18.3分式的加法与减法（2）导与练 2025-2026学年 人教版八年级数学上册

18.3分式的加法与减法（2）导与练 第2课时 分式的混合运算 知识要点： 分式的混合运算法则：先_______ ，再 、 ，如果有括号，先进行 的运算. 易错点睛： 已知 - ＝2，求的值. 【点睛】 通分是关键，然后用整体思想求值。 典例讲解： 题型一、分式混合运算中的纠错题 例1、老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：甲、乙两位同学完成的过程分别如下： 甲同学：＝第一步＝第二步＝第三步 乙同学：＝第一步＝2x－2＋x＋5第二步＝3x＋3第三步 老师发现这两位同学的解答都有错误： （1）甲同学的解答从第 一步开始出现错误；乙同学的解答从第 二步开始出现错误； （2）请重新写出完成此题的正确解答过程第三步 老师发现这两位同学的解答都有错误： （1）甲同学的解答从第 一步开始出现错误；乙同学的解答从第 二步开始出现错误； （2）请重新写出完成此题的正确解答过程. 解题策略：分式的减法运算，若减数的分子是多项式，计算时一定要加括号，将分子看作一个整体.此外，在分式的混合运算过程中，尽量不要跳步，按照运算顺序和运算法则逐步解答，否则容易掉入题目的“陷阱”中. 变式练习： 1、阅读下面题目的计算过程： － ＝－ ① ＝x－3－2x＋2 ② ＝－x－1. ③ (1)上面计算过程从哪一步开始出现错误？请写出该步骤的代号 ； (2)错误原因是 ； (3)本题的正确结果是 ． 题型二、逆运算型分式的混合运算 例2、老师在黑板上写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如图：则被遮住的部分是 A. B. C. D. 解题策略：与分式的逆运算有关的题目，常常设出未知数，建立等式，利用等式的性质以及分式的运算法则进行计算. 变式练习： 2、小宇在做一道化简求值题时，因印刷问题，导致题中最后一项分子缺失，参考答案上该题化简的结果是，则最后一项分子为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 题型三、分式的化简求值 例3、先化简，再求值．，在范围中，选取合适的整数x代入求值． 解题策略：代入求值的方法通常有两种：（1）单值代入；（2）整体代入；（3）选值代入.无论选用哪种代入方法，都需要将所给式子化成最简形式. 3、先化简，再求值：÷（x+2）﹣÷（x﹣3），其中x是不等式组的整数解． 题型四、与分式化简有关的创新题 例4、对于两个非零的实数a，b，定义运算*如下：．例如：．若，则的值为（ ） A． B．2 C． D． 解题策略：“新定义运算”型问题，主要是指在问题中出现没有学过的新概念、新运算、新符号等，解决这类问题的关键是要读懂题意，并结合已学过的知识，按照新定义规定的运算，将新定义问题转化为已学过的运算问题. 变式练习： 4、定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如，分式与互为“3阶分式”．设正数x，y互为倒数，则分式与互为（ ） A．二阶分式 B．三阶分式 C．四阶分式 D．六阶分式 5、我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；如果假分式的值为整数，则的负整数值为______． 当堂练习： 1、计算等于（ ） A. B. C. D. 2、化简的结果是（　　） A． B． C． D． 3、现有一列数：a1，a2，a3，a4，…，an﹣1，an（n为正整数），规定a1＝2，a2﹣a1＝4，a3﹣a2＝6，…，an﹣an﹣1＝2n（n≥2），若＝，则n的值为（　　） A．2015 B．2016 C．2017 D．2018 4、有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式﹣+﹣的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 5、已知，则代数式=___________. 化简：． 6、已知，则代数的值等于________． 7、如果a2﹣a﹣1＝0，那么代数式（1﹣）÷的值是　　 8、计算： （1） ； （2）． 9、先化简，再求值：，其中． 10、已知实数、满足式子|﹣2|+（﹣1）2=0，求的值． 11、如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． （1）下列分式中，　 　是和谐分式（填写序号即可）； ①；②；③；④． （2）若a为正整数，且为和谐分式，a＝　 　； （3）利用和谐分式，化简 12、（1）化简：； （2）把（1）中化简的结果记作A，将A中的分子与分母同时加上1后得到B，问：当时，B的值与A的值相比变大了还是变小了？试说明理由． 答案： 知识要点： 分式的混合运算法则：先 乘方 ，再 乘除 、加减 ，如果有括号，先进行 括号内 的运算. 易错点睛： 已知 - ＝2，求的值. 【点睛】 通分是关键，然后用整体思想求值。 答案：- 典例讲解： 题型一、分式混合运算中的纠错题 例1、老师所留的作业中有这样一个分式的计算题：甲、乙两位同学完成的过程分别如下： 甲同学：＝第一步＝第二步＝第三步 乙同学：＝第一步＝2x－2＋x＋5第二步＝3x＋3第三步 老师发现这两位同学的解答都有错误： （1）甲同学的解答从第 一步开始出现错误；乙同学的解答从第 二步开始出现错误； （2）请重新写出完成此题的正确解答过程第三步 老师发现这两位同学的解答都有错误： （1）甲同学的解答从第 一步开始出现错误；乙同学的解答从第 二步开始出现错误； （2）请重新写出完成此题的正确解答过程. 解：（1）甲同学的解答从第一步开始出现错误；乙同学的解答从第二步开始出现错误 故答案为：一、二； （2）原式＝ ＝ ＝ ＝． 解题策略：分式的减法运算，若减数的分子是多项式，计算时一定要加括号，将分子看作一个整体.此外，在分式的混合运算过程中，尽量不要跳步，按照运算顺序和运算法则逐步解答，否则容易掉入题目的“陷阱”中. 变式练习： 1、阅读下面题目的计算过程： － ＝－ ① ＝x－3－2x＋2 ② ＝－x－1. ③ (1)上面计算过程从哪一步开始出现错误？请写出该步骤的代号 ； (2)错误原因是 ； (3)本题的正确结果是 ． 答案：(1)②；(2)丢了分母；(3)－． 题型二、逆运算型分式的混合运算 例2、老师在黑板上写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如图：则被遮住的部分是 A. B. C. D. 答案：D 解：被遮住的部分是 ， 解题策略：与分式的逆运算有关的题目，常常设出未知数，建立等式，利用等式的性质以及分式的运算法则进行计算. 变式练习： 2、小宇在做一道化简求值题时，因印刷问题，导致题中最后一项分子缺失，参考答案上该题化简的结果是，则最后一项分子为（ ）A A．5 B．4 C．3 D．2 题型三、分式的化简求值 例3、先化简，再求值．，在范围中，选取合适的整数x代入求值． 解：原式． 在中，整数、2、3， 又，，， 当时，原式． 解题策略：代入求值的方法通常有两种：（1）单值代入；（2）整体代入；（3）选值代入.无论选用哪种代入方法，都需要将所给式子化成最简形式. 3、先化简，再求值：÷（x+2）﹣÷（x﹣3），其中x是不等式组的整数解． 解：原式＝ ＝ ＝ ＝， 解不等式组得：0＜x＜2， ∵x是不等式组的整数解， ∴x＝1， 故原式＝＝． 题型四、与分式化简有关的创新题 例4、对于两个非零的实数a，b，定义运算*如下：．例如：．若，则的值为（ ）A A． B．2 C． D． 解题策略：“新定义运算”型问题，主要是指在问题中出现没有学过的新概念、新运算、新符号等，解决这类问题的关键是要读懂题意，并结合已学过的知识，按照新定义规定的运算，将新定义问题转化为已学过的运算问题. 变式练习： 4、定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如，分式与互为“3阶分式”．设正数x，y互为倒数，则分式与互为（ ）A A．二阶分式 B．三阶分式 C．四阶分式 D．六阶分式 5、我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；如果假分式的值为整数，则的负整数值为______． 答案：、、 当堂练习： 1、计算等于（ ）A A. B. C. D. 2、化简的结果是（　　）B A． B． C． D． 3、现有一列数：a1，a2，a3，a4，…，an﹣1，an（n为正整数），规定a1＝2，a2﹣a1＝4，a3﹣a2＝6，…，an﹣an﹣1＝2n（n≥2），若＝，则n的值为（　　） A．2015 B．2016 C．2017 D．2018 解：∵a1＝2，a2﹣a1＝4，a3﹣a2＝6，…，an﹣an﹣1＝2n（n≥2）， ∴a2＝a1+4＝6＝2×3， a3＝a2+6＝12＝3×4， a4＝a3+8＝20＝4×5， … an＝n（n+1）． ∵＝＝＝， ∴ ∴n＝2017． 故选：C． 4、有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式﹣+﹣的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 解：根据数轴可知， ﹣1＜a＜0，0＜b＜1，|a|＞|b|， ∴原式＝﹣（﹣1）+﹣＝1+1+1﹣1＝2． 故选：D． 5、已知，则代数式=___________.答案： 化简：．答案： 6、已知，则代数的值等于________．答案： 7、如果a2﹣a﹣1＝0，那么代数式（1﹣）÷的值是　　 解：原式＝（﹣）•， ＝•， ＝a（a﹣1）， ＝a2﹣a， ∵a2﹣a﹣1＝0， ∴a2﹣a＝1， ∴原式＝1， 故答案为：1． 8、计算： （2） ； （2）． 解：（1）原式= =． （2）原式= = = =． 9、先化简，再求值：，其中． 答案：， 10、已知实数、满足式子|﹣2|+（﹣1）2=0，求的值． 解：原式= =， =， ∵|﹣2|+（﹣1）2=0， ∴﹣2=0，﹣1=0， 解得=2，=1， 所以，原式=1 11、如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． （1）下列分式中，　 　是和谐分式（填写序号即可）； ①；②；③；④． （2）若a为正整数，且为和谐分式，a＝　 　； （3）利用和谐分式，化简 解：（1）①的分子、分母都不能因式分解，故该分式不是“和谐分式”． ②的分母可以因式分解，且这个分式不可约分，故该分式是“和谐分式”． ③的分母可以因式分解，但是分子、分母中都含有（x+y），可以约分，故该分式不是“和谐分式”． ④的分子可以因式分解，但是分子、分母中都含有（a+b），可以约分，故该分式不是“和谐分式”． 故答案是：②； （2）∵分式为和谐分式，且a为正整数， ∴a＝4，a＝5； 故答案是：4或5． （3）原式＝﹣＝＝． 12、（1）化简：； （2）把（1）中化简的结果记作A，将A中的分子与分母同时加上1后得到B，问：当时，B的值与A的值相比变大了还是变小了？试说明理由． （1）；（2）B的值与A的值相比变小了，理由见解析 【详解】 解：（1）原式． ； （2）B的值与A的值相比变小了．理由如下： ． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∴B的值与A的值相比是变小了 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$