种新的运算公式：（其中m，n为正整数）．例如，若，则． (1)若． ①计算． ②当，求的值． (2)若，求的值． 【分析】本题考查了乘方及同底数幂的乘法，新定义，理解新定义的规则是解题的关键． （1）①按照新定义的运算规则有，再代入值进行计算即可； ②根据新的运算，再将相应的值代入运算即可； （2）结合新的运算，利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ． ②∵， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ， 同理得：，，，，，，， ． 26．（24-25七年级下·贵州毕节·期中）阅读下列各式：，，…… (1)发现规律：______，______． (2)应用规律： ①填空：______，______； ②计算：． (3)若，请求出n的值． 【分析】本题考查了乘方及同底数幂的乘法，新定义，理解新定义的规则是解题的关键． （1）①按照新定义的运算规则有，再代入值进行计算即可； ②根据新的运算，再将相应的值代入运算即可； （2）结合新的运算，利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ． ②∵， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ， 同理得：，，，，，，， ． 25．(1)， (2)①，  ② (3) 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，积的乘方的逆运算： （1）根据题意计算求解即可； （2）①利用积的乘方的逆运算求解即可； ②把原式变形为，进而求解即可； （3）根据幂的乘方和积的乘方逆运算法则解答即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：①； ； 故答案为：，； ② ； （3）解：， ∴， 解得． 27．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）阅读理解：下面是小明完成的一道作业题． 小明的作业：计算：． 解：原式． (1)知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： ①； ②． (2)知识拓展：若，求（用字母表示）． 【分析】本题主要考查了积的乘方法则逆运算、幂的乘方法则的逆运算、同底数幂的乘法法则，熟练掌握积的乘方法则、同底数幂的乘法法则是解题关键． （1）知识迁移：①结合题意，根据积的乘方法则逆运算进行计算即可；②结合题意，根据积的乘方法则逆运算进行计算即可； （2）知识拓展：结合题意，根据幂的乘方法则、积的乘方逆运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：①； ② ； （2）解：∵， ∴， ∴， 即． 28．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）【阅读材料】：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法： 方法一：比较的大小：当时，，所以当同底数时，指数越大，值越大； 方法二：比较和的大小：因为，所以． 即可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大． 根据上述材料，解答下列问题： (1)比较大小：_______________（直接填写“>”或“”或“<”）． (2)已知，试比较的大小． 【分析】本题考查的是幂的乘方运算的含义，有理数幂的大小比较； （1）由可得，由可得即； （2）由，；进一步可得结论； 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵，而， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，； ∵， ∴； 29．（2025·安徽亳州·模拟预测）观察以下等式： ； ； ； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________________； (2)试写出第n(n为正整数)个等式，并证明这个等式； (3)求的值．(n为正整数，结果用含有幂的形式表示) 【分析】本题考查数字类规律题，同底数幂的乘法，根据题意找出规律是解题的关键． （1）根据题干找出规律即可得解； （2）根据题干找出规律即可得解； （3）由（2）的结论得到，，再分别取，2，3，……，再代入运算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴第5个等式：， 故答案为：； （2）由题意可知，左边前后3的指数差1， 总结规律得：第n个等式：． 证明：左边右边， ∴等式成立． （3）∵， ∴， 原式 ． 30．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）【教材研究】下面方框内是2024苏科版教材内的一道例题． 计算： 解：原式 x． 【我的感悟】请参考例题的解法解答下列问题： (1)计算： ①； ② (2)如果，求的值． 【分析】本题考查的是积的乘方运算的逆运算，同底数幂的乘法运算的逆运算，幂的乘方运算，熟记运算法则是解本题的关键． （1）①先把原式化为，再计算即可；② 先把原式化为，再计算即可； （2）先把原式化为，可得，再解方程即可． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：， ， ， 解得． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$