函数的奇偶性与周期性 专项训练-2026届高三数学一轮复习

函数的奇偶性与周期性 题型一：函数奇偶性的判定 例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝ (3)f(x)＝log2(x＋). (4)f(x)＝. (5) f(x)＝loga(m≠0)； (6) f(x)＝(a＞0且a≠1). 变式（1）(多选)下列命题中正确的是(　　) A.奇函数的图象一定过坐标原点 B.函数y＝xsin x是偶函数 C.函数y＝|x＋1|－|x－1|是奇函数 D.函数y＝是奇函数 变式（2）设函数f(x)＝，则下列函数为奇函数的是(　　) A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1 C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1 变式（3）已知f(x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数，且g(x)≠0，则下列说法正确的是(　　) A.f(x)＋g(x)为R上的奇函数 B.f(x)－g(x)为R上的偶函数 C.为R上的偶函数 D.|f(x)g(x)|为R上的偶函数 题型二：函数奇偶性的应用 例2 (1)(2023·新高考Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)ln为偶函数，则a＝(　　) A.－1 B.0 C. D.1 (2)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，当x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________. 例3 (1)(多选)(2024·合肥调研)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在(－∞，0]上单调递减，则(　　) A.f(f(1))<f(f(2)) B.f(g(1))<f(g(2)) C.g(f(1))<g(f(2)) D.g(g(1))<g(g(2)) (2)已知偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，且f(1)＝0，则不等式xf(x－2)>0的解集为(　　) A.(1，3) B.(3，＋∞) C.(－3，－1)∪(3，＋∞) D.(0，1)∪(3，＋∞) (3) 已知定义域为R的函数f(x)＝a＋(a，b∈R)有最大值和最小值，且最大值与最小值的和为6，则a＝__3__． 变式（1）(2023·全国乙卷)已知f(x)＝是偶函数，则a＝(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 变式（2）(2023·玉林三模)已知函数f(x)＝ax3－bx－tan x＋2，若f(m)＝1， 则f(－m)＝____． 变式（3）已知函数f(x)＝x sin x＋cos x＋x2，则不等式f(ln x)＋f＜2f(1)的解集为___． 变式（4）函数在区间上的最大值与最小值分别为，，则的值为（ ） A． B． C． D． 题型三：函数周期性的应用 例4　函数f(x)满足f(x)f(x＋2)＝13，且f(3)＝2，则f(2 025)＝________. 例5 设f(x)是定义在R上周期为4的偶函数，且当x∈[0，2]时，f(x)＝log2(x＋1)，则函数f(x)在[2，4]上的解析式为_______________. 例6 (2021·新高考Ⅱ卷) 已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇函数，则(　　) A．f＝0 B．f(－1)＝0 C．f(2)＝0 D．f(4)＝0 变式（1）(2018·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　C　) A．－50 B．0 C．2 D．50 变式（2） (2021·全国甲卷理)设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b，若f(0)＋f(3)＝6，则f＝(　D　) A．－ B．－ C． D． 变式（3）（2024·江西鹰潭·二模）已知是定义在R上的奇函数，若为偶函数且，则（       ） A． B． C． D．6 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 函数的奇偶性与周期性 题型一：函数奇偶性的判定 例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝ (3)f(x)＝log2(x＋). (4)f(x)＝. (5) f(x)＝loga(m≠0)； (6) f(x)＝(a＞0且a≠1). 解　(1)由 得x2＝3，解得x＝±， 即函数f(x)的定义域为{－，}， 从而f(x)＝＋＝0. 因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)， 所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数. (2)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称. 因为当x＜0时，－x＞0， 则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)； 当x＞0时，－x＜0， 则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)； 综上可知，对于定义域内的任意x， 总有f(－x)＝－f(x)成立， 所以函数f(x)为奇函数. (3)显然函数f(x)的定义域为R， f(－x)＝log2[－x＋]＝log2(－x)＝log2(＋x)－1 ＝－log2(＋x)＝－f(x)， 故f(x)为奇函数. (4)∵⇒－2≤x≤2且x≠0，∴函数的定义域关于原点对称， ∴f(x)＝＝.又f(－x)＝＝－，∴f(－x)＝－f(x)，即函数是奇函数． (5) f(x)的定义域为(－|m|，|m|)，f(－x)＝loga＝loga＝－loga＝－f(x)，所以f(x)为奇函数． (6) f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数． 变式（1）(多选)下列命题中正确的是(　　) A.奇函数的图象一定过坐标原点 B.函数y＝xsin x是偶函数 C.函数y＝|x＋1|－|x－1|是奇函数 D.函数y＝是奇函数 答案　BC 解析　对于A，只有奇函数在x＝0处有定义时，函数的图象过原点，所以A不正确； 对于B，因为函数y＝xsin x的定义域为R且f(－x)＝(－x)sin(－x)＝f(x)， 所以该函数为偶函数，所以B正确； 对于C，函数y＝|x＋1|－|x－1|的定义域为R， 且f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)， 即f(－x)＝－f(x)， 所以函数为奇函数，所以C正确； 对于D，函数y＝满足x－1≠0，即x≠1， 所以函数的定义域不关于原点对称， 所以该函数为非奇非偶函数，所以D不正确. 变式（2）设函数f(x)＝，则下列函数为奇函数的是(　B　) A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1 C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1 【解析】由题意可得f(x)＝＝－1＋.对于A，f(x－1)－1＝－2不是奇函数；对于B，f(x－1)＋1＝是奇函数；对于C，f(x＋1)－1＝－2，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，f(x＋1)＋1＝，定义域不关于原点对称，不是奇函数． 变式（3）已知f(x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数，且g(x)≠0，则下列说法正确的是(　　) A.f(x)＋g(x)为R上的奇函数 B.f(x)－g(x)为R上的偶函数 C.为R上的偶函数 D.|f(x)g(x)|为R上的偶函数 答案　D 解析　因为f(x)为R上的奇函数，g(x)为R上的偶函数， 所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x). 对于A，x∈R，设F(x)＝f(x)＋g(x)， 则F(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)≠－f(x)－g(x)＝－F(x)，故错误； 对于B，x∈R，设N(x)＝f(x)－g(x)， 则N(－x)＝f(－x)－g(－x)＝－f(x)－g(x)≠f(x)－g(x)＝N(x)，故错误； 对于C，x∈R，g(x)≠0，设M(x)＝， M(－x)＝＝－＝－M(x)≠M(x)，故错误； 对于D，x∈R，设H(x)＝|f(x)g(x)|， H(－x)＝|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|＝H(x)， 所以H(x)为偶函数，故正确. 题型二：函数奇偶性的应用 例2 (1)(2023·新高考Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)ln为偶函数，则a＝(　　) A.－1 B.0 C. D.1 答案　B 解析　法一　设g(x)＝ln， 易知g(x)的定义域为∪， 且g(－x)＝ln＝ln ＝－ln＝－g(x)， 所以g(x)为奇函数. 若f(x)＝(x＋a)ln为偶函数， 则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0，故选B. 法二　因为f(x)＝(x＋a)ln为偶函数， f(－1)＝(a－1)ln 3，f(1)＝(a＋1)ln ＝－(a＋1)ln 3， 所以(a－1)ln 3＝－(a＋1)ln 3，解得a＝0(经检验，此时f(x)为偶函数)，故选B. (2)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，当x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________. 答案　x－1 解析　当x＜0时，－x＞0. f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)＝x－1. 例3 (1)(多选)(2024·合肥调研)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)，g(x)在(－∞，0]上单调递减，则(　　) A.f(f(1))<f(f(2)) B.f(g(1))<f(g(2)) C.g(f(1))<g(f(2)) D.g(g(1))<g(g(2)) 答案　BD 解析　因为f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且两函数在(－∞，0]上单调递减， 所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，g(x)在[0，＋∞)上单调递减，g(x)在R上单调递减， 所以f(1)<f(2)，g(0)＝0>g(1)>g(2)， 所以f(g(1))<f(g(2))，g(f(1))>g(f(2))，g(g(1))<g(g(2))，所以BD正确，C错误. 若|f(1)|>|f(2)|，则f(f(1))>f(f(2))，A错误. (2)已知偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，且f(1)＝0，则不等式xf(x－2)>0的解集为(　　) A.(1，3) B.(3，＋∞) C.(－3，－1)∪(3，＋∞) D.(0，1)∪(3，＋∞) 答案　D 解析　偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，则在(0，＋∞)上单调递增. 因为f(1)＝0，则当x>0时，xf(x－2)>0即f(|x－2|)>0＝f(1)， 所以x－2>1或x－2<－1，解得x>3或x<1， 所以x∈(0，1)∪(3，＋∞). 当x<0时，xf(x－2)>0即f(x－2)<0，f(|x－2|)<0＝f(1)， 所以－1<x－2<1，解得1<x<3， 所以解集为空集. 综上，不等式xf(x－2)>0的解集为(0，1)∪(3，＋∞)，故选D. (3) 已知定义域为R的函数f(x)＝a＋(a，b∈R)有最大值和最小值，且最大值与最小值的和为6，则a＝__3__． 【解析】令g(x)＝，显然g(x)为奇函数，最大值、最小值互为相反数，设为M，－M，则f(x)＝a＋(a，b∈R)的最大值、最小值分别为M＋a，－M＋a，和为2a＝6，则a＝3. 变式（1）(2023·全国乙卷)已知f(x)＝是偶函数，则a＝(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 答案　D 解析　法一　f(x)的定义域为{x|x≠0}， 因为f(x)是偶函数， 所以f(x)＝f(－x)，即＝， 即e(1－a)x－ex＝－e(a－1)x＋e－x， 即e(1－a)x＋e(a－1)x＝ex＋e－x， 所以a－1＝±1，解得a＝0(舍去)或a＝2. 法二　f(x)＝＝，f(x)是偶函数，又y＝x是奇函数， 所以y＝e(a－1)x－e－x是奇函数， 故a－1＝1，即a＝2. 变式（2）(2023·玉林三模)已知函数f(x)＝ax3－bx－tan x＋2，若f(m)＝1，则f(－m)＝__3__． 【解析】由题得f(m)＝am3－bm－tan m＋2＝1，所以am3－bm－tan m＝－1，所以f(－m)＝－am3＋bm＋tan m＋2＝－(am3－bm－tan m)＋2＝1＋2＝3. 变式（3）已知函数f(x)＝x sin x＋cos x＋x2，则不等式f(ln x)＋f＜2f(1)的解集为____． 【解析】由于f(x)为偶函数，故f＝f(－ln x)＝f(ln x)，f(ln x)＋f＜2f(1)等价于f(ln x)＜f(1)，又f′(x)＝sin x＋x cos x－sin x＋2x＝x(2＋cos x).当x＞0时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．当x＜0时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．所以|ln x|＜1，即－1＜ln x＜1，即＜x＜e. 变式（4）函数在区间上的最大值与最小值分别为，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，函数为上的奇函数，其图象关于原点对称， 又由函数向右平移1个单位，再向上平移1个单位，所以函数关于点对称，所以. 题型三：函数周期性的应用 例4　函数f(x)满足f(x)f(x＋2)＝13，且f(3)＝2，则f(2 025)＝________. 答案　 解析　∵f(x)f(x＋2)＝13， ∴f(x＋2)＝， ∴f(x＋4)＝＝＝f(x)， ∴f(x)的周期为4， ∴f(2 025)＝f(1)＝＝. 例5 设f(x)是定义在R上周期为4的偶函数，且当x∈[0，2]时，f(x)＝log2(x＋1)，则函数f(x)在[2，4]上的解析式为_______________. 答案　f(x)＝log2(5－x)，x∈[2，4] 解析　根据题意，设x∈[2，4]， 则x－4∈[－2，0]，则有4－x∈[0，2]， 又x∈[0，2]时，f(x)＝log2(x＋1)， 则f(4－x)＝log2[(4－x)＋1]＝log2(5－x)， 又f(x)为周期为4的偶函数， 所以f(x)＝f(x－4)＝f(4－x)＝log2(5－x)，x∈[2，4]， 则有f(x)＝log2(5－x)，x∈[2，4]. 例6 (2021·新高考Ⅱ卷) 已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇函数，则(　B　) A．f＝0 B．f(－1)＝0 C．f(2)＝0 D．f(4)＝0 【解析】因为f(x＋2)为偶函数，则f(2＋x)＝f(2－x).因为函数f(2x＋1)为奇函数，则f(1－2x)＝－f(2x＋1)，把2x＋1用x代替，所以f(2－x)＝－f(x)，所以f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，即f(x)＝f(x＋4)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数．因为函数F(x)＝f(2x＋1)为奇函数，则F(0)＝f(1)＝0，故f(－1)＝－f(2－1)＝－f(1)＝0，其它三个选项未知． 变式（1）(2018·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　C　) A．－50 B．0 C．2 D．50 【解析】f(x＋4)＝f(－2－x)＝－f(x＋2)＝－f(－x)＝f(x)，所以函数周期为4.因为f(1)＝2，f(2)＝0，f(3)＝－2，f(4)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2. 变式（2） (2021·全国甲卷理)设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b，若f(0)＋f(3)＝6，则f＝(　D　) A．－ B．－ C． D． 变式（3）（2024·江西鹰潭·二模）已知是定义在R上的奇函数，若为偶函数且，则（       ） A． B． C． D．6 【答案】C 【解析】解：因为是定义在R上的奇函数，又为偶函数， 所以、且， 则，即， 所以，即是以为周期的周期函数， 由， 所以， ， ， 所以； 故选：C 学科网（北京）股份有限公司 $$