2.2 用配方法求解一元二次方程 课件 2025—2026学年北师大版数学九年级上册

第二章 一元二次方程 北师大版九年级数学上册 2.1 用配方法求解一元二次方程 学习&目标 1.会用直接开平方法解形如(x+m)2＝n(n>0)的方程.（重点） 2.理解配方法的基本思路.（难点） 3.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.（重点） 第1课时 情境&导入 如果一个数的平方等于 4，则这个数是____， 若一个数的平方等于 7，则这个数是_____. 一个正数有几个平方根，它们具有怎样的关系？ 3.平方根的意义. ±2 两个平方根，互为相反数. 如果x2 =a (a≥0)，那么x= . 4.用字母表示因式分解的完全平方公式. a2±2ab+b2=(a±b)2 探索&交流 问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，可列出方程 10×6x2=1500， 由此可得 x2=25 开平方得 即x1=5，x2=－5. 因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dm． x=±5， 1. 定义 利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程解的方法叫做直接开平方法. (1) x2=4 (2) x2=0 (3) x2+1=0 解:根据平方根的意义，得 x1=2, x2=-2. 解:根据平方根的意义，得x1=x2=0. 解:根据平方根的意义，得x2=-1, 因为负数没有平方根，所以原方程无解. 探索&交流 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流. (2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 =0； (3)当p<0 时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程(I)无实数根. 一般的，对于可化为方程 x2 = p, (I) (1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等 的实数根 ， ； 探索&交流 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例1.用直接开平方法解下列方程： (1)9x2－81=0； (2)2(x－3)2－50=0. 解：(1)移项，得9x2=81.系数化为1，得x2=9.开平方，得x=±3. ∴ x1=3，x2=－3. (2)移项，得2(x－3)2=50.系数化为1，得(x－3)2=25. 开平方，得x－3=±5. ∴ x1=8，x2=－2. 探索&交流 例2.解下列方程： （x＋1）2= 2 ； 即x1=-1+ ，x2=-1- 解：（1）∵x+1是2的平方根， ∴x+1= 例题欣赏 ☞ x2 + 2x + 1 = 5 (x+6)2 + 72 = 102 你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？ 解： x2 + 2x + 1 = 5 ( x + 1)2 = 5 解： (x+6)2 + 72 = 102 (x+6)2 = 102 -72 (x+6)2 = 51 探究新知 探索&交流 你能解方程 x2 + 12x-15 = 0 吗？你遇到的困难是什么？ 你能设法将这个方程转化成上面的形式吗？与同伴进行交流. x2 + 12x -15 = 0 移项，得 x2 + 12x = 15 两边都加 62，得 x2 + 12x +62 = 15+62 即 ( x + 6 )2 = 51 两边开平方，得 　议一议 解一元二次方程的基本思路是什么？ x2 +12x-15=0 ( x + 6 )2 = 51 解一元二次方程的思路是将方程转化为 (x+m)2 = n 的形式. 一元二次方程 (代数式)2=常数 一元一次方程 转化 开平方 降次 探索&交流 由应用直接开平方法解形如：x2=p（p≥0），那么x=± 由应用直接开平方法解形如：（mx+n）2=p（p≥0），则mx+n=_____ . 探索&交流 　做一做 填上适当的数，使下列等式成立： 1. x2 + 12x +_____ = (x+6)2 2. x2 - 4x +_____= (x - ___)2 3. x2 + 8x +_____= (x +___)2 62 22 2 42 4 上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系？ 一次项系数一半的平方 对于形如 x2+ax 的式子如何配成完全平方式？ 将方程化为(x+m)2=n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0时，两边同时开平方即可求出它的解，这种方法叫配方法． 定义： 探索&交流 用配方法解形如 x2 + px + q = 0的步骤 ①将常数项移到方程的右边. x2 +px=-q ②两边都加上一次项系数一半的平方.x2 +px+（ ）2 =（ ）2 -q ③直接用开平方法求出它的解.（x + ）2 =（ ）2 - q 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例2.解方程：x2 + 8x–9 = 0. 解: 可以把常数项移到方程的右边，得 x2 + 8x = 9. 两边都加上一次项系数 8 的一半的平方，得 x2 + 8x + 42 = 9 + 42， (x+4)2 = 25. 两边开平方，得 x + 4 = ±5， 即 x+4 =5，或 x+4 =-5. 所以 x1 = 1，x2 = -9. （1）x2 -10x + 25 = 7 ； （2）x2 -14x = 8； 解下列方程： （1）解: 移项，得 x2 -10x = -18． 两边都加52，得 x2-10x+52 = -18+52． 即 (x-5)2 = 7． 两边开平方，得 ． 练习&巩固 （1）x2 -10x + 25 = 7 ； （2）x2 -14x = 8； （2）解：两边都加72，得 x2-14x + 72 = 8+72． 即 (x-7)2 = 57． 两边开平方，得 解下列方程： 练习&巩固 （3）x2 + 3x = 1； （4）x2+2x+2 = 8x + 4. 解下列方程： （3）解：两边都加( )2，得 x2+3x + ( )2 = 1+ ( )2 ． 即 (x + )2 = ． 两边开平方，得 练习&巩固 （3）x2 + 3x = 1； （4）x2+2x+2 = 8x + 4. 解下列方程： （4）解: 移项，得 x2 -6x = 2． 两边都加32，得 x2-6x+32 = 2+32． 即 (x-3)2 = 11． 两边开平方，得 ． 练习&巩固 2. 解下列方程： （1）x2 + 12x +25= 0； （2）x2+4x = 10. （1）解: 移项，得 x2 +12x = -25． 两边都加62，得 x2+12x+62 = -25+62． 即 (x+6)2 = 11． 两边开平方，得 ． 练习&巩固 （1）x2 + 12x +25= 0； （2）x2+4x = 10. （2）解：两边都加22，得 x2+4x+22 = 10+22． 即 (x+2)2 = 14． 两边开平方，得 ． 2. 解下列方程： 练习&巩固 （3）x2 - 6x = 11； （4）x2-9x +19= 0. （3）解：两边都加32，得 x2-6x+32 = 11+32． 即 (x-3)2 = 20． 两边开平方，得 ． 解下列方程： 练习&巩固 2. 解下列方程： （3）x2 - 6x = 11； （4）x2-9x +19= 0. （4）解: 移项，得 x2 -9x = -19． 两边都加 ( )2，得 x2-9x+( )2 = -19+( )2． 即 (x - )2 = ． 两边开平方，得 ． 练习&巩固 3.用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无实数根的方程为( ) A. x2－1=0 B. x2=0 C. x2+4=0 D. －x2+3=0 C 练习&巩固 4.一元二次方程x2－6x－6=0配方后化为( ) A. (x－3)2=15 B. (x－3)2=3 C. (x+3)2=15 D. (x+3)2=3 A 练习&巩固 5.一名同学将方程x2－4x－3=0化成了(x+m)2=n 的形式，则m，n的值应为( ) A. m=－2，n=7 B. m=2，n=7 C. m=－2，n=1 D. m=2，n=－7 6.如图，在一块长 35 m、宽 26 m 的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为 850 m2. 道路的宽应为多少？ 解: 设道路的宽为 x m． 35×26＝850＋(26＋35)x－x2． x2－61x＋60＝0． 得 x1＝60(舍去)，x2＝1． 所以，道路的宽为 1 m． 35 m 26 m 7.游行队伍有 8 行 12 列，后又增加了 69 人，使得队伍增加的行、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？ 解:设增加 x 行． (8＋x)(12＋x)－8×12＝69． x2＋20x－69＝0． (x＋23)(x－3)＝0． x1＝－23(舍去)，x2＝3． 所以，增加了 3 行或 3 列． 小结&反思 用配方法解 一元二次方程 直接开平方法： 基本思路： 解二次项系数为1的一元二次方程步骤 形如（x + m）2 = n (n≥0) 将方程转化为（x+m）2 =n (n≥0)的 形式，在用直接开平方法，直接求根. 1.移项 3.直接开平方求解 2.配方 学习&目标 1.会用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程;.（重点） 2.能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程.（难点） 第2课时 情境&导入 用配方法解一元二次方程（二次项系数为1）的步骤是什么？ 步骤：（1）将常数项移到方程的右边,使方程的左边只含二次项和一次项; （2）两边都加上一次项系数一半的平方. （3）直接用开平方法求出它的解. 例题&解析 例题欣赏 ☞ 配方，得 由此可得 二次项系数化为1，得 解：移项，得 2x2－3x=－1, 即 移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢? 例1：解下列方程： 探究新知 请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别： x2 + 6x + 8 = 0 3x2 + 18x + 24 = 0 如果一元二次方程的系数不是 1 ，我们应该怎样使用配方法去解方程呢？ 在方程的两边同时除以二次项系数 例2 解方程 3x2 + 8x – 3 = 0 解：方程两边都除以 3，得 移项，得 配方，得 两边开平方，得 所以 用配方法解一元二次方程的一般步骤 (1)移项. (2)除二次项系数 (3)配方. (4)开方.（5）写 探索&交流 一小球以 15 m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度 h(m) 与时间 t(s) 满足关系: h = 15t - 5t2，小球何时能达到 10 m 的高度？ 做一做 解：根据题意得 15t -5t2 = 10 方程两边都除以 -5，得 t2 -3t = -2 配方，得 两边开平方，得 （1）3x2 -9x + 2 = 0； 解下列方程： 解：两边同时除以 3，得 配方，得 移项，得 两边开平方，得 练习&巩固 （2）2x2 + 6 = 7x； 解下列方程： 解：两边同时除以 2，得 移项，得 配方，得 两边开平方，得 练习&巩固 （3）4x2 -8x - 3 = 0. 解下列方程： 解：两边同时除以 4，得 配方，得 两边开平方，得 练习&巩固 2. 解下列方程： （1）6x2 - 7x + 1= 0； 解：两边同时除以 6，得 配方，得 移项，得 两边开平方，得 练习&巩固 2. 解下列方程： （2）5x2 –18 = 9x ； 解：两边同时除以 5，得 移项，得 配方，得 两边开平方，得 练习&巩固 2. 解下列方程： （3）4x2 –3x = 52 ； 解：两边同时除以 4，得 配方，得 两边开平方，得 练习&巩固 2. 解下列方程： （4）5x2 = 4–2x . 解：两边同时除以 5，得 移项，得 配方，得 两边开平方，得 练习&巩固 练习&巩固 3.方程2x2-3m-x+m2+2=0有一根为x=0，则m的值为（ ） A. 1 B.1 C.1或2 D.1或-2 练习&巩固 4.若关于x的方程4x2－(m－2)x+1=0的左边是一个完全平方式，则m 等于( ) A.－2 B.－2或6 C.－2或－6 D. 2或－6 5.印度占算书中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里：其余十二叽叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起。”你能解决这个问题吗? 解：设有x个猴子，由题意列方程得： (18x) 2+12=x， 解得：x1=16,x2=48， 答：这群猴子的总数为16只或48只. 练习&巩固 6.如图，A，B，C，D 是矩形的四个顶点，AB = 16 cm，BC = 6 cm，动点 P 从点 A 出发，以 3 cm/s 的速度向点 B 运动，直到点 B 为止；动点 Q 同时从点 C出发，以 2 cm/s 的速度向点 D 运动. 何时点 P 和点 Q 之间的距离是 10 cm ？ 解: 设 t 秒后点 P 和点 Q 的距离是 10 cm． (3t＋2t－16)2 ＝ 102－62． 所以，1.6 s或 4.8 s后点 P 和点 Q 的距离是 10 cm． 小结&反思 配方法 方法 步骤 一移常数项； 二配方[配上 ]； 三写成（x+n)2=p (p ≥0); 四直接开平方法解方程. 应用 求代数式的最值或证明 在方程两边都配上 拓展应用 做一做：用配方法证明： 无论x为何实数，代数式2x2-4x+5的值恒大于零． 证明：2x2-4x+5 =2(x2-2x)+5 =2(x2－2x＋1)+5＋2 =2(x－1)2+7， ∵(x－1)2≥0，∴2(x－1)2 ≥ 0，∴2(x－1)2+7 ≥ 0. ∴无论x为何实数，代数式－2x2＋4x－5的值恒大于零 练一练：应用配方法求最值. (1) 2x2 - 4x+5的最小值； (2) -3x2 + 5x +1的最大值. 解:(1)2x2 - 4x +5 = 2(x - 1)2 +3 当x =1时有最小值3 (2)-3x2 + 12x - 16 = -3(x - 2)2 - 4 当x =2时有最大值-4 拓展应用 归纳总结 求最值或证明代数式的值为恒正（或负） 关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2＋n的形式后(x+m)2≥0，n为常数， 当a＞0时，可知其最小值； 当a＜0时，可知其最大值. 拓展应用 $$