河北省“五个一"名校联盟2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

河北省“五个一”名校联盟高二期末考试 数 学 注意事项： 上答题前，考生务必将白己的姓名，考生号.专扬号座位号填写在答想卡上， 2.回答进择题时，选出每小题答案后，用帕第无答题卡上对应通目的答案标号涂 黑，如需政动，用橡皮察干净后，再法涂其处答案标号。回容非志择题时，将答案写在 答题卡上，写在本其卷上无效。 多考试站束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4本试卷主要考试内存：高考全部内容。 一选择通：本赠共8小题，每小趣手分，共0分.在每小地始出的四个选项中，只有一是符合 驱日要求的。 1复数。一3一言十3)的虚部为 A.1 A-1 C9 .-9 2已知全集U-AUB=(0,1.2,3},CB=1,2),A∩B=(0),期A= A0,3} h(1,2 C.1,2.31 D{0,1,2 &已知=(1,22，AC=(4),B=3,则A市.或- A.2 B3 C.4 D.6 1设ag9-2,则3- A.2 B3 C.leg:3 D.logs2 5已超函数f(r)=in(x十p》(p>0)在(0.)上没有零点，用g的最小值为 A号 丘爱 C.# D.2 .已知函数了z)一(x一a(z一b)的两兼关于点(0，y,)对称，则 A.a十25=0 且2a+b=0 C=(2 D-(号y 1已知双幽提C号芳-1o>0,6>0的右编点为F,右顶点为A,过点F且与三轴脂直的 直线与C在第一象限交于点E,直线AF与C的谦近城在第一象限交于点D,若E是AD的 中点，则C的离心率为 A2 B3 c是 【高二数学的1面（并4瓦11 8.如图，正方形ACD的边长为4，取正方形A6CD各边的中点E,F,G. H,作第名个正方形EFGH,然后再嫩正方形EFCH各边的中点1，， K,,作算3个正方形UKL.如果这个作图过程可以一直继续下去，那 么这些正方彩的国积之和将购近手 A.32 B.40 C48 D.64 二，选择题：本期失3小题，都小严6分，共18分在每小题给出的速项中，有多项符合题日要 求.全都选对的得8分，第分选对的得部分分，有进铺的得0分， 9若a∈(0，受)，ne=2,则 Ai。-名6 5 且m2=-一青 s2a-是 nn2a-专 10甲.乙两人进行乒兵球比赛，比赛规定如下，先气两品者获鞋，每局比赛甲扁的假率为P(0< <),甲输的概率为1一P,每局比赛的结果相互劲立.记甲，乙共法行了X局比赛后分出 胜负，测下列结论正碑的 4若一三，则甲最悠钱胜的概率为宁 返若p~则PX-3-月 C2KE(X) D.o<DX) 11.如图，在三棱锥VABC中，△VAC是边长为2的等边三角形，AB⊥BC,点P在棱VA上 (不含端点)，过.点P作藏面PDEF,且VB平面PDEF,AC平面PDEF,平面PDEF⊥ 平面AB,下列特论正确的是 A.四边形PDEF是平行四边形 B.若VB=AB=BC一及，四边形PDEF的面积的最大值为2 C.B的长的取值茄围[2,2) n若△AC的周长为3+厅，则三枚维VAC的体积为 三、填室罪：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.如图.这是一座抛物线形共斯，当水匠在1时，洪顶离水圈1m水 而宽2m,根据图中坐标采，这条抛物减的方程为▲ 3已知数据工14211，均为壁数且至不相等，若该组数烟的 平均数，中位数极差均为4：则这组数据的方装为▲。一 1已知函数g十若，-f:川-言，则，- 的景小值为▲， 【离二做学第2西共4玉)】 四，解斋楚：本题共5小膜，共7分，解答应写出文字说明、证明过程成演弹步骤 15,(13分) 某工厂的某台机器工作时，分为正常远转和非正常运转两种状态.已知该机器正常运转时每 天生产的零件数量（单位，千个）与次品数y(单位：个)之间存在一定的线性关系，为了研 究这种关系，质盘检测部门记录了该机器正常运转下某5天的生产数露，其数据如下， 生产零件数量/千个 4 5 6 次品数y个 10 12 15 16 19 ()求次品数y关于生产零件数量x的经验可日方程子一x十a ()根据经输，该机器正常远转的摄率为0,9，该机器正常运转时，生声的零件中次品数离足 第(1)问的经酸回归方程：该机器非正常运转时，次品率会提高，每生产100心个零件会 出现0个次品，着某天计划用该机器生产10000个零件，试估计这10000个零件中的 次品数.（结果经四舍五人后取整数） 参考公式及数据，b 之xy,一y 16.(15分 △AC的内角A,B,C的对边分列为a,6c,已知rmA一2mCm号-)a=6, b=42 (1)求c, (2)没D为C边上一点，且∠ADB-号，求△ABD的面积 【高二效学常1烈1共41 17.(15分) 如图，四边形ABCD为正方形，平面ABEF⊥平面ABCD.EF∥AB,AB⊥AP,AD=2,AF 一点G在线暖CE上，G- (1)证明：AE⊥平面BCE (2)证明：平■BG1平而ABCD, (3)求平WBDG与平面BCE的夹角的正弦值 18,(17分) 已如樱图E的中心为堡标原点，对称轴为r轴y轴，且过A(0,D,B(W3,)两点 (门求E的方程， (2)直线I,y=kx十1与E交于M,N两点 ①若k一1，求的取值粒围： ②若MN引一V7,求k的取值范围 1度，17分) 目)证明：函数/)一xC+nx有且仅有一个零点，记该零点为a,期x,十hx,=0, (2)旺明：Vw∈《一1.0)，x3+u(2nx一1)>0. 妇E明：V4e(1.0.e+(经-a-1)ax+生-1>0， 【燕二数学第4系满4西1河北省“五个一”名校联盟高二期末考试 数学参考答案 1.A=-3(-号+3)=9+i,所以复数：的虚部为1. 2.D由题意可得A={0,1,2}. 3.BBC-AC-AB=(3,1-2),BC1=√32+(1-2)-3，解得1=2，即BC=(3,0),则 AB.BC=3. 4.A由alog29=2,可得log29"=2,所以9=4,3=2. 5.Cf(x)的最小正周期为2π，而π一0=π，所以f(0)=∫（π）=0，e=kπ，k∈Z.因为>0，所 以9的最小值为元 6.B因为f(x)的图象关于点(0，yo)对称，所以f(x)+f(-x)=2yo①，令x=0,可得f(0) +f(0)=2yo,所以ya=f(0)=-ab.由①可得(x-a)2(x-b)+(-x一a)(-x-b)= 一2a2b,化简得一(4a十2b)x2=0,要使得该等式恒成立，则2a+b=0. 7.D由题意可得，A(a,0),E(c,).因为E是AD的中点，所以D(2c-a,2).经过第一象 2b2 限的渐近线方程为y一合，所以登-（2x一a,所以=二-三 aA 8.A设正方形ABCD的面积为a1,后面各正方形的面积依次为a2,a3,…,am,则a1=16. 1 因为第(k十1)个正方形的顶点分别是第友个正方形各边的中点，所以“124，因此数列 16×[1-(2)] a,是以16为首项，号为公比的等比数列，则{a,)的前m项和S, 1- 32[1-(2)门随者n的无限增大.(2）” 将趋近于0，则S,将趋近于32 9.ABD 5 因为a∈(0,5），ana=2,所以sina= 5 5,cos a= 5 tan 2a= 2tan a=- 1-tan'a 3,cos2a=2cosa-1=-号，sin2a=2 sin acosa= 3 5 10.ACD 甲最终获胜的概率P=D+2p1-p)p=(3-2p)p,若力=弓，则P=A正确， 随机变量X的可能取值为2,3. P(X=2)=C8p+C号(1-p)2=2p2-2p+1. 若p-号，则P(X=2)=,B错误。 P(X=3)=C2p(1-p)p+C2p(1-p)(1-p)=2p-2p2, 【高二数学·参考答案第1页（共6页）】 E(X)=2X(2p2-2p+1)+3x(2p-2p)=-2p2+2p+2=-2(p-2）°+号 因为0<p1,所以2<E(X)<号，C正确， D(X)=4×(2p2-2p+1)+9×(2p-2p2)-(-2p2+2p+2)2, 令1=2p-2p2=-2(p-2)°+2∈(0,2]， D(X)=4×1-4)+91-(1+2=-+1∈(0，]，D正确 1L.ACD因为VB∥平面PDEF,平面VAB∩平面PDEF=PD, 所以VBPD.同理可得VBEF,所以PD∥EF. 因为AC平面PDEF,平面VAC∩平面PDEF=PF,所以AC∥PF. 同理可得AC∥DE,所以PF∥DE,所以四边形PDEF是平行四边形，B A正确。 设AC的中点为G,连接BG,VG.在△VAC和△ABC中，分别有G1 AC,BG⊥AC. 因为VG∩BG=G,所以AC⊥平面VBG,所以AC⊥BV. 又因为VBPD,AC∥PF,所以PD⊥PF,所以四边形PDEF是矩形. 设PD,在△MB中带货所以后-号即AP-。 PD AP 在△VC中，器-界所以5-罗，PF-P-M-P-2-E, PF VP 四边形PDEF的面积S=PD·PF=x(2一2x)<号，当且仅当x=号时，等号成立 所以四边形PDEF的面积的最大值为号，B结误 不妨设AB≤BC,过点V作VH⊥平面ABC,垂足为H,连接BH,GH,过点B作BM⊥ AC,垂足为M.设∠VGH=a,VH=VGsin a=3sina,HG=VGcos a=√3cosa. 因为AB1BC,所以HG=BM∈(0.1，即，月cosa∈0.1]，所以msa∈(0，]在△MBC 中，BM=AM·CM,即3cosa=AM·(2-AM).解得AM=1-√1-3Cosa,所以BH= MG=AG-AM=√1-3cos'a,VB=√BH+VH=√1-3cosa+3sina=√A-6cosa ∈[2,2)，C正确. 因为△ABC的周长为3+√3，所以AB+BC=1+3. 因为(AB+BC)2=AB2+BC2+2AB·BC=AC2+2AC·BM=A+4V3cosa,所以4+ 45c0s8=1+5)解得c0s8-分血a-所以VH-号，BM=G-气，三棱锥 【高二数学·参考答案第2页（共6页）】 VAC的体积为×分×2X号×号- 2 =才D正确。 12.x2=一y(也可以写成y=一x2)设抛物线的方程为y=ax2,抛物线过点(1，一1)，所以 一1=a,这条抛物线的方程为y=一x2,即x2=一y. 13.2不妨设x1<x2<x3<x1<x5.因为这组数据的平均数、中位数均为4，所以x=x3=4. 因为这组数据的极差为4，所以这组数据只能是2,3,4,5,6，方差为5×[(2-4)+(3-4)2 +(4-4)2+(5-4)2+(6-4)21=2. 1.2易得x)为减函数不妨设1<，则1了(x)-了x)=fx)-了（红）了，即 1 2-2 2-4-1 2+12+122*+21+2+12+1+2+ 3,变形得2·2一4= =2√2可，当且仅当x2-一x1时，等号成立，解得√29可≥2，所 以x2一x1≥2，x1一x2|的最小值为2. 15.解：1=号（3+4+5+6+7)=5，… …1分 y=5(10+12+15十16+19)=14.4，…2分 则i3825X5X14.42.2.…1分 135-5×5 a=y-bx=14.4-2.2X5=3.4,…5分 所以y=2.2x十3..…6分 (2)该机器正常运转时，把x=10代入y=2.2x+3.4,得y=25.4,估计这10000个零件中 的次品数为25.4.…9分 该机器非正常运转时，估计这10000个零件中的次品数为200.…11分 估计这10000个零件中的次品数为0.9×25.4+0.1×200=42.86≈43.…13分 16.解：1)因为csinA-2asmC(2csS-l),所以sin Csin A-sin Asin C(2os'号-1. 2分 因为sin Csin A0.所以1=厄(2os2号-1，…3分 即cosC- 2“ …………4分 因为0<C<π，所以C=买 …5分 因为c2=a2十b2-2abc0sC=20,所以c=2√5.…7分 【高二数学·参考答案第3页（共6页）】 (2)cos B-a'+c'-625 5'sin B2/5 · 9分 2ac AB AD 在△ABD中，由正弦定理得 +0:44年中0年+004年+0+0年卡0甲+0年4”00000” sin∠ADB sin B' 10分 即254D 解得AD=5.…11分 4 25 5 5 由余弦定理得AD2=AB2十BD2-2AB·BDcos B,…12分 即25=20+BD-2X25·BD,5.解得BD=50BD=-1含去.…13分 故△MBD的面积为7AB·BDnB=号×25X5×2 =10. …15分 17.(1)证明：过点E作EH⊥AB,垂足为H. …1分 因为EFAB,ABLAF,AF=EF,所以四边形AFEH是正方形，所以∠AEH=开，EH =AH=BH=1.................... …2分 则△BEH是等腰直角三角形，所以∠BEH=不，侧∠AEB=乏，即AE⊥BE.·3分 因为平面ABEF⊥平面ABCD,平面ABEF∩平面ABCD=AB,AB⊥BC,所以BC⊥平面 ABEF.…4分 因为AEC平面ABEF,所以BC⊥AE. 因为BE∩BC=B,所以AE⊥平面BCE.…5分 (2)证明：连接CH,i记CH∩BD=I,连接GI. 由(1)得四边形AFEH是正方形，EH∥AF,AF⊥平面 D ABCD,所以EH⊥平面ABCD. 因为HCC平面ABCD,所以EH⊥HC.…6分 √6 又CH=√BC+BH=5,EC=√EH+CH=6,所以5C-3- EC631 …7分 因为△BHn△DIC,所以思部·脚品-瓷. 8分 所以EHGI,所以GI⊥平面ABCD.… 9分 因为GIC平面BDG,所以平面BDG⊥平面ABCD.…10分 (3)解：连接AC.在正方形ABCD中，AC⊥BD. 由(2)得GI⊥平面ABCD,因为ACC平面ABCD,所以GI⊥AC. 因为G1∩BD=1,所以AC⊥平面BDG.…12分 以A为坐标原点，AB,AD,AF所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标 系，则A(0,0,0),C(2,2,0).E(1.0,1),AC=(2,2,0),AE-(1,0,1).…13分 【高二数学·参考答案第4页（共6页）】 由题可知AC是平面BDG的一个法向量，AE是平面BCE的一个法向量. …14分 cos(AC,AE)= AC.AE 2 1AC11AE1√2+2×I+1 sin(C 所以平面BDG与平面BCE的夹角的正弦值为号 15分 18.解：(1)设E的方程为mx2十ny2-1,… …1分 n=1, 则 3m+”=1 解得m一子-1 …3分 所以E的方程为十y-1. …4分 (2)联立 片+y-1得+1r2+8跳红+-1=0 …5分 y=kx+t, △=(8k1)3-4(4k2+1)(412-4)>0,化简得4k2-12+1>0. …7分 ①因为k=1,所以4-t2+1>0,解得-5<1<5， 所以t的取值范围为（一√5,5）.…9分 8kt 412-4 ②设M(x1y1),N(x2y2),则x1+x2= 4k2+1x1x2 4k2+1 …10分 lMN|=√1+k·√x1+x2)-4x1.x2 …11分 =√1+k· 8kt 412-4 4k2+1 一4·4k十1 4W1+k 4k2+1 ·√4k-1+1=7, …13分 化简得48k-24k2-9十162(k2十1)=0，…1分 即162=一48k+24k2+9 ≥0. k2+1 15分 所以一48k+24k2+9≥0，解得- 所以长的取值范周为[-，】 …17分 19.证明：(1)f'(x)=(x2+2x)e+二>0，所以f(x)在(0，十∞)上单调递增.…2分 易证函数y=x十lnx是增函数，且有且仅有1个零点. 若x0满足xo十lnx。=0,则xoe0一1=0，所以f(x。)=xo(xoeo一1)十x。十nx0=0, 所以函数f(x)=x2e十lnx有且仅有一个零点xo,且xo十lnxo=0.…4分 (2)令gx)=x'e+a(2nx-1D,则g'(x)=(x3+3x2)e+2a 【高二数学·参考答案第5页（共6页）】 令h(x)=(x2+3x)c+2g(x>0),则'(x)=(x3+6r2+6r)e_2g>0. 所以h(x)在(0，十o∞)上单调递增，… …6分 h1)=4e+2a>0.h(-g)=(3-g)e-4 因为3号<名0号e<6: 所以(3-号)片e<号××6<，即h(-号)<0， 所以3∈(-受1)h(x)=(x+3xe+2a=0. …8分 当.x∈(0，x1)时，h(x)<0,当x∈(x1,+∞)时，h(x)>0, 所以g(x)在(0，x1)上单调递减，在(x1,十∞)上单调递增， 2 g(x)2g()=xi+a(2ln x-1)-a(2ln --1） …10分 令)=2hx3子2一1re(-号)则e)-月 2 (3+.x)>0, 所以u(x)在(-分1)上单调递增.…11分 因为4(1)=一 <0.所以u0)<o.即gu≥a(2nx13 2-1）>0. 所以a∈(-1,0)，x3e十a(2lnx-1)>0.… …12分 (3)令r)=e+(号-a-l)lax+是-1，则v(x)-rc-)二ar+ln2 令r)=xrc-1)-az+h2,则a)=c+a+1z+a(2hr-D.…1B分 x x 又(a十1)x>0,且结合(2)可得，t'(x)>0,所以t(x)在(0，十o∞)上单调递增.…14分 若x2满足x2十lnx2=0,则x2e9-1=0,l(x2)=0, 所以当x∈(0，x2)时，l(x)<0,当x∈(x2,+∞)时，l(x)>0, 所以v(x)在(0，x2)上单调递减，在(x2,十o∞)上单调递增，…15分 x)2o,)-e+(g-a-linx+g-1-a+1D(g+-l)>a+1l0, 所以a∈(-1,0，e+(经-a-1mx+-1>0 …17分 ▣ 【高二数学·参考答案第6页（共6页）】