精品解析：安徽省蚌埠市2024-2025学年高一下学期7月期末学业水平监测数学试题

安徽省蚌埠市2024-2025学年高一下学期7月期末学业水平监测数学试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列函数中，最小正周期为的偶函数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，是空间中的三条直线，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度而得到 B. 向右平移个单位长度而得到 C. 向左平移个单位长度而得到 D. 向右平移个单位长度而得到 5. 在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 7. 如图，南北分界线是蚌埠的标志性建筑，小明为了测量其高度，在地面上选择一个观测点，在处测得处的无人机和该建筑的最高点的仰角分别为，无人机距地面的高度为20米，且在处无人机测得点的仰角为，点B，C，N在同一条直线上，则该建筑的高度（单位：米）为（ ） A. B. C. D. 40 8. 已知某圆锥侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则经过该圆锥顶点的截面面积最大值是（ ） A. B. C. D. 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（i为虚数单位），则下面结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数在区间上恰有两个零点，则的可能取值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 11. 在直三棱柱中，，且，分别是棱的中点，为棱上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 当是的中点时，平面 D. 当是的中点时，点和到平面的距离之比是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，且，则____________. 13. 已知三棱锥中，，则该三棱锥的外接球表面积为____________. 14. 在中，所在平面内的点满足：，，则____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量满足. （1）求向量与的夹角； （2）求向量的模. 16. 在平面直角坐标系中，的顶点A，B的坐标分别为. （1）若顶点的坐标为，求的面积； （2）若，求锐角周长的取值范围. 17. 如图，是圆柱的两条母线，，是圆的直径，，且是母线上的动点. （1）求证：平面平面； （2）若是线段的中点，求直线与所成角的余弦值； （3）若四面体的体积为，圆柱的体积为，求的值. 18. 已知. （1）求函数的单调递增区间； （2）求函数在区间上的最大值和最小值以及相应的的取值； （3）若为锐角，，求. 19. 欧拉公式，e是自然对数的底，i是虚数单位.它的一个简单而重要的结论是：余弦函数和正弦函数可以用定义在复数集上的指数函数构造出来，即.欧拉公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”.当时，得到等式，数学里最重要的五个常数被联系在一起，仿佛一句诗，道尽了数学之美. （1）证明：若，则与互为共轭复数； （2）已知，欧拉公式在复数集内可推广为，需要指出的是，和是复数，它们不是的实部和虚部，且.容易证明，两角和的余弦公式在复数范围内仍然成立，即.定义函数，.证明：； （3）若，令，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省蚌埠市2024-2025学年高一下学期7月期末学业水平监测数学试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】解方程求出复数的具体形式，确定实部和虚部的符号，从而确定对应点所在象限. 【详解】已知，则，分子分母同时乘以， 复数对应点，实部为负，虚部为负，所以该点位于第三象限. 故选：C. 2. 下列函数中，最小正周期为的偶函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对A，利用余弦函数的周期性判断；对B，由是奇函数，可判断；对C，作出函数的图象可判断；对D，举反例说明周期不是. 【详解】对于A，的最小正周期为，不合题意，故A错误； 对于B，是奇函数，不合题意，故B错误； 对于C，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数是最小正周期为的偶函数，故C正确； 对于D，设，因为， ，所以， 所以的周期不是，故D错误. 故选：C. 3. 已知，，是空间中的三条直线，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中垂直和平行的性质及充分条件、必要条件、充要条件的定义分析判断即可. 【详解】若，，则，可以异面、平行或相交，故由推不出， 若，，根据平行线的性质，则， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度而得到 B. 向右平移个单位长度而得到 C. 向左平移个单位长度而得到 D. 向右平移个单位长度而得到 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦函数图象变换的性质，结合函数的解析式进行判断即可. 【详解】因为， 所以将函数的图象向左平移个单位长度而得. 故选：A. 5. 在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的线性运算结合已知条件把用表示，再由平面向量基本定理可求得的值，从而可求得答案. 【详解】如图，由题，， ， 所以. 故选：A. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由两角和的正切公式可得，再将所求式子弦化切得解. 【详解】因为，所以，即， ， . 故选：B. 7. 如图，南北分界线是蚌埠的标志性建筑，小明为了测量其高度，在地面上选择一个观测点，在处测得处的无人机和该建筑的最高点的仰角分别为，无人机距地面的高度为20米，且在处无人机测得点的仰角为，点B，C，N在同一条直线上，则该建筑的高度（单位：米）为（ ） A. B. C. D. 40 【答案】D 【解析】 【分析】在中，求出，中，由正弦定理求出，中，求出. 【详解】在中，，则， 由图，可知，， 则， 在中，由正弦定理，得， 在中，. 故选：D. 8. 已知某圆锥侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则经过该圆锥顶点的截面面积最大值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用展开图的圆心角和半径，结合扇形弧长等于圆锥底面周长，求出底面半径，再用勾股定理求出高，设底面圆上弦的中点到圆心的距离为m，其面积由底边长和顶点到底边的距离决定，即，通过函数极值法，求导数确定m后求解. 【详解】扇形弧长为，圆锥底面周长为，故： 母线长，根据勾股定理： 设底面圆上弦的中点到圆心的距离为m，则弦长，顶点到的距离为，则面积： 代入,得函数仅在时定义，即. 解，即 此时 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（i为虚数单位），则下面结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据共轭复数，复数模的公式，复数运算逐一计算判断. 【详解】对于A，由，则，所以，故A错误； 对于B，，，故B正确； 对于C，，，故C错误； 对于D，由，则，， 所以，故D正确. 故选：BD. 10. 已知函数在区间上恰有两个零点，则的可能取值为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，再结合零点条件得出ω的取值范围，验证选项即可. 【详解】， 令，得， 因为，所以， 因为函数在区间上恰有两个零点， 即在区间上恰有两个实根， 所以，即， 因为，，故A错误；BCD正确， 故选：BCD. 11. 在直三棱柱中，，且，分别是棱的中点，为棱上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 当是的中点时，平面 D. 当是的中点时，点和到平面的距离之比是 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，连接，易证平面，得，，可证平面，得解；对B，沿将与矩形铺平，当三点共线时，最小，运算得解；对C，证明平面，平面，可得平面平面，由面面平行的性质得解；对D，由平面，得点与点到平面的距离相等，又点与点到平面的距离相等，设，可得，所以点与点到平面距离之比为，得解. 【详解】对于A，连接，因为，则， 又平面，平面，所以， 又平面，，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以侧面是正方形，故， 又平面，且， 所以平面， 又平面，所以，故A正确； 对于B，如图，沿将与矩形铺平， 由A，平面，则，即， 所以当三点共线时，最小， 又， ， 则， 所以的最小值为，故B正确； 对于C，如图，连接，因为分别是的中点， 所以，平面，平面，故平面， 同理，可证平面， 又是平面内两条相交直线，所以平面平面， 又平面，故平面，故C正确； 对于D，由C，知平面，所以点与点到平面的距离相等， 又是的中点，故点与点到平面的距离相等， 设，因为分别是的中点，侧面是正方形， 所以，所以点与点到平面距离之比为， 即点与点到平面距离之比为，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，且，则____________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量的线性运算的坐标表示求得，再根据两向量平行的坐标关系运算得解. 【详解】，， 由，则，解得. 故答案为：. 13. 已知三棱锥中，，则该三棱锥的外接球表面积为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理，构造长方体，利用长方体的性质、球的表面积公式进行求解即可. 【详解】因为， 显然有，，， 因此两两互相垂直，补成长方体如图所示： 该长方体的对角线长为， 所以该三棱锥的外接球的半径为， 因此该三棱锥的外接球表面积为， 故答案为： 14. 在中，所在平面内的点满足：，，则____________. 【答案】## 【解析】 【分析】以点为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，设，由，得，在中，由余弦定理结合，可得点的坐标，进而得解. 【详解】由，则， 如图，建立平面直角坐标系，则，，， 设，则，， 由，则，即，（*） 又，，（结合*式化简） 在中，由余弦定理，， 所以， 所以，， 两边平方可得，结合， 得，因为, 所以，即， 联立，消去得，， 解得或， 当时，因为，得，即， 当时，得，即，此时，， 而，所以，不合题意. 所以点的坐标为. 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量满足. （1）求向量与的夹角； （2）求向量的模. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题，结合向量数量积的运算律求得，利用向量夹角公式求解； （2）将向量的模长转化为向量的数量积运算得解. 【小问1详解】 由题意， 所以， 即， . . . 【小问2详解】 . 16. 在平面直角坐标系中，的顶点A，B的坐标分别为. （1）若顶点的坐标为，求的面积； （2）若，求锐角周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量夹角公式求出，结合平方关系求得，由三角形面积公式得解； （2）由正弦定理可得，结合条件和三角恒等变换化简可得，结合角的范围求解，从而得到答案. 【小问1详解】 由题意， ， ， ， 所以的面积为. 【小问2详解】 设角所对的边分别分， ， ， ， 因为是锐角三角形，，得， ，故， ， 即周长的取值范围为. 17. 如图，是圆柱的两条母线，，是圆的直径，，且是母线上的动点. （1）求证：平面平面； （2）若是线段的中点，求直线与所成角的余弦值； （3）若四面体的体积为，圆柱的体积为，求的值. 【答案】（1）证明：由题意平面，又平面， ， 又，平面， 平面平面， 平面平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题可得平面，得，结合条件，可证平面，由面面垂直的判定定理得证； （2）连接，易得为所求角，求出，得解； （3）易知平面，可得到平面的距离等于点到平面的距离，则，运算得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，因为，所以为所求角， 依题意，，所以， 又为正方形的边的中点，所以， 故. 所以. 所以直线与所成角的余弦值为. 【小问3详解】 平面平面 平面， 到平面的距离等于点到平面的距离， ， . 18. 已知. （1）求函数的单调递增区间； （2）求函数在区间上的最大值和最小值以及相应的的取值； （3）若为锐角，，求. 【答案】（1） （2）当时，，当时， （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，利用正弦函数的单调性求解； （2）由的范围求出的范围，结合正弦函数的单调性求解； （3）由范围求得范围，再运用同角三角函数的平方关系求得的值，运用配凑角可求得结果. 【小问1详解】 ， 令，解得， 函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 ，， 时，即时，， 时，即时，. 【小问3详解】 ， 为锐角，， . 19. 欧拉公式，e是自然对数的底，i是虚数单位.它的一个简单而重要的结论是：余弦函数和正弦函数可以用定义在复数集上的指数函数构造出来，即.欧拉公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”.当时，得到等式，数学里最重要的五个常数被联系在一起，仿佛一句诗，道尽了数学之美. （1）证明：若，则与互为共轭复数； （2）已知，欧拉公式在复数集内可推广为，需要指出的是，和是复数，它们不是的实部和虚部，且.容易证明，两角和的余弦公式在复数范围内仍然成立，即.定义函数，.证明：； （3）若，令，证明：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据欧拉公式展开复数，得出与实部相同，虚部相反，满足共轭复数定义；（2）运用双曲函数和三角函数的转换关系，，应用三角函数加法公式计算；（3）把已知条件代入复数表达式，分离实部和虚部，利用构造方程，得出结论. 【小问1详解】 证明：， 的实部为，虚部为 又的实部为，虚部为 与实部相同，虚部相反，互为共轭复数. 【小问2详解】 代入双曲函数定义，应用三角函数加法公式： 【小问3详解】 代入已知复数表达式并分离实部与虚部： 由， ， 得， 由，整理得 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $