第二十一章 一元一次方程 实际问题与一元二次方程 课件 -2025—2026学年人教版数学九年级上册

实际问题与一元二次方程（一） 01 温故知新 02 知识重点 03 对点范例 目 录 CONTENTS 04 典例精析 05 举一反三 1 1. 因式分解： （1）x2＋2x＋1＝ ⁠； （2）x2－4xy＋4y2＝ ⁠. （x＋1）2 （x－2y）2 温故知新 2. 一元二次方程（x＋1）2＝9的解为 ⁠. x1＝2，x2＝－4 　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一：传染问题 先弄清楚起始病源数量、单个病源平均每轮传染的数量，再根据 传染的轮数和传染结果数列方程，可按应用题一般步骤求解： （1）设 ⁠； （2）列 ⁠； （3）解方程； （4） ⁠； 未知数 方程 检验 知识重点 （5）作答. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 3. 某变异病毒在无防护下传播速度很快，已知有一个人感染了病 毒，经过两轮传染后共有625个人感染了病毒.若每轮传染中平均 一个人传染x个人，则可列方程为 ⁠. （1＋x）2＝625 对点范例 知识点二：平均变化率问题 若a为起始量，b为终止量，n为增长（或降低）的次数，x为平均 增长（或降低）率，则用字母表示为 ⁠. （“＋”表示增长，“－”表示降低） a（1±x）n＝b 知识重点 4. 某村2022年，2024年水稻的平均每公顷产量分别为7 200 kg，7 938 kg.设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则可列方程 为 ⁠. 7 200（1＋x）2＝7 938 对点范例 　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】近期，我国多地出现了因肺部感染支原体暴发的支原体肺 炎流感.现有一个人因感染了支原体，感冒发烧，经过两轮传染后 共有169个人被感染，则每轮传染中平均一个人传染 个人. 思路点拨：设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据题意列出关 于x的一元二次方程，求出x并取其正值即可. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 12 典例精析 5. 某新型病毒传染性很强，在一天内一个人平均能传染x个人.已 知有2个人同时感染了该病毒，经过两天传染后共有128个人感染 了该病毒，则x的值为 ⁠. 7 举一反三 【例2】（RJ九上P19探究1改编）有一个人患了流感，经过两轮 传染后共有144个人患了流感. （1）每轮传染中平均一个人传染了多少个人？ 解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 由题意，得1＋x＋x（1＋x）＝144. 解得x1＝11，x2＝－13（不合题意，舍去）. 答：每轮传染中平均一个人传染了11个人. 典例精析 （2）如果不及时控制，三轮传染后，患流感的有多少个人？ 解：（2）144＋144×11＝1 728（个）. 答：三轮传染后，患流感的有1 728个人. 思路点拨：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题 意可列出方程，求出x并取其正值； （2）根据（1）中求出的x，可计算出三轮传染后患流感的人数. 6. 今年春季，甲流肆虐横行，成为主要流行疾病之一.某小区有1 位住户不小心感染了甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过 两轮传染后共有36个人患了甲流. （1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 由题意，得1＋x＋x（1＋x）＝36. 解得x1＝5，x2＝－7（不合题意，舍去）. 答：每轮传染中平均一个人传染了5个人. 举一反三 （2）如果按照这样的传播速度，经过三轮传染后，累计是否有超 过200个人患了甲流？ 解：（2）经过三轮传染后患甲流的人数共有36＋36×5＝216 （个）. ∵200＜216， ∴经过三轮传染后，累计有超过200个人患了甲流. 【例3】某民宿10月的营业额为3万元，随着大批游客的到来，营 业额稳步提升，12月的营业额达到4.32万元. （1）求该民宿11月，12月营业额的月平均增长率； 典例精析 解：（1）设该民宿11月，12月营业额的月平均增长率为x. 由题意，得3（1＋x）2＝4.32. 解得x1＝0.2＝20％，x2＝－2.2（不合题意，舍去）. 答：该民宿11月，12月营业额的月平均增长率为20％. （2）求该民宿第四季度的营业总额. （2）由题意，得该民宿11月的营业额为3×（1＋20％）＝3.6 （万元）. ∴3＋3.6＋4.32＝10.92（万元）. 答：该民宿第四季度的营业总额为10.92万元. 思路点拨：（1）设该民宿11月，12月营业额的月平均增长率为 x，根据题意列出一元二次方程，求出x并取其正值； （2）该民宿10月，11月，12月营业额之和，即为第四季度的营业 总额. 7. 某公司今年4月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产 成本逐月下降，且每个月生产成本下降的百分率相同，到6月份的 生产成本是324万元. （1）求每个月生产成本下降的百分率； 解：（1）设每个月生产成本下降的百分率为x. 由题意，得400（1－x）2＝324. 解得x1＝0.1＝10％，x2＝1.9（不合题意，舍去）. 答：每个月生产成本下降的百分率为10％. 举一反三 （2）如果按照这样的下降速度，该公司7月份的生产成本是否会 超过300万元？ 解：（2）该公司7月份的生产成本为324×（1－10％）＝291.6 （万元）. ∵291.6＜300， ∴该公司7月份的生产成本不会超过300万元. 谢 谢 ! $$实际问题与一元二次方程（二） 01 温故知新 02 知识重点 03 对点范例 目 录 CONTENTS 04 典例精析 05 举一反三 1 1. 填表： 名称 周长公式 面积公式 矩形 C＝2×（长＋宽） S＝ ⁠ 三角形 C＝三边之和 S＝ ⁠ 2. 已知直角三角形的两条直角边长的和为7，面积为6.设一条直 角边长为x，则可得到方程 ⁠. 长×宽 ×底×高 ＝6 温故知新 3. 某小区准备在每两幢楼房之间开辟绿地，其中有一块是面积为 60 m2的矩形绿地，并且长比宽多7 m，求矩形的宽. 若设矩形绿 地的宽为x m，则可列方程为 ⁠. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 x（x＋7）＝60 知识点一：面积问题 运用规则图形（矩形、三角形等）的面积公式进行求解，如果图 形不规则，那么先将不规则图形分割或组合成 图形，找 出各部分面积的和、差关系，再用公式计算. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 规则 知识重点 4. 学校打算用长16 m的篱笆围成一个矩形生物园，生物园的一面 靠墙（如图21－9－1），面积是30 m2，求生物园的宽.设生物园 的宽（与墙相邻的一边）为x m，则列出的方程为 ⁠ ⁠. 图21－9－1 x（16－2x） ＝30 对点范例 知识点二：营销利润问题 明确几个名词的意义及它们之间的关系： 利润＝售价－ ⁠； 进价 知识重点 利润率＝×100％； 总利润＝单件利润× ⁠. 销售量 5. 某商店以每件25元的价格购进一批商品，该商品可以自行定 价，若每件商品售价a元，则可卖出（400－10a）件，商店计划要 盈利500元，则可列方程为 ⁠. （a－25）·（400－10a）＝500 对点范例 【例1】（RJ九上P22 T9改编）某校东校区正在修建，如图21－9 －2，按图纸规划，需要在一个长为30 m，宽为20 m的矩形ABCD （AB＝20 m）空地上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平 行，另一条与AD平行，其余部分种植草皮.要使草地总面积为468 m2，那么通道的宽应设计为多少米？ 典例精析 图21－9－2 解：设通道的宽应设计为x m. 由题意，得（30－2x）·（20－x）＝468. 解得x1＝2，x2＝33（不合题意，舍去）. 答：通道的宽应设计为2 m. 思路点拨：将6块草地平移为一个矩形，根据矩形面积公式列方程 解答即可，巧妙地运用等积代换是解决问题的关键. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 6. 如图21－9－3，在宽为20 m，长为30 m的矩形地面上修建两条 等宽，且分别与矩形地面两边平行的道路，余下部分作为耕地.若 耕地面积需要551 m2，则修建的道路宽应为多少米？ 图21－9－3 举一反三 解：设修建的道路宽为x m. 由题意，得（30－x）（20－x）＝551. 解得x1＝49（不合题意，舍去），x2＝1. 答：修建的道路宽应为1 m. 【例2】某超市销售一种利润为每千克10元的水产品，一个月能售 出500 kg. 经市场分析，每千克水产品每涨价1元，月销售量就减 少10 kg.设每千克水产品涨价x元. （1）涨价后，每千克水产品获利 元，月销售量减 少 kg；（用含x的代数式表示） （10＋x） 10x 典例精析 思路点拨：（1）根据已知条件可直接用含x的代数式表示出所要 求的量； （2）利用每千克水产品获利×月销售量＝总利润，列方程求 解即可. （2）要使得月销售利润达到8 000元，又要“薄利多销”，销售 单价应涨价多少元？ 解得x1＝10，x2＝30. ∵要“薄利多销”， ∴x＝10. 答：销售单价应涨价10元. 解：（2）由题意，得（10＋x）（500－10x）＝8 000. 7. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售 价为120元时，每天可售出20件.为了迎接“六一”儿童节，专卖 店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润.经市场调 查发现，如果每件童装降价1元，那么平均每天可多售出2件.设每 件童装降价x元. （1）降价后，每天可销售 件，每件盈利 ⁠ 元；（用含x的代数式表示） （20＋2x） （40－ x） 举一反三 （2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1 200元？ 解得x1＝20，x2＝10. ∵扩大销售量，增加利润， ∴x＝20. 答：每件童装降价20元，平均每天盈利1 200元. 解：（2）由题意，得（20＋2x）（40－x）＝1 200. 谢 谢 ! $$实际问题与一元二次方程（三） 01 温故知新 02 知识重点 03 对点范例 目 录 CONTENTS 04 典例精析 05 举一反三 1 1. 两个连续的整数相差 ，两个连续的偶数（或奇数）相 差 ⁠. 1 2 温故知新 2. 方程x（x－1）＝6化成一般形式为 ，该方程的解为 ⁠. x2－x－6＝0 x1＝－2，x2＝3 知识点一：数字问题 用十进制来表示数：若一个三位数的百位数为a，十位数为b，个 位数为c，则这个三位数可用字母表示为 ⁠. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 100a＋10b＋c 知识重点 3. 一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，若设十位数 字是x，则个位数字是 ，这个两位数可以表示为 ⁠ ⁠. x－5 11x－ 5 对点范例 知识点二：单（双）循环问题 解决签合同、握手、对角线、互送礼物等问题：设参与数量为x， 则单循环问题的总次数＝ ，双循环问题的总次数 ＝ ⁠. x（x－1） x（x－1） 知识重点 4. 元旦晚会上，某活动小组每两位学生间互赠一张贺卡，共赠贺 卡132张，若设活动小组有x名学生，则可列方程为 ⁠ ⁠. x（x－1）＝ 132 对点范例 知识点三：动点问题 用“速度×时间＝ ”来表示线段的（边）长，再利用图 形的面积公式或勾股定理等列方程求解. 路程 知识重点 5. 如图21－10－1，在矩形ABCD中，AB＝10 cm，AD＝8 cm，点 P从点A出发，以2 cm/s的速度沿AB向点B运动，同时点Q从点B出 发，以1 cm/s的速度沿BC向点C运动，点P到达终点后，P，Q两点 同时停止运动.若△BPQ的面积是6 cm2，设运动的时间为t s，则可 列方程为 ⁠. 图21－10－1 （10－2t）t＝6 对点范例 　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】（RJ九上P25 T2改编）一个两位数，十位数比个位数 小2，十位数与个位数的积的3倍刚好等于这个两位数，求这个 两位数. 典例精析 解：设十位数为x，则个位数为x＋2. 由题意，得3x（x＋2）＝10x＋x＋2. 解得x1＝2，x2＝－（不合题意，舍去）. ∴x＋2＝4. 答：这个两位数为24. 思路点拨：设十位数为x，则个位数为x＋2，根据十位数与个位数 的积的3倍刚好等于这个两位数，即可得出关于x的一元二次方 程，解之取其正值即可得出结论. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 6. 在苏轼的词作《念奴娇·赤壁怀古》中，周瑜年少有为，雄姿 英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然而天妒英才，英年早逝，欣赏 下面改编的诗歌：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物. 而立之 年督东吴，早逝英年两位数. 十位恰小个位三，个位平方与寿 符. ”则这位“风流人物”去世时的年龄为多少岁？（注：而立 之年指代人的30岁） 举一反三 解：设这位“风流人物”去世时的年龄的个位上的数字是x，则 十位上的数是x－3. 由题意，得10（x－3）＋x＝x2. 解得x1＝5，x2＝6. 当x＝5时，10（x－3）＋x＝10×（5－3）＋5＝25，不符合而立 之年，舍去； 当x＝6时，10（x－3）＋x＝10×（6－3）＋6＝36，符合题意. 答：这位“风流人物”去世时的年龄为36岁. 【例2】旱地冰壶是冬季奥运会项目冰壶的普及版，在各中小 学推广以来，深受同学们的喜爱. 某县在举行中小学旱地冰壶 比赛时，有若干支队伍参加了单循环比赛（每两个队伍只比赛 一场），单循环比赛共进行了45场，则本次比赛共有多少支参 赛队伍？ 典例精析 解：设本次比赛共有x支参赛队伍. 由题意，得x（x－1）＝45. 解得x1＝10，x2＝－9（不合题意，舍去）. 答：本次比赛共有10支参赛队伍. 思路点拨：根据单循环形式以及“比赛总场数＝45”，列出方程 求解即可. 7. 某市体育局要组织一次篮球赛，赛制为双循环形式（每两 队之间都赛两场），计划安排30场比赛，应邀请多少个球队参 加比赛？ 举一反三 解：设应邀请x个球队参加比赛. 由题意，得x（x－1）＝30. 解得x＝6，x＝－5（不合题意，舍去）. 答：应邀请6个球队参加比赛. 【例3】如图21－10－2，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm， BC＝7 cm. 点P从点A出发，以1 cm/s的速度沿AB边向终点B移 动；点Q从点B出发，以2 cm/s的速度沿BC边向终点C移动.当其中 一点到达终点时，另一点随之停止. 点P，Q分别从点A，B同时出 发， 出发多少秒后，PQ的长度为5 cm？ 图21－10－2 典例精析 解：设出发t s后，则BP＝（5－t） cm，BQ＝2t cm. 在Rt△PBQ中，由勾股定理，得PQ2＝BP2＋BQ2， 即52＝（5－t）2＋（2t）2. 解得t1＝0（不合题意，舍去），t2＝2. 答：出发2 s后，PQ的长度为5 cm. 思路点拨：设出发t s后，PQ的长度为5 cm，在Rt△PBQ中，利用 勾股定理建立一元二次方程并求解. 8. 如图21－10－3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC ＝8 cm，点P从点B出发以每秒1 cm的速度向点C运动，同时点Q从 点C出发以相同的速度向点A运动，当其中一个点到达目的地时另 一点自动停止运动，多长时间后，点P和点Q的距离为5 cm？ 图21－10－3 举一反三 解：设运动时间为t s，则CQ＝BP＝t cm，CP＝（8－t）cm. 在Rt△PCQ中，由勾股定理，得CP2＋CQ2＝PQ2，即（8－t）2＋ t2＝（5）2. 解得t1＝1，t2＝7. ∵0≤t≤6， ∴t＝1. 答：1 s后，点P和点Q的距离为5 cm. 谢 谢 ! 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