精品解析：河北省沧州市任丘市部分校2024-2025学年九年级下学期模拟预测数学试题

2025年河北省初中学业水平模拟考试 数学试卷（密卷二） 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列每组数的平均数为负数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 2. 古城正定承载着丰富的古建筑文化．在如图的六边形窗户中，已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 化简的值为（ ） A. 10 B. -10 C. D. 4. 三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（ ） A. 2 B. 3 C. 4或5 D. 6 5. 一滴水有个水分子，一个水分子的质量为克，则一滴水的质量约为（ ） A. 克 B. 克 C. 克 D. 克 6. 如图，已知与是位似图形，经过对应点B与E，C与F的两直线交于点O，若点C是的中点，则下列判断错误的是（ ） A. 直线一定经过点O B. C. D. 7. 如图是一个正方体的表面展开图，将其折叠成正方体后，下面各点中到顶点距离最大的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 8. 在综合实践课上，嘉淇利用恒定的电压U（V）测定电流I（A）与电阻R（Ω）的关系．当时，测得，则I与R之间的函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，数轴上（每格表示一个单位长度）点A，B，C，D对应的整数分别为a，b，c，d，已知，则数轴上原点的位置在（ ） A. 点A处 B. 点B处 C. 点C处 D. 点D处 10. 已知，是一元二次方程的两根，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 11. 如图，嘉淇将一正方形纸片裁剪成①，②，③，④四块，其中①～③是三块小矩形，④是一块小正方形．若已知矩形②和③的周长和为20，则正方形与正方形④的周长和为（ ） A. 20 B. 30 C. 35 D. 40 12. 如图，将平行四边形（）折叠，使点B落在边上的点E处，折痕为，折点P在边上．若，，当取得最小值时，的长为（ ） A. B. C. 2 D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知甲、乙两名运动员10次标枪的平均成绩相同，标枪落点如图所示，则方差______（填“”“”或“”）． 14. 已知n为正整数，若计算的结果为，则____． 15. 如图，为的外接圆，其中，点I为的内心，连接并延长交于点D，连接，则____． 16. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得到，与x轴交于B，D两点．若直线与始终有公共点，则k的最大值是______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，容器中装有5个小球，小球上分别标有数字：，0，5，2，．现从容器中随机摸出四个小球，对小球上的数字进行运算． （1）①若摸出的四个小球上分别标有2，，0，，计算：； ②若摸出的四个数字的积不为0，求这四个数字的和； （2）将摸出的四个小球上的数字按一定顺序填入“”中的“□”内，计算所得算式的结果，直接写出计算结果的最小值． 18. 课堂上老师设计了一种运算：．例如，． （1）已知x为非零实数，计算：； （2）将任意x的值代入进行运算，发现运算结果总是不超过12，请验证这个结论． 19. 某校两班的16名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数情况如下表（单位：粒），由于保存不当，乙班5号同学的实验数据被墨迹遮盖了一部分，只知道其十位数字为9． 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 甲班 92 95 96 88 92 98 99 100 乙班 100 87 92 93 9 95 97 98 （1）求甲班实验数据的平均数和中位数； （2）求甲班实验数据的平均数大于乙班实验数据平均数的概率． 20. 图1是一座下承式桥，桥的拱肋呈抛物线状，桥面与多根吊杆（如吊杆，等）连接并垂直，相邻吊杆之间的间距均为（忽略吊杆的粗细），建立如图2的平面直角坐标系，得到点，，已知点D为抛物线的顶点，吊杆的长为． （1）求该抛物线的解析式（不必写x的取值范围）； （2）若吊杆与相距，且在的左侧，求吊杆的长度； （3）淇淇说：“竖直安装的这些吊杆中，一定有一根吊杆的长度恰好是长度的一半．”你是否同意她的说法？说明理由． 21. 如图1是某种笔记本电脑支架，如图2，其底座放置在水平桌面上，通过调节及的度数来控制托盘的高度，笔记本机身和屏幕分别用线段表示．已知，，，不计材料厚度． （1）若，． ①为使屏幕与桌面保持垂直，________________°； ②在①的条件下，求此时点H到桌面的距离； （2）从（1）的条件开始，保持，并逐渐增大的度数，直到托盘与平行时停止，求出点G移动的路径长．【（1）②、（2）的结果保留根号或】 22. 用若干张半径为的圆形纸片（）剪不同的扇形纸片，如图1和图2． 操作：当扇形的圆心C在上时，如图1，为的直径． （1）①尺规作图：作的垂直平分线交于C，D两点（点C在点D的上方），连接，再以点C为圆心，长为半径画劣弧，得到扇形； ②求出①中所作的扇形的面积（结果保留π）； 计算：当扇形的圆心C在内部时，如图2，已知为扇形与的公共弦，，． （2）求出点O与点C的距离，并直接写出扇形的面积（结果保留π）； 探究：（3）在半径为的圆形纸片（）上剪一个圆心角的扇形（点A，B在上），直接写出所剪的扇形面积S的取值范围（结果保留π）． 23. 如图1，直线与坐标轴交于两点，直线与直线交于点，与轴交于点． （1）求的值及直线的解析式； （2）点是轴负半轴上一点，当的面积为时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，点是轴正半轴上一点，连接．将线段绕点顺时针旋转，得到线段，如图2． ①求点的纵坐标； ②若点在内部（不含边界），直接写出点的纵坐标的取值范围． 24. 如图1，平面上，四边形中，，，，，．点P从点C出发，沿折线向点A运动，连接．点C关于直线的对称点为，连接，设点P在折线上运动的路径长为x（）． （1）的最小值为_________，的长为______； （2）当点落在的延长线上时， ①点P在线段_______上（填“”或“”）； ②求此时x的值； （3）作点B关于直线的对称点，连接． ①若点P在上，当时，如图2，求x的值； ②连接，当直线经过点A时，直接写出x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河北省初中学业水平模拟考试 数学试卷（密卷二） 注意事项：1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列每组数的平均数为负数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平均数和负数，利用平均数的计算公式求出每一组数据的平均数，再根据负数的定义判断即可求解，掌握平均数的计算公式是解题的关键． 【详解】解：、平均数为，是正数，该选项不合题意； 、平均数为，是负数，该选项符合题意； 、平均数为，是正数，该选项不合题意； 、平均数为，是正数，该选项不合题意； 故选：． 2. 古城正定承载着丰富的古建筑文化．在如图的六边形窗户中，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质得，，进而得，，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 故选：C． 3. 化简的值为（ ） A. 10 B. -10 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用负整数指数幂，可得 ，再由二次根式的性质，即可求解． 【详解】解：． 故选：C 【点睛】本题主要考查了负整数指数幂，二次根式的性质，熟练掌握负整数指数幂，二次根式的性质是解题的关键． 4. 三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（ ） A. 2 B. 3 C. 4或5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，设第三根小棒的长度是，根据题意，可得，再由图中挡板高度进一步确定，结合选项即可得到答案．熟记三角形三边关系是解决问题的关键． 【详解】解：有图可知，一根小棒的长度为，一根小棒的长度为， 设第三根小棒的长度是，若三根小棒可以围成三角形， 则由三角形三边关系可知， 即， 再由图中挡板高度为，则， 结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4或5， 故选：C． 5. 一滴水有个水分子，一个水分子的质量为克，则一滴水的质量约为（ ） A. 克 B. 克 C. 克 D. 克 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，涉及科学记数法的表示方法．根据题意，列式得到一滴水的质量为，由有理数乘法及同底数幂的乘法运算公式求解即可得到答案．熟练掌握同底数幂的乘法运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可得一滴水的质量约为克， 故选：A． 6. 如图，已知与是位似图形，经过对应点B与E，C与F的两直线交于点O，若点C是的中点，则下列判断错误的是（ ） A. 直线一定经过点O B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查位似图形，相似三角形的性质，根据位似的性质，位似比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行判断即可． 【详解】解：∵与是位似图形，经过对应点B与E，C与F的两直线交于点O，点C是的中点， ∴直线一定经过点O，，位似比为：， ∴与的相似比为， ∴，， ∴，； 故判断错误的是选项D； 故选D． 7. 如图是一个正方体的表面展开图，将其折叠成正方体后，下面各点中到顶点距离最大的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查展开图还原成正方体，发挥空间想象能力，将展开图折叠成正方体后，由立体图形，结合勾股定理求线段长比较即可得到答案．熟记正方体的平面展开图及勾股定理是解决问题的关键． 【详解】解：将展开图折叠成正方体，如图所示： 设正方体的棱长为， 则，，， ， 点到顶点距离最大， 故选：C． 8. 在综合实践课上，嘉淇利用恒定的电压U（V）测定电流I（A）与电阻R（Ω）的关系．当时，测得，则I与R之间的函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查反比例函数的应用，先求出反比例函数的解析式，再分别把，5，2代入解析式求出I的值，再判断即可． 【详解】解：根据题意设电流I与电阻R的解析式为， ∵当时，， ∴， ∴电流I与电阻R的解析式为， 当时，， ∴在图象的上方，故A错误； 当时，， ∴在图象的上方，故B正确； 当时，， ∴在图象上，在图象的下方，故C，D错误； 故选：B． 9. 如图，数轴上（每格表示一个单位长度）点A，B，C，D对应的整数分别为a，b，c，d，已知，则数轴上原点的位置在（ ） A. 点A处 B. 点B处 C. 点C处 D. 点D处 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数轴，一元一次方程，解题的关键是根据建立等式求解． 【详解】解：设表示的数为，则，，分别表示， ， 解得：，即， 则数轴上原点的位置在， 故选：D． 10. 已知，是一元二次方程的两根，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系式得出，进而根据分式的减法进行化简即可求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴ ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 11. 如图，嘉淇将一正方形纸片裁剪成①，②，③，④四块，其中①～③是三块小矩形，④是一块小正方形．若已知矩形②和③的周长和为20，则正方形与正方形④的周长和为（ ） A. 20 B. 30 C. 35 D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减的应用，依题意，设长方形②的宽为b，长为a，则长方形③的长为a，设长方形③的宽为c，根据图形可得，进而得出正方形④的周长为，正方形的周长为，根据整式的加减即可求解． 【详解】解：依题意，设长方形②的宽为b，长为a，则长方形③的长为a，设长方形③的宽为c， ∵长方形②与③的周长和为， ∴， ∴， ∴， ∵④是正方形， ∴正方形④的周长为，正方形的周长为， ∴两个正方形的周长和为： ， 故选：D． 12. 如图，将平行四边形（）折叠，使点B落在边上的点E处，折痕为，折点P在边上．若，，当取得最小值时，的长为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】当时，取得最小值，设，得到，，得到，即可求出答案． 【详解】解：当时，取得最小值， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴， ∵将平行四边形（）折叠，使点B落在边上的点E处，折痕为，折点P在边上． ∴， ∴，， 设，则， 故点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得， 即的长为， 故选：A 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、解直角三角形、等腰三角形的判定和性质、折叠的性质等知识，熟练掌握解直角三角形、等腰三角形的判定和性质、折叠的性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 已知甲、乙两名运动员10次标枪的平均成绩相同，标枪落点如图所示，则方差______（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】根据方差的意义，通过观察甲、乙标枪落点的离散程度来判断方差大小．本题主要考查了方差的意义，熟练掌握方差反映数据离散程度，离散程度越大方差越大是解题的关键． 【详解】解：∵ 方差反映一组数据的离散程度，数据越离散，方差越大；甲的标枪落点更分散，乙的标枪落点更集中， ∴． 故答案为： ． 14. 已知n为正整数，若计算的结果为，则____． 【答案】50 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的性质化简．先化简二次根式，然后根据二次根式的加减运算法则列式计算即可求解． 【详解】解：∵的结果为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：50． 15. 如图，为的外接圆，其中，点I为的内心，连接并延长交于点D，连接，则____． 【答案】65 【解析】 【分析】本题考查三角形内切圆与外接圆的综合，涉及三角形的内心的性质、圆周角定理、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键．由I是的内心，得到，，根据三角形内角和定理得到，又根据圆周角定理，可知，最后由三角形外角的性质即可求出． 【详解】解：∵I是的内心， ∴分别平分， ∴，； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． 故答案为：65． 16. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得到，与x轴交于B，D两点．若直线与始终有公共点，则k的最大值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数、一次函数，以及直线与函数相切知识的综合运用，结合平移的知识推出抛物线解析式，结合函数图象得到当直线与只有一个交点时的值，即可求解． 【详解】解：抛物线与x轴交于点A、B，则点A、B的坐标为：、， ∵抛物线从：平移得到抛物线， ∴设抛物线解析式为， 把代入得，解得或（舍去）， ∴抛物线解析式为， 如图， ∵直线过点， ∴当直线与只有一个交点时，k值最大， 联立与直线的表达式可得：， 整理得， ∴，， ∴， 解得：， ∵唯一交点横坐标， ∴，解得， ∴由图可得当时，直线与抛物线在范围内有交点， ∴k的最大值是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，容器中装有5个小球，小球上分别标有数字：，0，5，2，．现从容器中随机摸出四个小球，对小球上的数字进行运算． （1）①若摸出的四个小球上分别标有2，，0，，计算：； ②若摸出的四个数字的积不为0，求这四个数字的和； （2）将摸出的四个小球上的数字按一定顺序填入“”中的“□”内，计算所得算式的结果，直接写出计算结果的最小值． 【答案】（1）①，② （2） 【解析】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据题意正确列式是关键． （1）①利用有理数的四则混合运算法则计算即可；②根据题意得到摸出的四个数字为，5，2，．再求和即可； （3）根据题意列式计算即可． 【小问1详解】 解：① ②∵摸出的四个数字的积不为0， ∴摸出的四个数字为，5，2，． 【小问2详解】 当摸出的四个小球上的数字为，0，5，2时，计算结果最小， 即，即计算结果的最小值为． 18. 课堂上老师设计了一种运算：．例如，． （1）已知x为非零实数，计算：； （2）将任意x的值代入进行运算，发现运算结果总是不超过12，请验证这个结论． 【答案】（1） （2） 证明： ， ∵， ∴， ∴， 即无论x为何值，运算结果都不超过12． 【解析】 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，同底数幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，合并同类项，以及配方法的应用． （1）根据新定义运算代入计算即可． （2）根据新定义运算可得，再进一步结合配方法证明即可 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 略 19. 某校两班的16名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数情况如下表（单位：粒），由于保存不当，乙班5号同学的实验数据被墨迹遮盖了一部分，只知道其十位数字为9． 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 甲班 92 95 96 88 92 98 99 100 乙班 100 87 92 93 9 95 97 98 （1）求甲班实验数据的平均数和中位数； （2）求甲班实验数据的平均数大于乙班实验数据平均数的概率． 【答案】（1）平均数为95，中位数为 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数、平均数等知识．熟练掌握相关概念及性质是关键． （1）根据平均数和中位数的概念求解即可； （2）先求出满足条件的的范围，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：甲班实验数据的平均数为（粒）， 将甲班实验数据从小到大排列为：88，92，92，95，96，98，99，100， ∴甲班实验数据的中位数为（粒）； 【小问2详解】 解：设乙班5号同学的实验数据的个位数为x， ∵，且x为整数， ∴x可能的值共10个， ∴乙班实验数据的平均数为， 当甲班实验数据的平均数大于乙班时，， 解得， ∴x满足条件的值共8个， ∴甲班实验数据的平均数大于乙班实验数据平均数的概率为． 20. 图1是一座下承式桥，桥的拱肋呈抛物线状，桥面与多根吊杆（如吊杆，等）连接并垂直，相邻吊杆之间的间距均为（忽略吊杆的粗细），建立如图2的平面直角坐标系，得到点，，已知点D为抛物线的顶点，吊杆的长为． （1）求该抛物线的解析式（不必写x的取值范围）； （2）若吊杆与相距，且在的左侧，求吊杆的长度； （3）淇淇说：“竖直安装的这些吊杆中，一定有一根吊杆的长度恰好是长度的一半．”你是否同意她的说法？说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 不同意淇淇的说法，理由如下： ∵， ∴， 当时，得， 解得， ∵相邻吊杆之间的间距均为， ∴每根吊杆上的点的横坐标应为整数， ∴不存在一根吊杆的长度恰好是长度的一半． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用． （1）先根据题意得点D的坐标为，设该抛物线的解析式为，将点的坐标代入求出的值即可； （2）根据题意得点M的横坐标为70，将代入解析式求出值即可； （3）由题意得，将代入解析式求出的值，再根据相邻吊杆之间的间距均为可知每根吊杆上的点的横坐标应为整数，即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意可知，点D的坐标为， 设该抛物线的解析式为， 将点的坐标代入，得， 解得， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由题意，，， ∴， ∴点M的横坐标为70， 将代入． 得， ∴吊杆的长度为； 【小问3详解】 略 21. 如图1是某种笔记本电脑支架，如图2，其底座放置在水平桌面上，通过调节及的度数来控制托盘的高度，笔记本机身和屏幕分别用线段表示．已知，，，不计材料厚度． （1）若，． ①为使屏幕与桌面保持垂直，________________°； ②在①的条件下，求此时点H到桌面的距离； （2）从（1）的条件开始，保持，并逐渐增大的度数，直到托盘与平行时停止，求出点G移动的路径长．【（1）②、（2）的结果保留根号或】 【答案】（1）①120，② （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）①延长交于点，利用四边形内角和求解即可；②过点作，，则四边形是矩形，利用锐角三角函数分别求出，，进而得出，即可求解 （2）连接，由（1）得，在中，求出，当时，，即可得到的度数从增大到，绕点C顺时针旋转了，利用弧长公式计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：①如图，延长交于点， ， ， ， ，， ， ； ②如图，过点作，， 则四边形是矩形， ， 在中，， ， ，， ， 在中，， ， ， 即点到桌面的最大距离为； 【小问2详解】 解：连接，由（1）得， ∴在中，， 当时，， ∴的度数从增大到，绕点C顺时针旋转了， ∴点G移动的路径长为． 22. 用若干张半径为的圆形纸片（）剪不同的扇形纸片，如图1和图2． 操作：当扇形的圆心C在上时，如图1，为的直径． （1）①尺规作图：作的垂直平分线交于C，D两点（点C在点D的上方），连接，再以点C为圆心，长为半径画劣弧，得到扇形； ②求出①中所作的扇形的面积（结果保留π）； 计算：当扇形的圆心C在内部时，如图2，已知为扇形与的公共弦，，． （2）求出点O与点C的距离，并直接写出扇形的面积（结果保留π）； 探究：（3）在半径为的圆形纸片（）上剪一个圆心角的扇形（点A，B在上），直接写出所剪的扇形面积S的取值范围（结果保留π）． 【答案】 （1）①如图所示，即为所求； ②， （2），， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积计算，解直角三角形，垂径定理，三线合一定理，线段垂直平分线的尺规作图等等，熟知扇形面积计算公式是解题的关键． （1）①根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可；②由直径所对的圆周角是直角得到，则是等腰直角三角形，据此求出的长，再根据扇形面积计算公式求解即可； （2）过点C作于T，连接，可证明O、C、T三点共线，则，由勾股定理得，则；由勾股定理得，则，即可得到； （3）可证明垂直平分，则点C一定在的某条直径上运动，设交于M，解直角三角形得到，则随着的增大而增大，即扇形的面积随着的增大而增大，当点C与点E重合时，有最小值，当点M恰好与点O重合时，有最大值，据此讨论求解即可． 【详解】解：（1）①略 ②∵垂直平分， ∴ ， ∵是直径， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （2）如图所示，过点C作于T，连接， ∵， ∴垂直平分， ∴O、C、T三点共线， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴点O与点C的距离为； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴； （3）∵， ∴垂直平分， ∴点C一定在的某条直径上运动， 设交于M， ∵， ∴， ∴随着的增大而增大，即扇形的面积随着的增大而增大 如图所示，当点C与点E重合时， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 如图所示，当点M恰好与点O重合时，此时， ∴ ∴． 23. 如图1，直线与坐标轴交于两点，直线与直线交于点，与轴交于点． （1）求的值及直线的解析式； （2）点是轴负半轴上一点，当的面积为时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，点是轴正半轴上一点，连接．将线段绕点顺时针旋转，得到线段，如图2． ①求点的纵坐标； ②若点在内部（不含边界），直接写出点的纵坐标的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）①点的纵坐标为；② 【解析】 【分析】（1）由待定系数法列式求解即可得到答案； （2）设，由平面直角坐标系中求三角形面积方法，根据的面积为，数形结合得到，解方程即可得到答案； （3）①证明，即可求解；②由点 （n-1，-1）知，点 在 上运动，再用数形结合的方法即可求解 【小问1详解】 解：直线与直线交于点， 将点代入，得 ； 点， 设直线， 将 、代入直线得， 解得， 则直线的表达式为：； 【小问2详解】 解：如图所示： 直线与坐标轴交于两点， 当时，，即；当时，，解得，即， 设， 的面积为， ， 解得， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：①将线段绕点顺时针旋转，得到线段， 为等腰直角三角形， 过点作轴于点，如图所示： ，， ， ，， ， ，， 即点， 点的纵坐标为； ②由点知，点在上运动， 当点在上时，即 ，解得； 当在上时，即，解得； 当点在上时，即，解得； 如图所示： 若点在内部（不含边界），则线段与的边只有一个交点， 的取值范围为：． 【点睛】本题考查一次函数综合题，涉及待定系数法求一次函数表达式、平面直角坐标系中三角形面积表示方法、旋转性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、动点的轨迹等知识，熟记一次函数图象与性质，数形结合是解题的关键． 24. 如图1，平面上，四边形中，，，，，．点P从点C出发，沿折线向点A运动，连接．点C关于直线的对称点为，连接，设点P在折线上运动的路径长为x（）． （1）的最小值为_________，的长为______； （2）当点落在的延长线上时， ①点P在线段_______上（填“”或“”）； ②求此时x的值； （3）作点B关于直线的对称点，连接． ①若点P在上，当时，如图2，求x的值； ②连接，当直线经过点A时，直接写出x的值． 【答案】（1）4，5 （2）①；② （3）①，②5或 【解析】 【分析】（1）过点D作于E，先证明四边形是矩形，得，，从而得出，然后由勾股定理求出的长，垂线段最短，求出的最小值即可； （2）①根据点的位置，得到，过点作的垂线，即可得到点的位置；②根据对称性，推出，列出比例式进行求解即可； （3）①延长、相交于E，延长到F，证明，求出，，对称性推出，进而得到，求出的长，进而得到的长，即可得出结果； ②分两种情况：当点P在上，点P在上，分别求解即可． 【小问1详解】 解：作交于点，则：， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，； 当点在上时，当与点重合时，最小，为， 当点在上时，当与点重合时，最小，为5， 故的最小值为4； 故答案为：4，5； 【小问2详解】 ①∵点落在的延长线上， ∴，， 过点作，如图， 由图，可知：点在线段上， ②由翻折得：， 由（1）知：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 ①当点P在上时，延长、相交于E，延长到F，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：，， ∵点B与点关于对称， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②分两种情况：当点P在上时， 由翻折可知，点C与点关于对称， ∴，， ∵， ∴， 又∵点B与点关于对称，经过点A， ∴此时，点A为重合，则， ∴， 由股定理，得， ∴， 解得：， ∴； 2)当点P在上时，过点D作于E，于F， 由翻折可得：，， ∴点C与点关于对称， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∵点B与点关于对称， ∴， ∵点C与点关于对称， ∴四边形与关于对称， ∴， ∴， ∴， ∵经过点A，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴ 综上，当直线经过点A时， 的值为5或． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，相似三角形判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的判定．熟练掌握相关知识点，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $