第04章 图形的相似 章节（13知识点回顾+34题型练习） 核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版）

第04章 图形的相似 章节（13知识点回顾+34题型练习） 题型汇聚 题型一 比例的性质 题型二 比例线段 题型三 成比例线段 题型四 黄金分割 题型五 由平行判断成比例的线段 题型六 由平行截线求相关线段的长或比值 题型七 相似图形 题型八 相似多边形 题型九 相似多边形的性质 题型十 利用两角对应相等判定相似 题型十一 利用三边对应成比例判定相似 题型十二 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 题型十三 选择或补充条件使两个三角形相似 题型十四 相似三角形的判定综合 题型十五 相似三角形实际应用 题型十六 证明三角形的对应线段成比例 题型十七 利用相似三角形的性质求解 题型十八 相似三角形的判定与性质综合 题型十九 利用相似求坐标 题型二十 在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型二十一 相似三角形——动点问题 题型二十二 重心的有关性质 题型二十三 相似三角形的综合问题 题型二十四 位似图形的识别 题型二十五 判断位似中心 题型二十六 位似图形相关概念辨析 题型二十七 求两个位似图形的相似比 题型二十八 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 题型二十九 求位似图形的对应坐标 题型三十 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 题型三十一 在坐标系中画位似图形 题型三十二 在坐标系中画位似中心 题型三十三 坐标与图形综合 知识清单 知识点1．比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc． ②合比性质．若＝，则＝． ③分比性质．若＝，则＝． ④合分比性质．若＝，则＝． ⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝． 知识点2．比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 知识点3．平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 知识点4．相似图形 （1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似图形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况． （3）相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 知识点5．相似多边形的性质 （1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． （2）相似多边形对应边的比叫做相似比． （3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形． （4）相似多边形的性质为： ①对应角相等； ②对应边的比相等． 知识点6．相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 知识点7．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 知识点8．相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 知识点9．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 知识点10．作图-相似变换 （1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到． （2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示： （3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形． 知识点11．几何变换的类型 （1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．　　 （2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．　　 　　 （3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．　　 （4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心． 知识点12．位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 知识点13．作图-位似变换 （1）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小． （2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的． 题型练习 题型一 比例的性质 1．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知，则的值是（   ）． A． B．2 C． D． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知为的三边长，且满足． (1)求的值； (2)若，求的面积． 题型二 比例线段 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图表示我国台湾省几个城市的位置关系．经测量得到基隆市到高雄市的图上距离为，地图上显示的比例尺为．则两城市的实际距离是（   ）千米． A．3.15 B．31.5 C．315 D．3150 题型三 成比例线段 4．（24-25九年级上·贵州毕节·期中）下列四组线段中，是成比例线段的是（    ） A． B． C． D． 题型四 黄金分割 5．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为（   ）． A． B． C． D． 题型五 由平行判断成比例的线段 6．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知，直线分别交直线于点、、，交直线于点、、，那么下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图，在中，是上的一点．请利用无刻度的直尺和圆规在上作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母） 题型六 由平行截线求相关线段的长或比值 8．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，已知，若，，，则的长为（    ） A．1.5 B．2 C．3 D．4.5 题型七 相似图形 9．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在矩形、锐角三角形、直角三角形的外边加宽度一样的外框，保证外框边与原图形对应边平行，则外框与原图不一定相似的是（      ）．        A．矩形 B．矩形和锐角三角形 C．矩形和直角三角形 D．锐角三角形和直角三角形 10．（九年级上·全国·专题练习）如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？ 题型八 相似多边形 11．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）观察下面两组多边形： (1)在图（1）中，矩形和矩形相似吗？为什么？ (2)在图（2）中，多边形和多边形都是各边相等，各角相等的六边形，它们是相似图形吗？为什么？ 题型九 相似多边形的性质 12．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，四边形四边形，则的值为 ． 题型十 利用两角对应相等判定相似 13．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，且，，．求证：． 题型十一 利用三边对应成比例判定相似 14．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在的正方形网格中，画一个三角形与给定的三角形相似，下列四种画法中，正确的是（   ） A．B． C． D． 题型十二 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 15．（24-25九年级上·云南文山·期末）如图，在中，点D在上，连接，．求证：． 题型十三 选择或补充条件使两个三角形相似 16．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，使成立的条件是（    ） A． B． C． D． 题型十四 相似三角形的判定综合 17．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 18．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知，中，，点H在上，且线段于D，的延长线与的延长线交于点E，求证：． 题型十五 相似三角形实际应用 19．（24-25九年级上·福建泉州·期末）小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点O，．若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（   ） A． B． C． D． 20．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图所示，我校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高为，测得，，求建筑物的高． 题型十六 证明三角形的对应线段成比例 21．（九年级上·上海闵行·期末）两个相似三角形的面积之比是 ， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形对应边上的高为 厘米． 22．（九年级·全国·专题练习）在中，D为上的一点，E为延长线上的一点，交于F．求证： 题型十七 利用相似三角形的性质求解 23．（22-23九年级上·浙江金华·期中）在中，点在上，点在上，且，，．如图所示，若与相似，则的长是 ． 24．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）两个相似三角形某一对应角的角平分线的比为，其中一个三角形的周长比另一个三角形的周长小．求这两个三角形的周长． 题型十八 相似三角形的判定与性质综合 25．（2025·湖南·模拟预测）如图，D是的边上一点，，，．若的面积为6，则的面积为（    ） A．6 B．2 C．3 D．4 题型十九 利用相似求坐标 26．（海南海口·一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型二十 在网格中画与已知三角形相似的三角形 27．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在6×6的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请按要求作图．    (1)在图1中画一个格点，使． (2)在图2中画一条格点线段BP，交AC于点Q，使． 题型二十一 相似三角形——动点问题 28．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）如图，中，，，，为的中点，若动点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，设点的运动时间为秒，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，的值为（   ） A．2或3.4 B．或 C．2或 D．或3 题型二十二 重心的有关性质 29．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，经过的重心，点E是的中点，过点E作交于点G，若，则线段的长为（   ） A．6 B．4 C．5 D．3 题型二十三 相似三角形的综合问题 30．（23-24九年级上·广东佛山·期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？” 译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里步）你的计算结果是：出南门（    ）步而见木．    A．205 B．215 C．305 D．315 题型二十四 位似图形的识别 31．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）下列图形变化属于位似的是（    ） A． B． C． D． 题型二十五 判断位似中心 32．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在正方形网格中，与（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形．若取格点，则这两个三角形的位似中心是（   ）    A．点 B．点 C．点 D．点 题型二十六 位似图形相关概念辨析 33．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）如图，已知与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 题型二十七 求两个位似图形的相似比 34．（2025·黑龙江绥化·中考真题）在平面直角坐标系中，把以原点为位似中心放大，得到．若点和它的对应点的坐标分别为，，则与的相似比为 ． 题型二十八 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 35．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．（说明：图、图中点，，在格点上） (1)在图中，作的角平分线； (2)在图中，以为位似中心，作的位似图形，并把的边长缩小到原来的． 题型二十九 求位似图形的对应坐标 36．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）在平面直角坐标系中，四边形顶点的坐标为，若以原点为位似中心，画出四边形，使它与四边形的相似比为，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 题型三十 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 37．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为12，则面积为（   ） A．54 B．32 C．27 D． 题型三十一 在坐标系中画位似图形 38．（24-25九年级上·广西百色·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点为位似中心，在第一象限内画出的位似图形，使与的位似比为； (2)写出，，的坐标． 题型三十二 在坐标系中画位似中心 39．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，与位似，则位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 题型三十三 坐标与图形综合 40．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B坐标为，点C坐标为，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形．若点的坐标为，点的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04章 图形的相似 章节（13知识点回顾+34题型练习） 题型汇聚 题型一 比例的性质 题型二 比例线段 题型三 成比例线段 题型四 黄金分割 题型五 由平行判断成比例的线段 题型六 由平行截线求相关线段的长或比值 题型七 相似图形 题型八 相似多边形 题型九 相似多边形的性质 题型十 利用两角对应相等判定相似 题型十一 利用三边对应成比例判定相似 题型十二 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 题型十三 选择或补充条件使两个三角形相似 题型十四 相似三角形的判定综合 题型十五 相似三角形实际应用 题型十六 证明三角形的对应线段成比例 题型十七 利用相似三角形的性质求解 题型十八 相似三角形的判定与性质综合 题型十九 利用相似求坐标 题型二十 在网格中画与已知三角形相似的三角形 题型二十一 相似三角形——动点问题 题型二十二 重心的有关性质 题型二十三 相似三角形的综合问题 题型二十四 位似图形的识别 题型二十五 判断位似中心 题型二十六 位似图形相关概念辨析 题型二十七 求两个位似图形的相似比 题型二十八 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 题型二十九 求位似图形的对应坐标 题型三十 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 题型三十一 在坐标系中画位似图形 题型三十二 在坐标系中画位似中心 题型三十三 坐标与图形综合 知识清单 知识点1．比例的性质 （1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． （2）常用的性质有： ①内项之积等于外项之积．若＝，则ad＝bc． ②合比性质．若＝，则＝． ③分比性质．若＝，则＝． ④合分比性质．若＝，则＝． ⑤等比性质．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），则＝． 知识点2．比例线段 （1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab＝cd（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． （2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系． 知识点3．平行线分线段成比例 （1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． （2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． （3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 知识点4．相似图形 （1）相似图形 我们把形状相同的图形称为相似图形． （2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况． （3）相似三角形 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 知识点5．相似多边形的性质 （1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． （2）相似多边形对应边的比叫做相似比． （3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形． （4）相似多边形的性质为： ①对应角相等； ②对应边的比相等． 知识点6．相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 知识点7．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 知识点8．相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 知识点9．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 知识点10．作图-相似变换 （1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到． （2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示： （3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形． 知识点11．几何变换的类型 （1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．　　 （2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．　　 　　 （3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．　　 （4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心． 知识点12．位似变换 （1）位似图形的定义： 如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 注意：①两个图形必须是相似形； ②对应点的连线都经过同一点； ③对应边平行． （2）位似图形与坐标 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k． 知识点13．作图-位似变换 （1）画位似图形的一般步骤为： ①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小． （2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的． 题型练习 题型一 比例的性质 1．（24-25九年级上·甘肃张掖·阶段练习）已知，则的值是（   ）． A． B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】比例的性质 【分析】此题主要考查的是比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解决此题的关键． 将变形为，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，故C正确． 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知为的三边长，且满足． (1)求的值； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、比例的性质 【分析】本题主要考查了比例的性质，勾股定理的逆定理，熟知比例的性质是解题的关键． （1）设，则，据此计算求解即可； （2）同（1）得，再根据建立关于k的方程，解方程求出k的值，进而求出的值，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，据此求解即可． 【详解】（1）解：设，则， ∴； （2）解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且两直角边的长为10，24， ∴． 题型二 比例线段 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图表示我国台湾省几个城市的位置关系．经测量得到基隆市到高雄市的图上距离为，地图上显示的比例尺为．则两城市的实际距离是（   ）千米． A．3.15 B．31.5 C．315 D．3150 【答案】C 【知识点】比例线段 【分析】此题考查比例线段，掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用．根据图上距离与比例尺，求实际距离，即图上距离除以比例尺． 【详解】解：设两地间的实际距离为毫米， 根据题意，， 解得， 即实际距离是千米． 故选：C． 题型三 成比例线段 4．（24-25九年级上·贵州毕节·期中）下列四组线段中，是成比例线段的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了成比例线段，深刻理解成比例线段的概念是解题的关键：在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．根据成比例线段的概念，通常情况下，让最小的和最大的相乘，另外两条也相乘，看它们的积是否相等即可判断它们是否成比例．按照成比例线段的判断方法逐项分析判断即可． 【详解】A.，∴四条线段不成比例，故不符合题意； B.，∴四条线段成比例，故符合题意； C.，∴四条线段不成比例，故不符合题意； D.，∴四条线段不成比例，故不符合题意； 故选择：B 题型四 黄金分割 5．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分成两段，其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么这个点就是这条线段的黄金分割点．根据，即可求出． 【详解】解：∵P为的黄金分割点 ∴ ∴ 故答案为：C． 题型五 由平行判断成比例的线段 6．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知，直线分别交直线于点、、，交直线于点、、，那么下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题是一道关于平行线分线段成比例的题目，掌握平行线分线段成比例的相关知识是解答本题的关键．根据平行线分线段成比例定理，即可进行判断． 【详解】解：A．∵， ∴，故A正确； B．根据无法判断，故B错误； C．根据无法判断故C错误； D．∵， ∴， ∴，故D错误． 故选：A． 7．（24-25九年级上·陕西汉中·期末）如图，在中，是上的一点．请利用无刻度的直尺和圆规在上作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母） 【答案】见解析 【知识点】由平行判断成比例的线段、尺规作一个角等于已知角 【分析】此题考查了尺规作一个角等于已知角，平行线的判定，平行线分线段成比例等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意作出，进而得到，然后利用平行线分线段成比例即可得到． 【详解】解：如图，点即为所求． 题型六 由平行截线求相关线段的长或比值 8．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，已知，若，，，则的长为（    ） A．1.5 B．2 C．3 D．4.5 【答案】C 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理可得，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴ ， 故选：C． 题型七 相似图形 9．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在矩形、锐角三角形、直角三角形的外边加宽度一样的外框，保证外框边与原图形对应边平行，则外框与原图不一定相似的是（      ）．        A．矩形 B．矩形和锐角三角形 C．矩形和直角三角形 D．锐角三角形和直角三角形 【答案】A 【知识点】相似图形 【分析】此题考查了相似三角形的判定．根据相似多边形的判定定理：对应边成比例、对应角相等，对各个选项进行分析，从而确定最后答案． 【详解】解：两矩形对应角相等，对应边的比值不一定相等，不一定相似，符合题意；两锐角三角形对应角相等，对应边的比值相等，两图形相似，不符合题意；两直角三角形对应角相等，对应边的比值相等，两图形相似，不符合题意； 故选：A 10．（九年级上·全国·专题练习）如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？ 【答案】相似 【知识点】相似图形 【分析】根据相似图形的概念进行判断，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样，对应线段的比都是1∶2，四个角分别对应相等，符合相似图形的定义，虽然它们的摆放方法、位置不一样，但这并不会影响到它们相似性． 【点睛】本题考查了相似图形的定义，解题的关键是掌握相似图形的定义进行判断． 题型八 相似多边形 11．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）观察下面两组多边形： (1)在图（1）中，矩形和矩形相似吗？为什么？ (2)在图（2）中，多边形和多边形都是各边相等，各角相等的六边形，它们是相似图形吗？为什么？ 【答案】(1)不相似，见解析； (2)是相似图形，见解析． 【知识点】相似多边形 【分析】本题主要考查相似多边形的概念，根据相似图形的概念可知，必须满足两个条件：①两个多边形的对应角相等；②两个多边形的对应边成比例； （1）根据相似多边形的概念判断即可； （2）根据相似多边形的概念判断即可． 【详解】（1）解：∵矩形和矩形， ∴矩形的四个角都是直角，即相等， ∵，， ∴矩形和矩形不相似； （2）∵多边形和多边形都是各边相等，各角相等的正六边形， ∴它们各角相等，且各边成比例，是相似图形． 题型九 相似多边形的性质 12．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，四边形四边形，则的值为 ． 【答案】15 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的性质对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， 即， 解得：， 故答案为：15 题型十 利用两角对应相等判定相似 13．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，D，E分别是边，上的点，连接，且，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】利用两角对应相等判定相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据三角形内角和定理可得，即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型十一 利用三边对应成比例判定相似 14．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在的正方形网格中，画一个三角形与给定的三角形相似，下列四种画法中，正确的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用三边对应成比例判定相似、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 先求出题干三角形的三边长，再分别求出各选项三角形的三边长，判断三边是否对应成比例来判断相似． 【详解】解：可求题干三角形中三边长（从小到大）为：， A、可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意； B、可求三角形三边长（从小到大）为：，则，故相似，符合题意； C、同理可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意； D、同理可求三角形三边长（从小到大）为：，不满足三边对应成比例，故不相似，不符合题意， 故选：B． 题型十二 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 15．（24-25九年级上·云南文山·期末）如图，在中，点D在上，连接，．求证：． 【答案】见详解 【知识点】利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】该题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定定理． 根据题意得出，根据两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴． 题型十三 选择或补充条件使两个三角形相似 16．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，使成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】此题重点考查相似三角形的判定，正确理解和运用相似三角形的判定定理是解题的关键．因为，则和只有一组对应角相等，所以不能判定和相似，可判断A不符合题意；由于不是和的对应角相等，则和只有与∠A这一组对应角相等，所以不能判定和相似，可判断B不符合题意；由，，可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，可判断C符合题意；因为，，不符合“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”这一判定定理的条件，不能判定和相似，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵，和只有一组对应角相等， ∴不能判定和相似， 故A不符合题意； ∵不是和的对应角相等， ∴和只有与这一组对应角相等， ∴不能判定和相似， 故B不符合题意； ∵，， ∴， 故C符合题意； ∵，，不符合“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”这一判定定理的条件， ∴由，，不能判定和相似， 故D不符合题意， 故选：C． 题型十四 相似三角形的判定综合 17．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形判定的方法． 根据相似三角形的判定方法对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：选项，阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意，选项错误； 选项，阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意，选项错误； 选项，，，两三角形有两边对应成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意，选项错误； 选项，夹角相等但夹角两对应边比例不相等，故两三角形不相似，符合题意，选项正确． 故选：． 18．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知，中，，点H在上，且线段于D，的延长线与的延长线交于点E，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】垂线的定义理解、三角形内角和定理的应用、相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了垂直定义、三角形内角和定理以及相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键； 首先由垂直得到的角，得，再证，从而得出结论． 【详解】证明：∵于D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型十五 相似三角形实际应用 19．（24-25九年级上·福建泉州·期末）小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点O，．若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】根据，得，得到，代入计算解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 20．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图所示，我校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高为，测得，，求建筑物的高． 【答案】 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 题型十六 证明三角形的对应线段成比例 21．（九年级上·上海闵行·期末）两个相似三角形的面积之比是 ， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形对应边上的高为 厘米． 【答案】3 【知识点】证明三角形的对应线段成比例 【分析】把面积之比转换成相似比，在通过比例求出高 【详解】∵两个三角形面积比为9:25 ∴两个三角形相似比为3:5 设：另一三角形对应边上的高为x ∴，解得x=3 故答案为：3 【点睛】本题考查相似比和面积比的应用，掌握他们的区别是本题关键． 22．（九年级·全国·专题练习）在中，D为上的一点，E为延长线上的一点，交于F．求证： 【答案】见解析 【知识点】相似三角形的判定综合、证明三角形的对应线段成比例 【分析】过D作交于G，证明和相似， 和相似，列出比例式变形，比较，即可解决问题． 【详解】证明：过D作交于G，则和相似， ∴， ∵， ∴， 由可得和相似， ∴即， ∴ 【点睛】本题考查了相似三角形的证明和性质的使用，熟知以上知识是解题的关键． 题型十七 利用相似三角形的性质求解 23．（22-23九年级上·浙江金华·期中）在中，点在上，点在上，且，，．如图所示，若与相似，则的长是 ． 【答案】或6 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】此题考查相似三角形的性质，题目只说两个三角形相似并没有说明对应角，应该分两种情况讨论．根据题意可得或，或，然后利用比例的性质求出即可． 【详解】解：∵与相似， 而， 若， 则，即， 解得； 若， 则，即， 解得； 综上所述，的长为或6． 故答案为或6． 24．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）两个相似三角形某一对应角的角平分线的比为，其中一个三角形的周长比另一个三角形的周长小．求这两个三角形的周长． 【答案】这两个三角形的周长为和 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比，对应角的角平分线的比等于相似比求解即可． 【详解】解：设较小的三角形的周长为，则较大的三角形的周长为， ∵两个相似三角形对应角平分线的比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴两个相似三角形的周长比为，     ∴， 解得，则， 故这两个三角形的周长为和． 题型十八 相似三角形的判定与性质综合 25．（2025·湖南·模拟预测）如图，D是的边上一点，，，．若的面积为6，则的面积为（    ） A．6 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质． 根据，得，再根据相似三角形的性质得，则，即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 题型十九 利用相似求坐标 26．（海南海口·一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】利用相似求坐标 【分析】根据已知条件得到AC=6，OC=2，OB=7，求得BC=9，根据正方形的性质得到DE=OC=OE=2，求得O′E′=O′C′=2，根据相似三角形的性质得到BO′=3，于是得到结论． 【详解】解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形， ∵顶点A，B的坐标分别为（-2，6）和（7，0）， ∴AC=6，OC=2，OB=7， ∴BC=9， ∵四边形OCDE是正方形， ∴DE=OC=OE=2， ∴O′E′=O′C′=2， ∵E′O′⊥BC， ∴∠BO′E′=∠BCA=90°， ∴E′O′∥AC， ∴△BO′E′∽△BCA， ∴， ∴， ∴BO′=3， ∴OO′=7-3=4， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 题型二十 在网格中画与已知三角形相似的三角形 27．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在6×6的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请按要求作图．    (1)在图1中画一个格点，使． (2)在图2中画一条格点线段BP，交AC于点Q，使． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、在网格中画与已知三角形相似的三角形 【分析】本题主要考查了作相似三角形，相似三角形的性质和判定， 对于（1），延长至D，使，延长至E，使，连接，则是所求作的三角形.由，可得； 对于（2），在图中取点P，使，连接，交于点Q，由，得，进而得出，所以． 【详解】（1）如图所示．    （2）如图所示．    题型二十一 相似三角形——动点问题 28．（24-25九年级上·甘肃张掖·期中）如图，中，，，，为的中点，若动点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，设点的运动时间为秒，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，的值为（   ） A．2或3.4 B．或 C．2或 D．或3 【答案】C 【知识点】相似三角形——动点问题、含30度角的直角三角形 【分析】此题考查了含角的直角三角形的性质．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用． 由中，，，，可求得的长，由为的中点，可求得的长，然后分别从若与若时，去分析求解即可求得答案． 【详解】解：中，，，， ， ，为的中点，动点以的速度从点出发， ，， 若， ， ， ， ∴ ， 若时， ， ， ， ∴ ， 综上可得：的值为2或3.5． 故选：C． 题型二十二 重心的有关性质 29．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，经过的重心，点E是的中点，过点E作交于点G，若，则线段的长为（   ） A．6 B．4 C．5 D．3 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、重心的有关性质 【分析】本题考查的是重心的概念和性质、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点是解题的关键． 根据重心的概念得到点D为中点，求出的长，再根据平行证明，结合点E是中点，得到，从而求出． 【详解】解：∵经过的重心， ∴点D是中点， ∵ ∴ ∵， ∴ ∵点E是中点， ∴，即， 解得： 故选：B． 题型二十三 相似三角形的综合问题 30．（23-24九年级上·广东佛山·期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？” 译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里步）你的计算结果是：出南门（    ）步而见木．    A．205 B．215 C．305 D．315 【答案】D 【知识点】相似三角形的综合问题 【分析】本题考查的是相似三角形的应用问题，证明，得到，求出的长即可得到答案，熟练运用相似三角形的性质与判定是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：里，里，里， 如图， ，，，经过点， ，， ，， ， ， 里，里，里， ， 里， 1里步， 步， 出南门315步而见木， 故选：D． 题型二十四 位似图形的识别 31．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）下列图形变化属于位似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】位似图形的识别 【分析】本题考查的是位似图形，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．根据位似图形的定义判断即可． 【详解】解：选项A的图形属于位似图形，符合题意； 选项B、C、D的图形都不属于位似图形，不符合题意； 故选：A． 题型二十五 判断位似中心 32．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在正方形网格中，与（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形．若取格点，则这两个三角形的位似中心是（   ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【知识点】判断位似中心 【分析】本题考查了位似变换，掌握确定位似图象的位似中心的方法是解题的关键． 连接对应点，对应点所在的直线相交于一点，即为位似中心，据此进行作答即可． 【详解】解：∵与（（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形， ∴如图：连接，，    则，，相交于一点Q， ∴这两个三角形的位似中心是点Q． 故选：B． 题型二十六 位似图形相关概念辨析 33．（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）如图，已知与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用相似三角形的性质求解、位似图形相关概念辨析 【分析】本题考查位似图形，根据位似图形的性质，相似三角形的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为， ∴，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确； 故选B． 题型二十七 求两个位似图形的相似比 34．（2025·黑龙江绥化·中考真题）在平面直角坐标系中，把以原点为位似中心放大，得到．若点和它的对应点的坐标分别为，，则与的相似比为 ． 【答案】/ 【知识点】求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查的是位似变换，熟知在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或是解答此题的关键． 根据坐标与图形的性质进行解答即可． 【详解】解：把以原点为位似中心缩小得到，点和它的对应点的坐标分别为，， 则与的相似比为， 故答案为：． 题型二十八 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 35．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．（说明：图、图中点，，在格点上） (1)在图中，作的角平分线； (2)在图中，以为位似中心，作的位似图形，并把的边长缩小到原来的． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析． 【知识点】三线合一、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、无刻度直尺作图 【分析】本题考查的知识点是无刻度直尺作图、等腰三角形的三线合一、作图—位似变换，解题关键是熟练掌握画位似图形的一般步骤． （1）利用网格特点确定中点，连接，根据等腰三角形的“三线合一”性质可得是的角平分线； （2）利用网格特点确定、中点、，连接，则和是位似图形，位似中心是点． 【详解】（1）解：如图，为所作： （2）解：如图，为所作： 题型二十九 求位似图形的对应坐标 36．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）在平面直角坐标系中，四边形顶点的坐标为，若以原点为位似中心，画出四边形，使它与四边形的相似比为，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解：以原点为位似中心，相似比为，顶点的坐标为， 点的坐标为或， 即点的坐标为或， 故选C． 题型三十 在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 37．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为12，则面积为（   ） A．54 B．32 C．27 D． 【答案】C 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】本题主要考查了位似图形的性质， 根据可得，即可得出，再结合可得答案. 【详解】解：∵， ∴， ∴. ∵， ∴. 故选：C. 题型三十一 在坐标系中画位似图形 38．（24-25九年级上·广西百色·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点为位似中心，在第一象限内画出的位似图形，使与的位似比为； (2)写出，，的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)，， 【知识点】在坐标系中画位似图形、求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查位似图形作图，抓住位似比是解题关键． （1）由题意可知，A，B，C分别为，，的中点，据此可确定，，的坐标，即可完成作图； （2）根据图形即可求解． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）由（1）得，，，． 题型三十二 在坐标系中画位似中心 39．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，与位似，则位似中心的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】在坐标系中画位似中心、判断位似中心 【分析】本题考查了位似图形及位似中心的概念，掌握位似中心的确定方法是解题关键． 根据连接位似图形的对应点，交点即为位似中心，即可解答． 【详解】解：如图所示 ， 连接，，，交于点D， 通过观察平面直角坐标系可以发现，这些连线的交点坐标为． 故选：A． 题型三十三 坐标与图形综合 40．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B坐标为，点C坐标为，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形．若点的坐标为，点的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、求位似图形的对应坐标、坐标与图形综合 【分析】本题考查位似的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质．过点A作轴于点E，过点作轴于点F，根据题意可得出，，结合相似三角形的性质即可求出和的长，即得出点A的坐标． 【详解】解：如图，过点A作轴于点E，过点作轴于点F， ∵，，，， ∴，，，， ∴，，． ∵的位似图形为， ∴， ∴． ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点A的坐标为． 故选：B. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$