精品解析：北京市和平街第一中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题

2023北京和平街一中高二（下）期中 数学 （本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟） 第I卷（选择题 共50分） 一、选择题：本部分共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出最符合题意的一项． 1. 用数字1，2，3，4组成没有重复数字四位数，其中奇数的个数为（ ） A. 24 B. 18 C. 12 D. 6 2. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 3. 某女生有3件不同颜色的衬衣，4件不同花样的裙子，另有3套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（ ） A. 24种 B. 10种 C. 9种 D. 15种 4. 已知函数，它们在平面直角坐标系中的图象如图所示，则的大小关系是（ ） A B. C. D. 5. 函数在区间上的最小值与最大值分别为（ ） A ，1 B. 0，1 C. 1， D. ， 6. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数.若函数在上单调递减，则实数的最小值为（ ） A 0 B. 3 C. D. 9. 若对于任意的，都有，则实数m的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 10. 已知是定义在上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数，下列说法正确的是（ ） A. 若在上单调递增，则存在实数，使得在上单调递增 B. 对于任意实数，若在上单调递增，则在上单调递增 C. 对于任意实数，若存在实数，使得，则存在实数，使得 D. 若函数满足：当时，，当时，，则为的最小值 第Ⅱ卷（非选择题共100分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 若函数的图象在点处的切线垂直于轴，则________. 12. 已知函数的定义域为，，对任意，，则 的解集为_____________. 13. 已知函数，若，则不等式的解集为_______；若恰有两个零点，则的取值范围为_____． 14. 高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1， ，试根据提示探究：若，则_____________. 15. 已知函数，.给出下列四个结论： ①当时，函数有两个极值点； ②当时，函数没有最小值； ③，函数都有最小值； ④，使得方程有两个根且两根之和小于. 其中所有正确结论的序号是___________. 三、解答题：本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若在上的最大值是，求的值． 17. 已知函数在处有极值2. （1）求值； （2）若在时恒成立，求实数的取值范围； （3）设，求证：恰有两个极值点. 18. 已知函数． （1）若在处有极值，求的值； （2）当时总是在轴上方，求的取值范围； （3）写出的零点个数（结论不要求证明）． 19. 已知函数，. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最小值； （3）当时，判断函数的零点个数. 20. 已知数列满足（）. （1）若，，请写出该数列的前6项，并求出该6项的和； （2）设数列的前n项和为，如果，，求； （3）若（），设，是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023北京和平街一中高二（下）期中 数学 （本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟） 第I卷（选择题 共50分） 一、选择题：本部分共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出最符合题意的一项． 1. 用数字1，2，3，4组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为（ ） A. 24 B. 18 C. 12 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先排个位，再排千位、百位和十位，即得结果. 【详解】先排个位，有种选法，再排千位、百位和十位，有种排法， 因此共有种排法， 故选：C. 2. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，利用导数与函数的单调性求函数单调递减区间. 【详解】因为（），所以（）， 由. 所以的减区间是. 故选：C 3. 某女生有3件不同颜色的衬衣，4件不同花样的裙子，另有3套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（ ） A. 24种 B. 10种 C. 9种 D. 15种 【答案】D 【解析】 【分析】利用分类加法和分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】依题意可知，有两类衣服可选， 第一类：选择衬衣和裙子，共有种选择； 第二类：选择连衣裙，共有中选择； 所以共有种选择. 故选：D 4. 已知函数，它们在平面直角坐标系中的图象如图所示，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依次作出在处的切线，根据切线倾斜角的大小进行判断即可. 【详解】依次作出在处的切线， 如图所示．根据图形中切线的斜率可知． 故选：A． 5. 函数在区间上最小值与最大值分别为（ ） A. ，1 B. 0，1 C. 1， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性，即可求解. 【详解】，， 得或， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以函数的最大值是，，，所以函数的最小值是. 故选：D 6. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，通过求导分析函数在上单调递减，在上单调递增，故由“”可得“”，举反例可说明由“”不能得到“”，以此可确定选项. 【详解】设，，则， 由得，由得， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴当时，，即成立. 当成立时，可能有，，此时. 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 7. 已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导，根据函数在上单调递增列不等式，分离常数后，进而求得的取值范围. 【详解】因为，所以， 因为在区间上单调递增， 所以，对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 因为，， 所以，即实数的取值范围是. 故选：B. 8. 已知函数.若函数在上单调递减，则实数的最小值为（ ） A. 0 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导函数，令恒成立，变量分离转化为求新函数的最大值. 【详解】，令，得， 令， 若函数在上单调递减，则， 当时，， 所以函数在上单调递增，则， 所以. 故选：C 9. 若对于任意的，都有，则实数m的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，都有转化为，得到函数在上单调递减，求出函数的导数，得到在恒成立，求出的最小值. 【详解】由，都有, 转化为， 构造在上单调递减， 求导在上恒成立， 则，解得, 故，即的最小值为. 故选：D. 10. 已知是定义在上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数，下列说法正确的是（ ） A. 若在上单调递增，则存在实数，使得在上单调递增 B. 对于任意实数，若在上单调递增，则在上单调递增 C. 对于任意实数，若存在实数，使得，则存在实数，使得 D. 若函数满足：当时，，当时，，则为的最小值 【答案】D 【解析】 【分析】首先理解函数表达的是函数图象上两点割线的斜率，当时，表示的为切线斜率，然后举反例设可判断A错误；设可得B错误；设可得C错误；由函数单调性的定义可以判断D正确. 【详解】函数表达的是函数图象上两点割线的斜率，当时，表示的为切线斜率； 对于A：因为是定义在上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，且在上单调递增， 所以设，则，此时为常数，即任意两点的割线的斜率为常数，故A错误； 对于B：设， 由图象可知， 当时，随增大，点与点连线的割线斜率越来越大，即单调递增，但在不是单调函数，故B错误； 对于C：因为对于任意实数存在实数，使得，说明为有界函数，所以设， 函数在上有界，但当且x趋近于-2时、、且x趋近于2时导函数无界，故割线的斜率不一定有界，如图 当点向点靠近时，割线的斜率近似等于点处切线的斜率，故C错误； 对于D：因为函数满足：当时，， 即， 因为，，所以； 同理，当时，， 即， 因为，，所以； 所以为的最小值，故D正确； 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解函数表达的是函数图像上两点割线的斜率，当时，表示的为切线斜率，然后通过熟悉的函数可逐项判断. 第Ⅱ卷（非选择题共100分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 若函数的图象在点处的切线垂直于轴，则________. 【答案】 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，利用处的导数值为0列式求解的值即可. 【详解】因为函数的图象在点处的切线垂直于轴， 由，可得， 所以由题意得，解得. 故答案为： 12. 已知函数的定义域为，，对任意，，则 的解集为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，由其单调性即可求解. 【详解】由， 可得：， 构造函数，则， 所以在上单调递减，又， 所以的解集为：， 故答案为： 13. 已知函数，若，则不等式的解集为_______；若恰有两个零点，则的取值范围为_____． 【答案】 ①. ； ②. 【解析】 【分析】第一空：直接代入，分和解不等式，再取并集即可；第二空：将题设转化为和的实数根的个数为2，分、和依次讨论根的情况，即可求解. 【详解】第一空：若，则，当时，由解得，则； 当时，由，解得，则；综上可得不等式的解集为； 第二空：恰有两个零点等价于和的实数根的个数为2. 当时，显然无解；解得（舍去），也无解，不合题意； 当时，显然无解；的判别式，设的两根为， 则，显然两根一正一负，即有1个实根，不合题意； 当时，令的对称轴为，则在单减，则，则无解； ，显然时不成立，则，令，则，显然在上单减，在单增， 则，又，，则时，有2个根，即恰有两个零点； 综上：. 故答案为：；. 14. 高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1， ，试根据提示探究：若，则_____________. 【答案】1012 【解析】 【分析】首先根据函数解析式得到，再根据等比数列的性质，即可求解. 【详解】由，则，则， ， 因为，由等比数列性质可知，，，，……， 所以上式. 故答案为： 15. 已知函数，.给出下列四个结论： ①当时，函数有两个极值点； ②当时，函数没有最小值； ③，函数都有最小值； ④，使得方程有两个根且两根之和小于. 其中所有正确结论的序号是___________. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】当时，利用导数分析函数的单调性，可判断①②的正误；利用函数的最值与导数的关系可判断③的正误；取，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理可判断④的正误. 【详解】对于①，当时，，则， 由可得，由可得或， 此时，函数的增区间为、，减区间为， 所以，函数有两个极值点，①对； 对于②，当或时，，当时，， 故函数在处取得最小值，②错； 对于③，，， 因为函数在上单调递增， 因为，，所以，存在，使得， 当时，，此时函数在上单调递减， 当时，，此时函数在上单调递增， 所以，对任意的实数，函数有最小值，③对； 对于④， 令，不妨令，即取， 由③可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，则，， 所以，存在，使得， 此时函数的零点之和为，④对. 故答案为：①③④. 三、解答题：本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若在上的最大值是，求的值． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）对求导，根据导函数的正负，对参数范围分类讨论求解单调性即可. （2）根据上问中函数的单调性，建立方程，求解参数即可. 【小问1详解】 依题意得函数的定义域为， 则，． 当时，在上恒成立， 即函数在上单调递增； 当时，令，则； 令，则； 故函数在上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增；在上单调递减． 【小问2详解】 若，由（1）可知，函数在上单调递增， 此时不存在最大值，与题意不符， 若，则函数在上单调递增，在上单调递减， 若要使得函数在上存在最大值，则，即， 且此时最大值为． 令，解得，故a的值为． 17. 已知函数在处有极值2. （1）求的值； （2）若在时恒成立，求实数的取值范围； （3）设，求证：恰有两个极值点. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导得解析式，根据题意可得，即可求得a、b的值； （2）在时恒成立等价于，令，求得极值点，列表分析，即可求得最值得出答案. （3）由题意得，利用导数可求得的单调区间和极值，结合题意分析，即可得答案. 【小问1详解】 ， 依题意得，， 解得， 经检验，当时在x =1处取得极大值2. 【小问2详解】 在时恒成立等价于， 由，解得， 当变化时，与的变化情况如下： 单调递减 单调递增 单调递减 ，，， 当时，最小值为. 所以. 小问3详解】 ， 由，解得，. 当x变化时，与的变化情况如下： 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 当时，有极小值；当时，有极大值. 所以恰有两个极值点. 18. 已知函数． （1）若在处有极值，求的值； （2）当时总是在轴上方，求的取值范围； （3）写出的零点个数（结论不要求证明）． 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用极值的性质建立方程，求解参数，再代回检验即可. （2）对参数范围进行讨论，利用导数结合排除法求出参数范围即可. （3）对参数范围进行讨论，并结合零点存在性定理逐个情况求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 因为在处有极值，所以， 解得，此时，， 令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 此时在处有极值，符合题意. 【小问2详解】 由题意得当时总是在轴上方， 则在上恒成立， 而，当时，， 此时在上单调递增，且， 故此时在上恒成立，满足题意， 当时，我们对的范围分类讨论，当时，解得， 令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 得到， 令，则令，而， 令，，令，， 故在上单调递增，在上单调递减，且， 则，则，故，与题意不符，故排除， 当时，解得，令，， 此时在上单调递增，且， 故此时在上恒成立，满足题意， 由已知得当时，在上单调递增， 则，故此时在上恒成立，满足题意， 故，综上可得的取值范围为. 【小问3详解】 令，则， 当时，，此时在上单调递增， 而，故此时有一个零点， 当时，由已知得在上单调递减，在上单调递增， 而，故此时有一个零点， 当时，令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 而，则在上有一个零点， 得到， 由已知得，故，当时，， 则由零点存在性定理得在上有一个零点， 故此时有两个零点， 当时，令，，令，， 故在上单调递减，在上单调递增， 而，则在上有一个零点， 由已知得， 同理可得，当时，， 则由零点存在性定理得在上有一个零点， 故此时有两个零点， 综上可得，当或时，有一个零点， 当且时，有两个零点. 19. 已知函数，. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最小值； （3）当时，判断函数的零点个数. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）当时，对求导，求出，再由导数的几何意义即可得出答案； （2）对求导，分，和求出的单调性，结合最值的定义即可得出答案； （3）分，，和，讨论的单调性和值域，即可得出答案. 【小问1详解】 当时，，，所以切点， ，， 所以函数在点处的切线方程为. 【小问2详解】 ，，     当时，在区间上恒成立，函数单调递增， 函数的最小值为， 当时，在区间上恒成立，函数单调递减， 函数的最小值为， 当时，列表如下： 单调递减 单调递增 函数的最小值为. 综上可得：当时，函数的最小值为， 当时，函数的最小值为， 当时，函数的最小值为. 【小问3详解】 由（2）知，当时，， ①当时，令可得或，令可得， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 又因为，而趋近正无穷时，趋近正无穷， 故在上只有一个零点； ②当时，，则，当且仅当时取等号， 所以在上单调递增，且连续不间断， 且，故在上只有一个零点. ③当时，令解得， 即在上只有一个零点， ④当时，令可得，令可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当趋近正无穷时，趋近正无穷，当趋近时，趋近正无穷， 若，即时，在上无零点. 若，即时，在上只有一个零点， 若，即时，在上有两个零点， 综上可得：当时，函数无零点，   当或时，函数的零点个数为1， 当时，函数零点个数为2. 20. 已知数列满足（）. （1）若，，请写出该数列的前6项，并求出该6项的和； （2）设数列的前n项和为，如果，，求； （3）若（），设，是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）前6项分别是，和为0 （2）986 （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1），结合，，依次求解出前6项，并求和得到答案； （2）数列以6为周期的周期数列，且，故，求出，并得到； （3）得到，，成等比数列，且公比，若存在，使得，则有，即，而恒成立，故方程无解，得到结论. 【小问1详解】 由可得， 故，， ，， 数列的前6项分别是， 前6项的和为； 【小问2详解】 由可得，， ， ，， ， 所以数列以6为周期的周期数列， 且， 由题意 ， 即，解得， 所以. 【小问3详解】 不存在，理由如下： 由题意，，，， 因为（），所以， 所以，，成等比数列，且公比， 所以，， 若存在，使得，则有， 而，则有，即，而， 因此不存在，使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$