第二十三章　旋转 课件 - 2025—2026学年人教版数学九年级上册

第二十三章　旋转 23.1　图形的旋转 第2课时　旋转作图 旋转作图 1. 如图所示，将△ABC绕点O旋转，顶点A的对应点为A'，请画出旋转后的 图形. 解：如图所示，△A'B'C'即为旋转后的图形. 1 2 3 4 5 平面直角坐标系中的旋转作图 2. 如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上. （1）画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后的△A1B1C1. 解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所作. 1 2 3 4 5 （2）写出图中点A1和点C1的坐标. 解：（2）A1（4，－2），C1（3，－5）. 1 2 3 4 5 对应点不明确时，旋转中心的确定有误 3. 如图所示，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（4，4）.若线段AB与线 段CD存在一种变换关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一 条线段，则这个旋转中心的坐标为 ⁠. （5，2）或（3，5）　 1 2 3 4 5 4. 教材P63习题23.1T5变式 　利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案，如 图②所示的图案是由如图①所示的基本图形以点O为旋转中心，顺时针旋转5次 而生成的，每一次旋转的角度均为α，则α至少为（　B　） A. 30° B. 60° C. 90° D. 120° B 1 2 3 4 5 5. 一题多解 　（武汉中考）如图所示是由小正方形组成的3×4网格，每个小正 方形的顶点叫做格点.△ABC三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中 完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条. （1）在图①中，画射线AD交BC于点D，使AD平分△ABC的面积. 解：（1）如图①所示，射线AD即为所求. 1 2 3 4 5 （2）在（1）的基础上，在射线AD上画点E，使∠ECB＝∠ACB. 解：（2）如图①所示，点E即为所求. 1 2 3 4 5 （3）在图②中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转90°到点C，再画射线AF 交BC于点G. 解：（3）如图②所示，点F，射线AF，点G 即为所求. 1 2 3 4 5 （4）在（3）的基础上，将线段AB绕点G旋转180°，画对应线段MN（点A与 点M对应，点B与点N对应）. 解：（4）如图②所示，线段MN即为所求. 1 2 3 4 5 $$第二十三章　旋转 23.2　中心对称 23.2.1　中心对称 中心对称的定义 1. （济南一模）如图所示，在平面内将三角形标志绕其中心旋转180°后得到的 图案是（　D　） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 下列说法正确的是（　B　） A. 重合的两个图形是中心对称的图形 B. 中心对称的两个图形绕对称中心旋转180°后必定重合 C. 面积相等的两个图形一定是中心对称的图形 D. 旋转后能够重合的两个图形是中心对称的图形 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 中心对称的性质 3. 如图所示，△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称，下列说法：①∠BAC＝ ∠B1A1C1；②AC＝A1C1；③OA＝OA1；④△ABC与△A1B1C1的面积相等.其中 正确的有（　D　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. （河北石家庄模拟）如图所示，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也 关于点O对称.若BC＝3，OD＝4，则AB的长可能是（　C　） A. 3 B. 4 C. 7 D. 11 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. 如图所示，四边形ABCD是菱形，点O是菱形的两条对角线的交点，过点O的 三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分.当菱形的两条对角线的长分别为6和8 时，阴影部分的面积为 ⁠. 12　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 利用中心对称作图 6. 教材P66练习T1变式 　如图所示，画出四边形ABCD关于点O的中心对称图 形. 解：如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. （石家庄模拟）如图所示，点A，B分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称 中心是（　C　） A. 点A B. 点B C. 线段AB的中点 D. 无法确定 C 不会确定对称中心 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 如图所示的图形是由三个半圆组成的，点O是大半圆的圆心，且AC＝CD＝ BD，与此图形关于点O成中心对称（不考虑字母）的图形是（　C　） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 推理能力 　如图所示，已知△ABC与△CDA关于点O对称，过点O作直线 EF分别交AD，BC于点E，F. 下面的结论：①点E和点F，点B和点D都是关 于中心O的对称点；②直线BD必经过点O；③四边形DEOC与四边形BFOA的 面积一定相等；④△AOE与△COF成中心对称.其中正确的个数为（　D　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. 如图所示，直线a，b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A 的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D. 若OB＝3，OD＝2，则阴 影部分的面积之和为 ⁠. 6　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. （西安期中）如图所示，△ABC和△DEF关于点O成中心对称. （1）找出它们的对称中心O. 解：（1）如图所示，点O即为所求.（作法不唯一）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2）若AB＝7，AC＝5，BC＝6，求△DEF的周长. 解：（2）∵△ABC 和△DEF 关于点O成中心对称， ∴AB＝DE＝7，AC＝DF＝5，BC＝EF＝6， ∴△DEF的周长＝DE＋DF＋EF＝7＋5＋6＝18. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. 几何直观 　如图所示，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点成中心对 称.已知A，D1，D三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2）. （1）求对称中心的坐标. 解：（1）∵D和D1是对称点， ∴对称中心是线段DD1的中点. 又∵点D1，D的坐标分别为（0，3），（0，2）， ∴对称中心的坐标是 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2）写出顶点B，C，B1，C1的坐标. 解：（2）∵已知A，D1，D三点的坐标分别是（0，4）， （0，3），（0，2）， ∴正方形的边长为2. ∵将点A，D分别向左平移2个单位长度可得点B，C，∴B （－2，4），C（－2，2）. ∵将点D1向右平移2个单位长度可得点C1，再向下平移2个单位 长度可得点B1， ∴B1（2，1），C1（2，3）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$第二十三章　旋转 23.1　图形的旋转 第1课时　旋转的概念及性质 学科核心 素养 具体内容 抽象能力 借助具体实例，通过操作、观察，得出与生活联系比较密切的几何 变换——旋转，理解旋转中心、旋转方向和旋转角的特征，进而抽 象出概念，积累从具体到抽象的活动经验 几何直观 通过对图形旋转过程中图形及其组成元素的观察和分析，能进行文 字语言，符号语言和图形语言的相互翻译和切换，能准确地使用这 些语言描述图形的旋转过程中相关量的变化，分析和解释实际生活 中的旋转现象，并应用旋转性质解决实际问题 学科核心 素养 具体内容 推理能力 探究图形变换过程中，保持不变的量：线段和角.引导学生经历针对 图形性质、关系、变化确立几何命题的过程，感悟归纳推理过程和 演绎推理过程的传递性，增强推理能力，会用数学的思维思考现实 世界 运算能力 平面直角坐标系是数轴的拓展，是沟通几何与代数的桥梁，内容核 心是平面上的点与用数对表示的坐标的一一对应，引导学生经历借 助平面直角坐标系解决现实问题的过程，感悟数形结合的意义，发 展运算能力 学科核心 素养 具体内容 创新意识 通过课题学习，探索图形之间的变化关系，会运用轴对称、平移、 旋转的组合进行图案设计，渗透美育教育，鼓励学生积极思考、大 胆想象，增强应用意识和创新意识 旋转的相关概念 1. 教材P59练习T1变式 　（无为期中）下列运动属于旋转的是（　D　） A. 运动员投掷标枪 B. 火箭升空 C. 飞驰的动车 D. 钟表的钟摆的运动 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2. 如图所示，△ABC绕点C旋转，得到△EDC，在这个旋转过程中： （1）旋转中心是点 ，旋转角是 ， ⁠. （2）经过旋转，点A和点B分别移动到了 ， 的位置. C　 ∠BCD　 ∠ACE　 点E　 点D　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 旋转的性质 3. 如图所示，将△ABC先向上平移1个单位长度，再绕点P逆时针旋转90°，得 到△A'B'C'，则点A的对应点A'的坐标是（　D　） A. （0，4） B. （2，－2） C. （3，－2） D. （－1，4） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4. 如图所示，在Rt△ABC中，∠CAB＝50°，点D在斜边AB上，如果△ABC绕 点B旋转后与△EBD重合，连接AE，那么∠EAB的度数为 ⁠. 70°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5. 如图所示，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC＝150°，将△BOC绕 点C顺时针旋转得到△ADC，连接OD，OA. （1）求∠ODC的度数. 解：（1）由旋转的性质，可得CD＝CO， ∠ACD＝∠BCO. ∵∠ACB＝60°， ∴∠DCO＝60°， ∴△OCD为等边三角形.∴∠ODC＝60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2）若OB＝2，OC＝3，求AO的长. 解：（2）由旋转的性质，可得AD＝OB＝2. ∵△OCD为等边三角形，∴OD＝OC＝3. ∵∠BOC＝150°，∠ODC＝60°， ∴∠ADC＝150°， ∴∠ADO＝90°.在Rt△AOD中，由勾股定理，得AO＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 不能正确理解旋转变换中的“对应线段” 6. 在图形旋转中，下列说法错误的是（　A　） A. 图形上的每一点到旋转中心的距离相等 B. 图形上的每一点转动的角度相同 C. 图形上可能存在不动点 D. 图形上任意两点的连线与其对应两点的连线相等 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7. （天津中考）如图所示，在△ABC中，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋 转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，延长BA交DE于点F，下 列结论一定正确的是（　D　） A. ∠ACB＝∠ACD B. AC∥DE C. AB＝EF D. BF⊥CE D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8. （大庆中考）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点M是AB边 的中点，点N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋 转到点N'，则△MBN'周长的最小值为（　B　） A. 15 B. 5＋5 C. 10＋5 D. 18 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9. （潍坊中考）如图所示，在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点A的 坐标为（0，4），点B，C均在x轴上.将△ABC绕顶点A逆时针旋转30°得到 △AB'C'，则点C'的坐标为 ⁠. （4，4－ ）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. 推理能力 　如图所示，在△ABC中，∠ABC＝120°，将△ABC绕点A逆时 针旋转60°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E. （1）求证：E，D，B三点共线. 解：（1）证明：连接BD，如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE， ∴∠BAD＝60°，AB＝AD，∠ADE＝∠ABC＝120°， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ADB＝60°， ∴∠ADE＋∠ADB＝120°＋60°＝180°， ∴E，D，B三点共线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2）若AB＝2BC＝4，求点E到AB的距离. 解：（2）过点A作AF⊥BE于点F，过点E作EG⊥AB于点G，如图所示. 由（1），知△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝4，∠ABD＝60°， ∴BE＝BD＋DE＝BD＋BC＝4＋2＝6.∵AF⊥BE，∴∠BAF＝30°， ∴BF＝ AB＝2，AF＝ ＝2 . ∵ ＝ AB·EG＝ BE·AF，∴EG＝ ＝ ＝3 ， ∴点E到AB的距离是3 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11. 几何直观 　如图所示，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将 Rt△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于点H. （1）试判定四边形AFHE的形状，并说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解：（1）四边形AFHE是正方形.理由如下： ∵将Rt△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADF， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°，AE＝AF， ∴∠AFH＝90°. ∵Rt△ABE≌Rt△ADF， ∴∠DAF＝∠BAE. 又∵∠DAF＋∠FAB＝90°， ∴∠BAE＋∠FAB＝90°，∴∠FAE＝90°. 在四边形AFHE中，∠FAE＝90°，∠AEB＝90°，∠AFH＝90°. ∴四边形AFHE是矩形. 又∵AE＝AF，∴矩形AFHE是正方形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （2）已知BH＝7，BC＝13，求DH的长. 解：（2）设AE＝x.则由（1）以及题意可知： AE＝EH＝FH＝AF＝x，BH＝7，BC＝AB＝13. 在Rt△AEB中，根据勾股定理， 得AB2＝AE2＋BE2，即132＝x2＋（x＋7）2， 解得x1＝5，x2＝－12（舍去）， ∴BE＝BH＋EH＝7＋5＝12，∴DF＝BE＝12. 又∵DH＝DF＋FH，∴DH＝12＋5＝17. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $$第二十三章　旋转 本章综合提升 1. 分类讨论思想 在本章中，旋转方向有顺时针、逆时针之分，若没有明确告知，需要分类讨 论求解. 　　【例1】　如图所示，在正方形ABCD中，点E在边DC上， DE＝4，EC＝3，把线段AE绕点A旋转后使点E落在直线BC上 的点P处，则CP的长为 ⁠. 3或11 　　【变式训练1】 已知等腰三角形ABC，∠A＝120°，AB＝2.现将△ABC以点B为旋转中心 旋转45°，得到△A'BC'，延长C'A'交直线BC于点D，则A'D的长度为 ⁠ ⁠. 4＋2 或4－2 　 2. 数形结合思想 在本章中，图形在平面直角坐标系中的旋转，以及图形关于原点的对称，一 般通过点的坐标将数和形结合起来，运用数形结合的思想解答. 　　【例2】　银杏是著名的活化石植物，其叶有细长的叶柄，呈扇形.如图所示 是一片银杏叶标本，叶片上两点B，C的坐标分别为（－3，2），（4，3），将 银杏叶绕原点顺时针旋转90°后，叶柄上点A对应点的坐标为 ⁠. （－3，1）　 　　【变式训练2】 在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作 △B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成 中心对称，如此作下去，则△B2nA2n＋1B2n＋1（n是正整数）的顶点A2n＋1的坐标 是 ⁠. （4n＋1， ）　 3. 转化思想 在本章中，利用图形旋转中的全等关系，通过旋转把一个图形转移到一个新 的位置上，使图形中的条件得以重新分布和结合，把分散的关系转化为与结论有 关的条件，实现化难为易，变未知为已知，集中体现了转化思想的运用. 　　【例3】　如图所示，等边三角形ABC内有一点P，且PA2＋PB2＝PC2. （1）求∠APB的度数. 解：（1）如图①所示，将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到 △BHA，连接HP. ∴BH＝BP，∠PBH＝60°，AH＝PC， ∴△BPH是等边三角形， ∴∠BPH＝60°，PH＝BP. ∵PA2＋PB2＝PC2， ∴PA2＋PH2＝AH2， ∴∠APH＝90°，∴∠APB＝150°. （2）如果AP＝6，BP＝8，求△APC的面积. 　　　 解：（2）如图②所示，过点B作BN⊥AP，交AP的延长线于 点N，∵∠APB＝150°，∴∠BPN＝30°， ∴BN＝ BP＝4，PN＝4 ， ∴S△BPC＋S△ABP＝S四边形APBH＝S△HBP＋S△HPA＝ ×8×8× ＋ ×6×8＝24＋16 . ∵AB2＝BN2＋AN2＝16＋（6＋4 ）2＝100＋48 ， ∴△APC的面积＝S△ABC－（S△BPC＋S△ABP）＝ ×（100＋ 48 ）－（24＋16 ）＝9 ＋12. 　　【变式训练3】 问题：如图①所示，在正方形ABCD内有一点P，PA＝ ，PB＝ ， PC＝1，求∠BPC的度数. 小明同学的想法：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件 集中在一起，于是他将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP'A（如图②所 示），然后连接PP'. 请你参考小明同学的思路，解决下列问题： （1）图②中∠BPC的度数为 ⁠. 135°　 （2）如图③所示，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA＝2 ，PB ＝4，PC＝2，求正六边形ABCDEF的边长. 解：（2）如图所示. ∵六边形ABCDEF为正六边形， ∴∠ABC＝120°. 把△BPC绕点B逆时针旋转120°，得到了△BP'A，连接PP'， ∴∠P'BP＝120°，BP'＝BP＝4，P'A＝PC＝2，∠BP'A＝∠BPC， ∴∠BP'P＝∠BPP'＝30°. 过点B作BH⊥PP'于点H. ∵BP'＝BP，∴P'H＝PH. 在Rt△BP'H中，∠BP'H＝30°，BP'＝4， ∴BH＝ BP'＝2，P'H＝2 ， ∴P'P＝2P'H＝4 . 在△APP'中，AP＝2 ，PP'＝4 ，AP'＝2， ∵（2 ）2＝（4 ）2＋22， ∴AP2＝PP'2＋AP'2， ∴△APP'为直角三角形，且∠AP'P＝90°， ∴∠BP'A＝30°＋90°＝120°，∴∠BPC＝120°. 过点A作AG⊥BP'于点G，∴∠AP'G＝60°. 在Rt△AGP'中，AP'＝2，∠GAP'＝30°， ∴GP'＝ AP'＝1，AG＝ . 在Rt△AGB中，GB＝GP'＋P'B＝1＋4＝5， AB＝ ＝ ＝2 ， 即正六边形ABCDEF的边长为2 . 1. （南宁江南区三模）人工智能AI的爆发，是机遇也是挑战，将改变我们生活 的世界.如图所示是我国人工智能科技的标识.这些标识是轴对称图形，但不是中 心对称图形的是（　C　） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. （驻马店平舆期末）如果点A（a，b）在第三象限，那么点B（－a＋1， 3b－5）关于原点的对称点在（　B　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. （石家庄平山一模）围棋起源于中国，古代称之为“弈”.如图所示是棋盘上 由1个白子和3个黑子组成的图形，若再放入一个白子，使它与原来的4个棋子组 成的图形为中心对称图形，则放入白子的位置可以是（　A　） A. 点M处 B. 点N处 C. 点P处 D. 点Q处 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. （菏泽曹县期末）如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝ 50°，点D在斜边AC上，将△ABC绕点C顺时针旋转后与△EDC重合，连接 AE，那么∠EAC的度数为（　C　） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. （台州玉环三模）如图所示，教室内地面有个倾斜的簸箕，箕面AB与水平地 面的夹角∠CAB为62°，小明将它扶起（将簸箕绕点A顺时针旋转）后平放在地 面，箕面AB绕点A旋转的度数为 ⁠. 118°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. （济南天桥区期中）如图所示，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点 A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ，PB，PC. （1）求证：PC＝BQ. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解：（1）证明：连接PQ，如图所示. ∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝60°，AB＝AC. ∵线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ， ∴AP＝AQ，∠PAQ＝60°， ∴△APQ为等边三角形，∴PQ＝AP. ∵∠CAP＋∠BAP＝60°，∠BAP＋∠BAQ＝60°， ∴∠CAP＝∠BAQ. 在△APC和△AQB中， ∴△APC≌△AQB（SAS），∴PC＝BQ. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2）若PA＝6，PB＝8，PC＝10.求四边形APBQ的面积. 解：（2）∵PA＝6，PB＝8，PC＝10， ∴PA＝6＝PQ，BQ＝PC＝10.在△BPQ中， ∵PB2＝82＝64，PQ2＝62＝36，BQ2＝102＝100， 而64＋36＝100，∴PB2＋PQ2＝BQ2， ∴△PBQ为直角三角形，∠BPQ＝90°， ∴S四边形APBQ＝S△BPQ＋S△APQ＝ ×6×8＋ ×62＝24＋9 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. （泰安中考）下面图形中，中心对称图形的个数有（　C　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. （凉山州中考）点P（a，－3）关于原点对称的点是P'（2，b），则a＋b的 值是（　A　） A. 1 B. －1 C. －5 D. 5 C A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. （无锡中考）如图所示，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝65°，将△ABC绕 点A逆时针旋转得到△AB'C'.当AB'落在AC上时，∠BAC'的度数为（　B　） A. 65° B. 70° C. 80° D. 85° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. （滨州中考）一副三角板如图①所示摆放，把三角板AOB绕公共顶点O顺时 针旋转至图②，即AB∥OD时，∠1的大小为 ⁠°. 75　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. （安徽中考）如图所示，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建 立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A，B，C，D的坐标分别为（7， 8），（2，8），（10，4），（5，4）. （1）以点D为旋转中心，将△ABC旋转180° 得到△A1B1C1，画出△A1B1C1. 解：（1）如图所示，画出△A1B1C1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2）求出以B，C1，B1，C为顶点的四边形的面积. 解：（2）以B，C1，B1，C为顶点的四边形的面积＝10×8－2× ×2×4－ 2× ×4×8＝40. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （3）在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线AE平分∠BAC，写出点E的 坐标. 解：（3）如图所示，点E即为所求，点E的坐标为（6，6）.（答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. （北京中考）已知∠MAN＝α（0°＜α＜45°），点B，C分别在射线 AN，AM上，将线段BC绕点B顺时针旋转180°－2α得到线段BD，过点D作 AN的垂线交射线AM于点E. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （1）如图①所示，当点D在射线AN上时，求证：C是AE的中点. 解：（1）证明：连接CD，如图①所示， 由题意得BC＝BD，∠CBD＝180°－2α， ∴∠BDC＝∠BCD. ∵∠BDC＋∠BCD＋∠CBD＝180°， ∴∠BDC＝ ＝α， ∴∠BDC＝∠A，∴CA＝CD. ∵DE⊥AN， ∴∠1＋∠A＝∠2＋∠BDC＝90°， ∴∠1＝∠2，∴CD＝CE， ∴CA＝CE，∴C是AE的中点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2）如图②所示，当点D在∠MAN内部时，作DF∥AN，交射线AM于点F， 用等式表示线段EF与AC的数量关系，并证明. 解：（2）EF＝2AC. 证明： 在射线AM上取点H，使得BH＝BA， 取EF的中点G，连接DG，DH，如图②所示. ∵BH＝BA，∴∠BAH＝∠BHA＝α， ∴∠ABH＝180°－2α＝∠CBD， ∴∠ABC＝∠HBD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∵BC＝BD，∴△ABC≌△HBD（SAS）， ∴AC＝DH，∠BHD＝∠A＝α， ∴∠FHD＝∠BHA＋∠BHD＝2α. ∵DF∥AN， ∴∠EFD＝∠A＝α，∠EDF＝∠3＝90°. ∵G是EF的中点，∴GF＝GD，EF＝2GD， ∴∠GFD＝∠GDF＝α，∴∠HGD＝2α， ∴∠HGD＝∠FHD，∴DG＝DH. ∵AC＝DH，∴DG＝AC，∴EF＝2AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$第二十三章　旋转 数学活动 1. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为（－2，1）. （1）作点P关于x轴的对称点，得到点P'，再作点P'关于y轴的对称点，得到点 P″，则点P'的坐标是 ，点P″的坐标是 ⁠. （2）点P关于原点对称的点的坐标是 ⁠. （－2，－1）　 （2，－1）　 （2，－1）　 1 2 3 2. 在平面直角坐标系中，点A的坐标是（2，－3），作点A关于x轴的对称点， 得到点A'，再作点A'关于y轴的对称点，得到点A″，求点A'，A″的坐标. 解：因为点A'与点A关于x轴对称，所以纵坐标相同，横坐标互为相反数，则A' （－2，－3）.因为点A″与点A'关于y轴对称，所以横坐标相同，纵坐标互为相 反数，则A″（－2，3）. 上述解答过程正确吗？若正确，请说明理由.若不正确，请给出正确的解答过程. 解：不正确. ∵关于x轴对称的两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，∴点A（2，－3）关 于x轴的对称点A'的坐标为（2，3）. ∵关于y轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，∴点A'（2，3）关于 y轴的对称点A″的坐标为（－2，3）. 1 2 3 3. 【活动目的】经历探究一个点绕原点作一个特殊的旋转时的坐标关系的过程， 加深对点的坐标、全等三角形的判定与性质等知识的理解，发展应用意识. 【器材准备】直尺，圆规等. 【活动步骤】 （1）如图所示，在平面直角坐标系中任取一点P（3，4）， 以原点为中心，分别顺时针旋转90°，180°，270°，360°， 得到点A，B，C，D，并把结果填入表格. 旋转的角度 90° 180° 270° 360° 对应点的坐标 ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ （4，－3） （－3，－4） （－4，3） （3，4） 1 2 3 （2）结合（1），任取点P（x，y），以原点为中心，分别顺时针旋转90°， 180°，270°，360°，得到点A，B，C，D，并把结果填入表格. 旋转的角度 90° 180° 270° 360° 对应点的坐标 ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ （y，－x） （－x，－y） （－y，x） （x，y） 1 2 3 （3）结合（1）（2），任取点P（x，y），以原点为中心，分别逆时针旋转 90°，180°，270°，360°，得到点A，B，C，D，并把结果填入表格. 旋转的角度 90° 180° 270° 360° 对应点的坐标 ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ （－y，x） （－x，－y） （y，－x） （x，y） 1 2 3 $$第二十三章　旋转 23.2　中心对称 23.2.3　关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的点的坐标 1. （成都中考）在平面直角坐标系中，点P（1，－4）关于原点对称的点的坐标 是（　B　） A. （－1，－4） B. （－1，4） C. （1，4） D. （1，－4） 2. 已知点A（1，y）与点B（x，－2）关于原点对称，则点（x，y）到原点的 距离是（　A　） A. B. 2 C. D. 1 B A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. 在平面直角坐标系中，点（a＋2，2）关于原点的对称点为（4，－b），则 ab的值为（　D　） A. －4 B. 4 C. 12 D. －12 4. 教材P70习题23.2T4变式　在平面直角坐标系中，将点A（－2，3）向右平移 a个单位长度，再向下平移b个单位长度，平移后的对应点为A'.如果点A和A'关 于原点对称，那么a＋b＝ ⁠. D 10　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 作关于原点对称的图形 5. （德阳中江期末）如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度 的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上. （1）写出A，B，C的坐标. 解：（1）A（1，－4），B（5，－4）， C（4，－1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 （2）以原点O为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出 A1，B1，C1 的坐标，求△A1B1C1的面积. 解：（2）A1（－1，4），B1（－5，4），C1（－4，1）， 如图所示. ＝ ×4×3＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 混淆关于原点对称和关于坐标轴对称 6. （眉山东坡区期末）在平面直角坐标系中，已知点A（2，－3），下列说法不 正确的是（　D　） A. 点A在第四象限 B. 点A关于x轴的对称点的坐标为（2，3） C. 点A关于y轴的对称点的坐标为（－2，－3） D. 点A关于原点的对称点的坐标为（3，－2） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7. 将△ABC的各顶点的横、纵坐标都乘－1，则所得的三角形与△ABC的关系是 （　C　） A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点对称 D. 将△ABC向左平移了1个单位长度 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8. 在平面直角坐标系中，P点关于原点的对称点为P1 ，P点关于x轴 的对称点为P2（a，b），则 ＝（　A　） A. －2 B. 2 C. 4 D. －4 9. 在平面直角坐标系中，已知点A（m－3，1－m）关于坐标原点对称的点位于 第一象限，则m的取值范围是（　C　） A. m＞－1 B. m＜1 C. 1＜m＜3 D. m＜3 A C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. 在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长均为1，若以MN所在直线为y 轴（向上为正方向），以小正方形的边长为1个单位长度建立平面直角坐标系， 使点A与点B关于原点对称，则此时点C的坐标是（　B　） A. （1，3） B. （2， －1） C. （2，1） D. （3，1） B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12. 已知点A（－2，n）在x轴上，那么点B（n－1，n＋1）关于原点对称的 点的坐标为 ⁠. 13. 已知点P（a，b）关于原点对称的点在第一象限，那么点Q（－b＋2，2a －3）关于x轴的对称点在第 象限. （1，－1）　 一　 11. （上海长宁区期末）已知在平面直角坐标系中，点P，Q（2，－3），M （－1，2）.如果PQ∥x轴，PM∥y轴，那么点P关于原点O对称的点的坐标 是 ⁠. （1，3）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. 运算能力　在边长为1个单位长度的正方形网格图中建立如图所示的平面直角 坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题： （1）作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标. 解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所作，点 C1的坐标为（－1，2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 （2）作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；△A2B2C2可 看作是△A1B1C1以点（ ， ）为旋转中心，旋转 °得到的. 解：（2）如图所示，△A2B2C2即为所作，点 C2的坐标为（－3，－2）. －2　 0　 180　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 （3）已知△ABC关于直线l对称的△A3B3C3的顶点A3的坐标为（－4，－2）， 请直接写出直线l的函数解析式. 解：（3）因为点A的坐标为（2，4），点A3 的坐标为（－4，－2）， 所以直线l的函数解析式为y＝－x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. 阅读理解 　对于平面直角坐标系中任一点（a，b），规定三种变换如下： ①A（a，b）＝（－a，b）.如：A（7，3）＝（－7，3）； ②B（a，b）＝（b，a）.如：B（7，3）＝（3，7）； ③C（a，b）＝（－a，－b）.如：C（7，3）＝（－7，－3）. 例如：A（B（2，－3））＝A（－3，2）＝（3，2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ①若a＝b，且c＝d，则（a，c）＝（b，d）； 反之若（a，c）＝（b，d），则a＝b，且c＝d. ②（a，c）＋（b，d）＝（a＋b，c＋d）； （a，c）－（b，d）＝（a－b，c－d）. 例如：A（B（2，－3））＋C（B（2，－3））＝A（－3，2）＋C（－3，2） ＝（3，2）＋（3，－2）＝（6，0）. 规定坐标的部分规则与运算如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 请回答下列问题： （1）化简：A（C（5，－3））＝ .（填写坐标） （2）化简：C（A（－3，－2））－B（C（－1，－2））＝ ⁠. （填写坐标） （3）若A（B（2x，－kx））－C（A（1＋y，－2））＝C（B（ky－1，－ 1））＋A（C（y，x）），且k为整数，点P（x，y）在第四象限，求满足条 件的k的所有可能取值. （5，3）　 （－5，1）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：∵A（B（2x，－kx））－C（A（1＋y，－2））＝C（B（ky－1，－ 1））＋A（C（y，x））， ∴A（－kx，2x）－C（－1－y，－2）＝C（－1，ky－1）＋A（－y，－ x）， ∴（kx，2x）－（1＋y，2）＝（1，－ky＋1）＋（y，－x）， ∴（kx－1－y，2x－2）＝（1＋y，－ky＋1－x）. ∵（a，c）＝（b，d）时，a＝b且c＝d， ∴kx－1－y＝1＋y，2x－2＝－ky＋1－x， ∴（k2＋6）x＝2k＋6，（k2＋6）y＝3k－6. ∵点P（x，y）在第四象限，∴x＞0，y＜0， ∴2k＋6＞0，3k－6＜0，∴－3＜k＜2. ∵k是整数，∴k＝－2，－1，0，1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $$第二十三章　旋转 23.2　中心对称 23.2.2　中心对称图形 中心对称图形的概念 1. （潍坊中考）下列著名曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （　C　） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 教材P70习题23.2T5变式 　如图所示是一个中心对称图形，则此图形的对称 中心为（　B　） A. A点 B. B点 C. C点 D. D点 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 中心对称图形的性质 3. 如图所示是一个中心对称图形，点A为对称中心.若∠C＝90°，∠B＝ 30°，BC＝1，则BB'的长为（　D　） A. 4 B. C. D. 第3题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 如图所示，直线EF经过▱ABCD的对角线的交点O. 若AE＝3 cm，四边形 AEFB的面积为15 cm2，则CF＝ ，四边形EDCF的面积为 ⁠. 第4题图 3 cm　 15 cm2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 作中心对称图形 5. （南充期末）如图所示，在4×4的正方形网格中，再从①，②，③，④中选取 一个空白小正方形涂黑，使涂黑部分是一个中心对称图形，可行的是涂 （　C　） A. ① B. ② C. ③ D. ④ C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. 如图所示，在5×5的正方形网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小 正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以线段BC为对角线，按下列要 求画四边形ABDC（点D在格点上）. （1）在图①中画一个中心对称图形. 解：（1）如图①所示.四边形ABDC是平行四 边形，是中心对称图形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2）在图②中画一个有一组对边平行的轴对称图形. 解：（2）如图②所示.四边形ABDC是一组对 边平行的轴对称图形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对中心对称图形识别不清 7. 观察如图所示的脸谱图案，下列说法正确的是（　A　） A. 它是轴对称图形，不是中心对称图形 B. 它是中心对称图形，不是轴对称图形 C. 它既是轴对称图形，也是中心对称图形 D. 它既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 数学文化 　如图所示是度量衡工具汉尺、秦权、新莽铜卡尺和商鞅方升的示 意图，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　A　） A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 应用意识 　小明把如图所示的扑克牌放在一张桌子上，请一位同学避开他任 意将其中一张牌倒过来，然后小明很快辨认出被倒过来的那张扑克牌是 （　A　） A. 方块5 B. 梅花6 C. 红桃7 D. 黑桃8 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10. 几何直观 　如图所示，点O是▱ABCD的对称中心，AD＞AB，点E，F 均在边AB上，且AB＝2EF，点G，H均在边BC上，且BC＝3GH，则△EOF 和△GOH的面积比为 ⁠. 3∶2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. （宁波慈溪期中）如图所示，由4个全等的正方形组成的L形图案，请按下列 要求画图： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （1）在图案①中添加1个正方形，使它是轴对称图形（不能是中心对称图形）. 解：（1）如图①，图②，图③所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2）在图案②中添加1个正方形，使它是中心对称图形（不能是轴对称图形）. 解：（2）如图④所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （3）在图案③中改变1个正方形的位置，从而得到一个新图形，使它既是中心对 称图形，又是轴对称图形. 解：（3）如图⑤，图⑥所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. 创新意识 　知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其 分成全等的两个部分. （1）如图①所示，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，与边AD， BC分别交于点E，F，则S四边形AEFB S四边形DEFC. （填“＞”“＜”或 “＝”） ＝　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2）如图②所示，两个正方形按如图所示的方式摆放，点O为小正方形对角线 的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分. 解：（2）如图②所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相 等的两部分.（用三种方法分割） 解：（3）如图③所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $$第二十三章　旋转 23.3　课题学习　图案设计 图形的变换 1. （德州禹城模拟）下列是小红借助旋转、平移或轴对称设计的四个图案，其中 既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　C　） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. （周口西华期末）观察如图所示的图案，它可以看作图案的 　　通过 　　（方 式）得到的（　D　） A. 三分之一，平移 B. 四分之一，平移 C. 三分之一，旋转 D. 四分之一，旋转 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. （南阳邓州期末）利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案，如图②所示中 的图案是由图①中的基本图形以点O为旋转中心，顺时针旋转4次而生成的，每 一次旋转的角度均为α，则α至少为 ⁠. 72°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4. 如图所示的网格图都是由边长为1的正三角形组成的，请以给出的图案为基本 图形（其顶点均在格点上），在图①②中再添加若干个基本图形，使添加的图形 与基本图形组成一个新图案，要求： （1）图①中组成的新图案是中心对称图形； （2）图②中组成的新图案不是中心对称图形， 但是通过旋转一定角度可以重合； （3）两图中新图案的顶点都在格点上， 并且给添加的基本图案涂上阴影. 解：如图所示.（答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5. 创新意识 　（1）图案设计人员在进行图案设计时，常常用一个模具板来设 计一幅幅美丽漂亮的图案，你能说出用同一个模具板设计出的两个图案之间是什 么关系吗？ 解：（1）答案不唯一，示例：用同一个模具板设计出的两个图案之间可能是由 平移、旋转、轴对称变换得到的，或者是由这三种变换组合而成的. （2）请你用基本图形 经过旋转、平移、轴对称设计一幅美丽的图案. 解：（2）答案不唯一，合理即可，图略. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6. 教材P76复习题23T4变式 　如图所示，以图①（以点O为圆心，半径为1的半 圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换不能得到图②的有 ⁠. ①只要向右平移1个单位长度； ②先以直线AB为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位长度； ③先绕着点O旋转180°，再向右平移1个单位长度； ④绕着OB的中点旋转180°即可. ①　 混淆了各种图形变换的不同 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7. 如图所示，在平面直角坐标系中，点B，C，E在y轴上，点C的坐标为 （0，1），AC＝2，Rt△ODE是Rt△ABC经过某些变换得到的，则正确的变换是 （　D　） A. △ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1个单位长度 B. △ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1个单位长度 C. △ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3个单位长度 D. △ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位长度 第7题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8. 如图所示是用棋子在6×6的正方形网格图中摆出的图案，棋子的位置用有序实 数对表示，如A点为（5，1），若再摆一黑一白两枚棋子，使这9枚棋子组成的 图案既是轴对称图形又是中心对称图形，则下列摆放正确的是（　D　） A. 黑（1，5），白（5，5） B. 黑（3，2），白（3，3） C. 黑（3，3），白（3，1） D. 黑（3，1），白（3，3） 第8题图 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9. 如图所示，下面是三种不同设计方案中的一部分，请补全图①②使其既是轴对 称图形，又是中心对称图形，并画出一条对称轴；补全图③，使其只成为中心对 称图形，并把对称中心标上字母P. 解：设计的图案示例如图所示.（答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10. 阅读理解 　阅读以下材料，并按要求完成相应的任务. 几何中，平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形都是特殊的四边形，大家 对于它们的性质都非常熟悉，生活中还有一种特殊的四边形——筝形.所谓筝 形，它的形状与我们生活中风筝的骨架相似. 定义：两组邻边分别相等的四边形，称之为筝形，如图所示，四边形ABCD是筝 形，其中AB＝AD，CB＝CD. 判定：①两组邻边分别相等的四边形是筝形. ②有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形. 显然，菱形是特殊的筝形，就一般筝形而言，它与菱形有许多相同点和不同点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （1）请说出筝形和菱形的相同点和不同点各两条. 解：（1）相同点：①两组邻边分别相等；②有一组对角相等；③一条对角 线垂直平分另一条对角线；④一条对角线平分一组对角；⑤都是轴对称图 形；⑥面积等于对角线乘积的一半. 不同点：①菱形的对角线互相平分，筝形的对角线不互相平分； ②菱形的四边都相等，筝形只有两组邻边分别相等； ③菱形的两组对边分别平行，筝形的对边不平行； ④菱形的两组对角分别相等，筝形只有一组对角相等； ⑤菱形的邻角互补，筝形的邻角不互补； ⑥菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，筝形是轴对称图形不是中心对称 图形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2）请仿照图①的画法，在如图②所示的8×8网格图中重新设计一个由四个全 等的筝形和四个全等的菱形组成的新图案，要求： ①顶点都在格点上；②所设计的图案既是轴对称图形又是中心对称图形；③将新 图案中的四个筝形都涂上阴影. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：（2）（答案不唯一）如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $$