精品解析：北京市和平街第一中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题

2023北京和平街一中高二（下）期中 数学 （本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟） 第I卷（选择题 共50分） 一、选择题：本部分共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出最符合题意的一项． 1. 用数字1，2，3，4组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为（ ） A. 24 B. 18 C. 12 D. 6 2. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 3. 某女生有3件不同颜色的衬衣，4件不同花样的裙子，另有3套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（ ） A. 24种 B. 10种 C. 9种 D. 15种 4. 已知函数，它们在平面直角坐标系中的图象如图所示，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 函数在区间上的最小值与最大值分别为（ ） A. ，1 B. 0，1 C. 1， D. ， 6. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数.若函数在上单调递减，则实数的最小值为（ ） A. 0 B. 3 C. D. 9. 若对于任意的，都有，则实数m的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 10. 已知是定义在上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数，下列说法正确的是（ ） A. 若在上单调递增，则存在实数，使得在上单调递增 B. 对于任意实数，若在上单调递增，则在上单调递增 C. 对于任意实数，若存在实数，使得，则存在实数，使得 D. 若函数满足：当时，，当时，，则为的最小值 第Ⅱ卷（非选择题共100分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 若函数的图象在点处的切线垂直于轴，则________. 12. 已知函数的定义域为，，对任意，，则 的解集为_____________. 13. 已知函数，若，则不等式的解集为_______；若恰有两个零点，则的取值范围为_____． 14. 高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1， ，试根据提示探究：若，则_____________. 15. 已知函数，.给出下列四个结论： ①当时，函数有两个极值点； ②当时，函数没有最小值； ③，函数都有最小值； ④，使得方程有两个根且两根之和小于. 其中所有正确结论的序号是___________. 三、解答题：本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若在上的最大值是，求的值． 17. 已知函数在处有极值2. （1）求的值； （2）若在时恒成立，求实数的取值范围； （3）设，求证：恰有两个极值点. 18. 已知函数． （1）若在处有极值，求的值； （2）当时总是在轴上方，求的取值范围； （3）写出的零点个数（结论不要求证明）． 19. 已知函数，. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最小值； （3）当时，判断函数的零点个数. 20. 已知数列满足（）. （1）若，，请写出该数列的前6项，并求出该6项的和； （2）设数列的前n项和为，如果，，求； （3）若（），设，是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023北京和平街一中高二（下）期中 数学 （本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟） 第I卷（选择题 共50分） 一、选择题：本部分共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出最符合题意的一项． 1. 用数字1，2，3，4组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为（ ） A. 24 B. 18 C. 12 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先排个位，再排千位、百位和十位，即得结果. 【详解】先排个位，有种选法，再排千位、百位和十位，有种排法， 因此共有种排法， 故选：C. 2. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，利用导数与函数的单调性求函数单调递减区间. 【详解】因为（），所以（）， 由. 所以的减区间是. 故选：C 3. 某女生有3件不同颜色的衬衣，4件不同花样的裙子，另有3套不同样式的连衣裙，“五一”节选择一套服装参加歌舞演出，则不同的选择方式有（ ） A. 24种 B. 10种 C. 9种 D. 15种 【答案】D 【解析】 【分析】利用分类加法和分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】依题意可知，有两类衣服可选， 第一类：选择衬衣和裙子，共有种选择； 第二类：选择连衣裙，共有中选择； 所以共有种选择. 故选：D 4. 已知函数，它们在平面直角坐标系中的图象如图所示，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依次作出在处的切线，根据切线倾斜角的大小进行判断即可. 【详解】依次作出在处的切线， 如图所示．根据图形中切线的斜率可知． 故选：A． 5. 函数在区间上的最小值与最大值分别为（ ） A. ，1 B. 0，1 C. 1， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性，即可求解. 【详解】，， 得或， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以函数的最大值是，，，所以函数的最小值是. 故选：D 6. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】构造，利用导数研究其单调性，结合充分条件与必要条件的定义即可求解. 【详解】设， 则， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 若，且在上单调递增， 则，即，故充分性成立， 若，即，则或，故必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 7. 已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导，根据函数在上单调递增列不等式，分离常数后，进而求得的取值范围. 【详解】因为，所以， 因为在区间上单调递增， 所以，对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 因为，， 所以，即实数的取值范围是. 故选：B. 8. 已知函数.若函数在上单调递减，则实数的最小值为（ ） A. 0 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导函数，令恒成立，变量分离转化为求新函数的最大值. 【详解】，令，得， 令， 若函数在上单调递减，则， 当时，， 所以函数在上单调递增，则， 所以. 故选：C 9. 若对于任意的，都有，则实数m的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，都有转化为，得到函数在上单调递减，求出函数的导数，得到在恒成立，求出的最小值. 【详解】由，都有, 转化为， 构造在上单调递减， 求导在上恒成立， 则，解得, 故，即的最小值为. 故选：D. 10. 已知是定义在上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数，下列说法正确的是（ ） A. 若在上单调递增，则存在实数，使得在上单调递增 B. 对于任意实数，若在上单调递增，则在上单调递增 C. 对于任意实数，若存在实数，使得，则存在实数，使得 D. 若函数满足：当时，，当时，，则为的最小值 【答案】D 【解析】 【分析】首先理解函数表达的是函数图象上两点割线的斜率，当时，表示的为切线斜率，然后举反例设可判断A错误；设可得B错误；设可得C错误；由函数单调性的定义可以判断D正确. 【详解】函数表达的是函数图象上两点割线的斜率，当时，表示的为切线斜率； 对于A：因为是定义在上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，且在上单调递增， 所以设，则，此时为常数，即任意两点的割线的斜率为常数，故A错误； 对于B：设， 由图象可知， 当时，随增大，点与点连线的割线斜率越来越大，即单调递增，但在不是单调函数，故B错误； 对于C：因为对于任意实数存在实数，使得，说明为有界函数，所以设， 函数在上有界，但当且x趋近于-2时、、且x趋近于2时导函数无界，故割线的斜率不一定有界，如图 当点向点靠近时，割线的斜率近似等于点处切线的斜率，故C错误； 对于D：因为函数满足：当时，， 即， 因为，，所以； 同理，当时，， 即， 因为，，所以； 所以为的最小值，故D正确； 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解函数表达的是函数图像上两点割线的斜率，当时，表示的为切线斜率，然后通过熟悉的函数可逐项判断. 第Ⅱ卷（非选择题共100分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 若函数的图象在点处的切线垂直于轴，则________. 【答案】 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，利用处的导数值为0列式求解的值即可. 【详解】因为函数的图象在点处的切线垂直于轴， 由，可得， 所以由题意得，解得. 故答案为： 12. 已知函数的定义域为，，对任意，，则 的解集为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，由其单调性即可求解. 【详解】由， 可得：， 构造函数，则， 所以在上单调递减，又， 所以的解集为：， 故答案为： 13. 已知函数，若，则不等式的解集为_______；若恰有两个零点，则的取值范围为_____． 【答案】 ①. ； ②. 【解析】 【分析】第一空：直接代入，分和解不等式，再取并集即可；第二空：将题设转化为和的实数根的个数为2，分、和依次讨论根的情况，即可求解. 【详解】第一空：若，则，当时，由解得，则； 当时，由，解得，则；综上可得不等式的解集为； 第二空：恰有两个零点等价于和的实数根的个数为2. 当时，显然无解；解得（舍去），也无解，不合题意； 当时，显然无解；的判别式，设的两根为， 则，显然两根一正一负，即有1个实根，不合题意； 当时，令的对称轴为，则在单减，则，则无解； ，显然时不成立，则，令，则，显然在上单减，在单增， 则，又，，则时，有2个根，即恰有两个零点； 综上：. 故答案为：；. 14. 高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1， ，试根据提示探究：若，则_____________. 【答案】1012 【解析】 【分析】首先根据函数解析式得到，再根据等比数列的性质，即可求解. 【详解】由，则，则， ， 因为，由等比数列的性质可知，，，，……， 所以上式. 故答案为： 15. 已知函数，.给出下列四个结论： ①当时，函数有两个极值点； ②当时，函数没有最小值； ③，函数都有最小值； ④，使得方程有两个根且两根之和小于. 其中所有正确结论的序号是___________. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】当时，利用导数分析函数的单调性，可判断①②的正误；利用函数的最值与导数的关系可判断③的正误；取，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理可判断④的正误. 【详解】对于①，当时，，则， 由可得，由可得或， 此时，函数的增区间为、，减区间为， 所以，函数有两个极值点，①对； 对于②，当或时，，当时，， 故函数在处取得最小值，②错； 对于③，，， 因为函数在上单调递增， 因为，，所以，存在，使得， 当时，，此时函数在上单调递减， 当时，，此时函数在上单调递增， 所以，对任意的实数，函数有最小值，③对； 对于④， 令，不妨令，即取， 由③可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，则，， 所以，存在，使得， 此时函数的零点之和为，④对. 故答案为：①③④. 三、解答题：本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若在上的最大值是，求的值． 【答案】（1） 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增；在上单调递减． （2） 【解析】 【分析】（1）对求导，根据导函数的正负，对参数范围分类讨论求解单调性即可. （2）根据上问中函数的单调性，建立方程，求解参数即可. 【小问1详解】 依题意得函数的定义域为， 则，． 当时，在上恒成立， 即函数在上单调递增； 当时，令，则； 令，则； 故函数在上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增；在上单调递减． 【小问2详解】 若，由（1）可知，函数在上单调递增， 此时不存在最大值，与题意不符， 若，则函数在上单调递增，在上单调递减， 若要使得函数在上存在最大值，则，即， 且此时最大值为． 令，解得，故a的值为． 17. 已知函数在处有极值2. （1）求的值； （2）若在时恒成立，求实数的取值范围； （3）设，求证：恰有两个极值点. 【答案】（1） （2） （3） ， 由，解得，. 当x变化时，与的变化情况如下： 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 当时，有极小值；当时，有极大值. 所以恰有两个极值点. 【解析】 【分析】（1）求导得解析式，根据题意可得，即可求得a、b的值； （2）在时恒成立等价于，令，求得极值点，列表分析，即可求得最值得出答案. （3）由题意得，利用导数可求得的单调区间和极值，结合题意分析，即可得答案. 【小问1详解】 ， 依题意得，， 解得， 经检验，当时在x =1处取得极大值2. 【小问2详解】 在时恒成立等价于， 由，解得， 当变化时，与的变化情况如下： 单调递减 单调递增 单调递减 ，，， 当时，最小值为. 所以. 【小问3详解】 略 18. 已知函数． （1）若在处有极值，求的值； （2）当时总是在轴上方，求的取值范围； （3）写出的零点个数（结论不要求证明）． 【答案】（1） （2） （3） 当或时，有一个零点， 当且时，有两个零点. 【解析】 【分析】（1）利用极值的性质建立方程，求解参数，再代回检验即可. （2）对参数范围进行讨论，利用导数结合排除法求出参数范围即可. （3）对参数范围进行讨论，并结合零点存在性定理逐个情况求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 因为在处有极值，所以， 解得，此时，， 令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 此时在处有极值，符合题意. 【小问2详解】 由题意得当时总是在轴上方， 则在上恒成立， 而，当时，， 此时在上单调递增，且， 故此时在上恒成立，满足题意， 当时，我们对的范围分类讨论，当时，解得， 令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 得到， 令，则令，而， 令，，令，， 故在上单调递增，在上单调递减，且， 则，则，故，与题意不符，故排除， 当时，解得，令，， 此时在上单调递增，且， 故此时在上恒成立，满足题意， 由已知得当时，在上单调递增， 则，故此时在上恒成立，满足题意， 故，综上可得的取值范围为. 【小问3详解】 令，则， 当时，，此时在上单调递增， 而，故此时有一个零点， 当时，由已知得在上单调递减，在上单调递增， 而，故此时有一个零点， 当时，令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 而，则在上有一个零点， 得到， 由已知得，故，当时，， 则由零点存在性定理得在上有一个零点， 故此时有两个零点， 当时，令，，令，， 故在上单调递减，在上单调递增， 而，则在上有一个零点， 由已知得， 同理可得，当时，， 则由零点存在性定理得在上有一个零点， 故此时有两个零点， 综上可得，当或时，有一个零点， 当且时，有两个零点. 19. 已知函数，. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）求函数在区间上的最小值； （3）当时，判断函数的零点个数. 【答案】（1） （2） 当时，函数的最小值为， 当时，函数的最小值为， 当时，函数的最小值为. （3） 当时，函数无零点，   当或时，函数的零点个数为1， 当时，函数的零点个数为2. 【解析】 【分析】（1）当时，对求导，求出，再由导数的几何意义即可得出答案； （2）对求导，分，和求出的单调性，结合最值的定义即可得出答案； （3）分，，和，讨论的单调性和值域，即可得出答案. 【小问1详解】 当时，，，所以切点， ，， 所以函数在点处的切线方程为. 【小问2详解】 ，，     当时，在区间上恒成立，函数单调递增， 函数的最小值为， 当时，在区间上恒成立，函数单调递减， 函数的最小值为， 当时，列表如下： 单调递减 单调递增 函数的最小值为. 综上可得：当时，函数的最小值为， 当时，函数的最小值为， 当时，函数的最小值为. 【小问3详解】 由（2）知，当时，， ①当时，令可得或，令可得， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 又因为，而趋近正无穷时，趋近正无穷， 故在上只有一个零点； ②当时，，则，当且仅当时取等号， 所以在上单调递增，且连续不间断， 且，故在上只有一个零点. ③当时，令解得， 即在上只有一个零点， ④当时，令可得，令可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当趋近正无穷时，趋近正无穷，当趋近时，趋近正无穷， 若，即时，在上无零点. 若，即时，在上只有一个零点， 若，即时，在上有两个零点， 综上可得：当时，函数无零点，   当或时，函数的零点个数为1， 当时，函数的零点个数为2. 20. 已知数列满足（）. （1）若，，请写出该数列的前6项，并求出该6项的和； （2）设数列的前n项和为，如果，，求； （3）若（），设，是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）前6项分别是，和为0 （2）986 （3） 不存在，理由如下： 由题意，，，， 因为（），所以， 所以，，成等比数列，且公比， 所以，， 若存在，使得，则有， 而，则有，即，而， 因此不存在，使得. 【解析】 【分析】（1），结合，，依次求解出前6项，并求和得到答案； （2）数列以6为周期的周期数列，且，故，求出，并得到； （3）得到，，成等比数列，且公比，若存在，使得，则有，即，而恒成立，故方程无解，得到结论. 【小问1详解】 由可得， 故，， ，， 数列的前6项分别是， 前6项的和为； 【小问2详解】 由可得，， ， ，， ， 所以数列以6为周期的周期数列， 且， 由题意 ， 即，解得， 所以. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $