【最短路径——将军饮马、造桥选址】【两大模型+对应练习】2025-2026学年八年级上册数学（新版人教版专用）

最短路径——将军饮马/造桥选址 题型归纳 【模型1. 将军饮马】……………………………………………………………………… 4 【模型2. 造桥选址问题】………………………………………………………………… 20 知识清单 知识点1 将军饮马（一） 问题：在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小． 解题方法：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′； (2)连接AB′交直线l于点M； (3)点M即为所求的点． 方法总结：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求，根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系求解． 知识点2 将军饮马（二） 实际问题：如图2-1，牧民从 A 地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到 A 处. 牧民怎样走可使所走的路径最短？ 转化成数学问题：如图2-2，把草地近似看成射线 a，河边近似看成射线 b，问题就是分别在射线 a，b 上分别找一点 B， C，使 AB + BC + AC 最小. 解题方法：如图2-3，（1）分别作点 A 关于 a，b 的对称轴 A′，A″，可得 A′B = AB，A″C = AC； （2）连接 A′A″， A′A″ 与射线 a，b 交于点 B，C ，此时AB + BC + AC″ 最小. 2-1 A a b A’ A’’ B C 2-3 A a b 2-2 知识点3 将军饮马（三） 实际问题：如图3-1，牧民从 A 地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到 B 处 . 牧民怎样走可使所走的路径最短？ 转化成数学问题：如图3-2，在射线 a，b 上分别找一点 C，D，使 AC + CD + BD 和最小. 解题方法：如图3-3，（1）分别作点 A，B 关于 a，b 的对称点 A′，B′，可得 AC = A′C，BD = B′D； （2）连接 A′B′，A′B′ 与射线 a，b 交于点 C，D 时，此时AC + CD + BD 最小.A a b 3-3 B C D A’ B’ A a b 3-2 B 3-1 知识点4 将军饮马（四） 实际问题：如图4-1，牧民每天从生活区的边沿 A 处出发，先到草地边的 B 处牧马，再到河边 C 处饮马，然后回到 A 处 . 如何确定 A，B，C 的位置，使从 A 处出发，到 B 处牧马，再到 C 处饮马，最后回到 A 处所走的路径最短？ 转化成数学问题：如图4-2，在△DEF 中，A，B，C 分别为 EF，DE，DF 上一动点，当点 A，B，C 在什么位置时，AB + BC + CA 最小. 解题方法：如图4-3，（1）分别作点 A 关于 DE，DF 的对称点 A′，A″，有 A′B = AB，A″C = AC，AB + BC + CA ≥ A′A″； （2）在△DA′A″ 中，DA′ = DA″ = AD，∠A′DA″ = 2∠EDF（定值）； （3）要使 A′A″ 最小，则 DA′ 最小即 AD 最小，当 AD⊥EF 时，AD 最小. D E F 4-1 4-2 4-3 知识点5 造桥选址问题 实际问题：如图5-1，A，B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN. 桥造在何处可使从 A 到 B 的路径AMNB 最短？(假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直 .) 转化成数学问题：如图5-2，直线 a // b，N 为直线 b 上的一个动点，MN⊥b，交直线 a 于点 M.当点 N 在直线 b 的什么位置时，AM + MN + NB 最小？ 解题方法：如图5-3，（1）将 AM 沿与河岸垂直的方向平移河宽的距离，点 M 移动到点 N，点 A 移到点 A′，则 AA′ = MN，AM + NB = A′N + NB； （2）当点 N 为 A′B 与直线 b 的交点时，AM + MN + BN最小，为 A′B + MN. 5-2 A B M N b a 5-3 A B M N b a A’ 5-1 题型专练 题型1. 将军饮马 1．如图，等边中，于点，点，分别为，上的两个定点且，，在上有一动点使最短，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】在上找到点关于的对称点，连接交于点，连接，推出的最小值是的长，再证明出是等边三角形，即可求出的长，从而解决问题． 【详解】解：在上找到点关于的对称点，连接交于点，连接， 此时是的垂直平分线， ，， 此时取最小值，最小值为， 等边中，， ， ，， 等边中，，， 又， ， 是等边三角形， ， 即的最小值为． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是轴对称性质、将军饮马模型、垂直平分线性质、等边三角形的判定与性质，解题关键是能将两线段的和的最小值用一条线段长表示． 2．已知，在内有一定点P，点M，N分别是，上的动点，若的周长最小值为3，则的长为（　　） A． B．3 C． D． 【分析】根据题意画出符合条件的图形，求出，得出等边三角形，求出，求出的周长，即可求出答案． 【详解】解：作P关于的对称点D，作P关于的对称点E，连接交于M，交于N，连接，则此时的周长最小， 连接， ∵P、D关于对称， ∴， 同理， ∴， ∵P、D关于对称， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵的周长是， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的判定与性质，关键是画出符合条件的图形． 3．如图，从点A到射线上一点M，再从M到射线上一点N，最后从点N到点B，找到最短时M、N点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【分析】本题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质，对称轴是对应点连线的垂直平分线以及根据两点之间线段最短，可知最短． 【详解】解：如图，M、N即为所求， 4．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．    (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的； (2)线段被直线l 　　； (3)在直线l上找一点P，使的长度最短． 【分析】本题考查了作图-轴对称变换：我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点． （1）分别作出B、C关于直线l的对称点即可； （2）根据轴对称的性质判断即可； （3）连接，与直线l的交点即为所求； 【详解】（1）如图所示：    （2）∵点与关于直线l对称， ∴线段被直线l垂直平分． 故答案为：垂直平分． （3）如图，连接或连接，交直线l于点P， 可得， 此时的长最短． 5．已知点P在内．    (1)如图①，点P关于射线的对称点分别是G、H，连接． ①若，则是什么特殊三角形？为什么？ ②若，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图②，若， A、B分别是射线上的点，于点B，点P、Q分别为上的两个定点，且，，在上有一动点E，试求的最小值． 【分析】（1）①由轴对称的性质可得，，．根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可得出是等边三角形；②当时，，G、O、H在同一直线上，由此可得与的数量关系； （2）过Q作的对称点，连接，交于点E，连接，则的最小值为，由已知条件可得，易得，，由此可得是等边三角形，即可得的长，即的最小值． 【详解】（1）解：①是等边三角形， ∵点P关于对称的点为G， ∴，， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． ②， 当时，， ∴G、O、H在同一直线上，． ∵， ∴； （2）解：过Q作的对称点，连接，交于点E，连接，    ∴ 最小值为． ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵点Q与关于对称， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即的最小值为5． 【点睛】本题主要考查了轴对称--最短路线问题，轴对称的性质和等边三角形的判定和性质．熟练掌握轴对称的性质及等边三角形的判定和性质，熟悉“将军饮马”模型是解题的关键． 6．已知在等腰三角形中，． (1)如图1，，，分别是，上的点，且．求证：； (2)如图2，，点是上的点，过点作于点．若，，求的长； (3)如图3，，，分别是，上的点，且．当的值最小时，求此时的度数． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键． （1）证明，即可得到答案； （2）过点作于点，则．证明，即可得到，即可得到答案； （3）在下方，过点作，且，连接．证明，则．当，，三点共线时，的值最小，即的值最小．进一步求出答案即可． 【详解】（1）证明：，， 为等边三角形， ． 在和中， ， ， ． （2）解：如图1，过点作于点，则． ， ． ，， ，， ． ， ． 在和中， ， ． ， ． （3）解：如图2，在下方，过点作，且，连接． 在和中， ， ， ． 当，，三点共线时，的值最小，即的值最小． ，， ， ． ， ， ， ． 7．【问题起源】 如图1，在一条笔直的道路上建一个燃气站，并向路同侧的两个城镇铺设燃气管道，如何确定燃气站的位置使得铺设管道的路径最短． 【解决方案】 如图2，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点就是燃气站的位置． 【实际运用】 （1）如图3，在实际铺设中，在两个城镇之间有一片水源地（水源地的右下角顶点为点），燃气管道不能穿过该区域．下列四种铺设管道路径的方案，最短的铺设路径方案是：_____；（填方案序号） 方案1：过点作于点，连接，则铺设管道路径是． 方案2：连接并延长交于点，连接，则铺设管道路径是． 方案3：作点关于的对称点，连接交于点，连接，则铺设管道路径是． 方案4：作点关于的对称点，连接交于点，连接，则铺设管道路径是． 【数学思考】 （2）如图4，在中，，，，点，在，边上运动，且．如何确定点的位置，使得的值最小； ①解决方案：如图5，过点做射线，在射线上截取．请完成后续作图； ②请解释上述作图的理由； （3）如图6，在锐角中，，点与点的距离为，点与点的距离为，点到的距离为．点，，分别在边，，上（均不与点重合），请直接写出周长的最小值． 【分析】本题考查轴对称，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握将军饮马模型，是解题的关键： （1）作点关于的对称点，连接交于点，连接，则铺设管道路径是，进行判断即可； （2）①连接交于点，在上截取，即可；②证明，得到，进而得到，得到当在线段上时，的值最小，连接，即可得到点，再根据，确定点即可； （3）作关于的对称点，作关于的对称点，连接，证明为等边三角形，得到，根据的周长，当四点共线时，的周长最小为的长，即的长，再根据垂线段最短，得到时，的周长最小，即可得出结果． 【详解】解：（1）由题意，作点关于的对称点，连接交于点，连接，则铺设管道路径是，最短． 即最短的铺设路径方案是方案3； 故答案为：方案3； （2）①连接交于点，在上截取，如图所示； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点在线段上时，的值最小； ∴连接，即可得到点，再根据，确定点即可； （3）如图，作关于的对称点，作关于的对称点，连接， 则：，，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵的周长， ∴当四点共线时，的周长最小为的长，即的长， ∴当时，的周长最小， 由题意，点到的距离为， ∴的最小值为，即：的周长的最小值为． 8．（1）【问题发现】 小琪遇到这样一个问题：如图1，在中，，在三角形内取一点D，使得，求的度数． 为解决这一问题，聪慧的小琪想到的办法是：如图2，在上截取，连接，够造出，从而问题便得以解决，下面图5是小琪的部分分析过程，请你按照小琪的思路将其补充完整． 小琪证明完三角形全等后及时进行总结，她发现，具备了“一边一角”的图形特征，可以截取相等线段，构造出全等三角形． 若设，则，，再由，列出方程，进而求出的度数为________． （2）【拓展探究】 如图3，在中，，D为延长线上一点（点D不与A，C重合），连接，过点A作于点E，过C作于点F，连接，小琪通过探究发现，，小琪得到的结论正确吗？如果正确请说明理由． （3）【类比迁移】 如图4，在中，，平分交于点垂直平分，点M和点Q为上的动点，点N和点P为在上的动点，且，若的最小值为5，当最小时，的长为________． 【分析】（1）根据思路图作答即可；根据列方程求解即可； （2）如图，作交于G，在取，连接，交于O，先证明，得到，证明四边形是长方形，得到，再根据等腰三角形三线合一可知，即可证明； （3）在下方作，则，连接，可知为5，证明是等边三角形，则，，在上取，使得，连接，，证明得到，可知最小值为，根据即可得解． 【详解】（1）∵， ∴ ∵ ∴， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ 故答案为：； ∵，，， ∴， 解得： 即 ∵ ∴ ∴ 故答案为：； （2）正确 如图，作交于G，在取，连接，交于O， ∵， ∴ ∵，， ∴ 即 ∵，， ∴四边形是长方形， ∴ ∵，， 由等腰三角形三线合一可知 ∴ 即； （3）在下方作，则，连接， ∵的最小值为5， ∴的最小值为5， 即为5， ∵， ∴ ∵平分交于点D， ∴ ∵ ∴， ∴ ∵ ∴， 即是等边三角形 ∴ ∵垂直平分， ∴， 在上取，使得，连接，， ∵， ∴ ∴ 即， ∵P是动点即是动点， ∴最小值为 此时 即 故答案为： 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，长方形的判定和性质，等腰三角形三线合一，等边三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 题型2. 造桥选址问题 1．和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，使从到的路径最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（  ） A．（垂直于） B．（不平行） C．（垂直于） D．（平行） 【分析】过点作河的垂线，要使最短，直线，，连接即可得出，作出、、即可． 【详解】根据垂线段最短，得出是河的宽时，最短，即直线（或直线），只要最短即可， 即过作河岸的垂线，垂足为，在直线上取点，使等于河宽，连接交河的边岸于，作垂直于河岸交边的岸于点，所得即为所求． 易得四边形是平行四边形，则，即． 故选：． 【点睛】本题考查了最短路线问题，垂线段最短，三角形的三边关系定理的应用，关键是如何找出、点的位置． 2．为了发展乡村旅游，某村准备在河道上修一座与河道垂直的桥，如图（1）所示，直线l，m代表河流的两岸河道，且l∥m，点A是某村自助农场的所在地，点B是某村游乐场所在地． 问题1：造桥选址桥准备选在到A，B两地的距离之和刚好为最小的点C处，即在直线l上找一点C，使AC+BC的值为最小．请利用你所学的知识在图（1）中作出点C的位置，并简单说明你所设计方案的原理； 问题2：测量河宽:在测量河道的宽度时施工队在河道南侧的开阔地用以下方法（如图2所示）：①作CD⊥l，与河对岸的直线m相交于D；②在直线m上取E，F两点，使得DE＝EF＝10米；③过点F作m的垂线FG，使得点G与C，E两点在同一直线上；④测量FG的长度为20米．请你确定河道的宽度，并说明理由． 【分析】问题1：作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′交直线l于C，连接AC，此时AC+BC的值最小． 问题2：证明△CDE≌△GFE（AAS）即可解决问题． 【详解】问题1：造桥选址． 如图1中，作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′交直线l于C，连接AC， 此时AC+BC的值最小． 理由：两点之间线段最短． 问题2：测量河宽 如图2中，在Rt△CDE和Rt△GFE中， ， ∴Rt△CDE≌Rt△GFE（AAS） ∴CD＝FG＝20米， 答：河道的宽度为20米． 【点睛】本题考查轴对称性质及全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．（1）如图①，、两点在直线的两侧，请你在直线上找到点，使得的长度最小，简述画法，并说明理由； （2）如图②，、两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．） 将这个实际问题抽象出来，即：如图③，直线，点、分别位于直线、的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小．在图③中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）． （3）如图④，在（II）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图④中画出两座桥的位置，并简要说明这四个点的位置是如何找到的（不要求证明）． 【分析】本题考查轴对称作图，线段的性质，熟练掌握轴对称的性质，两点之间线段最短，是解题的关键： （1）根据两点之间线段最短，直接连接，与的交点即为点； （2）在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点，点即为所求． （3）在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点，点、、、即为所求． 【详解】解：（I）如图，连接，与交于点，点即为所求； 理由：两点之间，线段最短． （II）在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点，点即为所求． （Ⅲ）在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点，点、、、即为所求． 4．按照下列要求作图．（保留作图痕迹） (1)【“两定一动”型（同侧）】如图，已知点，在直线同侧，在直线上求作一点，使最短； (2)【“一定两动”型】如图，内有一点，分别在，边上各取一点，使的周长最小； (3)【“两定两动”型（异侧）】如图，，是两个村庄，中间有一条河，现准备在河上造一座桥，使得通过桥到两村的距离和最短；（假定河的两岸是平行线，桥要与河岸垂直） (4)【“两定两动”型（同侧）】如图，的长度为定值，在直线上分别取点，，使，连接，，当最小时，求点，的位置． 【分析】本题主要考查了轴对称性质、最短路径问题； （1）作点关于的对称点，连接，交与点，则点即为所求； （2）点即为所求分别作点关于射线，的对称点，，连接分别交，于点，此时的周长，为最小． （3）过作河的垂线，要使最短，直线，，连接即可得出，作出即可． （4）过作使得，作点关于的对称点，连接与的交点即为，过作交为，点，即为所求． 【详解】（1）解：点位置如图①②所示．（任选一种即可） （2）如图③所示，点即为所求分别作点关于射线，的对称点，，连接分别交，于点，此时的周长，为最小． （3）如图④，即为所求的桥． 根据垂线段最短，得出是河的宽时，最短，即直线a（或直线b）， 只要最短就行， 即过B作河岸b的垂线，垂足为H，在直线上取点，使等于河宽．连接交河的a边岸于M，作垂直于河岸交b边的岸于N点，所以，即为所求的桥． （4）解：过A作使得，作点C关于l的对称点D，连接与l的交点即为F，过A作交l为E，点E，F即为所求．点，的位置如图⑤所示． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点C关于l的对称点D， ∴，， ∴，， ∵为定值， ∴要求的最小值，只需求， ∴点B、F、D共线时，最小． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 最短路径——将军饮马/造桥选址 题型归纳 【模型1. 将军饮马】……………………………………………………………………… 4 【模型2. 造桥选址问题】………………………………………………………………… 10 知识清单 知识点1 将军饮马（一） 问题：在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小． 解题方法：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′； (2)连接AB′交直线l于点M； (3)点M即为所求的点． 方法总结：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求，根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系求解． 知识点2 将军饮马（二） 实际问题：如图2-1，牧民从 A 地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到 A 处. 牧民怎样走可使所走的路径最短？ 转化成数学问题：如图2-2，把草地近似看成射线 a，河边近似看成射线 b，问题就是分别在射线 a，b 上分别找一点 B， C，使 AB + BC + AC 最小. 解题方法：如图2-3，（1）分别作点 A 关于 a，b 的对称轴 A′，A″，可得 A′B = AB，A″C = AC； （2）连接 A′A″， A′A″ 与射线 a，b 交于点 B，C ，此时AB + BC + AC″ 最小. 2-1 A a b A’ A’’ B C 2-3 A a b 2-2 知识点3 将军饮马（三） 实际问题：如图3-1，牧民从 A 地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到 B 处 . 牧民怎样走可使所走的路径最短？ 转化成数学问题：如图3-2，在射线 a，b 上分别找一点 C，D，使 AC + CD + BD 和最小. 解题方法：如图3-3，（1）分别作点 A，B 关于 a，b 的对称点 A′，B′，可得 AC = A′C，BD = B′D； （2）连接 A′B′，A′B′ 与射线 a，b 交于点 C，D 时，此时AC + CD + BD 最小.A a b 3-3 B C D A’ B’ A a b 3-2 B 3-1 知识点4 将军饮马（四） 实际问题：如图4-1，牧民每天从生活区的边沿 A 处出发，先到草地边的 B 处牧马，再到河边 C 处饮马，然后回到 A 处 . 如何确定 A，B，C 的位置，使从 A 处出发，到 B 处牧马，再到 C 处饮马，最后回到 A 处所走的路径最短？ 转化成数学问题：如图4-2，在△DEF 中，A，B，C 分别为 EF，DE，DF 上一动点，当点 A，B，C 在什么位置时，AB + BC + CA 最小. 解题方法：如图4-3，（1）分别作点 A 关于 DE，DF 的对称点 A′，A″，有 A′B = AB，A″C = AC，AB + BC + CA ≥ A′A″； （2）在△DA′A″ 中，DA′ = DA″ = AD，∠A′DA″ = 2∠EDF（定值）； （3）要使 A′A″ 最小，则 DA′ 最小即 AD 最小，当 AD⊥EF 时，AD 最小. D E F 4-1 4-2 4-3 知识点5 造桥选址问题 实际问题：如图5-1，A，B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN. 桥造在何处可使从 A 到 B 的路径AMNB 最短？(假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直 .) 转化成数学问题：如图5-2，直线 a // b，N 为直线 b 上的一个动点，MN⊥b，交直线 a 于点 M.当点 N 在直线 b 的什么位置时，AM + MN + NB 最小？ 解题方法：如图5-3，（1）将 AM 沿与河岸垂直的方向平移河宽的距离，点 M 移动到点 N，点 A 移到点 A′，则 AA′ = MN，AM + NB = A′N + NB； （2）当点 N 为 A′B 与直线 b 的交点时，AM + MN + BN最小，为 A′B + MN. 5-2 A B M N b a 5-3 A B M N b a A’ 5-1 题型专练 题型1. 将军饮马 1．如图，等边中，于点，点，分别为，上的两个定点且，，在上有一动点使最短，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．已知，在内有一定点P，点M，N分别是，上的动点，若的周长最小值为3，则的长为（　　） A． B．3 C． D． 3．如图，从点A到射线上一点M，再从M到射线上一点N，最后从点N到点B，找到最短时M、N点的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 4．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．    (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的； (2)线段被直线l 　　； (3)在直线l上找一点P，使的长度最短． 5．已知点P在内．    (1)如图①，点P关于射线的对称点分别是G、H，连接． ①若，则是什么特殊三角形？为什么？ ②若，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图②，若， A、B分别是射线上的点，于点B，点P、Q分别为上的两个定点，且，，在上有一动点E，试求的最小值． 6．已知在等腰三角形中，． (1)如图1，，，分别是，上的点，且．求证：； (2)如图2，，点是上的点，过点作于点．若，，求的长； (3)如图3，，，分别是，上的点，且．当的值最小时，求此时的度数． 7．【问题起源】 如图1，在一条笔直的道路上建一个燃气站，并向路同侧的两个城镇铺设燃气管道，如何确定燃气站的位置使得铺设管道的路径最短． 【解决方案】 如图2，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点就是燃气站的位置． 【实际运用】 （1）如图3，在实际铺设中，在两个城镇之间有一片水源地（水源地的右下角顶点为点），燃气管道不能穿过该区域．下列四种铺设管道路径的方案，最短的铺设路径方案是：_____；（填方案序号） 方案1：过点作于点，连接，则铺设管道路径是． 方案2：连接并延长交于点，连接，则铺设管道路径是． 方案3：作点关于的对称点，连接交于点，连接，则铺设管道路径是． 方案4：作点关于的对称点，连接交于点，连接，则铺设管道路径是． 【数学思考】 （2）如图4，在中，，，，点，在，边上运动，且．如何确定点的位置，使得的值最小； ①解决方案：如图5，过点做射线，在射线上截取．请完成后续作图； ②请解释上述作图的理由； （3）如图6，在锐角中，，点与点的距离为，点与点的距离为，点到的距离为．点，，分别在边，，上（均不与点重合），请直接写出周长的最小值． 8．（1）【问题发现】 小琪遇到这样一个问题：如图1，在中，，在三角形内取一点D，使得，求的度数． 为解决这一问题，聪慧的小琪想到的办法是：如图2，在上截取，连接，够造出，从而问题便得以解决，下面图5是小琪的部分分析过程，请你按照小琪的思路将其补充完整． 小琪证明完三角形全等后及时进行总结，她发现，具备了“一边一角”的图形特征，可以截取相等线段，构造出全等三角形． 若设，则，，再由，列出方程，进而求出的度数为________． （2）【拓展探究】 如图3，在中，，D为延长线上一点（点D不与A，C重合），连接，过点A作于点E，过C作于点F，连接，小琪通过探究发现，，小琪得到的结论正确吗？如果正确请说明理由． （3）【类比迁移】 如图4，在中，，平分交于点垂直平分，点M和点Q为上的动点，点N和点P为在上的动点，且，若的最小值为5，当最小时，的长为________． 题型2. 造桥选址问题 1．和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，使从到的路径最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（  ） A．（垂直于） B．（不平行） C．（垂直于） D．（平行） 2．为了发展乡村旅游，某村准备在河道上修一座与河道垂直的桥，如图（1）所示，直线l，m代表河流的两岸河道，且l∥m，点A是某村自助农场的所在地，点B是某村游乐场所在地． 问题1：造桥选址桥准备选在到A，B两地的距离之和刚好为最小的点C处，即在直线l上找一点C，使AC+BC的值为最小．请利用你所学的知识在图（1）中作出点C的位置，并简单说明你所设计方案的原理； 问题2：测量河宽:在测量河道的宽度时施工队在河道南侧的开阔地用以下方法（如图2所示）：①作CD⊥l，与河对岸的直线m相交于D；②在直线m上取E，F两点，使得DE＝EF＝10米；③过点F作m的垂线FG，使得点G与C，E两点在同一直线上；④测量FG的长度为20米．请你确定河道的宽度，并说明理由． 3．（1）如图①，、两点在直线的两侧，请你在直线上找到点，使得的长度最小，简述画法，并说明理由； （2）如图②，、两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．） 将这个实际问题抽象出来，即：如图③，直线，点、分别位于直线、的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小．在图③中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）． （3）如图④，在（II）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图④中画出两座桥的位置，并简要说明这四个点的位置是如何找到的（不要求证明）． 4．按照下列要求作图．（保留作图痕迹） (1)【“两定一动”型（同侧）】如图，已知点，在直线同侧，在直线上求作一点，使最短； (2)【“一定两动”型】如图，内有一点，分别在，边上各取一点，使的周长最小； (3)【“两定两动”型（异侧）】如图，，是两个村庄，中间有一条河，现准备在河上造一座桥，使得通过桥到两村的距离和最短；（假定河的两岸是平行线，桥要与河岸垂直） (4)【“两定两动”型（同侧）】如图，的长度为定值，在直线上分别取点，，使，连接，，当最小时，求点，的位置． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$