精品解析：山东省济宁市实验初中（五四学制）2024—2025学年下学期5月份月考八年级数学试卷

济宁市实验初中2024-2025学年度第二学期5月质量检测 初三数学试题 一，选择题（共10小题） 1. 下列各组长度的线段（单位：厘米）中，是成比例线段的是（ ） A. 3，6，7，9 B. 2，5，6，8 C. 3，6，9，18 D. 1，2，3，4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了成比例线段的定义，若四条线段、、、满足，则它们成比例，准确分析判断是解题的关键． 分别计算各选项的比值即可判断． 【详解】对于选项：，不符合题意； 对于选项：，不符合题意； 对于选项：，符合题意； 对于选项：，不符合题意； 只有选项是成比例线段； 故选． 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是比例的基本性质，将所求比例拆分为两个比例之和，利用已知条件代入计算即可． 【详解】解：∵ ， 又 ∵ ， ∴ ． 故选：A． 3. 如图，已知直线，已知，，，则的值是（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例是解题关键．根据平行线分线段成比例定理即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ，，， ， ∴， 故选：B． 4. 如图，在中，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键，根据相似三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、根据阴影三角形有一个角为，与相等，结合是公共角，相等，可以得到阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； B、根据阴影三角形有一个角为，与相等，是公共角，相等，能得到阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； C、，，可以得到阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； D、只有，不能得到阴影三角形与原三角形相似，符合题意； 故选D． 5. 如图所示，网格中相似的两个三角形是（　　） A. ①与③ B. ②与③ C. ①与④ D. ③与④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，求出所有三角形的边长是解题的关键．先利用勾股定理求出所有三角形的边长，由相似三角形的判定可求解． 【详解】解：图形①的三边为：； 图形②的三边为：； 图形③的三边为：； 图形④的三边为：； ∵， ∴①与③相似， 故选：A． 6. 操场上有一根竖直的旗杆，它的一部分影子落在水平地面上，另一部分影子落在操场的墙壁上，经测量，墙壁上的影高为，地面的影长为，同时测得一根高为的竹竿的影长是，请根据以上信息，则旗杆的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先需先求出旗杆全落在地面上的影子的长，即落在水平地面上的影长于落在操场的墙壁上的影长之和，同时测得一根高为的竹竿的影长是，根据同一时刻物高与影长的比值相等，即可列出方程求出答案． 【详解】解：由题意可知，墙壁上的影高为，同时测得一根高为的竹竿的影长是，设这段影子在地面上的长为，可得： ， ， 旗杆落在地面上的影子的长是：， 设旗杆的高度为,根据题意可得： ， ， 旗杆的高度为． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形对应边成比例列方程是解题关键． 7. 如果两个相似三角形的面积之比为，这两个三角形的周长的和是，那么较小的三角形的周长为________． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，已知面积比为，可得周长比为，再结合周长之和为，即可求解 【详解】解：∵相似三角形的面积比为4:9，故相似比为，周长比也为2:3， 设较小三角形的周长为，较大三角形的周长为， 两三角形周长之和为，即，解得， ∴较小三角形的周长为， 故选：B 8. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据位似比的性质可知，用点的坐标分别乘以即可求解． 【详解】解：点，相似比为， ∴点的对应点的坐标是，即，或者，即， 故选：． 【点睛】本题主要考查位似的性质，掌握位似的性质，用点坐标乘以相似比（正数相似比，负数相似比）是解题的关键． 9. 在中，，是斜边上的高，，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得，列比例式解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握判定是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴， ∵，， ∴， 解得， 故选：A． 10. 如图，线段的端点都在正方形网格的格点上，它们相交于点．若每个小正方形的边长都是1，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明．先判定，推出，再求出，，判定，推出． 【详解】解：如图， ， ， ， ， 每个小正方形的边长都是1， ，， ， ， ， ， ． 故选：A． 二.填空题（共5小题） 11. 如图，在长为，宽为的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是 _____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，由相似比是，可得面积的比是，即可求解；掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：长为为，宽为的矩形的面积是， 留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似， 相似比是， 因而面积的比是， 因而留下矩形的面积是． 故答案为：8． 12. 如图，在平面直角坐标系中，有两点，，点为的中点，点在轴上，当点的坐标为_______时，以、、为顶点的三角形与相似． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定定理，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解．先根据勾股定理求出的长，进而可得出的长，再根据与两种情况进行讨论． 【详解】解：在直角形坐标系中有两点、， ，， ． 点为的中点， ． 当时，，即，解得， ， ； 当时，，即，解得， ， ． 综上所述，点坐标为或， 故答案为：或． 13. 如图，点是线段的黄金分割点，以为一边作矩形，使；以为边作正方形，则______．（填＞，＜或＝） 【答案】＝ 【解析】 【分析】根据是线段的黄金分割点，推出，又因为表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积，则，，得出．本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点． 【详解】解：是线段的黄金分割点，且， ∴， 又∵表示以为一边的正方形的面积，表示长为，宽为的矩形的面积， ∴，， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在中，，点D在上，且，的平分线交于点E，点F是的中点，连接．若四边形和的面积都为3，则的面积为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】先证明，得到的面积与的面积均为3，再证明是的中位线，得到，从而得到，进而得到的面积为4，即可求出的面积为10． 【详解】解：∵，是的平分线， ∴， ∴的面积与的面积均为3， 又∵点F是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵四边形的面积为3， ∴的面积为4， ∴的面积为． 故答案为：10 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，三角形中线性质，中位线定理，相似三角形的判定与性质等知识，综合性较强，理解题意，证明是解题关键． 15. 如图，在中，，为延长线上一点，，，过作，交的延长线于点．则长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．根据两个角对应相等即可证明；根据得到，由，对应线段成比例可得，再结合，对应边成比例即可求出的长度； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 故答案为：． 三．解答题（共8小题） 16. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为________． （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它的相似比为． 【答案】（1） 如图1，点为所作： （2） 如图2，为所作． 【解析】 【分析】本题考查作图位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）延长、，并使、，连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求证：△PAC∽△BPD． 【答案】 证明：∵PC＝PD＝CD， ∴为等边三角形， ∴∠PCD＝∠PDC， ∴, ∵∠A＝∠BPD， ∴△PAC∽△PBD． 【解析】 【分析】根据PC＝PD＝CD，可得出为等边三角形，即可得出,进而得出,再根据相似三角形的判定推出即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定等知识点，注意：如果两个三角形的两个角分别对应相等，那么这两个三角形相似． 18. 如图，在中，，为边上一点，为边上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， ，， ， ． （2）2或4 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、一元二次方程的解法，等腰三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）一线三等角模型，通过外角的性质得到，推出，即可得证； （2）直接根据第一问的相似三角形得到，代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 由（1）知，， ， 即， 或4，经检验，符合题意； 答：或4． 19. 如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上． （1）求证：； （2）若这个矩形的边，则的长度． 【答案】（1） 证明：∵在矩形中，， 即 ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定及性质，解题的关键是掌握相似三角形对应高的比等于相似比． （1）根据矩形的对边平行得到，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可． （2）设，，设与的交点为点E，可得是的高，证明四边形是矩形，得到，从而，根据相似三角形的性质得到，代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴设，， 设与的交点为点E， ∵，是高， ∴，即是的高， ∵在矩形中，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ∵， ∴，即， 解得， ∴ 20. 如图，路灯（P点）距地面8米，小明在距路灯的底部（O点）20米的A点时，测得此时他的影长为5米． （1）求小明的身高； （2）小明沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 【答案】（1）米 （2）变短了，变短了米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． （1）通过证明，得出，即可解答； （2）通过证明，得出，求出，即可解答． 【小问1详解】 解：∵米，米， ∴米， ∵，， ∴， ∴，即 解得，． 即小明的身高为米． 【小问2详解】 解：∵米，米， ∴米， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴（米）， ∴小明的身影变短了，变短了米． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知，．点从点开始沿边向终点以的速度移动；点从点开始沿边向终点以的速度移动．有一点到达终点，另一点也停止运动．若、同时出发，运动时间为． （1）用含t的代数式分别表示线段和的长； （2）当t为何值时，与相似？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理列式求出，再表示出和； （2）分和是直角两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【小问1详解】 解：，， ， 点的速度是每秒1个单位，点的速度是每秒1个单位， ，； 【小问2详解】 ①是直角时，， ， 即， 解得，舍去； ②是直角时，， ， 即， 解得， 综上所述，时，与相似． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，根据对应边成比例两相似三角形的判定分类讨论是解题的关键． 22. 如图，在平行四边形中，过点D作，垂足为E，连接，F为线段上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ， ，， ，， ， ， ， ，， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定： （1）证明，即可证明 （2）利用勾股定理求出的长，再利用相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，由勾股定理得 ， ， ， 解得：． 23. 如图，，． （1）求证：； （2）求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴即， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）根据相似三角形的性质得，，进而得出，，即可得证； （2）根据，，根据相似三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济宁市实验初中2024-2025学年度第二学期5月质量检测 初三数学试题 一，选择题（共10小题） 1. 下列各组长度的线段（单位：厘米）中，是成比例线段的是（ ） A. 3，6，7，9 B. 2，5，6，8 C. 3，6，9，18 D. 1，2，3，4 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知直线，已知，，，则的值是（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 4. 如图，在中，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，网格中相似的两个三角形是（　　） A. ①与③ B. ②与③ C. ①与④ D. ③与④ 6. 操场上有一根竖直的旗杆，它的一部分影子落在水平地面上，另一部分影子落在操场的墙壁上，经测量，墙壁上的影高为，地面的影长为，同时测得一根高为的竹竿的影长是，请根据以上信息，则旗杆的高度是（ ） A. B. C. D. 7. 如果两个相似三角形的面积之比为，这两个三角形的周长的和是，那么较小的三角形的周长为________． A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 在中，，是斜边上的高，，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 如图，线段的端点都在正方形网格的格点上，它们相交于点．若每个小正方形的边长都是1，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 二.填空题（共5小题） 11. 如图，在长为，宽为的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是 _____． 12. 如图，在平面直角坐标系中，有两点，，点为的中点，点在轴上，当点的坐标为_______时，以、、为顶点的三角形与相似． 13. 如图，点是线段的黄金分割点，以为一边作矩形，使；以为边作正方形，则______．（填＞，＜或＝） 14. 如图，在中，，点D在上，且，的平分线交于点E，点F是的中点，连接．若四边形和的面积都为3，则的面积为_____． 15. 如图，在中，，为延长线上一点，，，过作，交的延长线于点．则长为________． 三．解答题（共8小题） 16. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，，，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置并直接写出点P的坐标为________． （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它的相似比为． 17. 如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求证：△PAC∽△BPD． 18. 如图，在中，，为边上一点，为边上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 19. 如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上． （1）求证：； （2）若这个矩形的边，则的长度． 20. 如图，路灯（P点）距地面8米，小明在距路灯的底部（O点）20米的A点时，测得此时他的影长为5米． （1）求小明的身高； （2）小明沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知，．点从点开始沿边向终点以的速度移动；点从点开始沿边向终点以的速度移动．有一点到达终点，另一点也停止运动．若、同时出发，运动时间为． （1）用含t的代数式分别表示线段和的长； （2）当t为何值时，与相似？ 22. 如图，在平行四边形中，过点D作，垂足为E，连接，F为线段上一点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 23. 如图，，． （1）求证：； （2）求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $