第15章 专题7-8“手拉手”(共项点)模型的等腰三角形 轴对称——将军饮马-【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练测（人教版2024 辽宁专版）

同步练测·八年级数学(上册) [答案 P17]专题7 “手拉手”(共顶点)模型的等腰三角形 类型①共顶点的等腰直角三角形 ①(哈尔滨中考)已知，△ABC和△DCE都是等腰 直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°,连接AE,BD 交于点0,AE与DC交于点M,BD与AC交于 点N. (1)如图①,求证：AE=BD; (2)如图②,若AC=DC,在不添加任何辅助线的 情况下，请直接写出图②中四对全等的直角 三角形. A DA D 0N M℃ B M N C B E é 1题图① 1题图② 类型②共顶点的等边三角形 2 如图，△ABC和△EDC都是等边三角形，当点 B,C,D在一条直线上时，连接AD,BE交于点 M,连接CM,试探究线段BM与线段AM,CM之 间的数量关系，并说明理由. A M E B C D 2题图 60 见此图标眼微信扫码难题轻松解练出好成绩 3 在△ABC中，AB=AC,D是射线BC上一点(不 与B,C重合),以AD为一边在AD的右侧作 △ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE. (1)如图①,若△ABC是等边三角形，且AB=AC =2,点D在线段BC上. ①求证：∠BCE+∠BAC=180°; ②当四边形ADCE的周长取最小时，求BD 的长； (2)若∠BAC≠60°,当点D在线段BC的延长线 上移动时，如图②,∠BCE和∠BAC之间有 怎样的数量关系?并说明理由. E B D C A E B C D 3题图① 3题图② 知识精讲 A1匹配资源 AT智能工具 A1方法指导 抖音/微信 扫码进阶 第十五章 轴对称 专题8 轴对称——将军饮马 [答案 P17] 类型①“两定一动”型 类型 模型分析 依据 在直线l上找一点P,使得PA+ PB的值最小 “两定一 动”求 A· ·B A 两点之 B 和 -1 -1 间，线段 P 的最小值 B' 最短 (作点B关于直线l的对称点 B′,连接AB′,与直线l交于点P) 在直线l上找一点P,使得IPA- PBI的值最大 A· B A- B “两定一 动”求 (连接AB并延长，与直线l交于 三角形 差 点P) 的 三边 的最大值 A· A- 关系B' B B1P 1 (作点B关于直线l的对称点 B',连接AB'并延长，与直线l交 于点P) 1 如图，在正方形网格中有M,N两点，在直线l上 找一点P使PM+PN的值最小，则点P应选在 ( ) M: iN A B C D l 1题图 A.A点 B.B点 C.C点 D.D点 2如图，A,B两点都在直线MN的上方，AB=5,A 到直线MN的距离AC=8,B到直线MN的距离 BD=5,P在直线 MN上运动，则IPA-PBI的最 大值等于________ A B N DP C M 2题图 类型②“一定两动”型 3如图，在四边形ABCD中，∠BAD=120°,∠B= ∠D=90°,在BC,CD上分别找一点M,N,使 △AMN的周长最小，则此时∠AMN+∠ANM的 度数为 ( ) 4 □D B N M C 3题图 A.130° B.120° C.110° D.100° 4 (安徽芜湖期末)如图，在锐角三角形ABC中， AB=6,△ABC的面积为18,BD平分∠ABC,若 E,F分别是BD,BC上的动点，则CE+EF的最 小值为 ( ) A D E B F C 4题图 A.5 B.6 C.7 D.8 类型 模型分析 依据 点P为∠AOB内一点，在OA上 找一点M,在OB上找一点N,使 得PN+NM的值最小 “一定两 动”求 A A 垂线段 和 .P M P 最短 的最小值 0 B 0 -BN P' (作点P关于OB的对称点P', 过点P′作OA的垂线，分别与 OB,0A交于点N,M) 点P为∠AOB内一点，在OA上 找一点M,在OB上找一点N,使 得△PMN的周长最小 “一定两 动”求周 A P′ A 两点之 长的最 M 间，线段 小值 0 ·P-B 04 最短NYP" (分别作点P关于OA,OB的对 称点P',P",连接P'P”,交OA,OB 于点M,N) 见此图标眼微信扫码|难题轻松解练出好成绩 61 同步练测·八年级数学(上册) 5 如图，在△ABC中，AD⊥BC,AC=AE,AD=8, BC=18,P为线段AD上一动点，E是BC上一定 点，F是线段AB上一动点，则当EP+FP取最小 值6时，AB的长为______. 4 P F C D E B 5题图 6 已知点P在∠MON内. (1)如图①,点P关于射线OM的对称点是G,点P 关于射线ON的对称点是H,连接OG,OH,OP. ①若∠MON=50°,则∠GOH=____; ②若PO=5,连接GH,请说明当∠MON为 多少度时，GH=10; (2)如图②,若∠MON =60°,A,B分别是射线 OM,ON上的任意一点，当△PAB的周长最 小时，求∠APB的度数. G M P 0 N H M P A 0 B N 6题图① 6题图② 类型③ “两定两动”型 7 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上 造一座桥MN,使从点A到B的路径A-M-N- B最短的是(假定河的两岸是平行直线，桥要与 河岸垂直) ( ) A< A· Ma M -a Nb B N bB A (BM垂直于a) (AM不平行于BN) A B A 自 A M 西 B a M a 7题图 N bB N b B (AN垂直于b) (AM平行于BN) C D 8(北京西城区期末)如图，在△ABC中，AB=AC, ∠A=90°,D,E是边AB上的两个定点，M,N分 别是边AC,BC上的两个动点.当四边形DEMN 的周长最小时，∠DNM+∠EMN的度数是 ( ) A E M D B N C 8题图 A.45° B.90° C.75° D.135° 类型 模型分析 依据 直线l同侧有两点A,B,在直线l 上找两点M,N(其中MN的长度 固定),使得AM+MN+NB的值 最小 “两定两 A\ B Ar B 两点之 动”求线 段和的 M N 1 M N 1 间，线段 最短 最小值 A? (将点A向右平移MN的长度到 点A?,作点A?关于直线l的对称 点A?,连接A?B,交直线l于点 N,再确定点M) 62 见此图标眼微信扫码难题轻松解练出好成绩 参考答案及解析 又∵EF1MG,∴FG=FM. ∵ BF=4,∴MF=BF+BM=4+2=6, ∴GF=FM=6. 6.证明：如答图，延长AD到点G使DG=AD,连接CG. ∵AD为中线， A ∴BD=CD. E 又∵∠ADB=∠CDG,AD=GD, F ∴△ADB≌△GDC, B2 ∴AB=GC,∠EAF=∠G. D C ∵AE=EF,∴∠EAF=∠EFA. ∵∠EFA=∠CFG,∴∠G=∠CFG, G ∴CF=CG,∴ AB=CF. 6题答图 7.证明：如答图，延长BD到点F,使BF=BA,连接AF,CF. ∵∠ABD=60°,∴ △ABF为等边三角形， ∴AF=AB=BF,∠AFB=60°. 又∵AB=AC, A ∴AC=AF, ∴∠ACF=∠AFC. 又∵∠ACD=60°, ∴∠AFB=∠ACD=60°, ∴∠DCF=∠DFC, ∴DC=DF. B4 D F ∴BD+DC=BD+DF=BF=AB, C 即BD+DC=AB. 7题答图 8.解：如答图，在DC上截取DE=BD,连接AE. ∵AD⊥BC,∴ ∠ADB=∠ADE=90°. 在△ABD和△AED中，2A ∴△ABD≌△AED(SAS), ∴AB=AE,∠B=∠AEB. 又∵AB+BD=CD,DE=BD,CD=DE+EC, ∴AB+DE=DE+EC,∴AB=EC,∴AE=EC. 设∠EAC=∠C=x, ∵∠AEB为△AEC的外角， ∴∠AEB=∠EAC+∠C=2x,∠B=2x. 在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C=180°, 即2x+120°+x=180°,解得x=20°,∴∠C=20°. A B D E C 8题答图 专题7“手拉手”(共顶点)模型的等腰三角形 1.(1)证明：∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE=90°, ∴AC=BC,DC=EC, ∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD, ∴∠BCD=∠ACE. 在△ACE和△BCD中， A0 ∴△ACE≌△BCD(SAS),∴AE=BD. (2)解：△ACB≌△DCE,△EMC≌△BNC, △AON≌DOM,△AOB≌△DOE.(答案不唯一) 2.解：BM=AM+CM.理由如下： 如答图，在DA上取点F,使DF=ME,连接CF. ∵△ABC与△EDC都是等边三角形， ∴AC=BC=AB,CE=CD,∠BCA=∠ECD=60°, ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE, 即∠BCE=∠ACD, ∴△BCE≌△ACD, ∴AD=BE,∠BEC=∠ADC. 在△MEC和△FDC中，=,m ∴△MEC≌△FDC(SAS), ∴MC=FC,∠MCE=∠FCD, ∴∠MCF=∠MCE+∠ECF=∠FCD+∠ECF=∠ECD=60°, ∴△MCF是等边三角形，∴MC=MF, ∴BM=BE-ME=AD-DF=AM+MF=AM+CM. A M E F B C D 2题答图 3.(1)①证明：∵∠BAC=∠DAE, ∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC, ∴∠BAD=∠CAE. 又∵AB=AC,AD=AE, ∴△ABD≌△ACE,∴ ∠ABD=∠ACE, ∴∠BCE+∠BAC=∠BCA+∠ACE+∠BAC=∠BCA+ ∠ABD+∠BAC=180°. ②解：∵△ABC是等边三角形，且AB=AC=2, ∴BC=2. ∵△ABD≌△ACE,∴ BD=CE, ∴四边形ADCE的周长=AD+DC+CE+AE=AD+DC+ BD+AE=BC+2AD, ∴当AD最短，即AD⊥BC时，四边形ADCE的周长最小. ∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC, BD=—CB=2×2=1. (2)解：∠BCE+∠BAC=180°. 理由：如答图，设CE与AD交与点F, ∵∠BAC=∠DAE, ∴∠BAD=∠CAE. 又∵AB=AC,AD=AE, ∴△ABD≌△ACE, ∴∠ADB=∠AEC. ∵∠AFE=∠CFD, ∴∠EAF=∠ECD. ∵∠BAC=∠FAE, ∴∠BAC=∠ECD. 又∵∠BCE+∠ECD=180°, ∴∠BCE+∠BAC=180°. A E F B C D 3题答图 专题8 轴对称——将军饮马 1.C 2.5 3.B 4.B 5.24 6.解：(1)①100° ②∵ PO=5, ∴GO=HO=5. 当∠MON=90°时，∠GOH=180°, ∴G,0,H在同一直线上， ∴GH=GO+HO=10. ·17· 同步练测·八年级数学(上册) (2)如答图，分别作点P关于OM,ON的对称点P′,P",连接 OP,OP′,OP”,P'P”,P'P”交OM,ON M 于点A,B,连接PA,PB,则AP=AP′, P′ BP=BP”, 此时△PAB周长的最小值等于P'P” A× P 的长， 由对称性可得OP′=OP"=OP, ∠P'OA=∠POA, 02 B N ∠P"OB=∠POB, ∴∠P'OP=2∠MON=2×60°=120°, P" ∴∠OP'P"=∠OP"P′=(180°-120°)÷ 6题答图 2=30°,∴.∠OPA=∠OP′A=30°. 同理可得∠BPO=∠OP"B=30°, ∴∠APB=30°+30°=60°. 7.D 8.B 数学活动 1.B 2.解：如答图所示.(答案不唯一) 2题答图 3.(1)①解：依据1:等腰三角形的两个底角相等(或等边对 等角) 依据2:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三 角形全等(或角角边或AAS) ②证明：如答图，连接AD.∵AB=AC,D A 是BC的中点，∴AD是∠BAC的平分 线.∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF. (证法不唯一) (2)解：CG=2DE (3)证明：(任选一个证明即可)选择 ①:∵DE,DF分别是△ABD和△ACD 的中线， E巨 F B D C BE=2AB,CF= 2AC 3题答图 ∵AB=AC,∴BE=CF,∠B=∠C. 又∵D是BC的中点， ∴ BD=CD. 在△BDE和△CDF中， ∴△BDE≌△CDF(SAS), ∴DE=DF. 选择②:∵AB=AC,D是BC的中点， ∴∠B=∠C,BD=CD,AD⊥BC, ∴∠ADB=∠ADC=90°. 又∵DE,DF分别是△ABD和△ACD的角平分线， ∴∠BDE=∠CDF=45°. 在△BDE和△CDF中， ∴△BDE≌△CDF(ASA), ∴DE=DF. 易错疑难集训三 1.解：如答图，直线l?,l2,l?,l?为所求的对称轴. L I? A D l? l? B C 1题答图 X易错分析⋯----⋯ 在确定对称轴时，应严格按照对称轴的定义指出 全部对称轴，还要明确对称轴是直线. 2.A 3.(3,0) 《易错分析-------------------- 错解误将直线y=2当成y轴而出错.当所求的点与点 P(x,y)关于y=a对称时，其对称点P'的坐标为(x,2a- y).∵2a-y=2×2-4=0,:对称点P′的坐标为(3,0). 4.C 5.解：过点A作AD⊥CB交CB的延长线于点D,延长AD至点 A',使A'D=AD,分别连接A'B,A'C,则△A'BC与△ABC关于 直线BC对称，如答图. D A' A- B C 5题答图 X易错分析------------- 没有正确理解轴对称的意义，因为B,C两点在对 称轴BC上，关键是作出点A关于对称轴的对称点A', 即可作出△ABC关于直线BC对称的图形. 6.A X易错分析⋯------⋯ 由已知只能得出点P在线段AB的垂直平分线上. 因为两点才能确定一条直线，所以无法确定直线l是否 为线段AB的垂直平分线.因此，结论①②③都不一定 正确. 7.证明：∵AC是∠BAD的平分线，∴∠BAC=∠DAC. 在△ABC和△ADC中， ∴△ABC≌△ADC(AAS),∴AB=AD,CB=CD, ∴A,C两点都在线段BD的垂直平分线上， ∴AC垂直平分BD,即AC是线段BD的垂直平分线. X易错分析.-⋯----⋯ 过点C的直线有无数条，它们不都是BD的垂直平 分线，所以由点C在BD的垂直平分线上就推得AC垂 直平分BD是错误的.实际上，要判定一条直线是一条 线段的垂直平分线，至少应找出直线上的两点在这条线 段的垂直平分线上： 8.C 9.B 本章考点检测训练 1.C 2.B 3.A ·18·