16.3.2 完全平方公式 导与练 2025-2026学年 人教版八年级数学上册

16.3.2 完全平方公式 导与练 知识要点： 1． 两个数的和（或差）的平方，等于它们的_______加上（或减去）它们积的2倍，用式子表示为（a±b）2＝__________ 2．计算：（1）（x＋2y）2＝___________(2)(x-2y)2= ________ 易错点睛 计算：（1）（-a＋b）2；（2）（-a-b）2． 【点睛】（-a＋b）2＝（b-a）2，（-a-b）2＝［-（a+b)]2=(a+b)2.  【解】（1）a2-2ab＋b2；(2)a2+2ab+b2. 典型例题 题型一、利用完全平方公式化简求值 例1、先化简，再求值：（2a＋1）2-4a（a-1），其中 a= 变式练习： 1、 先化简，再求值：2b2＋（a＋b）（a-b）-（a-b）2，其中a＝-3，b＝ 题型二、完全平方公式的几何解释 例2、［数形结合思想］请你观察下图，依据图形面积之间的关系，不需要添加辅助线，便可以得到一个你熟悉的公式，这个公式是（ ) A.(x+y)(x-y)=x2-y2 B.(x+y)2=x2+2xy+y2 C.(x-y)2=x2-2xy+y2 D.(x+y)2=x2+xy+y2 变式练习： 2、利用图形面积的相等关系可以得到某些数学公式，例如：根据图①，我们可以得到两数和的平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2；根据图②，能得到的数学公式是（ ） A.a2-b2=(a-b)2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2 C.(a-b)2=a2-2ab+b2 D.a2-b2=(a+b)(a-b) 3、对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式.例如利用图①可以得到a（a＋b）＝a2＋ab，那么利用图②所得到的数学等式是（ ） A. (a+b+c)2=a2+b2+c2 B.(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc C.(a+b+c)2=a2+b2+c2+ab+ac+bc D.(a+b+c)2=2a+2b+2c 基础练习： 1． 计算（a＋3）2的结果是（ ） A.a2+9 B.a2+6a+9 C.a2-6a+9 D.a2-9 2．计算（2x-y）2的结果是（ ） A.4x2-4xy+y2 B.4x2-2xy+y2 C.4x2-y2 D.4x2+y2 3．计算（2m-1）2等于（ ） A.-4㎡-4m+1 B.4㎡-4m+1 4．下列各式中计算正确的是（ ） A.(a-b)2=a2-b2 B.(a+2b)2=a2+2ab+4b2 C.(a2+1)2=a4+2a+1 D.(a+b)2=a2+2ab+b2 5． 填空：x2＋10x＋ =(x+ )2. 6．若x2＋ax＋9＝（x＋3）2，则a的值为（ ) A.3 B.±3 C.6 D.±6 7．若a-b＝1，a2＋b2＝13，则ab的值为（ ) A.6 B.7 C.8 D.9 8．若a＋＝4，则a2＋＝_____ 9．已知（a＋b）2＝25，（a-b）2＝9，求ab与a2＋b2的值． 10． 已知a＋b＝5，ab＝2． （1）求a2＋b2的值； （2）求（a-b）2的值； （3） 求a2-ab＋b2的值； （4）求a2＋b2＋3ab的值．          11． 已知x＋y＝6，xy＝7，求（3x＋y）2＋（x＋3y）2的值． 综合题探究 12.如图，长方形ABCD的周长是20cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和68c㎡，求长方形ABCD的面积． 答案： 1．两个数的和（或差）的平方，等于它们平方和的加上（或减去）它们积的2倍，用式子表示为（a±b）2＝a2±2ab+b2 2．计算：（1）（x＋2y）2＝x2＋4xy＋4y2 (2)(x-2y)2= x2-4xy+4y2 易错点睛 计算：（1）（-a＋b）2；（2）（-a-b）2． 【点睛】（-a＋b）2＝（b-a）2，（-a-b）2＝［-（a+b)]2=(a+b)2.  【解】（1）a2-2ab＋b2；(2)a2+2ab+b2. 典型例题 题型一、利用完全平方公式化简求值 例1、先化简，再求值：（2a＋1）2-4a（a-1），其中 a= 解：原式＝4a2＋4a＋1-4a2＋4a＝8a＋1． 当a＝时， 原式＝8x＋1＝2． 变式练习： 1、先化简，再求值：2b2＋（a＋b）（a-b）-（a-b）2，其中a＝-3，b＝ 解：原式＝2b2＋a2-b2-（a2-2ab＋b2）=2b2+a2-b2-a2+2ab-b2=2ab. 当a＝-3，b＝时，原式＝2x（-3）x＝-3． 题型二、完全平方公式的几何解释 例2、［数形结合思想］请你观察下图，依据图形面积之间的关系，不需要添加辅助线，便可以得到一个你熟悉的公式，这个公式是（ ) A.(x+y)(x-y)=x2-y2 B.(x+y)2=x2+2xy+y2 C.(x-y)2=x2-2xy+y2 D.(x+y)2=x2+xy+y2 答案：B 变式练习： 2、利用图形面积的相等关系可以得到某些数学公式，例如：根据图①，我们可以得到两数和的平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2；根据图②，能得到的数学公式是（C） A.a2-b2=(a-b)2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2 C.(a-b)2=a2-2ab+b2 D.a2-b2=(a+b)(a-b) 3.对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式.例如利用图①可以得到a（a＋b）＝a2＋ab，那么利用图②所得到的数学等式是（B） B. (a+b+c)2=a2+b2+c2 B.(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc C.(a+b+c)2=a2+b2+c2+ab+ac+bc D.(a+b+c)2=2a+2b+2c 基础练习： 1.计算（a＋3）2的结果是（B） A.a2+9 B.a2+6a+9 C.a2-6a+9 D.a2-9 2．计算（2x-y）2的结果是（A） A.4x2-4xy+y2 B.4x2-2xy+y2 C.4x2-y2 D.4x2+y2 3．计算（2m-1）2等于（B） A.-4㎡-4m+1 B.4㎡-4m+1 4．下列各式中计算正确的是（D） A.(a-b)2=a2-b2 B.(a+2b)2=a2+2ab+4b2 C.(a2+1)2=a4+2a+1 D.(a+b)2=a2+2ab+b2 5.填空：x2＋10x＋ 25 =(x+ 5)2. 6．若x2＋ax＋9＝（x＋3）2，则a的值为（ C) A.3 B.±3 C.6 D.±6 7．若a-b＝1，a2＋b2＝13，则ab的值为（ A ) A.6 B.7 C.8 D.9 8．若a＋＝4，则a2＋＝14 9．已知（a＋b）2＝25，（a-b）2＝9，求ab与a2＋b2的值． 解：ab＝4，a2＋b2＝17． 10．已知a＋b＝5，ab＝2． （1）求a2＋b2的值； （2）求（a-b）2的值； 解：21；  解：17；   （4） 求a2-ab＋b2的值； （4）求a2＋b2＋3ab的值．          解：27．        解：19； 11．已知x＋y＝6，xy＝7，求（3x＋y）2＋（x＋3y）2的值． 解：原式＝10x2＋10y2＋12xy＝10（x＋y）2-8xy ∵x+y=6,xy=7,∴原式＝10x62-8x7＝304． 综合题探究 12.如图，长方形ABCD的周长是20cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和68c㎡，求长方形ABCD的面积． 解：设AB＝x，AD＝y，根据题意得x2＋y2＝68①，2（x＋y）＝20②， 由①得（x＋y）2-2xy＝68，∴2xy＝100-68＝32， ∴xy＝16，长方形ABCD的面积是16c㎡． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$