精品解析：河南省安阳市滑县部分学校2024-2025学年高二下学期期末测评数学试卷

2024-2025学年下学期期末测评试卷 高二数学 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效. 2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、准考证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上. 3.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用虚数单位的性质，复数的乘法公式即可求解. 【详解】原式，故B正确. 故选：B. 2. 已知集合，集合，则下列各选项中属于的元素是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】先分析集合中元素的特点，得出，逐个选项判断即可求解. 【详解】由可得： 则， 所以， 则，，，. 故选：D. 3. 已知向量，，若，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标运算，即可求解参数. 【详解】因为，，所以， 因为，所以， 即，解得. 故选：B. 4. 在平面直角坐标系中，曲线：的周长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】利用方程可判断曲线的对称性，再研究第一象限的线段，根据对称性即可求得周长. 【详解】在曲线的方程中，令用或用代换，曲线方程都没有变， 所以曲线关于轴，轴对称，原点对称， 当，时，曲线的方程为，表示以和为顶点的线段， 其长度为，根据对称性知，其他三条线段的长也为2， 所以曲线：的周长为. 故选：C. 5. 下列的值能使成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】逆用两角和的正切公式、特殊角的正切值，结合终边相同的角正切值相等，求得角的度数. 【详解】因为，所以，， 所以，，结合各选项可知，. 故选：A. 6. 某学校举办足球赛，将6支球队平均分成甲、乙两组，则两支较强的球队被分在不同组的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出两支较强的球队被分在不同组的分法，在求出总的分法，根据古典概型概率公式求解即可. 【详解】由题意可知，两支较强球队被分在不同组的分法有种，所有的分法有种， 结合古典概型概率计算公式可得所求概率为. 故选:C. 7. 已知函数，命题p：是奇函数，命题q：在上是减函数，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的性质求参数值，结合指数等相关的函数性质判断的区间单调性判断充分性；根据的单调性，结合指数等相关的函数性质求参数判断必要性，即可得. 【详解】若的奇函数，则，即恒成立， 所以，则，在上单调递增， 所以在上是减函数，充分性成立； 若在上是减函数，在上单调递增， 所以，故，此时不一定有，必要性不成立； 所以p是q的充分不必要条件. 故选：A 8. 已知函数，若有三个零点，，，且，则最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据解析式画出大致图象，数形结合可得参数范围，进而有，且，则得，从而得，再构造函数，，结合导数知识从而可求解. 【详解】根据函数解析式，可得函数的大致图象如图所示， 因为有三个零点，所以. 令，得， 因为，所以， 又，且， 则. ，且 令，，则. 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，的最大值为， 综上，，则，故A正确. 故选:A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 的最小正周期为 C. 在上不单调 D. 的最大值为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角函数性质，和函数奇偶性、周期性、单调性的定义法证明，以及根据导函数求函数最大值的方法，逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】因为的定义域为，且，所以为奇函数，故A正确； 由，显然不是周期，故B错误； 由的解析式，易得，显然在上不单调，故C正确； 令，则，且， 若，则， 令，则，显然在，上，，在，上都单调递减， 则在上，，， 在上，，， 所以在上，， 所以的最大值为1，故D正确. 故选：ACD. 10. 市场监督管理局对9家工厂生产的甲、乙产品进行抽查评分，且得分的平均数分别为77、60，其中A工厂生产的产品得分如下表： 分数 名次（按高分到低分排名） 甲产品 75 4 乙产品 66 6 则在此次抽查评分中（ ） A. 9家工厂甲产品得分的中位数一定小于平均数 B. 9家工厂乙产品得分的中位数一定大于平均数 C. 9家工厂甲产品得分中一定存在极端高分数（高于平均数10分以上） D. 9家工厂乙产品得分中一定存在极端低分数（低于平均数10分以上） 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据中位数的定义及已知判断A、B；找到一个特殊数据判断C；假设乙产品前六名所有评分都为66分，结合平均数得差值，即可判断D. 【详解】对于甲乙产品，9家工厂抽查评分从低到高的第5位是中位数， 由75分是甲产品按高分到低分的第4位，即从低到高的第6位，故中位数小于等于75分， 由66分是乙产品按高分到低分的第6位，即从低到高的第4位，故中位数大于等于66分， 又甲、乙得分的平均数分别为77分、60分，A、B对； 甲产品评分可以为，此时不存在极端高分数，C错； 对于乙产品，由题意，前六名的得分均大于等于66， 假设前六名所有评分都为66分，则后三名总分为分， 所以后三名的得分中必定有小于等于48分的情况，故必存在极端低分数，D对. 故选：ABD 11. 曲线是平面内与三个定点，，的距离之和等于的点的轨迹，为上一点，则（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 不存在点使得 C. 面积的最大值大于1 D. 存在点使得 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，由已知表示出曲线的方程，观察方程的对称性可以判断结果；B选项，假设，推理点在线段上，到线段的最短距离；C选项，点P在椭圆上顶点时，面积最大；D选项，寻找曲线C上的一个特殊点P，验证. 【详解】设曲线上任意一点，由题意可知曲线的方程为. 对于A，在方程中，用替代，替代，方程改变，可得曲线不关于直线对称，故A错误； 对于B，若，则，所以点在线段上， 因为点到线段的最短距离，所以这样的点不存在，故B正确； 对于C，，则点在椭圆：内（含边界）， 曲线与椭圆有唯一的公共点，此时，， 如图，当点为时，的面积最大，最大值是1，故C不正确； 在曲线上再寻找一个点，，若， 则，即，解得， 所以，故存在点使得，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的离心率为2，且双曲线与圆：有且仅有两个交点，则双曲线的标准方程为______.（写出一个即可） 【答案】（或） 【解析】 【分析】利用双曲线与圆的位置关系得，结合离心率得，分类讨论即的答案. 【详解】当双曲线的焦点在轴上时，，因为离心率，所以，则， 所以双曲线的标准方程为. 同理，当双曲线的焦点在轴上时，，，所以双曲线的标准方程为. 故答案为：（或） 13. 已知的面积为，，，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】应用三角形面积公式可得，再由向量数量积的运算律有，结合已知即可得. 【详解】由题设，则， 又， 所以，则， 综上，. 故答案为：2 14. 某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形，等边三角形的高为9，一个半径为1的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】分别计算侧面与底面上小球可能接触到的容器内壁的面积，即可得解 【详解】因为轴截面为等边三角形，等边三角形的高为9，所以圆锥的母线长与底面圆的直径均为. 在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域围成一个圆台侧面，如图（1），因为小球的半径为1，由图（2），可得圆台的上、下底面圆的半径分别为，，母线长为， 所以圆台的侧面积为. 在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆， 其半径为，其面积为. 综上，圆锥内壁上小球能接触到的最大面积为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，. （1）若曲线在点处的切线与曲线也相切，求； （2）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出曲线在点处的切线，然后设该切线与曲线的切点，利用导数的几何意义和题干列方程即可求解. （2）将转化为一个新函数的恒成立问题，通过求导分析函数的单调性来求解即可. 【小问1详解】 ，，则，则函数在点处的切线为，即. ，， 在点处的切线与曲线也相切， 设切线与曲线的切点为，则， 故切线为，即， 即，解得. 【小问2详解】 ，恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，故， 故的最小值为1. 16. 已知数列是等差数列，，且成等比数列.给定，记集合元素个数为bk. （1）求的值; （2）求满足的最小自然数的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设数列的公差为，根据题意，列出方程，求得，得到，结合，分别求得的值； （2）由（1）得到，求得，当和时，可得，，进而得到的最小值. 【小问1详解】 解：设数列的公差为， 因为成等比数列，且，所以， 即，即，解得，所以， 又因为， 当时，集合，所以集合中元素的个数； 当时，集合，所以集合中元素的个数； 【小问2详解】 解：由集合 的元素个数为， 结合（1）可得， 所以， 当时，可得； 当时，可得， 又由， 所以数列为单调递增数列，所以的最小值是. 17. 在四棱台中，底面是边长为2的菱形，，，，过的平面分别交，于点，，且平面. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意利用已知条件证明平面，从而建立空间直角坐标系，可得到与平面的法向量共线，即可证明； （2）结合（1）并利用向量法求解面面夹角，从而可求解. 【小问1详解】 连接，， 因平面，平面，平面平面，所以， 设，，连接， 由在四棱台中，平面平面， 平面平面，平面平面， 则得， 又由题意知，则得四边形是等腰梯形， 所以，同理可证， 因，平面，所以平面， 又底面是菱形，所以， 则以为原点，直线，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图， 因为菱形的边长为，，则，， 则，，则， 所以，，，，， 则，，， 设，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，，所以， 所以，即平面， 又平面，所以平面平面； 【小问2详解】 设，因，， 则，，， 所以，则得， 又在上，设，则，解得， 可得，所以，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，， 则得， 所以，所以， 故平面与平面夹角正弦值为. 18. 设抛物线：的焦点为，过的直线交于，两点，过且垂直于的直线交抛物线的准线于点，，在直线上的射影点分别为，，的最小值为6. （1）求抛物线的标准方程； （2）①求证：； ②求的最小值. 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）设直线的方程为，与抛物线方程联立，得到韦达定理，利用， 解出未知数，得到方程； （2）①验证轴时成立，再求解当不垂直于轴时，直线的方程，令，得，直接判断； ②方法一，连接，，证明，再证明得到，设直线的倾斜角为，表示为，求解即可； 方法二，同方法一证得，利用相似得到，，表示出以及，带入求解即可. 【小问1详解】 因抛物线：，所以焦点为，准线为， 如图，易知直线的斜率不为0，设直线的方程为，，， 联立，得， 易知，则，， 又，， 所以，当且仅当时取等号， 因为的最小值为6，所以，， 所以抛物线的标准方程为. 【小问2详解】 ①当轴时，，. 当不垂直于轴时，设直线的方程为，， 则直线的方程为， 令，得，即为的中点，所以. 综上可得，. ②方法一 如图，连接，，因为，， 所以，则. 由①知，为的中点，故. 设直线的倾斜角为，，可得，则， 因为， 所以. 所以， 因为，所以，同理， 则， 所以， 所以的最小值为18. 方法二 同方法一证得. 在与中，， 所以，则，即， 同理可得. 又， ， 所以， 则，所以的最小值为18. 19. 不透明的口袋中装有编号分别为的个小球，小球除编号外完全相同.现从中有放回地任取次，每次取1个球，记取出的个球的最大编号为随机变量，则称服从参数为，的“”分布，记为. （1）若，求； （2）若，且，求的最小值； （3）若，求证：且，. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据组合数和独立事件乘法公式即可得到答案； （2）先计算，.根据期望公式得 .结合，的单调性，计算的到的最小值. （3）由题先计算，，根据期望公式得.利用数学归纳法证明得到结论； 【小问1详解】 方法一 由， 得. 方法二 . 【小问2详解】 由，， 得，. 则 . 令，得. 又在上单调递减， 且，，故的最小值为2. 【小问3详解】 由，，得 ，， 所以 . 方法一 构造函数. 先证，. 设，，则.令，得，列表如下： 0 - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 所以， 故，，当且仅当时取等号. 令，则， 故， 即. 所以 ， 所以， 所以， 故且，. 方法二 数学归纳法. 要证且，，即证， 即证. ①当时，左边右边，成立； ②假设当（且）时命题成立，即. 则当时，， 只要证，即证，且. 因为， 所以且，. 故当时，，命题也成立. 综合①②，且，， 故得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年下学期期末测评试卷 高二数学 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效. 2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、准考证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上. 3.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（ ） A. B. 5 C. D. 2. 已知集合，集合，则下列各选项中属于的元素是（ ） A. B. C. 0 D. 1 3. 已知向量，，若，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 在平面直角坐标系中，曲线：的周长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 5. 下列的值能使成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 某学校举办足球赛，将6支球队平均分成甲、乙两组，则两支较强球队被分在不同组的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，命题p：是奇函数，命题q：在上是减函数，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知函数，若有三个零点，，，且，则最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 的最小正周期为 C. 在上不单调 D. 的最大值为1 10. 市场监督管理局对9家工厂生产的甲、乙产品进行抽查评分，且得分的平均数分别为77、60，其中A工厂生产的产品得分如下表： 分数 名次（按高分到低分排名） 甲产品 75 4 乙产品 66 6 则在此次抽查评分中（ ） A. 9家工厂甲产品得分的中位数一定小于平均数 B. 9家工厂乙产品得分的中位数一定大于平均数 C. 9家工厂甲产品得分中一定存在极端高分数（高于平均数10分以上） D. 9家工厂乙产品得分中一定存在极端低分数（低于平均数10分以上） 11. 曲线是平面内与三个定点，，的距离之和等于的点的轨迹，为上一点，则（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 不存在点使得 C. 面积的最大值大于1 D. 存在点使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的离心率为2，且双曲线与圆：有且仅有两个交点，则双曲线的标准方程为______.（写出一个即可） 13. 已知的面积为，，，则______. 14. 某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形，等边三角形的高为9，一个半径为1的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 已知函数，. （1）若曲线在点处切线与曲线也相切，求； （2）若，求的最小值. 16. 已知数列是等差数列，，且成等比数列.给定，记集合的元素个数为bk. （1）求的值; （2）求满足最小自然数的值. 17. 在四棱台中，底面是边长为2的菱形，，，，过的平面分别交，于点，，且平面. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值. 18. 设抛物线：的焦点为，过的直线交于，两点，过且垂直于的直线交抛物线的准线于点，，在直线上的射影点分别为，，的最小值为6. （1）求抛物线的标准方程； （2）①求证：； ②求的最小值. 19. 不透明口袋中装有编号分别为的个小球，小球除编号外完全相同.现从中有放回地任取次，每次取1个球，记取出的个球的最大编号为随机变量，则称服从参数为，的“”分布，记为. （1）若，求； （2）若，且，求的最小值； （3）若，求证：且，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$