精品解析：宁夏银川市景博中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

银川市景博中学2024-2025学年第二学期高一期末考试 数学 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法、除法运算即可. 【详解】， 则，所以， 故选：A. 2. 已知向量，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先求得，然后求得. 【详解】因为，所以. 故选：D 3. 总体由编号为01，02，…，30的30个个体组成.利用所给的随机数表选取6个个体，选取的方法是从随机数表第1行的第3列开始，由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ） （第一行）1712 1340 3320 3826 1389 5103 7417 7637 （第二行）1304 0774 2119 3056 6218 3735 9683 5087 A. 20 B. 26 C. 17 D. 03 【答案】D 【解析】 【分析】先把编号按要求在随机数表中选出来，再剔除掉总体编号以外的编号，以及重复的编号，即可得到选出的个体编号. 【详解】从随机数表第1行的第3列开始，由左到右一次选取两个数字， 选出的编号依次为：12，13，40，33，20，38，26，13，89，51，03，…， 剔除掉总体编号以外的编号，以及重复的编号， 则选出来的个体的编号依次为：12，13，20，26，03，…， 所以选出来的第5个个体的编号为03. 故选：. 4. 某校对全校300名学生的数学成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学的数学成绩大于等于60分的人数为（ ） A. 270 B. 240 C. 180 D. 150 【答案】B 【解析】 【分析】根据频率之和为1得到方程，求出，进而求出数学成绩大于等于60分的人数. 【详解】，解得， 故数学成绩大于等于60分的人数为. 故选：B. 5. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理直接计算求解即可. 【详解】由题意得， 又，所以. 故选：A 6. 如图1，在直角梯形ABCD中,,,,,,E为线段BC上的一点,,过E作AB的平行线交AD于F,将矩形ABEF翻折至与梯形ECDF垂直得到六面体ABCDFE,如图2,则六面体ABCDFE的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把六面体ABCDFE的体积分成四棱锥和三棱锥相加即可得出答案. 【详解】由题意得六面体ABCDFE的体积为：， 故选：D 7. 在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可. 【详解】 如图，连接，因为∥， 所以或其补角为直线与所成的角， 因为平面，所以，又，， 所以平面，所以， 设正方体棱长为2，则， ，所以. 故选：D 8. 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果. 【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点， 设圆锥和圆锥的高之比为，即， 设球的半径为，则，可得，所以，， 所以，，， ，则，所以，， 又因为，所以，， 所以，，， 因此，这两个圆锥的体积之和为. 故选：B. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 在正三棱柱中，D为BC的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 【答案】BD 【解析】 【分析】法一：对于A，利用空间向量的线性运算与数量积运算即可判断；对于B，利用线面垂直的判定与性质定理即可判断；对于D，利用线面平行的判定定理即可判断；对于C，利用反证法即可判断；法二：根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】法一：对于A，在正三棱柱中，平面， 又平面，则，则， 因为是正三角形，为中点，则，则 又， 所以， 则不成立，故A错误； 对于B，因为在正三棱柱中，平面， 又平面，则， 因为是正三角形，为中点，则，， 又平面， 所以平面，故B正确； 对于D，因为在正三棱柱中， 又平面平面，所以平面，故D正确； 对于C，因为在正三棱柱中，， 假设，则，这与矛盾， 所以不成立，故C错误； 故选：BD. 法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为，高为， 则， 对于A，， 则， 则不成立，故A错误； 对于BD，， 设平面的法向量为， 则，得，令，则， 所以，， 则平面，平面，故BD正确； 对于C，， 则，显然不成立，故C错误； 故选：BD. 10. 设α，β，γ表示三个不同的平面，m，n表示两条不同的直线，则下列结论正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由平面与平面的位置关系判断AB；由直线与平面垂直的性质判断CD． 【详解】若，，则或相交，故A错误； 若，，则，故B正确； 若，，，则，故C正确； 若，，，则，则D正确． 故选：BCD． 11. 在直三棱柱中，，，，为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 平面 D. 直线与所成角为 【答案】AC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量判断各选项即可. 【详解】由题意，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 可得， 则， 对于A，由，则，故A正确； 对于B，设平面的一个法向量为， 则，取，得， 由于不存在实数，使得，则与不平行，故B错误； 对于C，由，则， 因为平面，所以平面，故C正确； 对于D，由， 则直线与所成角不为，故D错误. 故选：AC． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ______． 【答案】5 【解析】 【分析】利用复数模的意义直接求解. 【详解】. 故答案为：5 13. 设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得． 【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即， 又，，所以， 所以． 故答案为：． 14. 如图，在中，点D在BC边上，BD的垂直平分线过点A，且满足，，则的大小为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，结合正弦定理与、三角形内角和定理与两角和差余弦公式即可求得，从而得的大小. 【详解】因为BD的垂直平分线过点A，所以，则，所以． 又因为在中，，，所以． 在中，由正弦定理，得，所以, 因为，所以为锐角，所以， 则， 又，所以． 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为增强市民节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄情况如下表所示： 分组（单位：岁） 频数 频率 5 0.05 ① 0.20 35 ② 30 0.30 10 0.10 总计 100 1.00 （1）频率分布表中的①②位置应填什么数据？ （2）补全如图所示的频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在岁的人数； （3）现用比例分配的分层随机抽样从、、的样本中共抽取n名志愿者，已知从中抽取了2人，求n的值． 【答案】（1）①应填，②应填； （2），人数为175； （3）15 【解析】 【分析】（1）结合抽取的总人数，结合表格中数据，计算出结果； （2）计算出区间的频率/组距，绘制直方图，并利用年龄在岁的频率得到答案； （3）计算出三个区间的比例，从而计算出从、中分别抽取的人数，得到答案. 【小问1详解】 ①应填，②应填； 【小问2详解】 区间的频率为0.20，故频率/组距为， 故补全频率分布直方图，如下： 这500名志愿者中年龄在岁的人数为； 【小问3详解】 、、的人数比例为， 从中抽取了2人，故从、中分别抽取了7人和6人， 故. 16. 在中，． （1）求的值； （2）若，且的面积，求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知及余弦定理求； （2）由正弦边角关系可得，再由三角形面积公式列方程求得，即可得. 【小问1详解】 因为，所以． 【小问2详解】 因为，由正弦定理得，所以， 因为的面积为，又， 即，所以，则. 17. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1） 因为，，所以，. 又，，所以. 所以. 所以. 因为，即， 所以为直角三角形，且. 又平面，平面，所以. 平面，，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证明，再结合，利用线面垂直的判定定理可证平面. （2）根据平面，得到即为二面角的平面角，再在中，求的正弦. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以，. 所以即为二面角的平面角. 在中，，，，所以， 所以. 即二面角的正弦值为. 18. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱⊥底面，且PC=3. （1）证明：平面PCD⊥平面PAD； （2）求点B到平面PAD的距离. 【答案】（1）证明：∵PC⊥底面ABCD，平面， ∴PC⊥AD， 又∵CD⊥AD ，且PC∩CD=C，平面， ∴AD⊥平面PCD， ∵平面PAD， ∴平面PCD⊥平面PAD； （2） 【解析】 【分析】（1）由PC⊥底面ABCD，得到PC⊥AD，再由CD⊥AD ，得到AD⊥面PCD，然后利用面面垂直的判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，求得平面PAD的一个法向量，由点到平面距离向量公式计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图建立空间直角坐标系， 则 ， 所以， 设平面PAD的一个法向量为， 则，即， 解得，令，得，则， 所以点B到平面PAD的距离为：. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，M为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若，在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 证明：如图，取的中点，连接． AI        为棱的中点，． ， 四边形是平行四边形，． 又平面平面平面． （2）存在； 【解析】 【分析】（1）取的中点，证明，结合线面平行判定定理证明结论； （2）根据面面垂直性质定理证明平面，建立空间直角坐标系，设，结合点到直线距离公式列方程求． 【小问1详解】 证明：如图，取的中点，连接． 为棱的中点，． ， 四边形是平行四边形，． 又平面平面平面． 【小问2详解】 ． 平面平面，平面平面平面， 平面． 又平面． 又两两垂直． 以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则． 为棱的中点，． ①，设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 所以为平面的一个法向量， 假设在棱上存在点，使得点到平面的距离是． 设，则． 由①知平面的一个法向量为， ， 点到平面的距离是，解得． 在中，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川市景博中学2024-2025学年第二学期高一期末考试 数学 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. 5 B. 3 C. D. 2 2. 已知向量，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 总体由编号为01，02，…，30的30个个体组成.利用所给的随机数表选取6个个体，选取的方法是从随机数表第1行的第3列开始，由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ） （第一行）1712 1340 3320 3826 1389 5103 7417 7637 （第二行）1304 0774 2119 3056 6218 3735 9683 5087 A. 20 B. 26 C. 17 D. 03 4. 某校对全校300名学生的数学成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学的数学成绩大于等于60分的人数为（ ） A. 270 B. 240 C. 180 D. 150 5. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图1，在直角梯形ABCD中,,,,,,E为线段BC上的一点,,过E作AB的平行线交AD于F,将矩形ABEF翻折至与梯形ECDF垂直得到六面体ABCDFE,如图2,则六面体ABCDFE的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 8. 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 在正三棱柱中，D为BC的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 10. 设α，β，γ表示三个不同的平面，m，n表示两条不同的直线，则下列结论正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 11. 在直三棱柱中，，，，为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 平面 D. 直线与所成角为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ______． 13. 设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________． 14. 如图，在中，点D在BC边上，BD的垂直平分线过点A，且满足，，则的大小为__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为增强市民节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄情况如下表所示： 分组（单位：岁） 频数 频率 5 0.05 ① 0.20 35 ② 30 0.30 10 0.10 总计 100 1.00 （1）频率分布表中的①②位置应填什么数据？ （2）补全如图所示的频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在岁的人数； （3）现用比例分配的分层随机抽样从、、的样本中共抽取n名志愿者，已知从中抽取了2人，求n的值． 16. 在中，． （1）求的值； （2）若，且的面积，求的值． 17. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 18. 如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱⊥底面，且PC=3. （1）证明：平面PCD⊥平面PAD； （2）求点B到平面PAD的距离. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，M为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若，在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $